Practica 18[1]

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERU Ciclo IV

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERUUniversidad del Perú

CENTRO PREUNIVERSITARIO

Aritmética

TEORÍA DE PROBABILIDAD

La Teoría de Probabilidad tiene como objetivo el estudio de las leyes que gobiernan

a los fenómenos aleatorios. Así la Teoría de Probabilidad trata con las propiedades

de los fenómenos aleatorios que dependen esencialmente de la noción de

aleatoriedad y no de otros aspectos del fenómeno considerado.

Caracterización de un fenómeno aleatorio

Tiene los siguientes rasgos:

i) Se podría repetir indefinidamente las observaciones bajo condiciones

esencialmente invariables.

ii) Se es capaz de describir todos los posibles resultados de una

observación, aún cuando no es posible establecer lo que será un

resultado particular.

iii) Los resultados individuales de las observaciones repetidas pueden ocurrir

de manera accidental, pero cuando el número de observaciones es grande

aparece el patrón de regularidad estadística.

Espacio Muestral : Es el conjunto de todos los resultados posibles que se puede obtener de una sola observación realizada, o más brevemente del experimento aleatorio.

Evento o Suceso: Es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Asignación de probabilidades a sucesos en espacios muestrales finitos equiprobables

Sea el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio tal que

todos lossucesos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir, entonces

es un espacio muestral finito equiprobable.

Semana Nº 18 (Prohibida su reproducción y venta) Pág. 1


Sea A P(A) =

Propiedades

1.

2. , donde es el suceso contrario al suceso A.

3. , donde A y B son sucesos cualesquiera.

Sucesos Mutuamente Excluyentes

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes , si no pueden ocurrir ambos

simultáneamente.

Ejemplo: Se extrae al azar una carta de una baraja de 52 cartas, ¿cuál es la

probabilidad de obtener un as o un rey?

Solución

Experimento aleatorio: Extraer al azar una carta de una baraja de 52 cartas.Suceso A: Obtener un as, entonces n(A) = 4Suceso B: Obtener un rey, entonces n(B) = 4

ProbabilidadCondicional

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral Ω, donde P (B) > 0. La probabilidad de que ocurra el suceso A, dado que el suceso B ha ocurrido, que

denotaremos por , está definido por



Ejemplo: Al lanzar 3 dados perfectos la suma de los puntajes obtenidos en las caras superiores siempre es un número par, ¿cuál es la probabilidad de que dicha suma sea mayor que 6?

Solución

Evento B: La suma de los puntajes obtenidos de las caras superiores siempre es un número par.

B = 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 n(B) = 8

Ω=3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18 n(Ω) = 16

Evento A: la suma es mayor que 6. A = 8; 10; 12; 14; 16; 18

A ∩ B = 8; 10; 12; 14; 16; 18 n(A ∩ B) = 6

Ejemplo: En la tienda de “DON PEPE”, hay 60 tarros de leche chocolatada de la marca X y 40 tipo light de la misma marca, también hay 50 tarros de leche chocolatada de la marca Z y 30 tipo light de la misma marca. Si se vende un tarro de leche al azar, hallar

a) La probabilidad de que sea de la marca X, dado que es leche chocolatada.b) La probabilidad de que sea leche chocolatada, dado que es de la marca X.

SoluciónLeche chocolatada

(A)Leche light (B)

X 60 40 100Z 50 30 80

110 70 180

a)

b)

Regla de la multiplicación

Dados dos sucesos A y B tal que P(A) > 0, se tiene



Ejemplo

Una urna contiene 5 tarjetas rojas y 6 verdes; se extrae dos tarjetas sucesivamente y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que las dos tarjetas resulten rojas?

SOLUCIÓN

A: la primera tarjeta resulta roja B: la segunda tarjeta resulta roja

TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL

Si es una colección contable de eventos incompatibles para la cual

para todo n y , entonces para todo suceso A se cumple

Ejemplo

La probabilidad que Alicia estudie para su examen de Estadística es 0,20. Si

estudia, la probabilidad de que apruebe el examen es 0,80; en tanto que si no

estudia la probabilidad es de solo 0,50. ¿Cuál es la probabilidad de que Alicia

apruebe el examen de Estadística?

Solución:

A: “Alicia aprueba el examen de Estadística” E: “Alicia estudia para el examen de Estadística” N: “Alicia no estudia para el examen de Estadística”

P( A ) = 0,20X0,80 + 0,80X0,50 = 0,16 + 0,40 = 0,56



SUCESOS INDEPENDIENTES

Dos sucesos A y B se dicen independientes si se cumple

EJERCICIOS DE CLASE N° 18

1. Una máquina expendedora de gomas de mascar tiene 38 gomas de mascar naranjas, 30 moradas y 18 amarillas. La máquina opera tal que al introducir una moneda de S/.1, proporciona una goma de mascar. Con una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener una goma de mascar que sea morada o amarilla?

A) B) C) D) E)

Solución:

M: “Se obtiene una goma de mascar morada”

A.”Se obtiene una goma de mascar amarilla”

Clave: D

2. En un supermercado la probabilidad de esperar 5 minutos o más para pagar en la caja es de 0,2. En cierto día, un hombre y su esposa deciden comprar por separado y cada uno pasa con un cajero distinto. Los dos llegan a las cajas al mismo tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que el hombre o la mujer o los dos esperen 5 minutos o más?

A) B) C) D) E)

Solución:

Clave: A

3. Usted desea llamar a una amiga por teléfono, recuerda los tres primeros dígitos de su número telefónico; pero ha olvidado los últimos cuatro. ¿Cuál es la probabilidad de que usted marque el número correcto en un solo intento?



A) B) C) D) E)

Solución:

A:”Marcar el número correcto en un solo intento”

#( )= 1X1X1X10X10X10X10=

Clave: E

4. En una carrera participan siete caballos. Si los caballos muestran las mismas estadísticas, ¿cuál es la probabilidad de que usted elija bien al ganador y al segundo lugar?

A) B) C) D) E)

Solución:

#( ) = 7!

A:” Elegir correctamente al ganador y al segundo lugar”

#( A ) = 1X1X5X4X3X2X1 =5!

Clave: B

5. En una canasta se tiene 30 bates, 15 guantes y 60 pelotas de béisbol. Si se extrae uno por uno y sin reemplazo dos objetos de la canasta, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un bate y una pelota en ese orden?

A) B) C) D) E) Solución:

B: “Se obtiene un bate” A: “Se obtiene una pelota”

Clave: C

6. A un mono se le da 12 bloques: tres son cuadrados, tres rectángulos, tres triángulos y tres círculos. ¿Cuál es la probabilidad de que coloque tres de cada tipo en orden, por ejemplo, tres triángulos, luego tres cuadrados, etc.?



A) B) C) D) E)

Solución:

#

A:”Colocar tres de cada tipo en orden”

#(A) = 4! ( 3! )4

Clave: A

7. Cinco fabricantes producen un determinado dispositivo electrónico cuya calidad varía de un fabricante a otro. Si usted eligiera tres fabricantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la selección contenga a dos de los tres mejores?

A) B) C) D) E)

Solución:

Clave: B

8. Nueve pasajeros abordan un tren de tres vagones. Cada pasajero elige aleatoriamente el vagón para sentarse. ¿Cuál es la probabilidad de que haya dos personas en un vagón, tres en el otro y cuatro en el vagón restante?

A) B) C) D) E)

Solución:

Clave: D

9. En una población el 51% son varones y el 49% son mujeres. Las proporciones

de personas con daltonismo se muestran en la tabla siguiente:



Varones Mujeres Total

Daltónicos 0,04 0,002 0,042

No

daltónicos

0,47 0,488 0,958

Total 0,51 0,49 1,00

Si se selecciona una persona de esta población y es varón, ¿cuál es la

probabilidad de que sea daltónico?

A) B) C) D) E)

Solución:

Clave: D

10. Una máquina operada por un obrero produce una pieza defectuosa con probabilidad 0,01 si el obrero sigue con exactitud las instrucciones de operación de la máquina y con probabilidad de 0,03 si no lo hace. Si el obrero sigue las instrucciones el 90% de las veces, ¿qué proporción de todas las piezas producidas por la máquina será defectuosa?

A) 0,09 B) 0,003 C) 0,009 D) 0,12 E) 0,012Solución:

P(D)= 0,9X0,01 +0,1X0,03 =0,012

Clave: E

11. Un hombre para ir a trabajar toma un microbús o el metro con probabilidades respectivas de 0,3 y 0,7. Cuando toma el microbús, llega tarde el 30% de los días; si toma el metro, llega tarde el 20%. Si en un día particular el hombre llega tarde al trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que tomó el microbús?

A) B) C) D) E)

Solución:

T: “El trabajador llega tarde”

M: “El trabajador tomó un microbús”

A: “El trabajador tomó el metro”

P(T) = 0,3X0,3 +0,7X0,2 = 0,23



Clave: B

12. Se lanza un par de dados hasta que aparezca un 4 o un 7 como suma de los puntos en las caras que caen hacia arriba. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtenga 4 antes de 7?

A) B) C) D) E)

Solución:

A:”Se obtiene 4 como suma de los puntos en las caras que caen hacia arriba”

B:”No se obtiene 4 ó 7 como suma de los puntos en las caras que caen hacia

arriba”

E:”Se obtiene 4 antes de 7”

Clave: C

EJERCICIOS DE EVALUACIÓN N° 18

1. Una bolsa con frutas contiene cuatro manzanas, seis naranjas y cinco duraznos. Si usted toma dos frutas, una por una y con reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de que extraiga una naranja y una manzana en ese orden?

A) B) C) D) E)

Solución:

N:”Se extrae una naranja” M:”Se extrae una manzana”



Clave: E

2. En una reunión hay 40 niños menores de 12 años, 60 adolescentes y 30 adultos. Si se selecciona un individuo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el seleccionado sea un adolescente o un adulto?

A) B) C) D) E)

Solución:

A:”Se selecciona un adolescente” B:”Se selecciona un adulto”

Clave: A

3. Luis, Javier, Gabriel y Ramón participan en una carrera de 100 metros libres. Si los corredores tienen la misma calificación y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad de que gane Gabriel y Ramón quede en segundo lugar?

A) B) C) D) E)

Solución:

#

A:”Gana Gabriel y Ramón queda segundo”

#(A) = 1X1X2X1

Clave: C

4. La probabilidad de permanecer 10 años o más en una compañía particular es . Un varón y una mujer empiezan a trabajar en la compañía en el mismo día. ¿Cuál es la probabilidad de que alguno o los dos trabajen 10 años o más en la compañía?



A) B) C) D) E)

Solución:

Clave: A

5. Se formará un comité de músicos con el fin de manejar las quejas de los empleados. El comité se formará con el presidente, el vicepresidente de la junta de directores y tres representantes de la orquesta. Los tres representantes de la orquesta serán elegidos al azar de una lista de seis voluntarios, que tiene cuatro varones y dos mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de que los tres representantes de la orquesta formen un grupo mixto?

A) B) C) D) E)

Solución:

Clave: D

6. Javier y Teresa se distribuyen al azar en tres oficinas numeradas con 1,2 y 3 respectivamente, pudiendo estar ambos en una misma oficina. ¿Cuál es la probabilidad de que la oficina 2 se quede vacía?

A) B) C) D) E)

Solución:

Javier tiene 3 oficinas para escoger y Teresa también, entonces

A: “La oficina 2 se queda vacía” Teresa tiene 2 oficinas para escoger y Javier

también. Entonces #(A) = 2X2

Clave: E

7. La probabilidad que una comerciante realice una venta durante el primer contacto con un cliente es 0,4; pero es de 0,55 en el segundo contacto, si el



cliente no compró durante el primero. La comerciante hace una y solo una nueva llamada a cualquier cliente. Si ella contacta al cliente, ¿cuál es la probabilidad de que éste compre?

A) 0,27 B) 0,73 C) 0,37 D) 0,3 E) 0,33

Solución:

Clave: B

8. El jugador A tiene probabilidad de ganar el torneo si entra el jugador B y

probabilidad de ganar si el jugador B no entra al torneo. Si la probabilidad

de que el jugador B entre es , halle la probabilidad de que el jugador A gane el torneo.

A) B) C) D) E)

Solución:

Clave: B

9. Los registros de delitos en una ciudad muestran que 20% son violentos y 80% son no violentos. Se denuncian 90% de delitos violentos y solo 70% de los no violentos. Si se denuncia a la policía un delito, ¿cuál es la probabilidad de que el delito sea violento?

A) B) C) D) E)

Solución:

Clave: E

10. Dos personas A y B alternan en hacer disparos sobre un blanco en un duelo que termina cuando uno de ellos acierta en el blanco. La probabilidad de que



en un solo disparo A acierte es y la probabilidad de que B acierte en un

solo disparo es . Si A dispara primero, ¿cuál es la probabilidad de que el duelo termine en a lo mas cuatro disparos?

A) B) C) D) E)

Solución:

A: A acierta B: B acierta D: A gana el duelo

Clave: B


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