Práctica calificada 1 Series de tiempo UNI
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Escuela Profesional de Ingenier´ ıaEcon´omica An´ alisis Series de Tiempo Financieras RafaelCapar´o [email protected] 27 de septiembre de 2013 Pr´ actica calificada 1 El desarrollo de la pr´ actica dura 3 horas, las primeras dos horas estan desti- nadas a resolver el conjunto de problemas. En la ´ ultima hora se debe desarrollar los programas en MATLAB o EViews vistos en los laboratorios. 1. Ejercicios para calentar Ejercicio 1: Sea X y Y dos variables aleatorias con E[Y ]= μ y E[Y 2 ] < ∞. a) Muestre que la constante c = μ minimiza E[(Y - c) 2 ]. b) Dedusca que la variable aleatoria (v.a.) f (X) que minimiza E[(Y -f (X)) 2 /X] es f (X)= E[Y/X]. c) Pruebe que la v.a. que minimiza E[(Y - f (X)) 2 ] es tambien f (X)= E[Y/X]. Ejercicio 2: Sea la serie definida por X n = Z n + θZ n-2 con n enteros, Z n es un RB(0,σ 2 )y θ es una constante real positiva. a) Notamos ρ X (h)= Cov(X n ,X n-h ). Calcule ρ X (h). b) Calcule la varianza de (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 )/4 para θ =0,8y σ 2 = 1. c) Repita el ejercicio para θ = -0,8 Ejercicio 3: Sea la serie definida por X n = φX n-2 + Z n con n enteros, Z n es un RB(0,σ 2 )y |φ 1 | < 1. X n es estacionario. Z n y X m no estan correlacionados para m<n. a) Calcule ρ X (h). b) Calcule la varianza de (X 1 + X 2 + X 3 + X 4 )/4 para φ =0,9y σ 2 = 1. c) Repita el ejercicio para φ = -0,9 Ejercicio 4: Sobre el conjunto de series definimos el operador de diferencias primeras ∇ ,como (∇x) n = x n - x n-1 . Si x n = ∑ p k=0 c k n k con n ∈ V , muestre 1
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Práctica calificada 1 Series de tiempo UNI
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Escuela Profesional de Ingeniera EconomicaAnalisis Series de Tiempo Financieras
Rafael Caparo
27 de septiembre de 2013
Practica calificada 1
El desarrollo de la practica dura 3 horas, las primeras dos horas estan desti-nadas a resolver el conjunto de problemas. En la ultima hora se debe desarrollarlos programas en MATLAB o EViews vistos en los laboratorios.
1. Ejercicios para calentar
Ejercicio 1: Sea X y Y dos variables aleatorias con E[Y ] = y E[Y 2]
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que n es un polinomio de grado p - 1 y que (p+1x)n = 0.
Ejercicio 5: sean x1, x2, ..., xn los valores observados de una serie de tiempoy n(h) la funcion de autocorrelacion empirica. Pruebe que:a) Si xt = a+ bt, donde a y b 6= 0 son constantes muestre que para h fijado:
lmn n(h) = 1
b) Si xt = ccos(wt) donde c 6= 0 y w (pi, pi] son constantes, muestre quepara h fijo:
lmn0
n(h) = cos(wt)
2. Problemas
2.1. Problema 1: Mecanismos de Ecuaciones en Diferencia
Demuestre que los coeficientes del multiplicador dinamico (FIR), ci respon-den a la siguiente expresion, que involucra los valores propios. i:
ci =p1ip
i=1,i6=k(i k)Donde los valores propios provienen de la matriz F,
F=
1 2 3 ... p1 0 0 ... 00 1 0 ... 00 0 1 ... 0
que representa una transformacion de la ecuacion en diferencia de orden p,ED(p)
yt = 1yt1 + 2yt2 + 3yt3 + ...+ pytp + t
Los coeficientes ci provienen de la matriz T, tal que
ci = [t1iti1], y
T=
t11 t12 t13 ... t1pt21 t22 t23 ... t1p...
. . . ......
tp1 tp2 tp3 ... tpp
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3. Ejercicios propuestos
3.1. Captulo 1
Si los valores propios de la matriz F de orden (pp) definida como un arreglode un AR(p) tal que:
F=
1 2 3 ... p1 0 0 ... 00 1 0 ... 00 0 1 ... 0
son menores que 1 en modulo (cada i equivale a un coeficiente de la
variable rezagada del AR ), entonces demuestre que la matriz (Ip F )1existe y el efecto de w sobre el valor presente de y esta dado por el elemento(1,1) de la matriz F, como sigue:
1/(1 1 22 p1p1 pp).
3.2. Captulo 3
Mostrar que si L es el operador de rezagos y (L) es un polinomio carac-terstico como los vistos en clase entonces se cumple que:
(L)c = c/(1 1 2) (1)
Donde c es una constante.
3.3. Captulo 4
Demuestre que la prediccion s periodos adelante de un proceso ARMA(p,q)esta dado por:
yt+s/t = c+1(yt+s1/tc)+2(yt+s2/tc)+3(yt+s3/tc)+...+p(yt+sp/tc)
+st + s+1t1 + s+2t2 + ...+ qt+sq
para s = 1, 2, ...q , y
yt+s/t = c+1(yt+s1/tc)+2(yt+s2/tc)+3(yt+s3/tc)+...+p(yt+sp/tc)
para s = q + 1, q + 2, ...Donde los coeficientes corresponden a la parte AR del modelo y los coeficientes corresponden a la parte MA del modelo.
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