Experiència: Pèndol balísticGrup: T11 Data: 20/11/2012Professor de Laboratori: Pere TalaveraNom i cognoms: Ana Molina SolerNom i cognoms: Oriol Revuelto Valero Informe

Abans d’anar al laboratori llegiu amb cura tot el guió de la pràctica, tant la introducció com el mètode l’experimental.

Objectius

* Estudiar un pèndol balístic.* Utilitzar el pèndol balístic per determinar la velocitat d’un projectil.* Determinar el moment d’inèrcia del pèndol balístic.* Aplicar els principis de conservació del momento angular i de l’energia.* Comprovar el grau d’ajust dels resultats obtinguts.

Introducció

En aquesta pràctica utilitzareu un pèndol balístic per determinar la velocitat a la que surten uns projectils d’una llançadora. Abans d’utilitzar el pèndol balístic com a tal, en determinareu el moment d’inèrcia aplicant la teoria del pèndol físic. Ja per acabar, comprovareu que les velocitats obtingudes amb el pèndol balístic són compatibles amb les especificacions tècniques que el fabricant de la llançadora ens proporciona.

1. El pèndol físic

Un pèndol físic és qualsevol sòlid de massa M que es penja d’unpunt O que no coincideix amb el seu centre de masses. Quan elsòlid s’aparta de la posició d’equilibri fa un moviment oscil·latori. Aquest moviment, per a oscil·lacions petites, potaproximar-se a un moviment harmònic simple.

Considerem una figura plana, com la de la figura 1. L’únicaforça que fa moment respecte el punt O és el pes, P. Si apliquemla segona llei de Newton per a la rotació, tenim:

on τres és el moment resultant de força respecte al punt O, I és el moment d’inèrcia del sòlid respecte a un eix perpendicular al paper que passa per O, α és l’acceleració angular del pèndol i Rcm és la distància del centre de masses al punt O.Per a oscil·lacions petites es pot aproximar sinθ ≈θ , i aleshores l’equació anteriorqueda

la qual és formalment idèntica a l’equació d’un moviment harmònic simple ambEn conseqüència, per a oscil·lacions petites, el període d’un pèndol físicés:

2. El pèndol balístic

El pèndol balístic és un dispositiu que es pot utilitzar per mesurar la velocitat deprojectils, com per exemple bales.

El seu funcionament és moltsimple (veure figura 2). El pèndol consta d’una barra a l’extrem de la qual tradicionalment hi havia un bloc de fusta. Quan es dispara una bala en contra del bloc la bala s’hi incrusta i el conjunt format per la bala i el pèndol comencen a ascendir fins assolir una alçada màxima. Mesurant l’angle màxim,θ, que forma la barra pendular amb la vertical es pot calcular lavelocitat, v, que porta la bala abans de l’impacte.

A la figura 3 hi ha el pèndol amb que treballareu al laboratori i també la llançadora queutilitzareu per disparar les bales d’acer.El pèndol consta d’una barra a l’extrem de la qual hi ha un receptacle on la bala hiqueda allotjada. La massa del pèndol l’anomenarem M, la distància del centre de masses(CM) del pèndol a l’eix de rotació, RCM, i el moment d’inèrcia del pèndol respecte l’eixde gir, I. La distància de l’eix de rotació al centre del punt on queda allotjada la bala ésdb.A la base del pèndol hi ha una llançadora que s’utilitza per disparar les bales i que esdescriu en el següent apartat.

Considereu que es dispara una bala de massa m que es dirigeix cap el pèndol ambvelocitat v. La bala col·lisiona de forma completament inelàstica amb el pèndol, i tot elconjunt surt amb velocitat angular ω f i comença a ascendir fins que el pèndol assoleixun angle θ amb la vertical.

L’alçada màxima que assoleixen el CM del pèndol, Δhcm, i la bala, Δhb, són:

Aplicant el principi de conservació de l’energia mecànica, podem determinar l’energiacinètica amb què surt el conjunt format pel pèndol i la bala després de la col·lisió.

Substituint les expressions de Δhcm i de Δhb de l'equació (4) a l’equació (5), obtenim:

i aïllant ωf :

Un cop determinada la velocitat angular que adquireixen la bala i el pèndol com aconseqüència de la col·lisió, aplicant el principi de conservació del moment angular, espot determinar la velocitat amb què la bala arriba a la col·lisió, v.

Aïllant v de l’expressió anterior obtenim:

Les dades del pèndol facilitades pel fabricant són les següents:

3. La

llançadora

La llançadora consta d’un cilindre on s’introdueix la bala que està unit a una molla deconstant recuperadora k. La molla es pot comprimir fins a tres posicions diferents (Δx1,

Δx2 i Δx3) que estan etiquetades com a short range, medium range i long range. Per talde carregar la bala i comprimir la molla s’utilitza la vareta compressora de la figura 3.Per disparar la bala només cal que estireu cap amunt la llengüeta que hi ha a la partsuperior de la llançadora.

Les dades de la llançadora facilitades pel fabricant són:

Utilitzarem aquesta informació per tal de comprovar fins a quin punt els resultatsobtinguts amb el pèndol balístic són acceptables.

En primera aproximació, es pot determinar la velocitat a la que surten les bales de lallançadora fent un balanç energètic molt simple. Si es considera que l’energia potencialelàstica que inicialment hi ha emmagatzemada a la molla es transfereix íntegrament a labala, aleshores es pot escriure:

i d’aquesta expressió aïllar la velocitat a la que surten les bales, v’.

Cal tenir en compte, però, que la massa de la molla és considerable, de fet és més granque la massa del projectil que dispara, mm > m (veure taules 1 i 2). Així doncs, alhora defer el balanç energètic caldrà tenir en compte el guany d’energia cinètica que la pròpiamolla experimenta en el procés de dispar. Tenint en compte aquest fet, el balançenergètic quedaria:

on v’’ és, de nou, la velocitat a la que surten les bales de la llançadora.

Material• Pèndol balístic• Llançadora• 1 bola d’acer

• 1 vareta per comprimir la molla de la llançadora• 1 cronòmetre• Ulleres de seguretat (si teniu les que s’utilitzen al laboratori de química, porteu-les!)

Mètode Experimental

1. Determinació experimental del moment d’inèrcia del pèndolbalísticAbans de començar a utilitzar el pèndol balístic com a tal ens cal conèixer-ne el seumoment d’inèrcia. Per determinar-lo mesurarem el seu període d’oscil·lació, imitjançant l’expressió (3) en calcularem el moment d’inèrcia respecte l’eix de gir.

1.1 Descargoleu i retireu la llançadora del peu del pèndol.

1.2 Mesureu 20 vegades el temps que el pèndol tarda a fer 10 oscil·lacions completes.Com que l’expressió (3) és únicament vàlida per a angles petits, tingueu cura de feroscil·lar el pèndol amb angles inferiors a 20º. Poseu els resultats a la taula 3.

PÈNDOL FÍSICTaula 3

t(10 osc) 11,12 11,16 11.04 11,16 11,12 11,22 11,35 11,16 11,28

11,13 11,19 11,10 11,06 11,31 11,28 11,07 11,10 11,13 11,12 11,15

1.3 Determineu el valor mitjà de les mesures que heu realitzat i l’error casual associat ala dispersió de les mesures entorn del valor mitjà:

Per obtenir hem calculat la mitjana aritmètica dels períodes. Primer hem sumat totes les dades obtingudes i les hem dividit pel nombre de períodes calculats.

223,25/20=11,1625

)= 0,080255824

Considereu que l’error sistemàtic que efectueu quan cronometreu el temps és igual altemps mitjà de reacció d’una persona, és a dir: (t10 osc) = ± 0.1 s.

Els errors casuals estan relacionats amb la part incontrolada de tot experiment i només esdeterminen estadísticament. Tan més petit és l'error casual, major és la precisió de la mesura.

Calculeu l’error absolut de la mesura:

=

= = 0,128= 0,2

Atenent als resultats, en el càlcul de l’error absolut, podríem negligir l’error casual?

En cas que l’error casual i el sistemàtic siguin semblants,com és el cas, el que es pot fer és acceptar que l’error total és el doble de l’error sistemàtic (o aquest multiplicat per √2). Que en aquest cas seria 0,08x2=0,16≈0,2. D’aquesta manera demostrem que podem negligir l’error casual.

Així doncs:

Determineu, a partir de , el període d’oscil·lació del pèndol, T:

El període és el temps que transcorre per fer un període complet d’oscil·lació.

= 11,1625/20= 0,558 = 0,56 s

1.4 Calculeu el moment d’inèrcia, I, del pèndol i el seu error absolut. Indiqueu lesexpressions que heu utilitzat per al càlcul. (Si l’espai que teniu a sota no és suficient,poseu les expressions en un full a part)

I → moment d’inèrcia

Expressió (1)

;

Per oscil·lacions petites ( sin(0)≈0, per tant;

Expressió (2)

Això ho igualem a:

A on:

→

Aïllem I (moment d’inèrcia)

I= g × cm2 = 58 kg × m2

I=

Producte

cte

Sebent que:

M= 0, 31250 (Kg)

(s)

0,02

I= 58 kg × m 2 ± 0,02

2. Determinació de la velocitat de tres projectils utilitzant el pèndol balístic

2.1 Cargoleu la llançadora a la base del pèndol balístic. POSEU-VOS LES ULLERES DE SEGURETAT I NO US LES TREIEU FINS QUE ACABEU TOT L’ASSAIG. Col·loqueu la bola d’acer a l’embocadura de la llançadora. Seguidament utilitzeu la vara de plàstic per a carregar la llançadora fins a la posició short range. Ara ja teniu la llançadora apunt per disparar.

2.2 Mesureu 15 vegades l’angle màxim al que arriba el pèndol balístic per a cadascuna de les posicions de la llançadora. Abans de cada mesura tingueu cura de posar la llengüeta del mesurador angular a zero. Si observeu que el mesurador angular té error de zero penseu a fer-ne la correcció per a cada una de les mesures.

PÈNDOL BALÍSTICTaula 4

short range q(º) 17,50 17,50 18,00 17,00 17,00 16,50 16,50 16,50 17,00 17,00 17,00 17,50 17,50 18,00 17,50medium range q(º) 26,50 26,50 26,50 26,00 26,50 26,25 26,50 26,00 26,25 26,50 26,50 26,50 26,50 26,75 26,50

long range q(º) 37,00 36,50 37,00 37,00 36,75 36,50 36,75 37,00 37,00 36,50 36,75 36,50 37,00 36,75 36,50

2.3 Determineu, per a cada posició de la llançadora, el valor mitjà de les mesures,l’error casual, l’error sistemàtic (a partir de la resolució del mesurador angular) i l’errorabsolut.

( )= )= 0,476095229 = 0,50

( )= )= 0,197259626= 0,20

( )= )= 0,21343747= 0,30

( )= la meitat de la mesura més petita del mesurador d’angles:

( )=

( ( ) ( ) ( )Short range 17,20 0,5 0,3 0,6

Medium range 26,42 0,2 0,3 0,4Long range 36,77 0,3 0,3 0,5

Atenent als resultats, en el càlcul de l’error absolut, podríem negligir l’error casual?

En aquest cas no podriem negligir l’error casual ja que en alguns casos és tant o més important que l’error sistemàtic. D’aquesta manera l’error absolut es calcula tenint present els errors sistemàtics i els errors casuals.

2.4 A partir de les expressions (7) i (9) escriviu l’equació que us permet calcular la velocitat amb que són disparades les bales en funció de l’angle màxim assolit pel pèndol.

Igualem les expression per a i aillem :

2.5 Escriviu l’expressió que us permet calcular l’error absolut de la velocitat de les bales en funció de les dades i del seu error. (Si l’espai que teniu a sota no és suficient, poseu les expressions en un full a part).

Error d’un quocient:

2.6 Amb les expressions anteriors feu el càlcul de la velocitat de sortida de les bales percada una de les posicions del disparador i del seu error absolut. Poseu el resultat a lasegona columna de la taula 6.

= 3,49 m/s

= 5,33 m/s

= 7,37 m/s

Error Vbola per a cada posició

Short range speed 3,49 m/s

Medium range speed 5,33 m/sLong range speed 7,37 m/s

3. Comprovació del resultat a partir de les dades de la llançadora

A. En primer lloc determinarem la velocitat a la que surten les bales de la llançadoranegligint l’efecte de la massa de la molla.

3.1 A partir de l’equació (10) escriviu l’expressió que us permet calcular la velocitat desortida de les bales, v’, en funció de la constant recuperadora de la molla, k, i de lacompressió de la molla, Δx.

;

Aïllem : =

Aillem =

3.2 Escriviu l’expressió que utilitzeu per calcular l’error absolut de la velocitat desortida, v’, de les bales en funció de les dades.

= ≈4

3.3 Utilitzant les expressions anteriors determineu la velocitat de sortida, v’, de les balesper cadascuna de les posicions del disparador i del seu error absolut. Escriviu el resultaten la tercera columna de la taula 6.

= 0,0395. 3,83 m/s

= 0,0598. 5,79 m/s

= 0,0801. 7,76 m/s

1. ± 0,0005 (m)

4 (N/m)

= 0,165

(m/s)

2. ± 0,0005 (m)

4 (N/m)

= 0,24

(m/s)

3. ± 0,0005 (m)

4 (N/m)

= 0,32

(m/s)

B. Tot seguit determinarem la velocitat de sortida de les bales considerant l’efecte de la massa de la molla.

3.4 A partir de l’equació (11) escriviu l’expressió que us permet calcular la velocitat desortida de les bales, v’’, en funció de la constant recuperadora de la molla, k, de lacompressió de la molla, Δx i de la massa de la molla, mm.

3.5 Escriviu l’expressió que utilitzeu per calcular l’error absolut de la velocitat de sortida, v’’, de les bales en funció de les dades.

= =

)2 =

mb= 0,065 ±0,00005 (kg)mm = 0,108 ± 0,001 (kg)k= 610 ± 40 (Nm)

= 0,101

=

=

3.6 Utilitzant les expressions anteriors determineu la velocitat de sortida, v’’, de les bales per cadascuna de les posicions del disparador i del seu error absolut. Escriviu el resultat a la quarta columna de la taula 6.

1.

Short range 3,49 3,83 3,07Medium range 5,3 5,79 4,65

Long range 7,37 7,76 6,22

3.6 Feu una valoració del grau d’acord entre els resultats obtinguts amb el pèndol balístic i els obtinguts a partir de les dades de la molla. En vista dels resultats, considereu important tenir en compte l’efecte de la massa de la molla?

Tenint en compte que el xoc és inelàstic, , és a dir que la bola s’incrusta dins del pèndol, si que és important tenir present la massa de la molla, perquè si tenim en compte que l’únic que es conserva és el moment lineal del sistema. Per tant ;

D’aquesta manera la massa de la molla influeix directament en la velocitat que pot obtenir la bola.

Si que és convenient tenir present la massa de la molla ja que en aquests cas la molla té una massa superior a la massa que disparem (bola). Aquest fet ens pot dur a pensar que l’energia potencial que pot obtenir una molla i que després, depenent del tipus de xoc, pot passar-ne una part a l’element que colpeja, ve indicada per una força que depèn de la seva constant elàstica, i aquesta alhora depèn de la massa i la seva longitud. Considerant un per a un diferencial de temps abans i desprès del xoc.Per tant, considerant el xoc com a inelàstic, perquè la molla s’incrustacom que hi ha hagut una pèrdua d’energia en el xoc, la velocitat final de la bola no ha sigut tant alta com en les altres maneres de calcular-ho, sense tenir en compte el pes de la molla.

4. Simulació

Als llocs web:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/dinamica/con_mlineal/balistico/balistico.htm

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/conservacion/balistico/balistico.htm

Hi teniu uns applets que us permeten simular dos pèndols balístics lleugerament diferents. El primer pèndol consta d’un bloc que penja d’una corda i el segon està format per un bloc que penja d’una vareta rígida de massa negligible.

Us proposem que després de llegir amb deteniment les dues pàgines, executeu els dosapplets donant els següents valors a les variables d’entrada:

Massa de la bala: 0.2 kg Massa del bloc: 1.5 kg

4.1 Determineu, amb l’ajuda de l’applet, la velocitat mínima que ha de portar la bala pera que els pèndols efectuïn una volta completa.

Siguent T la tensió de la corda. La velocitat mínima s’obté quan T=0,

. llavors