Práctica 11
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Práctica 11 Práctica 11 Ecuaciones Ecuaciones Diferenciales Diferenciales Ordinarias Ordinarias
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Práctica 11. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Problemas de valor inicial Campo de direcciones Métodos numéricos para el problema de valor inicial Método de Euler Método de Heun Método de Euler modificado Método de Runge-Kutta. - PowerPoint PPT Presentation
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Práctica 11Práctica 11
Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales OrdinariasOrdinarias
Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Ordinarias Problemas de valor inicialProblemas de valor inicial Campo de direccionesCampo de direcciones Métodos numéricos para el problema de Métodos numéricos para el problema de
valor inicialvalor inicial Método de EulerMétodo de Euler Método de HeunMétodo de Heun Método de Euler modificadoMétodo de Euler modificado Método de Runge-KuttaMétodo de Runge-Kutta
Problemas de valor inicialProblemas de valor inicial
Ecuación diferencialEcuación diferencial
Condición inicialCondición inicial
Modelo de población de VerhulstModelo de población de Verhulst
]b,a[t;))t(y,t(f)t(y
0y)a(y
002 y)t(y,)t(by)t(ay)t(y
Campo de direccionesCampo de direcciones
Curvas solución de una EDOCurvas solución de una EDO
Pendiente de las curvas soluciónPendiente de las curvas solución
Campo de direccionesCampo de direcciones
]b,a[t,)t(yy
]b,a[t,))t(y,t(f)t(ym
]d,c[y],b,a[t)),y,t(f,1()y,t(
Métodos numéricos para el Métodos numéricos para el Problema de Valor InicialProblema de Valor Inicial
Problema de Valor InicialProblema de Valor Inicial
DiscretizaciónDiscretización
Forma integral del PVIForma integral del PVI
t
t0
0
ds))s(y,s(f)t(y)t(y
0y)a(y],b,a[t)),t(y,t(f)t(y
)t(yy,),t(yy),t(yy
bttta
nn1100
n10
Error localError local
Error máximoError máximo
Convergencia Convergencia
Método de orden pMétodo de orden p
kk
emax)h(E
)t(yye kkk
0)h(Elim0h
.constM,Mh)h(E p
Convergencia y orden de errorConvergencia y orden de error
Forma integral de la ecuación diferencialForma integral de la ecuación diferencial
Fórmula de los rectángulosFórmula de los rectángulos
Paso fijoPaso fijo
Método de Euler: para k=1,2...,nMétodo de Euler: para k=1,2...,n
1
0
t
t01 dt))t(y,t(f)t(y)t(y
)y,t(f)tt(yy 000101
)y,t(hfyy 0001
)y,t(hfyy kkk1k
Método de EulerMétodo de Euler
Soluciones aproximadas Soluciones aproximadas (Euler)(Euler)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5Ecuación LogísticaEcuación Logística
Forma integral Forma integral de la EDOde la EDO
Fórmula de Fórmula de los trapecioslos trapecios
Aproximación por Aproximación por Euler (predicción)Euler (predicción)
Método de Heun Método de Heun (correccción)(correccción)
1
0
t
t01 dt))t(y,t(f)t(y)t(y
))y,t(f)y,t(f(2/hdt)y,t(f 1100t
t
1
0
)y,t(hfyy 000p1
))y,t(f)y,t(f(2/hyy p110001
Método de HeunMétodo de Heun
0 2 4 6 8 10-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10Paracaídas
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-4
-2
0
2
4
6
8Caída libre
Tiempo
Vel
ocid
adCaída en medio resistenteCaída en medio resistente
Forma integral de Forma integral de la ecuación diferencialla ecuación diferencial
Fórmula del Fórmula del punto mediopunto medio
Aproximación Aproximación por Euler por Euler
Método de Euler Método de Euler modificadomodificado
1
0
t
t01 dt))t(y,t(f)t(y)t(y
))2/ht(y,2/ht(hfdt)y,t(f 00t
t
1
0
)y,t(f2/hyy)2/ht(y 0002/10
)y,2/ht(hfyy 2/1001
Método de Euler modificadoMétodo de Euler modificado
Forma integral de la EDOForma integral de la EDO
Regla de SimpsonRegla de Simpson
1
0
t
t01 dt))t(y,t(f)t(y)t(y
))y,t(f)y,t(f4)y,t(f(6hdt)y,t(f 112/12/100
t
t
1
0
Método de Runge-KuttaMétodo de Runge-Kutta
F I NF I N
