practica de cálculo Informática FCPN

8/19/2019 practica de cálculo Informática FCPN

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SEMESTRE I/2016

CRONOGRAMA DE EVALUACIONES

Examen 1 (1er. Parcial): 17 de abril

Examen 2 (2do. Parcial): 22 de mayoExamen nal: 18 de junio

Examen 2T: 23 de junio

CONTENIDO

1. Números reales

2. Funciones3. Límites

4. Continuidad5. Derivadas

6. Aplicación de la derivada7. Integrales8. Métodos de Integración

Contenido para examen 1: 1, 2, 3Contenido para examen 2: 4, 5, 6

Contenido para examen nal: Todos los capítulosContenido para examen 2T: Todos los capítulostexto


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Capítulo 1

Números Reales "Sobre la base de los números, las

Matemáticas han construido conceptos más sosticados y se han desarrollado hasta

construir un área muy amplia, que va muchomás allá de lo que encontramos en un típico

temario escolar".- Ian Stewart

1. Axiomas de los números reales

1. Demostrar lo siguiente:

a ) Si ab = a para algún número a = 0 , entonces b = 1.b) x2 −y2 = ( x −y)(x + y).c ) Si x2 = y2 , entonces x = y o x = −y.d ) x3 −y3 = ( x −y)(x2 + xy + y3 ).e ) xn −yn = ( x −y)(xn − 1 + xn − 2 y + · · ·+ xyn − 2 + yn − 1 ). f ) x3 + y3 = ( x+ y)(x2 −xy+ y2 ). Hay una manera particularmente fácil de hacer esto utilizando(d) y esto hará ver una descomposición en factores de xn + yn cuando n es impar.

2. ¿Dónde está el fallo en la siguiente “demostración”? Sea α = β . Entonces

α 2 = αβ α 2 −β

2 = αβ −β 2

(α + β )(α −β ) = β (α −β )α + β = β

2β = β 2 = 1


a ) ab

= acbc

, si b, c = 0 .

b) ab +

cd

= ad + bc

bd , si b, d = 0 .

c ) (ab)− 1 = a− 1 b− 1 , si a, b = 0 .Para hacer esto hace falta tener presentecómo se ha denido (ab)− 1 .

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d )

ab ·

cd

= acdb

, si b, d = 0 .e )

ab

cd

= adbc

, si b, c, d = 0 . f ) Si b, d = 0 , entonces ab = cd si y solo siad = bc. Determinar también cuando es

ab =

ba .

2. Desigualdades

1. Encontrar todos los números x para los que

a ) 4−x < 3 −2x.b) 5−x2 < 8.c ) 5−x2 < −2.d ) (x −1)(x −3) > 0.¿Cuándo es positivo un producto de dos

números?e ) x2 −2x + 2 > 0. f ) x2 + x + 1 > 2.g ) x2 −x + 10 > 16.

h ) x2 + x + 1 > 0.

i ) (x −π)(x + 5)( x −3) > 0. j ) x −

3√ 2 x −√ 2 > 0.k ) 2x < 8.

l ) x + 3 x < 4.

m ) 1x

+ 11

−x

> 0.

n ) x −1x + 1

> 0.


a ) Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d.b) Si a < b, entonces −b < −a.c ) Si a < b y c > d, entonces a −c < b −d.d ) Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

e ) Si a < b y c < 0, entonces ac > bc. f ) Si a > 1, entonces a2 > a .

g ) Si 0 < a < 1, entonces a2 < a .h ) Si 0 ≤ a < b y 0 ≤ c < d, entonces ac < bd.i ) Si 0 ≤ a < b , entonces a2 < b 2 .Utilícese (h).

j ) Si a, b ≥ 0 y a2

< b2

, entonces a < b.Utilícese (i).

3. a ) Demostrar que si 0 ≤ x < y , entonces xn < y n .b) Demostrar que si x < y y n es impar, entonces xn < y n .c ) Demostrar que si xn = yn y n es impar, entonces x = y.d ) Demostrar que si xn = yn y n es par, entonces x = y o x = −y.

4. Demostrar que si 0 < a < b , entonces

a < √ ab < a + b2 < b .Nótese que la desigualdad √ ab ≤ (a + b)/ 2 se cumple para a, b ≥ 0, sin la suposición adicionala < b.

3. Propiedades del valor absoluto

1. Dese una expresión equivalente de cada una de las siguientes utilizando como mínimo una vezmenos el signo de valor absoluto.

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a ) √ 2 + √ 3 −√ 5 + √ 7 .b) (|a + b| − |a| − |b|) .c ) (|a + b|+ |c| − |a + b + c|) .

d ) x2 −2xy + y2 .

e ) √ 2 + √ 3 − √ 5 −√ 7 .2. Expresar lo siguiente prescindiendo de signos de valor absoluto, tratando por separado distintos

casos cuando sea necesario.

a ) |a + b| − |b|.b) (|x| −1) .

c ) |x| − |x2 |.d ) a − (a − |a|) .

3. Encontrar todos los números x para los que se cumple

a ) |x −3| = 8.b) |x −3| < 8.c ) |x + 4| < 2.d

) |x −1|+ |x −2| > 1.

e ) |x −1|+ |x + 1| < 2. f ) |x −1|+ |x + 1| < 1.g ) |x −1| · |x + 1 | = 0.h

) |x −1| · |x + 2 | = 3.4. Demostrar los siguiente:

a ) |xy| = |x| · |y|.b)

1x

= 1

|x|, si x = 0 .

La mejor manera de hacer esto es recor-dando el signicado de |x|

− 1 .

c ) |x||y|

=x

y, si y

= 0 .

d ) |x −y| ≤ |x|+ |y|.Dese una demostración muy corta.e ) |x| − |y| ≤ |x −y|.

Es posible dar una demostración muy cor-ta escribiendo las cosas debidamente.

f ) (|x| − |y|) ≤ |x −y|.¿Por qué se sigue esto de (e)?g ) |x + y + z | ≤ |x|+ |y|+ |z |.Indíquese cuándo se cumple la igualdad y

demostrar el aserto.h ) |xy −ab| ≤ |x||y −b|+ |b||x −a|.i ) |x| − |y| ≤ |x −y|.

j ) |a −b| < c ⇒ |b| −c|a| < |b|+ c.5. El máximo de dos números x e y se denota por máx(x, y). Así máx(−1, 3) = m áx(3, 3) = 3 ymáx(−1, −4) = m áx(−4, −1) = −1. El mínimo de x e y se denota por ḿın( x, y). Demostrar que

máx(x, y) = x + y + |y −x|

2 ,

ḿın( x, y) = x + y

− |y

−x

|2 .Derivar una fórmula para máx(x,y,z ) y ḿın( x,y,z ), utilizando, por ejemplo

máx(x,y,z ) = m áx x, máx(y, z ) .

6. a ) Demostrar que |a| = | −a|. No debe complicarse el proceso con un exceso número de casos.Demostrar primero el aserto para a ≥ 0. ¿Por qué es después evidente para a ≤ 0?b) Demostrar que −b ≤ a ≤ b si y solo si |a| ≤ b. En particular se sigue que −|a| ≤ a ≤ |a|.c ) Utilizar este hecho para dar una nueva demostración de |a + b| ≤ |a|+ |b|.

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4. Problemas varios

1. (Difícil) Demostrar que si x e y no son 0 los dos, entonces

x2 + xy + y2 > 0

x4 + x3 y + x2 y2 + xy3 + y4 > 0

Ayuda: Utilizar el Problema 1.

2. a ) Hallar el valor mínimo de 2x2 −3x + 4. Ayuda: “Completar el cuadrado”, o sea, poner2x2 −3x + 4 = 2( x −

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)2 +?

b) Hallar el valor mínimo de x2 −3x + 2y2 + 4 y + 2 .c ) Hallar el valor mínimo de x2 + 4 xy + 5y2 −4x −6y + 7 .

3. a ) Supóngase que b2

−4c

≥ 0. Demostrar que los números

−b + √ b2 −4c2

, −b−√ b2 −4c2

satisfacen ambos la ecuación x2 + bx + c = 0.b) Supónga que b2 −4c < 0. Demostrar que no existe ningún número x que satisfaga x2 + bx+ c =0; de hecho es x2 + bx + c > 0 para todo x. Indicación: “Completar el cuadrado”, es decir,

escribir x2 + bx + c = ( x + b/2)2 +?c ) Utilizar este hecho para dar otra demostración de que si x e y no son ambos 0, entonces

x2 + xy + y2 > 0.

d ) ¿Para qué números α se cumple que x2 + αxy + y2 > 0 siempre que x e y no sean ambos 0?e ) Hállese el valor mínimo posible de x2 + bx+ c y ax 2 + bx+ c, para a > 0. Utilícese el articio

de la parte (b).

4. a ) Si a ∈Q y b ∈Q c (es decir, b es un número irracional), ¿es a + b necesariamente irracional?b) Si a ∈Q y b ∈Q c , ¿es ab necesariamente irracional?c ) ¿Existe algún número a tal que a2 es irracional, pero a4 racional?d ) ¿Existen dos números racionales tales que sean racionales tanto su suma como su producto?

5. (Difícil.)

a ) Demostrar: si x = p + √ q , p y q en Q y n ∈N, entonces xm = a + b√ q , siendo a, b ∈Q .b) Demostrar tambien que p−√ q

m = a −b√ q .6. Sea a = 0 en R , denimos a0 = 1 y si n ∈ N, a

− 1 = 1 /a n o sea a− n = ( an )− 1 . Probar que:am an = am + n y (am )n = amn para todo m, n ∈Z .

7. (Difícil) Si x 1y1 = x 2y2 = ·· · = x ny n en R , probar que, dados a1 , . . . , a n ∈R tales que a1 y+ · · ·+ an yn = 0 ,

se tiene a 1 x 1 + ··· + a n x na 1 y1 + ··· + a n y n = x 1y1 .

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8. (i) Si b > a > 0 y c > 0. Demostrar que

a + cb + c

> ab .

(ii) Si a,b,c,d > 0 y ab

> cd

. Demostrar que a + cb + d

> cd

.

9. (Difícil) Si a, b, c ∈R . Demostrar a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc.10. (Dićil)

(i) Si a2 + b2 = 1 , c2 + d2 = 1 , entonces probar que ac + bd ≤ 1.(ii) Si a > 0, demostrar que a +

1a ≥ 2 .

(iii) Demostrar que: ab + ba > 2 donde a = b y a > 0 y b > 0.5. Cotas superiores mínimas

1. Encuentre la mínima cota superior para cada uno de los siguientes conjuntos:

a ) S = {−10, −8, −6, −4, −2}b) S = {−2, −2.1, −2.11, −2.111, −2.1111, . . .}

c ) S = {2.4, 2.44, 2.444, 2.4444, . . .}d ) S = 1 −

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, 1 − 13

, 1 − 14

, 1 − 15

, . . .

(e) S = x/x = (−1)n + 1 /n, n ∈ N y n = 0 ; esto es, S es el conjunto de todos los números xque tienen la forma x = (−1)n +

1n

donde n es un entero positivo.

(f) S = x/x 2 < 2, x ∈Q

2. El axioma del supremo dice que: todo conjunto de números reales que tiene una cota superior,tiene una mínima cota superior que es un número real.

a ) Demuestre que la proposición de arriba es falsa si la palabra real se reemplaza por racional.b) ¿La proposición de arriba será verdadera o falsa si la palabra real fuese reemplazada por

natural?

3. Halle la cota superior mínima y la cota inferior máxima (si existen) de los siguientes conjuntos.(Tómese N = 1, 2, . . . y cada conjunto es un subconjunto de los números reales.)

a ) 1

nn

∈N .

b) 1n

n ∈Z , n = 0 .c ) x/x = 0 o x = 1/n, ∃n ∈N .d ) x/ 0 ≤ x ≤√ 2 y x ∈Q .

e ) x/x 2 + x + 1 ≥ 0 . f ) x/x 2 + x −1 < 0 .g ) x/x < 0 y x2 + x −1 < 0 .h )

1n

+ (−1)n n ∈N .

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