Laboratorio de Cinemática y Dinámica.

FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES DE ARAGÓN.

Práctica número 5: “Vibraciones libres.”

Laboratorio de Cinemática y Dinámica.

Alumno: Fernández Cano Veronico David Ricardo.

Número de cuenta: 412057786.

Grupo: jueves 16:00-17:30

Ciclo escolar: 2014-1

Fecha de realización: 31\09\2013. Fecha de entrega: 07/11/2013.

Laboratorio de Cinemática y Dinámica.

Objetivo.

Encontrar la constante elástica k de 2 resortes helicoidales diferentes. Obtener el periodo de vibración t, la w frecuencia angular de vibración y la frecuencia natural

de vibración f para 2 resortes helicoidales diferentes variando la masa del sistema.

Consideraciones teóricas.

Vibraciones libres.

Si se tiene un cuerpo de masa “m” suspendido en un resorte de constante “k”, se considerara como partícula ya que solo nos interesa su centro de masa. Además este sistema se considera con un solo grado de libertad, ya que su movimiento puede ser descrito por una sola coordenada.

El período de una vibración es el intervalo de tiempo en el cual un movimiento se repite (ósea el tiempo en que se completa un ciclo); se designa con el símbolo t y se mide en segundos.

t=2π /√k /m

Parat: tiempo en completar un ciclo.k: constante de elasticidad del resorte.m: masa del cuerpo suspendido por el resorte.

El recíproco del período es la frecuencia natural de la vibración; se designa con el símbolo f y se mide en ciclos por segundo. Se expresa como:

f=1t

Recordare que:

1seg

=Hz=seg−1

Ya que se sabe que dependen del ciclo medido este se dejan implícitos en las unidades.También se tiene la frecuencia angular (o circular) de vibración, la cual se mide en radianes por segundo y su símbolo es w:

w=√ kmLa fuerza ejercida por la masa sobre el resorte, se calculara con la formula:

F=kxDondeF: fuerza medida en N.x: distancia de elongación del resorte.

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Si se observa la fórmula para calcular la frecuencia circular y en la formula que calcula el periodo nos percatamos de que:

t=2π /w⟹ f= w2 π

Y esta es la segunda fórmula para calcular la frecuencia natural de vibración.

Tablas de lecturas.

Se recuerda que la masa del soporte es de 1.47 kg, y por lo tanto esta se le suma a la masa que se uso para tomar las lecturas. Para estandarizar las medidas se tomaran las equivalencias correspondientes a 5 ciclos en todas las mediciones de los periodos.

Tabla de lecturas para resorte1.

Lectura Periodo (seg) Ciclos Masa (kg) Elongación (m)1 1.49 5 1.47 0.20942 1.643 5 2.27 0.21823 2.05 5 3.47 0.23394 2.36 5 3.87 0.23425 1.966 5 4.27 0.2386 2.66 5 5.47 0.2511

Tabla de lecturas para resorte2.

Lectura Periodo (seg) Ciclos Masa (kg) Elongación (m)1 1.383 5 1.47 0.20372 1.59 5 2.27 0.20413 1.39 5 3.47 0.20694 1.48 5 3.87 0.20835 1.075 5 4.27 0.20966 0.7333 5 5.47 0.212

Memoria de cálculos.

Cálculos para el resorte1:Se empieza por calcular la frecuencia natural de vibración y paras ello se hace la siguiente división:

f= ciclost

Sustituyendo los valores de las mediciones:

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1. f= 51.49 seg

=3.355704698Hz

2. f= 51.643 seg

=2.43902439Hz

3. f= 52.05 seg

=2.43902439Hz

4. f= 52.36 seg

=2.120141343Hz

5. f= 51.966 seg

=2.662366656Hz

f= 52.66 seg

=1.96349540Hz

Después se procede a calcular la constante k de elongación del resorte y para ello se debe de despejar la fórmula del periodo.

t=2π /√ km⟹ t √ km=2 π⟹√ km=2πt

⟹k=m(2 πt )2

Sustituyendo los valores medidos, teniendo en cuenta que 2𝜋 es la medida del ángulo en radianes:

1. k=1.47kg ( 2π1.49 seg )

2

=26.13993689kg /seg2

2. k=2.27kg ( 2π1.643 seg )

2

=33.19788889kg /seg2

3. k=3.47kg ( 2π2.05 seg )

2

=32.59728949kg /seg2

4. k=3.87kg ( 2π2.36 seg )

2

=27.43131933kg /seg2

5. k=4.27 kg( 2 π1.966 seg )

2

=43.61346429kg /seg2

6. k=5.47kg ( 2π2.66 seg )

2

=30.51994803kg /seg2

Una vez obtenida la constante k se calcula la frecuencia angular de vibración.

1. w=√ 26.13993689kg/ seg21.47 kg=4.216902891rad /se g

2. w=√ 33.19788889kg/ seg22.27 kg=3.824215038 rad / seg

3. w=√ 32.59728949kg/ seg23.47 kg=3.064968443 rad / seg

4. w=√ 27.43131933kg/ seg23.87=2.662366656 rad /seg

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5. w=√ 43.61346429kg /seg24.27=3.195923351rad /seg

6. w=√ 30.51994803kg/ seg25.47=2.36209974 rad /seg

Sustituyo ahora para encontrar la fuerza ejercida por la masa sobre el resorte:

1. F=(26.13993689kg /seg2 ) (0.2094m )=5.473702784N2. F=(33.19788889kg /seg2 ) (0.2182m)=7.243779355N3. F=(32.59728949kg /seg2 ) (0.2339m )=7.624506012N4. F=(27.43131933kg /seg2 ) (0.2342m)=6.424414987N5. F=(43.61346429kg/ seg2 ) (0.238m )=10.3800045N

F=(30.51994803kg /seg2 ) (0.2511m )=7.663558951NPara obtener la ecuación de la recta se

grafica la fuerza contra la elongación (x), esta última se ocupara su equivalencia en centímetros.

Para ajustar los puntos graficados se ocupa la fórmula del método de los mínimos cuadrados, donde la variable “y” se tomara como la fuerza.

m=n∑ xiyi−(∑xi)(∑ yi)n∑ x i2−(∑xi) ²

b=(∑ yi ) (∑x i2 )−(∑xiyi )(∑xi)

n∑ xi2−(∑xi)²

Para ello se efectúan los cálculos mostrados en la siguiente tabla:

Lectura (i) (xi) (yi) Σxi Σxi^2 Σyi1 114.619336 20.94 438.4836 5.4737027842 158.059266 22.0294 485.2944644 12.717482143 178.337196 23.6082 557.3471072 20.341988154 150.459799 23.6539 559.5069852 26.766403145 247.044107 24.0342 577.6427696 37.146407646 192.431965 25.348 642.521104 44.80996659

total 1040.95167 139.6137 3260.79603 147.2559504

Sustituyendo en la formula de la pendiente:

m=6(1040.95167 )−(139.6137)(147.2559504 )

6 (3260.79603)−(139.6137) ²=−196.634851

Sustituyendo en la formula de la ordenada al origen:

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b=(147.2559504 ) (3260.79603 )−(1040.95167 )(139.6137)

6(3260.79603)−(139.6137)²=4600.029175

Cálculos para el resorte2:

Cálculos para la frecuencia natural de vibración.

1. f= 51.383 seg

=3.615328995Hz

2. f= 51.59 seg

=3.144654088Hz

3. f= 51.39 seg

=3.597122302Hz

4. f= 51.48 seg

=3.378378378Hz

5. f= 51.075 seg

=4.651162791Hz

f= 50.7333 seg

=6.81849175Hz

Sigue el cálculo de la constante k:

1. k=1.47kg ( 2π1.383 seg )

2

=30.34119707 kg/ seg2

2. k=2.27kg ( 2π1.59 seg )

2

=35.44796802kg /seg2

3. k=3.47kg ( 2π1.39 seg )

2

=70.90218368kg /seg2

4. k=3.87kg ( 2π1.48 seg )

2

=69.75049129kg /seg2

5. k=4.27 kg( 2 π1.075 seg )

2

=145.8715787 kg/ seg2

6. k=5.47kg ( 2π0.7333 seg )

2

=401.5907427kg /seg2

Calculo de la frecuencia circular:

1. w=√ 30.34119707kg /seg21.47 kg=4.543156404 rad /se g

2. w=√ 35.44796802kg /seg22.27 kg=3.951688872 rad /seg

3. w=√ 70.90218368 kg/ seg23.47 kg=4.520277199rad /seg

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4. w=√ 69.75049129kg/ seg23.87=4.245395478 rad /seg

5. w=√ 145.8715787 kg/ seg24.27=5.844823542 rad / seg

6. w=√ 401.5907427kg /seg25.47=8.568369436 rad / seg

Calculo de la fuerza ejercida por la masa sobre el resorte:

1. F=(30.34119707 kg /seg2) (0.2037m)=6.180501843N2. F=(35.44796802kg /seg2 ) (0.2041m )=7.234930274 N3. F=(70.90218368kg /seg2 ) (0.2069m )=14.6696618N4. F=(69.75049129kg /seg2 ) (0.2083m )=14.52902734N5. F=(145.8715787kg /seg2 ) (0.2096m )=30.5746829N6. F=(401.5907427kg /seg2) (0.212m )=85.13723745N

Para efectuar la grafica de la elongación (“x” medida en cm), contra la fuerza (que se considera la variable “y”); y se procede a realizar los cálculos usando el método de los mínimos cuadrados, sustituyendo los valores que se muestran en la siguiente tabla:

Lectura (i) (xi) (yi) Σxi Σxi^2 Σyi1 125.8968225 20.37 414.9369 6.1805018432 147.6649269 40.78 1663.0084 13.415432123 303.5153027 61.47 3778.5609 28.085093924 302.6396394 82.3 6773.29 42.614121265 640.8453536 103.26 10662.6276 73.188804166 1804.909434 124.46 15490.2916 158.3260416

total 3325.471479 432.64 38782.7154 321.8099949

Para la formula de la pendiente:

m=6(3325.471479)−(432.64)(321.8099949)

6(38782.7154)−(432.64) ²=−2.62

De la misma manera para la formula de la ordenada al origen:

b=(321.8099949 ) (38782.7154 )−(3325.471479 )(432.64)

6 (38782.7154)−(432.64 )²=242.5789712

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Tablas de resultados.Tabla de resultados para el resorte1.

Lectura f (ciclo/seg) w (rad/seg) k (rad kg/seg^2)∙ F=kx (N)1 3.355704698 4.216902891 26.13993689 5.4737027842 3.043213634 3.824215038 33.19788889 7.2437793553 2.43902439 3.064968443 32.59728949 7.6245060124 2.118644068 2.662366656 27.43131933 6.4244149875 2.543234995 3.195923351 43.61346429 10.38000456 1.879699248 2.36209974 30.51994803 7.663558951

Tabla de resultados para el resorte2.

Lectura f (ciclos/seg) w (rad/seg) k (rad kg/seg^2)∙ F=kx (N)1 3.615328995 4.543156404 30.34119707 6.1805018432 3.144654088 3.951688872 35.44796802 7.2349302743 3.597122302 4.520277199 70.90218368 14.66966184 3.378378378 4.245395478 69.75049129 14.529027345 4.651162791 5.844823542 145.8715787 30.57468296 6.81849175 8.568369436 401.5907427 85.13723745

Graficas.Grafica de la constante del resorte1:

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Grafica de la constante del resorte2:

Cuestionario.

1. Explica con fotografías o imágenes 5 aplicaciones del sistema masa-resorte.El sistema masa resorte es parecido al sistema en el que se sostiene un péndulo. el estudio de las vibraciones tiene que ver con el diseño de elementos en la estructuras de los edificios y de sistemas de amortiguamiento, en la mayoría de los casos las vibraciones son indeseadas porque aumentan los esfuerzos mecánicos y las pérdidas de energía.

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2. ¿Qué es precisión?La precisión es la necesidad y obligación de exactitud a la hora de hacer un trabajo. Para la ingeniería y la estadística, la precisión es la dispersión del conjunto de valores que se obtiene a partir de las mediciones repetidas de una magnitud: a menor dispersión, mayor precisiónEn el ámbito de las ciencias en general, la precisión es la capacidad de un instrumento de obtener el mismo resultado en mediciones diferentes, desarrolladas bajo las mismas condiciones. Se conoce como máquina de precisión a aquel aparato construido con el objetivo de obtener resultados exactos. La diferencia entre el valor medido y el valor real recibe el nombre de error de medición.

3. ¿Qué es exactitud?La exactitud, hace referencia a la cercanía del valor medido al valor real.

Conclusiones.El sistema masa-resorte, tal y como se estudio en la práctica, es un ejemplo de las vibraciones libres; ya que la elongación del resorte no sufre ninguna clase de amortiguamiento, y se considera el más simple de los casos de este tipo de movimiento. Se concluye que la oscilación es el movimiento que se tiene, en este caso por una partícula, con respecto a su posición de equilibrio.Con respecto a la memoria de cálculo se puede ver que resulto especialmente útil las mediciones en radianes para así simplificar los cálculos de las formulas. Las medidas que se tomaron para los ciclos y el periodo de tiempo fueron muy subjetivas, debido a que era demasiado difícil poder contar los ciclos por la velocidad de vibración de los resortes. Esto repercute notablemente en los cálculos realizados, pues como se observa no se puede apreciar el valor de la constante de elongación de los resortes, es por ello que en lo que respecta a las mediciones esta se podría considerar como la practica mas inexacta que se ha realizado en el laboratorio de cinemática y dinámica.Con respecto a la información teórica quedo muy escasa la información que realmente se necesitaba para poder comprender esta práctica y por ello es que también quedan algunas lagunas en cuanto a la teoría sobre las formulas y obviamente en los cálculos. Al igual las aplicaciones a elementos utilizados en la industria y en otros ámbitos no fueron mencionadas, en

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el laboratorio cosa que considero esencial para poder entender mejor el tema que se trata de una forma más práctica.

Bibliografía.

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