Practica ´ 6 · 2007-08-20 · FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS...

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

C AMı Eı M S C 2007

P 6

1. a) ¿A que distancia de 16 basta tomar x para asegurar que:

(i) 1√x ∈

(0, 1

2

)

(ii) 1√x ∈

(15 ,

13

)

(iii) 1√x ∈

(14 − 1

1000 ,14 + 1

1000

)?

b) Para cada β > 0 encontrar un x , 16 tal que∣∣∣∣ 1√

x − 14

∣∣∣∣ < β. ¿Hay mas de uno?, ¿de dos?

2. ¿Tiene sentido buscar un δ > 0 tal que:

a) 3x2 − 5x + 1 > 0 en (1 − δ , 1 + δ)?

b) 1 − x2 > 0 en(

12 − δ , 1

2 + δ)?

c) f (x) > 2 en (1 − δ , 1 + δ) siendo f (x) =

x2 , x > 1

x + 1 , x < 1?

d) f (x) < 12 en (−2 − δ,−2 + δ) siendo f (x) =

1 , x ∈ Q0 , x < Q

?

Si la respuesta es afirmativa, hallarlo.

3. Probar por definicion que:

a) lımx→1

(x − 1) sen(

1x−1

)= 0

b) lımx→a

√x =√

a , para a > 0

c) lımx→−1

7x+22x−3 = 1

d) lımx→3

x2 = 9

e) lımx→7

1x

=17

f) lımx→−5

x2 + 3x − 10x2 + 3x

= 0

g) lımx→0

sen x +√

x2 + 1 = 1

4. Analizar la existencia de los siguientes lımites:

a) lımx→0

cos(

1x

)

b) lımx→0

x cos(

1x

)

c) lımx→0

x + sen(

1x

)

2 FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007

5. Calcular:

a) lımx→− π2

2 cos3 x2x + π

b) lımx→π

2

(tg2 x)cos2 x

c) lımx→0+

e1/x

log x

d) lımx→+∞

log(x2 + 3) − log(x2 + 2)

e) lımx→+∞

log(1 + ex)x

f) lımx→0

(1 + x)1/ tg x

g) lımx→0

(cos x)1/x

h) lımx→+∞

ex + sen xex + cos x

6. ¿Que informacion necesitarıa tener sobre las funciones g y h para poder decidir si la siguientefuncion

f (x) =

g(x) , x < 5

−12 , x = 5

h(x) , x > 5

a) es continua en 92?

b) es continua a derecha en 5?

c) es continua en 214 ?

d) es continua en 5?

7. Probar que si f es una funcion que verifica | f (x)| 6 |x| para todo x ∈ R, entonces f escontinua en 0. ¿Hace falta realmente pedir que verifique esa desigualdad en todo R?

FCEYN — UBA — COMPLEMENTOS DE ANALISIS — SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 3

8. Para cada una de las siguientes funciones

� estudiarla en cada punto de su dominio

� en los puntos que no pertenezcan al dominio, definirla —si es posible— de modo queresulte continua

a) f1(x) =

x , x ∈ Q−x , x /∈ Q

b) f2(x) =

cos(πx2

), |x| 6 1

|x − 1| , |x| > 1

c) f3(x) = x . arctg(

1x + 1

x−1

)

d) f4(x) =

sen xx

, x < 0

−x2 + 52 x , x > 1

e) f5(x) =

sen xx2 , x > 0

x2 + 1 , x 6 0

f) f6(x) =

sen(e2x)x

, x < 0

(1 + 2x)1/x , 0 < x < 1

x2−1x2−4x+3 +

1−√x1−x , x > 1

9. Sea f continua y tal que f (x) = 0 para todo x ∈ Q.

a) Calcular f (√

2)

b) Calcular Im( f ).

10. a) Probar que existe x ∈ (1, 2) tal que x3 − 3x + 1 = 0.

b) Probar que existe x ∈ R tal que cos x = x.

c) Encontrar un numero r tal que f (x) = x9 − 100x4 + 3x3 + 12 tenga al menos una raız realen el intervalo (−r, r).

11. Sea f : R→ R tal que Im( f ) = [a, b] ∪ [c, d], con a < b < c < d. ¿Es continua?

12. ¿Como deben ser las funciones continuas que solo toman valores racionales?


13. Probar que las siguientes funciones son uniformemente continuas en el intervalo indicado:

a) f (x) = x3 en (2, 3)

b) f (x) =x

x2 + 1en R

c) f (x) =1x

en [2,+∞)

d) f (x) = ex en (−1, 1]

14. Sea A ⊂ R y f : A → R una funcion tal que existen sucesiones (xn) , (yn) ⊂ A y un numeroα > 0 que satisfacen:

� xn − yn −→n→∞

0

� | f (xn) − f (yn)| > α para todo n > n0

Probar que f no es uniformemente continua en A.

15. Probar las siguientes funciones no son uniformemente continuas en el intervalo indicado:

a) f (x) =1x

en (−1, 0)

b) f (x) = 3x2 en R

c) f (x) = ex en R>1

16. a) Probar que si una funcion f es uniformemente continua en [a, b] y en [b,+∞), entonceslo es en [a,+∞).

b) Usar el resultado anterior para probar que√

x es uniformemente continua en R>0.

c) Sea f continua en R y tal que lımx→∞

f (x) = 0. Probar que f es uniformemente continua.

17. Calcular y graficar el dominio de las siguientes funciones:

a) f (x, y) =1x

b) f (x, y) =1√

x + y

c) f (x, y) =1

sen(x − y)d) f (x, y) = xy

e) f (x, y, z) = arcsen x + arctg y + arccos z

f) f (x, y) =1√

1 − x2 − y2+

√y − x2

g) f (x, y) =ln(x + y)

sen xh) f (x, y, z) = ln(1 − x2 − y2 − z2)

i) f (x, y) =

√9 − x2

1 +√

1 − y2


18. Una empresa petroquımica esta disenando un deposito cilındrico con extremos semiesfericospara utilizarlo en el transporte de sus productos. Expresar el volumen del deposito en funcionde su radio r y la longitud h de su porcion cilındrica.

19. Identificar las siguientes superficies

a) x2 + 4y2 − 16z2 = 0

b) x2 + 4y2 + 16z2 − 12 = 0

c) x2 − 4y2 − 2z = 0

d) x − y2 + 2z2 = 0

e) x2 + 2y2 − 4z = 0

20. Identificar las siguientes superficies, hallar sus intersecciones con los planos coordenados ydibujar

a) 9x2 + 4y2 − 36z = 0

b) 9x2 + 4y2 + 36z2 − 36 = 0

c) 9x2 + 4y2 − 36z2 = 0

d) 9y2 − 4x2 − 36z2 − 36 = 0

21. Para cada una de las siguientes funciones

(i) clasificar sus curvas de nivel y graficar tres de cada tipo

(ii) para cada curva de nivel k, graficar la curva interseccion de su grafico de con el planoz = k

(iii) utilizando la informacion obtenida en (ii) esbozar su grafico

a) z = x + y

b) z = x3

c) z = x2 + y2

d) z = x2 +y2

4

e) z = y2

f) z = x2 − y2

22. Hallar las superficies de nivel de las siguientes funciones

a) u = x + y + z

b) u = x2 + y2 + z2

c) u = x2 + y2 − z2

d) u = x2 + y2 + 2y

e) u = x2 + y2 + z2 + 2y + 4x − z


23. Hallar una ecuacion para la curva de nivel de f que contenga el punto P dado

a) f (x, y) = 1 − 4x2 − y2 , P = (0, 1)

b) f (x, y) = (x2 + y2)exy , P = (1, 0)

24. Hallar una ecuacion para la superficie de nivel de f que contenga el punto P dado

a) f (x, y, z) = x2 + 2y2 − 2xyz , P = (−1, 2, 1)

b) f (x, y, z) =√

x2 + y2 − ln z , P = (3, 4, e)

25. Encontrar la relacion entre los elementos de los tres grupos siguientes: funciones, mapas decurvas de nivel y graficos.

F

1. f (x, y) = 2x2 + 4y2

2. f (x, y) = sen x sen y

3. f (x, y) = xye−(x2+y2)1/2

4. f (x, y) = y2 − y3

5. f (x, y) = cos(√

x2 + y2) , −10 6 x, y 6 10

6. f (x, y) = sen x , 0 6 x 6 2π

C

a.

–1

–0.5

0.5

1

1.5

y

–3 –2 –1 1 2 3

x

b.

0

1

2

3

4

5

6

y

–6 –4 –2 2 4 6

x


c.

–10

–5

0

5

10

y

–10 –5 5 10

x

d.

–2

–1

1

2

y

–2 –1 1 2

x

e.

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

y

–1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5

x

f.

0

2

4

6

8

10

12

y

2 4 6 8 10 12

x


G

A.

–10

–5

0

5

10

x

–10

–5

0

5

10

y

B.

0

2

4

6

8

10

12

x

0

2

4

6

8

10

12

y

–1

0

1

C.

–1.5–1

–0.50

0.51

1.5

x

–1.5–1

–0.50

0.51

1.52

y

–4

–2

0

2

4

D.

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

–0.15

–0.1

–0.05

0

0.05

0.1

0.15


E.

–2

–1

0

1

2

x

–2

–1

0

1

2

y

0

2

4

6

8

F.

0

1

2

3

4

5

6

x

0

1

2

3

4

5

6

y

–1

0

1

26. Dibujar los siguientes subconjuntos de R2 y verificar graficamente que son abiertos

a) A = {(x, y) ∈ R2 / 1 < x2 + y2 < 7}b) B = {(x, y) ∈ R2 / 2x + y > 1}c) C = {(x, y) ∈ R2 / x , 0 , y , 0}

¿Alguno de estos conjuntos es conexo?

27. Dibujar los siguientes subconjuntos de R2 y verificar graficamente que son cerrados

a) A = {(x, y) ∈ R2 / 1 6 x 6 2 , 0 6 y 6 1}b) B = {(x, y) ∈ R2 / x + y > 1}c) C = {(x, y) ∈ R2 / x = 0 o y = 0}

¿Alguno de estos conjuntos es compacto?

28. Dibujar los siguientes subconjuntos de R2 y verificar graficamente que no son abiertos nicerrados

a) A = {(x, y) ∈ R2 / 1 < x2 + y2 6 7}b) B = {(x, y) ∈ R2 / x , 0 , y = 0}

29. a) Comprobar graficamente que el parelelepıpedo P dado por: −1 < x < 1 , 0 < y < 2 ,0 < z < 3 es un conjunto abierto.

b) Calcular la adherencia de P.


30. Probar por definicion que

a) lım(x,y)→(1,0)

x + y = 1

b) lım(x,y)→(−1,9)

xy = −9

c) lım(x,y)→(0,0)

sen(x2y)x2 + y2 = 0

d) lım(x,y)→(0,2)

sen(xy)x

= 2

e) lım(x,y)→(0,104)

sen(x cos y)

31. a) Sea f : B((a, b), r) −→ R tal que lım(x,y)→(a,b)

f (x, y) = 0. Probar que

lım(x,y)→(a,b)

sen( f (x, y))f (x, y)

= 1

b) Sea f : B((a, b), r) −→ R tal que lım(x,y)→(a,b)

f (x, y) = +∞. Probar que

lım(x,y)→(a,b)

ln( f (x, y))f (x, y)

= 0

c) Calcular

lım(x,y)→(0,0)

sen(x2 + y2)x2 + y2 y lım

(x,y)→(0,0)(x2 + y2) ln(x2 + y2)

32. En cada uno de los casos siguientes

(i) Observar cuidadosamente el grafico de f (x, y) y determinar si existe lım(x,y)→(a,b)

f (x, y)

(ii) En los casos en que no exista dicho lımite, dibujar sobre el grafico dos curvas queilustren ese hecho

a) f (x, y) =x2

x2 + y2

(a, b) = (0, 0)

x y

z


xy

z(0,2,0)

b) f (x, y) =sen3x

x2 + (y − 2)2

(a, b) = (0, 2)

x y

z

c) f (x, y) =x2

√x2 + y2

(a, b) = (0, 0)

xy

z

d) f (x, y) =x

x2 + y2

(a, b) = (0, 0)


x y

z

(-1,0,0)

(-1,0,1)

(-1,0,-1)

e) f (x, y) =cos(y + π/2)√(x + 1)2 + y2

(a, b) = (−1, 0)

x y

z

x=y

z=0

f) f (x, y) =sen(x − y)

x − y(a, b) = (0, 0) y (a, b) = (1, 1)

33. Analizar la existencia de los lımites de las siguientes funciones en el origen:

a) f (x, y) =x − yx + y

b) f (x, y) =xy

x2 + y2

c) f (x, y) =7x2 − 2y2

x2 + y2 − 1

d) f (x, y) =sen x

ye) f (x, y) = |x|y

Sugerencia: calcular f (e−n, 1n ) y f ( 1

n ,1n )

f) f (x, y) =sen(x − y)|x − y|

g) f (x, y) =1x

+1y

h) f (x, y) =x2 + y2

x2 − y2

i) f (x, y) = y sen( xy )


j) f (x, y) =x2

x2 + y2

k) f (x, y) =xy

|x| + |y|l) f (x, y) =

x2 + y2

√x2 + y2 + 1 − 1

m) f (x, y) =sen(x3 + y3)

x2 + y2

n) f (x, y) = (x2 + y2) sen( 1xy )

34. Hallar el dominio y los puntos de discontiuidad de las siguientes funciones

a) f (x, y) =

ln(x2 + y2) si (x, y) , (0, 0)

2 si (x, y) = (0, 0)

b) f (x, y) =1

1 − x2 − y2

c) f (x, y) =

sen(x − y)x − y

si x , y

1 si x = y

d) f (x, y) =xy + 1x2 − y

e) f (x, y) =

2xyx2 + y2 si (x, y) , (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

f) f (x, y) = |y|35. Dada la funcion

f (x, y) = xy sen( 1x ) sen( 1

y )

a) calcular su dominio

b) definirla —si es posible— en R2 − Dom( f ) de modo que resulte continua en todo R2.

36. Hallar el dominio y los puntos de discontiuidad de las siguientes funciones

a) f (x, y) = ln(x2 + y2)

b) f (x, y) =1

1 − x2 − y2

c) f (x, y) =sen(x − y)

x − y

d) f (x, y) =xy + 1x2 − y

e) f (x, y) =

2xyx2 + y2 si (x, y) , (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

f) f (x, y) = |y|


37. Demostrar que la funcion

f (x, y) =

2xyx2 + y2 si (x, y) , (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

es continua respecto de cada una de las variables por separado pero que no lo es comofuncion de ambas.

38. Determinar los puntos de continuidad de f siendo

f (x, y) =

x2 + y2 si x > 2

x + 2y + 1 si x < 2

39. Sea f : Rn −→ R una funcion y K > 0 una constante tal que para cada x, y ∈ Rn se tiene

| f (x) − f (y)| 6 K ‖x − y‖

Probar que f es uniformemente continua y –en consecuencia– continua. Deducir que todatransformacion lineal de Rn en R es uniformemente continua.

40. Para cada una de las formas cuadraticas siguientes, hallar la matriz asociada y (cuando seaposible) clasificarlas

a) φ(x, y) = 2x2 + 4xy + 5y2

b) φ(x, y) = −6xy + y2

c) φ(x, y, z) = −x2 + 8xz − 4yz + 3y2

d) φ(x, y, z) = Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz

e) φ(x, y) = ax2 + 2bxy + cy2, con ac − b2 < 0

f) φ(x, y, z) = Ax2 + By2 +Cz2 + Dxy + Exz + Fyz, sabiendo que el determinante de la matrizasociada es negativo.

g) φ(x, y, z) = Ax2 + By2 +Cz2 + Dxy + Exz + Fyz, sabiendo que el determinante de la matrizasociada es positivo.

41. Sea φ : R2 −→ R una forma cuadratica definida positiva.

a) Sea f1(x, y) = φ(x, y) + 3. Calcular f1(0, 0).

¿Se puede asegurar que para todos los (x, y) suficientemente cerca de (0, 0) resulta

f1(x, y) > f1(0, 0)?

b) Sea f2(x, y) = φ(x − 1, y − 2). Calcular f2(1, 2).


f2(x, y) > f2(1, 2)?


c) Sea f3(x, y) = φ(x − 1, y − 2) + 5. Calcular f3(1, 2).

¿Se puede determinar –para todos los (x, y) suficientemente cerca de (1, 2)– el signo de

f3(x, y) − f3(1, 2)?


f3(x, y) > f3(1, 2)?

Analizar estos casos para φ definida negativa e indefinida.


A: D R

Campo escalar

Llamaremos campo escalar a cualquier funcion f : Rn −→ R.

Conjuntos de nivel

Sean f : A ⊂ Rn −→ R y c ∈ R. El conjunto de nivel de valor c se define como

f −1(c) = {x ∈ A / f (x) = c}

N: para n = 2 se llama curva de nivel y para n = 3 superficie de nivel.

El siguiente grafico muestra

u el grafico de una funcion f : R2 −→ R

u el plano horizontal z = k

u la curva D, su interseccion con el plano z = k y

u C, la curva de nivel k de f

Plano z=k

C

D

D

C

gráfico de f

x

y

z

: curva intersección del gráfico de f con el plano z=k

: curva de nivel k de f

Cabe mencionar que C es la proyeccion de D sobre el plano xy. Es conveniente recordarque la curva de nivel de una funcion esta contenida en su dominio, no en su grafico.

Una situacion similar se presenta con las superficies de nivel de una funcion F : R3 −→ R.Claro que en ese caso no la podrıamos representar graficamente debido a que el grafico de Festa en R4.


Conceptos topologicos

B r > 0: B(a, r) = {x ∈ Rn / ‖x − a‖ < r}

B r > 0: B(a, r) = {x ∈ Rn / ‖x − a‖ 6 r}

C : si esta contenido en B(0, r) para algun r > 0

E ∈ Rn: es un conjunto E que contiene una bola abierta centrada en a

C : es un conjunto que es entorno de cada uno de sus puntos. Es decir, unconjunto A ⊂ Rn es abierto si para cada a ∈ A existe un r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A.

A

a

B(a,r)

P : a ∈ A es un punto interior de A si existe un entorno de a contenido en A.

I :◦A = {a ∈ A / a es un punto interior de A}

C : es un conjunto cuyo complemento es un conjunto abierto. Es decir, unconjunto A ⊂ Rn es cerrado si para cada a < A existe un r > 0 tal que B(a, r) ∩ A = ∅.

A

R -A

a

B(a,r)

n

F: ∂A = {x ∈ Rn / B(x, r) ∩ A , ∅ y B(x, r) ∩ (Rn − A) , ∅ para todo r > 0}

AR -A

B(x,r)

n

x


A C: A = A ∪ ∂A

C : es un conjunto cuyos puntos se pueden unir mediante caminos cuyastrazas estan contenidas en el.

A Bx

a g

f

y

b

la traza de f está contenida en A

A es arcoconexo B no es arcoconexo

cualquier camino g que una 'a' con 'b' tiene parte

de su traza fuera de B

C : es un conjunto cerrado y acotado.

Proposicion

Sean a ∈ Rn y r > 0, entonces

(i) B(a, r) es un conjunto abierto

(ii) B(a, r) es un conjunto cerrado

(iii) B(a, r) = B(a, r)

(iv) ∂B(a, r) = ∂B(a, r) = {x ∈ Rn / ‖x − a‖ = r}


Proposicion

Sea A ⊂ Rn. Se tiene

(i)◦A es un conjunto abierto

(ii) A es abierto si y solo si A =◦A

Proposicion

Sea A ⊂ Rn. Se tiene

(i) A es un conjunto cerrado

(ii) A es cerrado si y solo si A = A

Funcion acotada

Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Se dice que f es acotada si existe M > 0 tal que | f (x)| 6 M paratodo x ∈ A.

Lımite — Continuidad

Lımite

Sean f : A ⊂ Rn −→ R un campo escalar, a ∈ A y ` ∈ R, decimos que el lımite de f cuandox tiende a a es ` —y lo notamos lım

x→af (x) = `— cuando para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que

x ∈ A y 0 < ‖x − a‖ < δ =⇒ | f (x) − `| < ε

Proposicion (Unicidad del lımite)

Sea f : A ⊂ Rn −→ R un campo escalar y a ∈ A. Si lımx→a

f (x) = `1 y lımx→a

f (x) = `2, entonces`1 = `2.

Proposicion

Sea f : A ⊂ Rn −→ R un campo escalar, a ∈ A y α ∈ R. Si lımx→a

f (x) = ` > α (resp. ` < α),entonces f (x) > α (resp. f (x) < α) para x en un entorno de a , x , a.

Proposicion

Sean f , g : A ⊂ Rn −→ R , a ∈ A y α, β ∈ R. Entonces, si lımx→a

f (x) = `1 y lımx→a

g(x) = `2,

(i) lımx→a

(α f + βg)(x) = α`1 + β`2


(ii) lımx→a

f (x)g(x) = `1`2

(iii) lımx→a

f (x)g(x)

=`1

`2(si `2 , 0)

ProposicionSean f , g : A ⊂ Rn −→ R , a ∈ A tales que lım

x→ag(x) = 0 y f es acotada en un entorno de

a ∈ A. Entonces,lımx→a

f (x)g(x) = 0

ProposicionSean f : A ⊂ Rn −→ R y a ∈ A tales que lım

x→af (x) = `. Sean ε > 0 , h : (` − ε, ` + ε) −→ R

tal que lımy→`

h(y) = L y g : (t0 − ε, t0 + ε) −→ B(a, r) tal que lımt→t0

g(t) = a. Entonces,

lımx→a

h ◦ f (x) = L y lımt→t0

f ◦ g(t) = `

ProposicionSea f : A ⊂ R2 −→ R y a ∈ A. Entonces, lım

x→af (x) = ` si y solo si

f (xn, yn) −→ `

para toda sucesion((xn, yn)

) ⊂ A , (xn, yn) , a, que converge a a.N: lo mismo vale para A ⊂ Rm (m ∈ N).

CorolarioSi ((xn, yn)) , ((un, vn)) son dos sucesiones que convergen al punto (a, b) ∈ R2 para las cuales

f (xn, yn) −→ `1 y f (un, vn) −→ `2

con `1 , `2, entonces no existe el lımite de f cuando (x, y)→ (a, b).N: lo mismo vale en Rm (m ∈ N).

Proposicion (lımite de una composicion)

Sean f : A −→ R, A ⊂ Rn abierto y a ∈ A tales que lımx→a

f (x) = `. Entonces,

(i) si la funcion h esta definida en un entorno del numero `, toma valores en R y satisfacelımy→`

h(y) = L, se tiene

lımx→a

h ◦ f (x) = L

(ii) si la trayectoria g esta definida en un entorno del numero t0 y satisface lımt→t0

g(t) = a, se

tienelımt→t0

f ◦ g(t) = `


Corolario

Si g1 : (−1.1) −→ Rn y g2 : (−1, 1) −→ Rn satisfacen que

lımt→0

g1(t) = a = lımt→0

g2(t) y lımt→0

f ◦ g1(t) = `1 , `2 = lımt→0

f ◦ g2(t)

entonces no existe lımx→a

f (x).

Ejemplo

Consideremos la funcion f (x, y) =x2y

x4 + y2 . Para todo (a, b) , (0, 0) esta funcion tiene lımite

y valea2b

a4 + b2 dado que se cumplen las hipotesis de una proposicion anterior. Supongamosahora que queremos analizar

lım(x,y)→(0,0)

f (x, y)

Como tanto el denominador como el numerador tienden a cero no contamos con ningun resul-tado que nos permita asegurar siquiera que existe.

Con el objeto de analizar como se comporta el grafico de f cerca del origen nos vamos aacercar a este punto por dos curvas

g1(t) = (t,−t) −−−→t→0

(0, 0) y g2(t) = (t, t2) −−−→t→0

(0, 0)

x

y

traza de g

traza de g

2

1

Si calculamos los valores de f sobre estas curvas, cuyas trazas estan en su dominio, y lassubimos a su grafico nos quedan determinadas dos curvas en el espacio

c1(t) = (t,−t, f (t,−t)) y c2(t) = (t, t2, f (t, t2))

Miremos ahora sus trazas junto con el grafico de f


xy

z

traza de c

traza de c

traza de g

traza de g

1

2

2

1/2

1

Rotando un poco esta figura uno puede tener una mejor idea del grafico de f

De frente Desde arriba

Queda claro a partir de aquı que la ultima coordenada de c1(t) se acerca a 0 cuando t → 0pero en cambio la ultima coordenada de c2(t) se mantiene constante en el valor 1

2 y por lo tantose acerca a ese valor cuando t → 0. Esto nos confirma que la funcion f no tiene lımite cuando(x, y)→ (0, 0).

Hubıeramos llegado facilmente a esta conclusion calculando

f (g1(t)) = f (t,−t) =−t3

t4 + t2 =−t

t2 + 1y f (g2(t)) = f (t, t2) =

t4

2t4 =12

pues entonces

lımt→0

f (g1(t)) = 0 ,12

= lımt→0

f (g2(t))


Observaciones

1. si reemplazamos g1 por cualquier otra recta que pase por el origen obtenemos que f (g1(t))sigue tendiendo a cero

2. la razon de haber elegido la parabola g2 es que de esa forma logramos equiparar los gradosde x y de y que estan descompensados en la formula de la funcion.

Continuidad

Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Se dice que f es continua en a ∈ A si lımx→a

f (x) = f (a).

Se dice que f es continua en A si es continua en cada uno de sus puntos.

Proposicion

Sean f : A ⊂ Rn −→ R y a ∈ A. Entonces, f es continua en a si y solo si para todo ε > 0existe δ > 0 tal que

x ∈ A y ‖x − a‖ < δ =⇒ | f (x) − f (a)| < ε

Proposicion

Sean f , g : A ⊂ Rn −→ R continuas en a ∈ A y α, β ∈ R. Entonces,

(i) α f + βg es continua en a

(ii) f g es continua en a

(iii)fg

es continua en a siempre que g(a) , 0

(iv) si h : ( f (a) − ε, f (a) + ε) −→ R es continua en f (a), h ◦ f es continua en a.

Teorema (Bolzano)

Sea f : A −→ R continua y A ⊂ Rn conexo por arcos. Si f toma un valor positivo y otronegativo, entonces existe a ∈ A tal que f (a) = 0.

Corolario

Sea f : A −→ R continua y A ⊂ Rn conexo por arcos. Si f (x) , 0 para todo x ∈ A, entonces

f > 0 en A o f < 0 en A


Teorema (de los valores intermedios)

Sea f : A −→ R continua y A ⊂ Rn conexo por arcos. Si f (x1) = a , f (x2) = b y a < c < b,entonces existe x0 ∈ A tal que f (x0) = c.

Teorema (Weierstrass)

Sea f : K −→ R continua y K ⊂ Rn compacto. Entonces f resulta acotada y ademas existenx1, x2 ∈ K tales que

f (x1) 6 f (x) 6 f (x2)

para todo x ∈ K; es decir, f alcanza un valor maximo absoluto – f (x1)– y un valor mınimoabsoluto – f (x2)– en el conjunto K.

Continuidad uniforme

Sea f : A ⊂ Rn −→ R. Se dice que f es uniformemente continua en A si para cada ε > 0existe δ > 0 tal que

‖x1 − x2‖ < δx1, x2 ∈ A

=⇒ | f (x1) − f (x2)| < ε

Teorema (Heine-Cantor)

Sea K ⊂ Rn un conjunto compacto y f : K −→ R continua. Entonces f es uniformementecontinua en K.

Proposicion

Sea T : Rn −→ R una transformacion lineal. Entonces,

(i) Existen escalares a1, . . . , an ∈ R tales que

T (x1, . . . , xn) = a1x1 + · · · + anxn

(ii) Existe A ∈ R tal que |T (x)| 6 A ‖x‖ para todo x ∈ Rn

(iii) |T (x) − T (x0)| 6 A ‖x − x0‖ para todo x, x0 ∈ Rn

(iv) Toda transformacion lineal, asociada a una matriz no nula, es un polinomio de grado 1con todos sus monomios de grado 1

(v) T es una funcion continua


Resultados de Algebra Lineal

� A ∈ Rn×n se dice ortogonal si AAt = I.

� A ∈ Rn×n se dice simetrica si ai j = a ji para todo i, j = 1, . . . , n.

� λ ∈ R es un autovalor de A ∈ Rn×n si existe v , 0 tal que Avt = λv. El vector v se llamaautovector asociado al autovalor λ.

N: esto significa que la transformacion lineal cuya matriz es A manda la recta generada por v en sı

misma.

� Los autovalores de A ∈ Rn×n son las raıces del polinomio P(t) = det(A − tI).

� Si A ∈ Rn×n es simetrica, entonces todos sus autovalores son reales y A resulta diagonalizable,es decir, existe una matriz ortogonal P (cuyas columnas constituyen una base ortonormal deRn formada por autovectores de A) tal que

PtAP = D =

λ1 · · · 0...

. . . 00 · · · λn

siendo λ1, . . . , λn los autovalores de A, no necesariamente todos distintos.

Forma cuadratica

Sea A = (ai j) una matriz simetrica de orden n. La funcion φ : Rn −→ R dada por

φ(x) =

n∑

i, j=1

ai jxix j = x A xt

se llama forma cuadratica. Se dice que

? φ es definida positiva si φ(x) > 0 para todo x , 0

? φ es definida negativa si φ(x) < 0 para todo x , 0

? φ es semidefinida positiva si φ(x) > 0 para todo x ∈ Rn

? φ es semidefinida negativa si φ(x) 6 0 para todo x ∈ Rn

? φ es indefinida si no es definida ni semidefinida.


Ejemplos

1. La funcion φ(x, y) = x2 + y2 es una forma cuadratica pues

φ(x, y) =(x y

) 1 00 1

xy

su matriz asociada es A =

1 00 1

y ademas es definida positiva dado que φ(x, y) = x2 +y2 > 0

para todo (x, y) , 0.

2. La funcion φ(x, y, z) = x2 + z2 es una forma cuadratica pues

φ(x, y, z) =(x y z

)

1 0 00 0 00 0 1

xyz

Es semidefinida positiva dado que φ(x, y, z) > 0 para todo (x, y, z) ∈ R3 pero no definidapositiva debido a que, por ejemplo, (0, 1, 0) , 0 y φ(0, 1, 0) = 0.

3. La funcion φ(x, y, z) = x2 + y2 − z2 es una forma cuadratica pues

φ(x, y, z) =(x y z

)

1 0 00 1 00 0 −1

xyz

Es indefinida pues, por ejemplo, φ(1, 0, 0) = 1 > 0 y φ(0, 0, 1) = −1 < 0.

4. La matriz asociada a la forma cuadratica φ(x, y, z) = x2 − y2 + 2xy − 4xz + 12yz es

A =

1 1 −21 −1 6−2 6 0

Propiedades

Sea φ : Rn −→ R una forma cuadratica.

u φ(0) = 0

u φ(λx) = λ2φ(x)

u φ(

x‖x‖

)= 1‖x‖2φ(x) para todo x , 0

u Existe M ∈ R tal que |φ(x)| 6 M ‖x‖2 para todo x ∈ Rn

u Toda forma cuadratica φ, asociada a una matriz no nula, es un polinomio de grado 2 formadounicamente por monomios de grado 2.


u Toda forma cuadratica es una funcion continua.

u Sea A ∈ Rn×n simetrica y φ la forma cuadratica asociada. Entonces,

(i) φ es definida positiva si y solo si todos los autovalores de A son positivos.

(ii) φ es definida negativa si y solo si todos los autovalores de A son negativos.

(iii) φ es indefinida si y solo si tiene autovalores positivos y negativos.

Observacion

Consideremos la esfera unitaria de Rn: S = {x ∈ Rn / ‖x‖ = 1}. Es claramente un conjuntocerrado y acotado, es decir, compacto. Si φ : Rn −→ R es una forma cuadratica, por sercontinua, podemos asegurar en virtud del resultado anterior que sobre el compacto S alcanzavalores maximo y mınimo absolutos. Es decir, existen x1, x2 ∈ S

φ(x1) 6 φ(x) 6 φ(x2)

para todo x ∈ S .Si ademas suponemos que φ es definida positiva debera ser φ(x1) > 0 puesto que, siendo x1

de norma 1, no puede ser 0.

Como corolario obtenemos el siguiente resultado

Proposicion

Sea φ : Rn −→ R una forma cuadratica. Entonces,

� Si φ es definida positiva, entonces existe una constante M > 0 tal que

φ(x) > M‖x‖2

para todo x ∈ Rn

� Si φ es definida negativa, entonces existe una constante M > 0 tal que

φ(x) 6 −M‖x‖2

para todo x ∈ Rn.

Practica ´ 6 · 2007-08-20 · FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS...

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