08/Octubre/2010

Instituto Tecnolgico de Morelia Jos Mara Morelos y PavnEquipo:

09120782 Ramos Albarrn Fernando 09120762 Estrada Caldern Jos Antonio 08121071 Ziga Salinas David 08121065 Fuentes Martnez Bonifacio IvnAsesor: M.C. J. Luis Lemus D.

[PRCTICA #2: ANLISIS NODAL DE CIRCUITOS]Divisin de Estudios Profesionales: Ingeniera Elctrica

OBJETIVO:Identificar como aplicar las Leyes de Kirchhoff (LCK y LVK) y la Ley de Ohm para generar un sistema de ecuaciones linealmente independientes, de tal forma que al resolver dicho sistema encontremos el voltaje en los nodos de un circuito.

INTRODUCCIN:Para el anlisis de nodos, es conveniente del uso de algunas tcnicas de anlisis de circuitos, que facilitan la interpretacin y su visualizacin para la solucin de ellos, esto, mediante la obtencin de un conjunto de ecuaciones simultneas linealmente independientes. Debemos de tener en cuenta que estos mtodos se basan en la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff, que enseguida se menciona a grandes rasgos sus fundamentos. Ley de Ohm La ley de Ohm establece que la diferencia de potencial entre las terminales de un resistor es directamente proporcional a la corriente que fluye por dicho elemento. Esto es:

Ohm defini la constante de proporcionalidad como la resistencia R, ya que este es un elemento pasivo que no depende ni del voltaje ni de la corriente y siempre mantiene una proporcin entre ambos.

Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) Establece que la suma de corrientes que entran o salen de un nodo es igual a cero, o podra enunciarse como la sumatoria de las corrientes que entran a un nodo es igual a la sumatoria de las corrientes que salen del mismo nodo.

O tambin como

Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK) Puede enunciarse como la suma de los voltajes en una trayectoria cerrada es igual a cero, o de manera similar como la suma de elevaciones de voltaje es igual a la suma de cadas.

De manera similar Potencial de una fuente. Para determinar la diferencia de potencial en una fuente conociendo el valor del potencial en sus terminales podemos aplicar la siguiente expresin:

Anlisis Nodal. El anlisis nodal es el procedimiento mediante el cual se utilizan las tensiones de nodos como variables. Generalizando un procedimiento para aplicar este anlisis correctamente, pueden aplicarse los siguientes: 1. Seleccionar un nodo como el nodo de referencia. Asigne las tensiones (Variables) a los n-1 nodos restantes. Ya que la referencia no se analiza. 2. Aplicar la LCK a cada uno de los n-1 nodos. Y con la ley de Ohm expresar las corrientes en trminos de la tensin sobre resistencias. 3. Resolver las ecuaciones simultneas obtenidas, para encontrar las tensiones de los nodos. Es importante tener en cuenta que cuando se aplica una diferencia de potencial a una resistencia fluye una corriente a travs de ella, que por convencin pasiva de signos la corriente siempre debe de fluir de un potencial mayor a un potencial menor. Y cuando se dice que una corriente va en sentido opuesto, dicha corriente es negativa. Supernodo Un supernodo se genera cuando tenemos conectada una o ms fuentes de tensin (dependiente o independiente) entre dos nodos de no referencia, entonces se analiza el circuito imaginando que en dicho circuito original se pone(n) en corto la(s) fuente(s)

que est(n) conectada(s) a los nodos de no referencia. Se aplica la LCK, por comodidad se indican las corrientes saliendo para igualar la ecuacin a cero. Cuando salen las corrientes por convencin pasiva de signos, la corriente sale de uno de los nodos que conforman el supernodo y se dirige a otro que puede ser de referencia o de no referencia y esto se indica de la siguiente forma.

Por ejemplo esta corriente indica que sale del nodo 2, y este nodo puede pertenecer a un supernodo, el segundo subndice 1 indica que se dirige hacia ese nodo. Cuando se dirija al nodo de referencia se indica como:

Ya que el nodo de referencia tiene un potencial nulo, y en donde R es el elemento entre los dos nodos. Notamos que las corrientes que salen del supernodo o del nodo a analizar, se expresan en trminos de tensiones entre resistencias (se aplica ley de Ohm). Y se obtienen una serie de ecuaciones linealmente independientes donde las variables estn dadas en trminos de las tensiones los nodos. El nmero de ecuaciones resultantes es el nmero de nodos n-1 ya que el nodo de referencia no se analiza. EL supernodo genera ms ecuaciones conocidas como Ecuaciones condicionantes, donde el nmero de ecuaciones condicionantes es igual al nmero de fuentes que contiene el supernodo. Una ecuacin condicionante se obtiene al imaginarse conectar la fuente que se puso en corto y se analiza la fuente, sus extremos son potenciales y su diferencia debe dar el valor de la fuente. Cuando se tiene una fuente dependiente o controlada, el anlisis es ms complejo, pues se tiene que analizar la variable de control.

DESARROLLO:Se dise un circuito elctrico el cual se analiz tericamente por medio del mtodo de anlisis de nodos, en el que se encuentran diversas fuentes, como fuentes de corriente y de voltaje, adems de resistencias conectadas a estas, despus se analiz el circuito en el programa PSpice para determinar los valores simulados y compararlos posteriormente con los valores tericos obtenidos. Por ltimo se evaluaron los respectivos porcentajes de error. Anlisis Terico Hallar el voltaje mtodo de anlisis de nodos. y (Voltaje en los nodos) del siguiente circuito, valindose del

Nodo

:

Analizando la fuente de voltaje de 6V, podemos encontrar el valor del nodo . El voltaje de la referencia y la diferencia de potenciales, es la terminal positiva menos la terminal negativa, y esto nos da el voltaje de la fuente igual a 6V.

As obtenemos que:

Supernodo (

,

,

):

Ahora como tenemos dos fuentes de voltaje que tienen un nodo en comn (La fuente de 10V y la fuente controlada por corriente ), podemos analizarlas como un supernodo, imaginando que en el circuito original las fuentes se ponen en corto, entonces tendriamos el supernodo como lo muestra la figura siguiente:

De este supernodo salen las corrientes e , por comodidad indicamos todas las corrientes saliendo del supernodo, para que al momento de aplicar LCK igualemos la ecuacin a 0, ya que todas las corrientes que salen de un nodo deben ser cero de acuerdo a dicha ley. Lo mismo se aplica para un supernodo. El primer subndice de las corrientes indica que sale de tal nodo y el segundo indica hacia cual se dirige dicha corriente, por ejemplo la corriente va del nodo al nodo . La corriente va del nodo al nodo de referencia y como este ltimo nodo tiene un potencial nulo, no se indica ya que el nico potencial involucrado es . Ahora aplicamos LCK, para obtener la siguiente ecuacin.

Y aplicamos la ley de Ohm para expresar las corrientes, como las diferencias de los potenciales de los nodos que salen y a los cuales se dirigen las corrientes, sobre el elemento resistivo que se encuentra entre los nodos. ( Tomando en cuenta que ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )

y reacomodando trminos obtenemos la siguiente ecuacin. ( )

Resolviendo las fracciones y multiplicando por 210 para eliminar fracciones, obtenemos la primera ecuacin del anlisis nodal.

(1) Condiciones del supernodo ( , , ):

Ahora para compensar al supernodo imaginemos que conectamos de nuevo las fuentes al circuito, y analizamos a cada una de ellas. Primero a la fuente de 10V

De esta primera condicin obtenemos la segunda ecuacin del anlisis nodal. (2) Ahora analizamos la segunda condicin del supernodo.

Donde

es la corriente que circula por

, sale del nodo

y se dirige al nodo

.

Sustituimos nodal.

en la segunda ecuacin condicionante y obtenemos la tercera ecuacin del anlisis ( ) (3)

Supernodo (

,

): obtenemos un segundo

Poniendo en corto la fuente de voltaje controlada por voltaje supernodo de la siguiente forma.

Entonces aplicamos LCK para obtener la siguiente ecuacin.

Prosedemos a aplicar ley de Ohm y agrupar trminos, para obtener la cuarta ecuacin del anlisis nodal. ( ( ) ( ) ) ( )

Multiplicando por 140 para eliminar las fracciones nos queda. (4) Condiciones del supernodo ( , ):

Imaginemos conectar la fuente de voltaje, para obtener la ecuacin de condicin del supernodo

Observemos que un valor de

es el voltaje de la resistencia

por la cual pasa una corriente de

y tiene

( Pero es la corriente que va del nodo valor de 7 , por lo cual: al nodo

)( ) . Y adems pasa por el resistor que tiene un

Sustituimos

en ( )

Ya tenemos , por lo cual ahora lo sustituimos en la ecuacin condicionante del supernodo y agrupamos trminos.

(

)

(

)

Multiplicamos por 7 y ya tenemos las quinta ecuacin del anlisis nodal. (5) Nodo de referencia y/o nodo :

La sexta ecuacin para completar el sistema la podemos obtener analizando en este caso el nodo de refrencia o analizando el nodo en ambos casos obtenemos una ecuacin diferente; sin embargo la solucin para el voltaje en los nodos sigue siendo la misma (mas adelante est la comprobacin en MatLab). Las corrientes que entran y salen en los dos nodos pueden ser expresadas en terminos de voltajes entre resistencias (Aplicando Ley de Ohm). Para el nodo de referencia , Aplicando LCK tenemos que:

Los valores de

e

, habiamos dicho que eran:

Entonces sustituimos esos valores en la ecuacin, reacomodamos y multiplicamos por 14. Y obtenemos la sexta ecuacin del anlisis nodal ( ) ( )

(6) Analizando el nodo (LCK), invertimos la corriente de entra al nodo , y las corriente que salen son e . , poniendola como la corriente que

Con ley de Ohm se tiene que: ( ) ( )

[

][

] (6.1)

Para completar el sistema de 6 ecuaciones y hallar el voltaje de los nodos puede utilizarse la ecuacin 6 o la 6.1. En este caso ocupamos la ecuacin 6 por contener una variable menos. Solucin: Las ecuaciones obtenidas por el analisis de nodos son las siguientes: (1) (2) (3) (4) (5) (6) Para solucionar este sistema de ecuaciones lo haremos por sustitucin, ya tenemos dos ecuaciones con solo dos variables, la 2 y la 3, despejamos y respectivamente. (3)

(1)

Sustituimos esos valores en (6), y despejamos ( ) ( )

( (

) )

(

)

Sustituimos y en la ecuacin (5), para despejar . Si observamos, estamos haciendo esto para obtener y al final a todas las ecuaciones, con solo sustituir el valor de , obtendremos los demas valores. ( ) ( )

(

)

(

)

(5)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Sustituyendo en la ecuacin (1) obtenemos el valor de ( ) ) ( ) ( ) (

(

)

Ahora sustituimos este valor en las dems ecuaciones y obtenemos los valores de los nodos restantes ( ( ( ( ( ) ) ) ) )

Comprobando el sistema de 6 ecuaciones en MatLab, primero tenemos la matriz con la ecuacin (6): .

[

][ ]

[

]

Ahora reemplazando la ecuacin (6.1): (6) en la matriz, obtenemos los mismos valores con MatLab.

por la ecuacin

[

][ ]

[

]

Analizando el nodo

: , podemos inspeccionar el nodo . y el potencial , por

Ya que conocemos el valor del nodo

En los extremos del resistor se encuentra el potencial lo tanto tenemos que:

Donde es la diferencia de potencial de la resistencia que es igual al producto de la corriente que circula por ella y el valor de la resistencia. ( )( )

Tenemos que el valor de

, entonces ( )

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto los valores de los nodos en el circuito son los siguientes

Anlisis con PSpice

**** 10/07/10 21:33:28 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 2\Practica02.sch **** CIRCUIT DESCRIPTION **** ******************************************************************************* Schematics Version 9.1 - Web Update 1 * Thu Oct 07 21:33:24 2010 ** Analysis setup ** .OP * From [PSPICE NETLIST] section of pspiceev.ini: .lib "nom.lib" .INC "Practica02.net"

**** INCLUDING Practica02.net **** * Schematics Netlist * V_V2 0 N7 6V H_H1 N4 N5 VH_H1 4 VH_H1 N7 N7_ 0V R_R2 N5 N2 0.005k R_R1 N1 N2 0.007k R_R3 N6 N3 0.004k E_E1 N2 N3 N6 N8 3 **** RESUMING Practica02.cir **** .INC "Practica02.als" **** INCLUDING Practica02.als **** * Schematics Aliases * .ALIASES V_V2 H_H1 VH_H1 R_R2 R_R1 R_R3 E_E1 _ _ _ _ _

V_V1 F_F1 VF_F1 R_R5 R_R6 R_R4 R_R7

N1_ N4 10V N8 0 VF_F1 2 N1_ N1 0V N7_ N4 0.001k 0 N5 0.002k N5 N6 0.003k N8 N6 0.006k

V2(+=0 -=N7 ) H1(3=N4 4=N5 ) H1(1=N7 2=N7_ ) R2(1=N5 2=N2 ) R1(1=N1 2=N2 ) R3(1=N6 2=N3 ) E1(3=N2 4=N3 1=N6 2=N8 )

V_V1 F_F1 VF_F1 R_R5 R_R6 R_R4 R_R7 _ _ _ _ _

V1(+=N1_ -=N4 ) F1(3=N8 4=0 ) F1(1=N1_ 2=N1 ) R5(1=N7_ 2=N4 ) R6(1=0 2=N5 ) R4(1=N5 2=N6 ) R7(1=N8 2=N6 )

_(N7=N7) _(N7.=N7_) _(N4=N4) _(N5=N5) _(N2=N2)

_(N1=N1) _(N3=N3) _(N6=N6) _(N8=N8) _(N1.=N1_)

.ENDALIASES **** RESUMING Practica02.cir **** .probe .END **** 10/07/10 21:33:28 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 2\Practica02.sch **** SMALL SIGNAL BIAS SOLUTION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE ( N1) ( N5) ( N1_) 4.6706 -2.6470 4.6706 ( N2) 2.3856 ( N6) -6.6458 ( N7_) -6.0000 ( N3) -9.3661 ( N7) -6.0000 ( N4) -5.3294 ( N8) -10.5630

VOLTAGE SOURCE CURRENTS NAME CURRENT V_V2 -6.706E-01 VH_H1 -6.706E-01 V_V1 -3.264E-01 VF_F1 3.264E-01 TOTAL POWER DISSIPATION 7.29E+00 WATTS **** 10/07/10 21:33:28 *********** Evaluation PSpice (Nov 1999) ************** * C:\Users\Fernando Ramos\Documents\ITM\Semestre III\Circuitos I\Prcticas\Prctica 2\Practica02.sch **** OPERATING POINT INFORMATION TEMPERATURE = 27.000 DEG C **** ****************************************************************************** **** VOLTAGE-CONTROLLED VOLTAGE SOURCES NAME E_E1 V-SOURCE 1.175E+01 I-SOURCE -6.801E-01 **** CURRENT-CONTROLLED CURRENT SOURCES NAME F_F1 I-SOURCE 6.529E-01 **** CURRENT-CONTROLLED VOLTAGE SOURCES NAME H_H1 V-SOURCE -2.682E+00 I-SOURCE -9.970E-01 JOB CONCLUDED TOTAL JOB TIME

.02

CONCLUSIONES: Error absoluto: Es la diferencia entre el valor experimental y el valor exacto. Puede ser positivo o negativo, segn si la medida es superior al valor experimental o inferior (la resta sale positiva o negativa). Las unidades del error absoluto son del mismo orden que los valores que intervienen en su clculo.

Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Pude ser positivo o negativo, esto lo determina el signo del error absoluto. No tiene unidades.

(

)

Los siguientes porcentajes de error se obtienen con los valores obtenidos con PSpice, estos corresponden a los valores experimentales. Los valores exactos corresponden a los valores obtenidos mediante el anlisis terico.Vn1 Vn2

(

)

(

)

Vn3 ( ( ) )

Vn4 ( ( ) )

Vn5 ( ( ) )

Vn6 ( ( ) )

Vn7 ( ( ) )

Vn8 ( ( ) )

1) El porcentaje de error entre el valor exacto y el experimental en todos los casos es casi cero o nulo, y esto es debido a ambos valores son aproximadamente iguales. 2) Cuando a un nodo de referencia le inciden corrientes, ya sea que este una fuente de corriente conectada en l o un resistor, se puede hacer analisis de nodos en dicho nodo, ya que se puede aplicar la LCK; Sin embargo, si solo se tiene conectada una fuente de voltaje en el nodo de referencia y ninguna resistencia o fuente de corriente conectada en serie con esta fuente de voltaje, entonces no se le puede aplicar analisis de nodos al nodo de referencia, ya que no existe supernodo si una terminal de ste se encuentra conectado a la referencia, y tampoco se conoceran sus corrientes. 3) En ocasiones especiales, hay circuitos que se pueden analizar ms fcilmente por el mtodo de anlisis de nodos que por el mtodo de anlisis de mallas; por ejemplo, el circuito de esta practica result ms til y rpido resolverlo por anlisis de nodos que por anlisis de mallas.

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS:I. II. III. Manual de Prcticas de Laboratorio de Circuitos Elctricos I; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniera Elctrica I.T.M. Circuitos Elctricos de CD; M. I. J. Luis Lemus D.; Departamento de Ingeniera Elctrica I.T.M. Fundamentos De Circuitos Elctricos; Charles K. Alexander & Matthew N. O. Sadiku; 3ra. Edicin; McGraw Hill