Práctica 2 Vibraciones libres con y sin amortiguamiento 

 

Esta práctica está formada por un conjunto de ejercicios realizados sobre un sistema sencillo, 

una viga en voladizo sometido a vibraciones libres con y sin amortiguamiento. El objetivo es 

insistir en los conceptos básicos de las vibraciones libres, realizando el análisis modal para 

obtener las frecuencias naturales y los modos de vibración, pero ahondando además en la 

forma en que estos afectan al comportamiento dinámico del sistema. Para ello se analizará la 

evolución en el tiempo del sistema cuando se le somete a diferentes condiciones iniciales, 

analizando la respuesta del sistema en el tiempo (análisis transitorio). ANSYS dispone de varios 

métodos para realizar el análisis transitorio, de los cuales se van a ver los comandos y opciones 

del análisis completo y de la superposición modal, comentando las ventajas y limitaciones 

básicas de cada uno de ellos. 

Por último, se pretende hacer una introducción al manejo básico del amortiguamiento. El 

efecto del amortiguamiento en el comportamiento dinámico de un sistema tiene un valor 

variable, siendo especialmente importante cuando el sistema funciona en situaciones cercanas 

a las de resonancia. Un sistema dinámico puede tener diversos tipos de amortiguamiento. Aquí 

nos limitaremos a ver los métodos y parámetros que ANSYS tiene para manejar los tipos de 

amortiguamiento más sencillos y habituales. 

 

Vibraciones libres  

Ejercicio 1. Frecuencias naturales y modos de vibración de una viga en voladizo 

Se trata de realizar el análisis modal de una viga en voladizo para obtener sus frecuencias 

naturales y modos de vibración. Se trata de una viga de 1 m de longitud con una sección 

constante que es un cuadrado de 1 cm de lado, que está fabricada de un acero de E = 210 GPa 

y tiene una densidad de 7800 Kg/m3. 

La viga se va a modelar con 10 elementos finitos tipo viga y se van a realizar el análisis modal 

para obtener los 30 primeros modos y frecuencias empleando el método de Lanczos. Teniendo 

en cuenta que la malla tiene sólo 10 elementos, pretende observarse la importancia del error 

en los modos más altos. El error se hace visible simplemente observando las formas de los 

modos. 

El porcentaje de error puede calcularse a partir de los valores teóricos exactos de las frecuen‐

cias naturales, o también repitiendo el análisis modal sobre un modelo de la viga con una malla 

exageradamente fina (100 o 200 elementos). 

 

   

PREPROCESADOR 

DEFINICIÓN DEL TIPO DE ANÁLISIS 

Preferences/   Structural   h‐Method  

DEFINICIÓN DE LOS ELEMENTOS A UTILIZAR Y SUS PROPIEDADES 

Preprocessor/ 

TIPO DE ELEMENTO Element Type/    Add/Edit/Delete/       Add... 

SETS DE CONSTANTES Real Constants/    Add/Edit/Delete/       Add...

MATERIAL  Material Props/ 

    

1 

Viga 3D: Beam 2D elastic 3    

Options…  

1 

Choose element type Type 1 BEAM3  AREA         1e‐4 IZZ             1e‐8/12 HEIGHT    1e‐2 

1 

Definir material (acero): Material Models/ ‐ New Model    ‐ Structural/Linear/       Elastic/Isotrophic          E = 210.0e9 N/m2 

          = 0.3    ‐ Density/ 

          =7850 kg/m3  

CREACIÓN DE LA GEOMETRÍA 

Se definen dos rectángulos y un círculo de cuya combinación booleana se obtiene la geometría 

del apoyo: 

‐ Parámetros que definen los rectángulos: 

Modeling: ‐ Create/Keypoints/In Active CS (Introducir coordenadas y nº de punto) 

 

Keypoint X Y Z 1 0 0 0 2 1 0 0

 

‐ Unir puntos para hacer el contorno: 

‐Create/Lines/Lines/Straight Line (Seleccionar keypoints 1 y 2)  

   

MALLADO 

Meshing/MeshTool 

‐ Características de la malla que se va a crear (estos comandos pueden ejecutarse también 

desde el menú Preprocessor/Meshing): 

  ‐ Atributos de elemento para la línea seleccionada: 

Element Attributes/Lines/Set: MAT 1, REAL 1, TYPE 1 BEAM3  

‐ Tamaño de elemento para las áreas que se seleccionen 

Size Cntrls /Lines/ Set (Seleccionar la línea y en asignar 10 a NDIV – número de 

elementos en que se va a dividir la línea)  

‐ Mallado línea: 

  Mesh/Lines, (Pulsar Mesh y Seleccionar la línea)  

 

CONDICIONES DE CONTORNO 

Loads 

‐ Condiciones de apoyo en el extremo empotrado de la viga (keypoint 1): 

‐ Ligar todos los gdls del keypoint: 

Loads/Define Loads/Apply/Structural/Displacement/On Keypoints:  

  Selecciona el keypoint izquierdo (1). 

  ALLDOF todos los gdl. 

VALUE 0 

  

PROCESADOR 

‐ Para hacer el análisis modal: 

    Solution: 

‐ Definir análisis 

  Analysis Type/New Analysis/Modal 

‐ Especificar algoritmo y parámetros del mismo: 

  Analysis Options/Block Lanczos/  

30 modos, o rango de 0 a 0 Hz (sin límites) 

Normalizar a la matriz de masas 

‐ Resolver: 

  Solve/Current LS 

 

   

POSTPROCESADOR 

 

‐ Para ver resultados del análisis modal: 

     ‐ Lista de modos obtenidos y frecuencias: 

Results Summary  

     ‐ Para obtener gráficos y animaciones de los modos: 

Results Viewer/ 

‐ Seleccionar el número de modo con el “slider” 

‐ Para ver la forma del modo: 

  ‐ Choose a result item/ 

Nodal Solution/DOF Solution/Displaced Structure 

  ‐ Botón Plot Results (Para ver la deformada) 

  ‐ Botón Animate Results (Para ver la animación) 

    Mode Shape 

No. of  frames  to  create  (nº de posiciones  intermedias  entre  el máximo  y  el 

mínimo de desplazamiento del modo) 

Time Delay (cuanto menor, más rápido) 

‐  Para  detener  la  animación  y  cambiar  de modo  hay  que  cerrar  la  ventana 

Animation Control(Close) 

‐ Para ver los vectores de desplazamiento modal o el gráfico contour: 

  ‐ Choose a result item/ 

Nodal Solution/DOF Solution/Displacement vector sum 

‐ Elegir Contour o Vector 

‐ Plot Results 

 

 

   

Ejercicio 2. Excitar el primer modo con las condiciones iniciales adecuadas 

Los modos de vibración definen la forma que adopta el sistema cuando todas sus partículas 

vibran de forma síncrona con la misma frecuencia. Para conseguir que un sistema vibre de 

forma libre con la frecuencia de uno de los modos de vibración, es necesario que, al defor‐

marlo para sacarlo de su posición de equilibrio, adopte la forma del modo correspondiente. 

En este ejercicio se quiere obtener la respuesta de una viga en voladizo ante unas condiciones 

iniciales. Tras liberar la viga, se analizará su evolución en el tiempo, para lo que se realizará un 

análisis de tipo transitorio. El objetivo de un análisis transitorio  es determinar la respuesta a lo 

largo del tiempo, de un sistema sometido a la acción de cargas que pueden ser variables 

(armónicas o no) o constantes. En general, un análisis transitorio es un problema de respuesta 

forzada en el tiempo, pero como en este caso la causa del movimiento son unos desplazamien‐

tos iniciales, se trata de un caso de vibraciones libres. 

El resultado demuestra que cuando las condiciones iniciales coinciden con los desplazamientos 

de un modo de vibración, la viga ofrece una respuesta armónica y vibra con la frecuencia 

natural correspondiente a ese modo. En el ejercicio 3 comprobaremos que cuando los despla‐

zamientos no se corresponden con la forma de ningún modo, el movimiento está definido por 

una combinación de modos. 

ANSYS dispone de tres métodos para hacer un análisis transitorio: Full, Reduced y Mode 

Superposition. Para este ejercicio se va a utilizar el método Full dado que es el único que deja 

introducir condiciones iniciales diferentes de cero. 

El modelo de elementos finitos que se va a utilizar en este ejercicio es el mismo que se empleó 

en el ejercicio anterior, por lo que el esquema del ejercicio comienza en el procesador. 

Durante el postprocesado se utilizarán comandos del TimeHist Postpro para mostrar gráficos 

de la respuesta en el tiempo de puntos clave de la viga. 

 

 

   

PROCESADOR 

‐ Para hacer el análisis transitorio: 

    Solution: 

‐ Definir análisis 

  Analysis Type/New Analysis/Transient/OK 

  Solution method: Full 

  ‐ Introducir las condiciones iniciales 

  Define Loads/Apply/Initial Condit’n/Define (selecciona uno a uno los nudos de la viga) 

     DOF to be specified: UY 

                  Initial value of DOF: (introduce el desplazamiento para cada nudo) 

   ‐ Especificar algoritmo y parámetros del mismo: 

  Analysis Type/Solution Controls 

Basic 

     Analysis Options: Small Displacement Transient 

     Time Control: 

  Time at end of loadstep: 1 

  Automatic Time Stepping: OFF 

  Number of substeps: Number of substeps: 500 

    Write Items to Result File 

  Basic Quantities 

  Write every substep 

Transient 

     Full Transient Options 

  Transient effects 

  Stepped Loading 

    Damping Coefficients (Rayleigh) 

  =0, =0      Time Integration 

  Newmark Algorithm 

  Amplitude Decay: =0.005 Solution Options 

     Program Chosen Solver 

 

‐ Resolver: 

  Solve/Current LS 

 

   

POSTPROCESADOR 

 

‐ Para ver resultados del análisis modal: 

     ‐ Igual que en el ejercicio anterior 

 

‐ Para ver resultados del análisis de respuesta forzada: 

     ‐ Para obtener la animación de la respuesta forzada: 

Results Viewer/ 

‐ Para ver el movimiento en el tiempo: 

  ‐ Choose a result item/ 

Nodal Solution/DOF Solution/Displaced Structure 

  ‐ Botón Animate Results (Para ver la animación) 

    Over Time 

No. of animation frames: 100 

Model Result Data: Time Range Min 0, Max 1 

Animation Time Delay 0.1 s 

Contour Data for Animation: 

  DOF Solution 

  Translation UY 

‐ Para detener la animación, cerrar la ventana Animation Control (Close) 

 

     ‐ Para obtener un gráfico de la respuesta en el tiempo de un nudo de la viga: 

Results Viewer/ Time History Variable Viewer 

         ‐ Time History Variables/Pulsar Add Data (+) 

        ‐ Add Time History Variable/Nodal Solution/DOF solution/Y‐Component of Displ./OK 

          (Seleccionar el nudo del extremo libre de la viga) 

      ‐ Repetir el proceso y seleccionar un nudo intermedio de la viga. 

      ‐ Seleccionar las variables a visualizar y pulsar Graph Data o List Data. 

 

 

   

Ejercicio 3. Respuesta cuando las condiciones iniciales no coinciden con ningún modo 

En este caso la respuesta corresponde a la combinación de las respuestas de varios modos de 

acuerdo con un factor de participación que depende de la similitud entre la posición inicial  y la 

forma de cada modo. 

En este ejercicio sólo es preciso modificar las condiciones iniciales del ejercicio anterior. 

 

Vibraciones libres amortiguadas  

El amortiguamiento es el proceso a través del cual un sistema dinámico disipa parte de su 

energía, provocando la reducción de la amplitud del movimiento. Existen diferentes tipos de 

amortiguamiento:  

‐ Viscoso, relacionado con la resistencia de un cuerpo a moverse dentro de un fluido y 

es en el que se basa el funcionamiento de los amortiguadores de un vehículo. 

‐ De Coulomb, producido por la fricción entre cuerpos. 

‐ Estructural, que se produce por la fricción interna del material o en las uniones de los 

elementos del sistema.  

Una de las formas más sencillas de introducir el amortiguamiento en un sistema es el de 

Rayleigh, en el que se definen la matriz de amortiguamiento en función de dos factores de 

proporcionalidad,  y , aplicados a la matriz de masas y a la de rigidez respectivamente. Esto 

permite desacoplar las ecuaciones de equilibrio empleando la transformación basada en los 

modos de vibración. 

 

Ejercicio 4. Viga en voladizo con amortiguamiento de Rayleigh 

En estos ejercicios se van introducir los valores de  y  calculados a partir de los amortigua‐

mientos relativos calculados para dos frecuencias naturales y se comprobará cómo afectan a la 

respuesta del sistema. Es importante tener en cuenta la dependencia de estos valores con la 

frecuencia, mientras que estos valores son únicos en un análisis por lo que en un caso en el 

que se excitan varios modos de vibración es importante tener en cuenta el valor que estos 

valores tendrían para el modo que más contribuye al movimiento. 

Conclusiones: Se observa que el desplazamiento es armónico,  con una frecuencia de 8hz, que 

es precisamente la primera frecuencia natural, y es que con esas condiciones iniciales hemos 

excitado esa frecuencia. Usar el results viewer del general postprocesor para ver la deformada 

a lo largo del tiempo. Por otro lado, el amortiguamiento hace que la respuesta se atenúe, es 

decir que la amplitud decrezca con el tiempo. Si las condiciones iniciales no excitaran ningún 

modo en particular, el desplazamiento sería suma de armónicos, e igualmente el 

amortiguamiento haría que se atenúe con el tiempo. 

 

Ejercicio 5. Viga en voladizo con un elemento amortiguador 

Planteamiento: Excitar el primer modo con las condiciones iniciales correspondientes, con 

amortiguamiento no proporcional, introduciendo un elemento amortiguador en el medio. 

Tipo de análisis: Transient analysis (Full). 

Objetivos: Aprender a introducir elementos discretos de amortiguación en el modelo. 

Observar el efecto del amortiguamento no proporcional comparando con el resultado del 

ejercicio 4 (mismo planteamiento pero con amortiguamiento porporcional) 

Conclusiones conceptuales: Se observa que el desplazamiento es harmónico,  con una 

frecuencia de 8hz, que es precisamente la primera frecuencia natural, y es que con esas 

condiciones iniciales hemos excitado esa frecuencia. Usar el results viewer del general 

postprocesor para ver la deformada a lo largo del tiempo. Por otro lado, el amortiguamiento 

hace que la respuesta se atenué, es decir que la amplitud decrezca con el tiempo. Sin 

embargo, se ve que los desplazamientos de los nodos 2 (extremo libre de la viga) y 6 (mitad de 

la viga) no van en fase. Es decir, no alcanzan su desplazamiento máximo ni su desplazamiento 

nulo a la vez. Se observa que el nudo 2 alcanza el desplazamiento nulo entre los instantes 

0.040 y 0,042, mientras que nudo 6 lo alcanza entre los instantes 0,048 y 0,050. Si dibujamos la 

deformada en el instante 0,042, se ve claramente como el nudo 2 ha pasado de largo del 

mínimo mientras que el nudo 6 todavía no ha llegado. Si las condiciones iniciales  no excitaran 

ningún modo en particular, el desplazamiento sería suma de harmónicos, e igualmente el 

amortiguamiento haría que se atenúe con el tiempo. La no proporcionalidad haría que los 

puntos no vayan en fase.