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Practica 4

Respuesta en el Dominio del Tiempo

4.1. Objetivos.-

Analizar sistemas de primer y segundo orden.

Hallar la respuesta de sistemas ante entradas tpicas.

Conocer como el sistema se comporta en estado estable.

4.2. Marco Terico.- Respuesta escaln unitario de sistemas de primer orden. Dado que la transformada de Laplace de la funcin escaln unitario es 1/s, sustituyendo R(s) = 1/s obtenemos:

sTssC

1

1

1)(

Si tomamos la transformada inversa de Laplace de la ecuacin obtenemos:

Ttetc /1)( , 0. tpara

La ecuacin anterior plantea que la salida c(t) es inicialmente cero y al final se vuelve unitaria. Una caracterstica importante de tal curva de respuesta exponencial c(t) es que, para t=T, el valor de c(t) es 0.632, o que la respuesta c(t) alcanzo 63.2% de su cambio total. Esto se aprecia con facilidad sustituyendo t=T en c(t). Es decir,

632.01)( 1 eTc

Observe que, conforme mas pequea es la constante de tiempo T, mas rpida es la respuesta del sistema. Otra caracterstica importante de la curva de respuesta exponencial es que la pendiente de la lnea de tangente en t=0 es 1/T, dado que,

Te

Tdt

dc

t

Tt 11

0

/

La respuesta alcanzara el valor final en t=T si mantuviera su velocidad de

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respuesta inicial. A partir de la ecuacin anterior vemos que la pendiente de la curva de respuesta c(t) disminuye en forma monotonica de 1/T en t=0,

La curva de respuesta exponencial c(t) aparece en la figura anterior. En una constante de tiempo, la curva de respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2% del valor final. En dos constantes de tiempo, la respuesta alcanza el 86.5% del valor final. En t = 3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza 95, 98.2 y 99.3%, respectivamente, del valor final. Por tanto, para t = 4T, la respuesta permanece dentro del 2% del valor final. El estado estable se alcanza matemticamente solo despus de un tiempo infinito. Sin embargo en la prctica, una estimacin razonable es la longitud de tiempo que necesita la curva de respuesta para alcanzar la lnea de 2% del valor final, o cuatro constantes de tiempo. SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN.- La funcin de transferencia de un sistema de segundo orden se expresa como:

El comportamiento dinmico del sistema de segundo orden se describe a

continuacin en trminos de dos parmetros y n .

El valor de toma diferentes valores dependiendo de su ubicacin en el plano s.

El semiplano izquierdo del plano s corresponde a un amortiguamiento positivo 0 , esto causa que la respuesta escaln unitario establezca un

valor final constante en el estado estable debido al exponente negativo

)( tn . Por lo tanto el sistema es estable.

El semiplano derecho del plano s corresponde a un amortiguamiento negativo 0 . El amortiguamiento negativo da una respuesta que crece

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en magnitud sin lmite de tiempo, por lo tanto el sistema es inestable.

El eje imaginario corresponde a un amortiguamiento de cero 0 . Este

resulta en una amortiguacin sostenida, y el sistema es marginalmente estable o marginalmente inestable.

Si 10 , los polos en lazo cerrado son complejos conjugados y se encuentran

en el semiplano izquierdo del plano s. El sistema, entonces se denomina subamortiguado y la respuesta transitoria es oscilatoria. Si 1 , el sistema se denomina crticamente amortiguado.

Los sistemas sobreamortiguados corresponden a 1 .

La respuesta transitoria de los sistemas crticamente amortiguados y sobreamortiguados no oscila. Si 0 , la respuesta transitoria no se amortigua.

Ahora se obtendr la respuesta transitoria para tres casos diferentes a una entrada escaln unitaria. a). Caso subamortiguado )10( : en este caso, )(/)( sRsC se escribe como

))(()(

)(2

dndn

n

jsjssR

sC

En donde 21 nd , es la frecuencia natural amortiguada.

Los polos del sistema se encuentran en:

dnn jjs 2

2,1 1

b). Caso crticamente amortiguado )1( : si los dos polos son casi iguales, el

sistema reaproxima mediante uno crticamente amortiguado. Los polos se encuentran ubicados en:

ns 2,1

c). Caso sobreamortiguado )1( : en este caso, los dos polos son reales,

negativos y diferentes.

122,1 nnp

Definiciones de las especificaciones de respuesta transitoria. En muchos casos prcticos, las caractersticas de desempeo deseadas del sistema de control se especifican en trminos de cantidades en el dominio del tiempo. Los sistemas que pueden almacenar energa no responden instantneamente y exhiben respuestas transitorias cada vez que estn sujetos a entradas o perturbaciones. Con frecuencia, las caractersticas de desempeo de un sistema de control se especifican en trminos de la respuesta transitoria para una entrada escaln unitario, dado que esta es fcil de generar y es suficientemente drstica. (si se conoce la respuesta a una entrada escaln, es matemticamente posible calcular

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la respuesta para cualquier entrada). La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escaln unitario depende de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar las respuestas transitorias de varios sistemas, es una practica comn usar la condicin inicial standar de que el sistema esta en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las caractersticas de respuesta se comparan con facilidad. La respuesta transitoria de un sistema de control prctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las caractersticas de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escaln unitario, es comn especificar lo siguiente:

1. Tiempo de retardo, td 2. Tiempo de levantamiento crecimiento, tr 3. Tiempo pico tp 4. Sobrepaso mximo, Mp 5. Tiempo de asentamiento, ts

Estas especificaciones se muestran en forma grafica a continuacin:

El error en estado estable se define como: Para una entrada paso:

p

pK

E

1

1 GHLimK sp 0

Para una entrada rampa:

v

vK

E1

sGHLimK sv 0

Para una entrada parablica:

a

aK

E1

GHsLimK sa2

0

Los errores en estado estable quedan resumidos de la siguiente manera:

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4.3. Trabajo Preparatorio.- 4.3.1. Obtenga analticamente la constante de tiempo, el tiempo de

crecimiento, el tiempo de establecimiento, el error en estado estable para una entrada tipo paso y realice un bosquejo de la respuesta paso, si kR 81 kR 42 FC 4 :

4.3.2. El modelo simplificado de un sistema mecnico rotacional, se

representa en la siguiente figura:

Si J = 5 Kgm2 (momento inercial)

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B = 6 Nm/rad/seg (coeficiente de friccion viscosa) W = velocidad angular rad/seg. T = torque Nm. Determine la funcin de transferencia del sistema, y bosqueje la grafica de la velocidad vs. Tiempo, si la entrada del sistema es un escaln unitario. 4.3.3. Obtenga analticamente la frecuencia natural, factor de

amortiguamiento, mximo sobrepico, tiempo de crecimiento, tiempo de establecimiento, error en estado estable del siguiente sistema (suponga H = 1):

2 1 2s+1 s+3

4.4. Trabajo Practico.- 4.4.1. Utilice Matlab y LabView para obtener la salida del sistema ante una

entrada paso y una entrada rampa del ejercicio 4.3.1, compare el resultado con el obtenido analticamente.

4.4.2. A partir del ejercicio 4.3.1 genere las familias de curvas para los

siguientes casos, compare el tiempo de establecimiento, y el error en estado estable:

a) R1=R2=2k C= 7F b) R1=1K R2=2k C=7F c) R1=2K R2=1k C=7F d) R1=1K R2=2k C=70F

4.4.3. Obtenga la respuesta a la entrada que se indica a continuacin para el sistema mecnico rotativo del ejercicio 4.3.2.

Entrada del Sistema vs. tiempo

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4.4.4. Mediante Matlab y LabView obtenga los siguientes parmetros del ejercicio 4.3.3

a) Tiempo de retardo, td b) Tiempo de levantamiento crecimiento, tr c) Tiempo pico, tp d) Sobrepaso mximo, Mp e) Tiempo de asentamiento, ts f) Error en estado estable.

4.4.5. Que sucede si la realimentacin H es igual a 3 para el literal anterior?

Cual es el error absoluto y el error actuante?. Obtenga los parmetros del literal 4.4.4

4.5. Informe.- 4.5.1. Utilizando Matlab y LabView, dibuje la respuesta a una entrada impulso,

escaln unitario, rampa y una entrada tipo ruido del sistema del literal 4.4.4

4.5.2. Realice un archivo .m en MatLab y programa en LabView que permita

apartir de una funcin de transferencia de segundo orden se pueda obtener los siguientes parmetros:

a) Tiempo de retardo, td b) Tiempo de levantamiento crecimiento, tr c) Tiempo pico, tp d) Sobrepaso mximo, Mp e) Tiempo de asentamiento, ts f) Error en estado estable.

4.5.3. A los archivos tem 4.5.2 agregue la opcin de graficar la respuesta a

una entrada paso y una entrada rampa. 4.5.4. Anlisis de los resultados obtenidos en la parte practica. 4.5.5. Conclusiones y recomendaciones.

4.6. Bibliografa.-

Katsuhico Ogata, Ingeniera de Control Moderna, cuarta edicin, Prentice Hall. Manual de Matlab.