REDES DE COMPENSACION ATRASO MEDIANTE LUGAR GEOMETRICO DE RAICES

1. OBJETIVOS

1.1 Conocer las diferentes técnicas de compensación de sistemas de control.

1.2 Realizar el ajuste de ganancia mediante LGR, para satisfacer un error en estado estable.

2. FUNDAMENTO TEORICO

Método de diseño de controlador en atraso.

1. Ubicar el polo dominante de lazo cerrado:

FT de lazo abierto: ( )G s

FT de lazo cerrado:

( ) ( )

( ) 1 ( )

C s G s

R s G s

2. Función de transferencia del compensador en atraso:

1

( )1c

sTG s Kc

sT

3. Cálculo del error estático de velocidad Kv

Sistema no compensado

0lim ( )s

Kv sG s

Sistema compensado

0lim ( ) ( )cs

K v sG s G s

4. Determinar el polo y cero del compensador

5. Dibujar el lugar geométrico de raíces y ubicar el polo dominante del sistema compensado

6. Aplicar condición de magnitud para finalmente tener la ganancia del compensador:

7. Finalmente observamos las respuesta en el tiempo del sistema compensado y sin

compensar al una entrada rampa e impulso:

3. TRABAJO EXPERIMENTAL

3.1 Dado el sistema:

2

1( )

6G s

s s

Diseñe un compensador de atraso ( )cG s tal que la constante de error estático de velocidad

Kv, mayor a 50 seg-1 sin modificar notablemente la ubicación de los polos en lazo cerrado

originales, que están en s=-2+j2.5

8. Ubicar el polo dominante de lazo cerrado:

FT de lazo abierto:

2

1( )

6G s

s s

FT de lazo cerrado:

2

( ) ( ) 1 1

( ) 1 ( ) 6 1 ( 0.172)( 5.828)

C s G s

R s G s s s s s

Polo dominante: s=-0.172

9. Función de transferencia del compensador en atraso:

1

( )1c

sTG s Kc

sT

10. Cálculo del error estático de velocidad Kv

Sistema no compensado

1

0 0

1 1lim ( ) lim 0.167

( 6) 6s sKv sG s s s

s s

Sistema compensado

0 0

1 1lim ( ) ( ) lim 50

1 ( 6)c c

s s

sTK v sG s G s s K

s T s s

50

50

300

v c v

v

K K K

K

Entonces el compensador queda:

1

( )1

300

c

sTG s Kc

sT

11. Determinar el polo y cero del compensador

Tomamos un valor de T=20:

Cero:

10.05s

T

Polo:

411.67 10s x

T

12. Dibujar el lugar geométrico de raíces y ubicar el polo dominante del sistema

compensado

En este caso nos piden el polo:

s=-2+i*2.5

13. Aplicar condición de magnitud para finalmente tener la ganancia del compensador:

2 2.5

( 6)( 0.00167)15.248

0.05 s j

s s sKc

s

-3.4 -3.3 -3.2 -3.1 -3 -2.9 -2.8 -2.7 -2.6

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.9920.994

0.996

0.997

0.998

0.999

1

0.9890.9920.994

0.996

0.997

0.998

0.999

1

2.62.833.23.4

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

14. Finalmente observamos las respuesta en el tiempo del sistema compensado y sin

compensar al una entrada rampa e impulso:

Verde: entrada

Azul: sin compensar

Rojo: compensado

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

3.2 Dado el sistema dado por:

1( )

( 4)G s

s s

Diseñe un compensador de atraso ( )cG s tal que la constante de error estático de velocidad

Kv, mayor a 20 seg-1 sin modificar notablemente la ubicación de los polos en lazo cerrado

originales, que están en s=-2+j3.4

1) Ubicar el polo dominante de lazo cerrado:

FT de lazo abierto:

2

16( )

4G s

s s

FT de lazo cerrado:

2

( ) ( ) 1 1

( ) 1 ( ) 4 1 ( 2 3.46 )( 2 3.46)

C s G s

R s G s s s s i s

Polo dominante: s=-2+j3.46

2) Función de transferencia del compensador en atraso:

1

( )1c

sTG s Kc

sT

3) Cálculo del error estático de velocidad Kv

Sistema no compensado

1

0 0

16lim ( ) lim 4

( 4)s sKv sG s s s

s s

Sistema compensado

0 0

1 16lim ( ) ( ) lim 20

1 ( 4)c c

s s

sTK v sG s G s s K

s T s s

20

20

5

v c v

v

K K K

K

Entonces el compensador queda:

1

( )1

5

c

sTG s Kc

sT

4) Determinar el polo y cero del compensador

Tomamos un valor de T=20:

Cero:

10.05s

T

Polo:

10.01s

T

5) Dibujar el lugar geométrico de raíces y ubicar el polo dominante del sistema

compensado

En este caso nos piden el polo:

s=-2+j3.4

6) Aplicar condición de magnitud para finalmente tener la ganancia del compensador:

2 3.4

( 4)( 0.01)0.9775

16( 0.05)s j

s s sKc

s

-2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6 0.920.940.9560.968

0.98

0.989

0.995

0.999

0.920.940.9560.968

0.98

0.989

0.995

0.999

1.41.61.822.22.42.6

Root Locus

Real Axis

Imagin

ary

Axis

7) Finalmente observamos las respuesta en el tiempo del sistema compensado y sin

compensar al una entrada rampa e impulso:

Verde: entrada

Azul: sin compensar

Rojo: compensado

1 2 3 4 5 6

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

11.9 12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8

11.7

11.8

11.9

12

12.1

12.2

12.3

12.4

12.5

12.6

Step Response

Time (sec)

Am

plit

ude

3.3 Dado el sistema por:

( )( 10)( 50)

kG s

s s s

Se desea compensar el sistema para que el coeficiente de amortiguamiento sea 0.5 y error en

estado estacionario menor a 0.01

3.4 Realizar un programa en MATLAB, que compense en adelanto y atraso, en función a

las especificaciones del problema. Verificar los resultados de los casos anteriores.

clear all n=input('ingrese el num de ft n='); d=input('ingrese el den de ft d='); pd=input('ingrese el polo deseado pd='); la=tf(n,d); lc=feedback(la,1); %Polo dominante de la ft p=esort(pole(lc)) pdom=p(1) %Factor de amortiguamiento y frecuencia natural x=-real(pdom); y=imag(pdom); e=x/(sqrt(x^2+y^2)); %calculo de beta syms s num=poly2sym(n,s); T=15; den=poly2sym(d,s); gs=num/den; kvc=input('Error estatico de velocidad deseado kv='); kvs=limit(s*gs,0); kv=sym2poly(kvs); beta=kvc/kv %Calculo del cero y polo del compensador T=20; c=1/T; cero=-c p=1/(beta*T); polo=-p %Lugar de raices del sistema sin compensar figure(1) rlocus(n,d,'b') hold grid %Funcion de transferencia del compensador nc=[1 c]; dc=[1 p]; %Funcion de transferencia del sistema compensado nsc=[conv(nc,n)];

dsc=[conv(dc,d)]; rlocus(nsc,dsc,'r') hold off if pd==0 s=pdom else s=pd end %Calculo de la ganancia Kc=1/(abs(polyval(conv(n,nc),s))/(abs(polyval(conv(d,dc),s)))) disp('Funcion de transferencia del compensador') func_comp=Kc*tf(nc,dc) % RESPUESTA EN EL TIEMPO A UNA ENTRADA ESCALON figure(2) ne=[1]; de=[1]; step(ne,de,'g') %Entrada escalon hold on lc=feedback([tf(n,d)],1); step(lc,'b') %Respuesta del sistema no compensado hold on nc=Kc*[1 c]; dc=[1 p]; nsc=[conv(nc,n)]; dsc=[conv(dc,d)]; disp('Funcion de transferencia del sistema conmpensado') ftcpensado=tf(nsc,dsc) lcc=feedback([tf(nsc,dsc)],1); step(lcc,'r'),grid %Respuesta del sistema compensado hold off %RESPUESTA EN EL TIEMPO A UNA ENTRADA RAMPA figure(3) nr=[1]; dr=[1 0]; step(nr,dr,'g') % Entrada rampa hold on [n1,d1]=feedback(n,d,1,1,-1); nr=n1; dr=[d1 0]; step(nr,dr,'b') %Salida rampa sin compensar hold on [num,den]=feedback(nsc,dsc,1,1,-1); nlcr=num; dlcr=[den 0]; step(nlcr,dlcr,'r') %Salida rampa compensado axis ([0 20 0 20]) hold off grid %Calculo de error de velocidad estático del sistema compensado syms s num1=poly2sym(nsc,s); den1=poly2sym(dsc,s); gs=num1/den1; kvs1=limit(s*gs,0); kvcom=sym2poly(kvs1)