Practica 2 Series Fourier 2014

GUA DE EJERCICIOSMAT -315 TRANSFORMADAS INTEGRALES Mg. Sc. Ing. Rafael Valencia Goyzueta

1

PRACTICA 4 (Series de Fourier)Dada las seales peridicas, Hallar su expansin en series de Fourier, trigonometrica o exponencial.

202

2011

cos

A At

An

n

x sen w t

nw t

1 cos 2 t

8 cos cos 212 3 2t tf t 2

21

1 0

0

n

n par

n impar

A

nn nc

2 1 0

2 1 1,5,

2 1 3,7,

2 11

42 1

2 1 42 1

cos n w t

n

c

ntn

n

n

n

x a

a

3

35

5

1 22

sen tsen t

sen ttx

ndTndT

senAdn Tc

x(t)

t

A

T4

T2

T4

T2

-A

22 40 20

nAn n

n

c j senc

04 11

nw tt nn

x sen

n impar

2 1 042 11 n w tt nnx sen


2

x(t)

T

1

t2T-T

1 1 021

t nn

x sen nw t

12 2 2

16 n nt n

n

x sen t

12 2

1

nt n

n

x sen t

2 2

02

1

0An nn

A A

n

c j nsen nw t

x tn

11

12

n

t nn

x sen nt

2 2 032 21

nw tntn

n

x sen sen

n impar

x(t)

t

2

-2

T= 6t1=

t1-t1

2 2 024 31

nw tntn

n

x sen sen

n impar

2 2

3

23612 6

1

10 23 3cos

nnt

nn

n

x sen k

k nt n

2 2

3

1812

1

103 31 cos cos

ntn

n

nn

x k

k nt


3

0.6321

1 2

2

n njn

c n

arctg n

24 4

0 4

sin

0

nAn

An

c c

c

x(t)

t--2

t

2cos 2 14

2 2 11

n tt

nn

x

2

21

31

4 cosn

nttn

n

x

n impar

2 2

1 22

0 3

0

2

njn

n

An

c A n n

c arctg n

ncontrar la representacin en series de Fourier de las siguientes funciones:

1

Con simetra demedia ondaimpar, conperiodo 11T

9 cos 0,tf t

Con funciones senonicamente

28 4 11 2n

tn

n

f sen nt

2

Peridica queresulta de lacomponenteimpar de f t alhacer 10T

10 0,tf t

Con funciones senonicamente

11

2t nn

f sen nt

3

Correspondiente aterminos seno defrecuencia8 163 3, ,8, para 8 f t f t

11

14 2

4 2

0t

t tx t

t t

Con funciones cosenonicamente

2 1161

cost nn

f nt

Resolver los siguientes problemas.1. Determinar la serie de Fourier

cos 20 1 40

t

e t tx t x t x t

otros

24

4

310 4

0 3

x t x tsen t t

x totros x t x t

2. Hallar la serie trigonometrica de Fourier con armnicos coseno nicamente de frecuencia 1,3,5,7,w de

la fundn peridica obtenida de 84

10cos 2

tf t t P

3. Encontrar la serie compleja de Fourier de tf t e en 0,2 y 2f t f t por integracin directa yreducir este resultado a su forma trigonometrica


4

2 2 21 11 1 12 1 2 11: cosjnte e

nj nn n

Rpta f t e f t nt n sen nt

4. Aproximar la funcin f t mediante una serie trigonometrica de Fourier y calcular el error cuadrtico medio:

f t t en el intervalo , con cinco trminos que sean diferentes de cero : 0.363Rpta E 5. Al desarrollar la funcin 2cos cos 2 tf t e sen t en series de Fourier, Para cuantos trminos de la

serie finita se comete un error del: 20.207 % 3.9849 % 0.429 %6. Hallar el error que se comete al aproximar una funcin mediante la serie trigonometrica de Fourier.7. Una seal peridica continua x t real, tiene un periodo de 8 segundos. Los nicos coeficientes de Fourier

no nulos son 1 1 3 32 4C C C C j . Exprese x t en funcin de sinusoides.8. Los coeficientes de Fourier de una seal peridica x t de periodo 8T son 1 16k , 3 32k j ,

5 32k j y 7 16k . Los restantes coeficientes son cero. Escribir esta seal en la forma: 1 1 2 2cosx t m t m sen t

Resolver las siguientes aplicaciones de la serie de Fourier.1. A un sistema cualquiera se le aplica una seal de

entrada x t u t y en la salida se obtiene una seal 2y t t , para mostrar la salida en forma grafica se

utiliza un osciloscopio de aproximacin, para dichaaproximacin se utilizan cuatro funciones de Walshdefinidas en el intervalo 0,8 tal como muestra en lafigura. Calcular el error que se comete en el intervalo alaproximar la funcin y t

2. Para el sistema que se muestra hallar el quinto armnico:

1 2, 2

x t ch t x t sh tt

3. Hallar las corrientes de malla con

1 2 0m m para el sistema mecnicomostrado:

4. Hallar la serie del movimiento de la masacuando la fuerza f t se desplaza a

f t : 2 4 02

1

1: cos 2

1 4A A

n

Rpta f t nw tn

fb(t)

t

A

-T

A sen( t)

T2

T2

k

M2 f (t)

5. Considere la sinusoide rectificada de onda completa de lafigura: Determine los espectros de magnitud y fase Calcule la potencia de la seal Dibuje la densidad espectral de potencia Compruebe la relacin de Parseval para esta seal


5

6. Hallar el tercer armnico que activa el circuito mostrado en lafigura, justificar la respuesta:

3 0 12 1 2 34 2 3

i i i

t

v t t v t v t

t

7. Obtener mediante series de Fourier la salida del circuito.

8. Representar mediante series de Fourier la salida en estado estacionario de los circuitos adjuntos

2 2 2240

201

2 2 20

: 6 nn nn

n n nn

Rpta y t k

k sen t arctg

1

22 11:

0

n

n njnn imparRpta c

n par

2 21 2 12 11

: imparnnn

n

Rpta y t kn

k sen n t arctg n

Determine la serie exponencial (o trigonometrica) de Fourier de las siguientes seales peridicas y dibuje suespectro.

1. 2 32 4cos 50 12cos 100x t t t 2. 4cos 2 1000 cos 2 750000x t t t 3. 12cos 1x t t sen t 4.

32

sen t sen tx t

sen t

5. 2 3 116cos : 2cos cos 3 cos 5x t sen t t Rpta x t t t t 6. 4 4 2 2 4116: 4 6 4jt jt jt jtx t sen t Rpta x t e e e e


6

7. 3 54 43 1 14 2 2cos : j jt tx t t Rpta x t e e 8. 23cos 1 :n

n

x t t t n Rpta

Dibujar los espectros unilateral y bilateral de la seal:

1 45cos 6x t t 3 4cos 5x t t 5 62 10x t sen t 2 2 23 5cosx t t sen t 4 2 23 5cosx t t sen t 6 34 2x t sen t Dibujar los espectros de de potencia de las seales, tomando seis componentes de cada lado del origen:

te

Si las tres seales se aplican aun filtro pasabajo de ganancia unitaria y ancho de banda 1400B Hz , y centrado en1500cf Hz hallar las potencias de salida

Calcular y representar los espectros de magnitud y fase de las seales:

1 00 0

atAe tx t

t

3 1

0

tt

x t

otros

2 1 12 0 Tx t t t T x t T x t 4 a tx t AeObtener las sumas siguientes:

12

21

16

n n

5

1 22

1

112

n

n n

8

1 2

31

1322 1

n n

2 2

21

182 1

n n

6 1

1

12 1 4

n

nn

9

6

61

19692 1

n n

3 4

41

1962 1

n n

74

41

190

n n

10

6

61

1945

n n

41 1 11

4 3 5 7

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