Práctica de Elasticidad (Viga Voladiza)

PRCTICA N 3 VIGA VOLADIZA Alumnos: Edrei Robles, Mariana Carmona, Sal Malagn

1

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE FISICA Y MATEMATICAS

DEPTO. DE FSICA

ACADEMIA DE FSICA EXPERIMENTAL

LABORATORIO DE FISICA II

ELASTICIDAD

PRACTICA No. 3 Viga voladiza

ALUMNOS:

Edrei Robles

Mariana Carmona

Sal Malagn

2FM2, A, EQUIPO VERDE

PROFESORA:

Dra. Elvia Daz Valds

SEMESTRE: 2

Fecha de entrega: 23/02/14

Elvia Daz 23/3/14 01:45Comment [1]: CALIFICACIN: 6 (SEIS)


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INDICE

I.FUNDAMENTACIN TERICA ................................................................................... 3

II.DESARROLLO EXPERIMENTAL ............................................................................... 6

2.1. Experimento N 1 ..................................................................................................... 6

2.1.1. Material y equipo ........................................................................................ 6

2.1.2. Procedimiento experimental ...................................................................... 6

2.1.3. Tablas de datos ......................................................................................... 7

2.1.4 Clculos y grficas ...................................................................................... 8

2.1.4.1. Clculo del mdulo de Young del acero y su incertidumbre ....... 8

2.1.4.2. Grfica deformacin vertical Carga aplicada a una viga voladiza de acero ..................................................................................... 9

2.1.5. Anlisis, discusin e interpretacin de la grfica deformacin vertical carga aplicada a una viga de acero .................................................................. 10

2.2. Experimento N 2 .................................................................................................. 10

2.2.1. Material y equipo ..................................................................................... 10

2.2.2. Procedimiento experimental ................................................................... 10

2.2.3. Tablas de datos ...................................................................................... 11

2.2.4. Clculos y grficas .................................................................................. 12

2.2.4.1. Clculo del mdulo de Young del acero y su incertidumbre .... 12

2.1.4.2. Grfica deformacin vertical Longitud de la viga en voladizo 13

2.1.5. Anlisis, discusin e interpretacin de la grfica deformacin vertical carga aplicada a una viga de acero .................................................................. 13

III. CONCLUSIN ........................................................................................................ 13

IV. BIBLIOGRAFA ...................................................................................................... 13


3

I.FUNDAMENTACIN TERICA

Ilustracin 1. Flexin de una viga por uno de sus extremos

La flexin producida por la aplicacin de una fuerza F en sus extremos est determinada por el desplazamiento vertical z del extremo suelto. Si analizamos lo que ocurre con el sector gris oscuro destacado en la anterior figura encontraremos que si los dividimos en placas paralelas al flexionarse la viga, las placas superiores experimentarn una expansin, mientras que las inferiores se comprimirn, habr por tanto una zona a lo largo de la viga en que las placas ni se expandirn ni se comprimirn, es decir, conservarn su longitud inicial; a esta zona se le llama la zona neutra y para secciones transversales simtricas esta zona estar justamente a mitad de la seccin transversal. Por otra parte, la flexin en cada punto a lo largo de la viga estar dada por la inversa de su radio de curvatura ya que, en efecto, en donde el radio r sea menor, la curvatura ser mayor y viceversa.

L

L

x Z

F

a d dA

y

2 Expansin

Zona neutra

Compresin

Sin cambio R

y

dy

F

l + l

a l

2 2 F

y


4

De la figura anterior podemos establecer las siguientes relaciones 2 = 2 (1) Por tanto = (2) Por otra parte, aplicando la ley de Hooke a la placa deformada = (3) As que = (4) Multiplicando por y cada miembro de la ecuacin anterior obtendremos la torca aplicada sobre la placa

= = ! (5) Y ahora, integrando a lo largo de toda la seccin transversal

= ! (6) Y si definimos

= ! (7) Entonces

= 1 (8) La flexin para cada punto a lo largo de la viga depender de la torca aplicada, y para obtener una expresin explcita para esta frmula se harn las siguientes consideraciones:

Ya que

1 = !!1 + ! !! (9)


5

Puesto que la curvatura tendr un valor muy pequeo a lo largo de la viga, !"!" tendr un valor mucho menor que la unidad y por tanto podemos hacer la aproximacin 1 = !! (10) Por otra parte, la torca ser igual a = (11) As que sustituyendo 10 y 11 en 8

= !! 12 Podemos ahora encontrar, integrando 2 veces la ecuacin 12, la forma de la curvatura como z en funcin de x

= !2 !6 13 As, el desplazamiento vertical en el extremo libre de la viga, decir, cuando x = L, ser

= !3 (14)


6

II. DESARROLLO EXPERIMENTAL

Prctica No. 3 Viga voladiza

Objetivos generales:

Obtener el comportamiento deformacin-esfuerzo de una viga voladiza de acero.

a) Para la configuracin alto > ancho b) Para la configuracin ancho > alto

Objetivos particulares:

1) Desarrollar las expresiones deformacin-esfuerzo de una viga voladiza de acero.

2) Determinar la relacin entre el desplazamiento vertical y la carga aplicada para una longitud constante de una viga voladiza.

3) Calcular el mdulo de Young del acero, de acuerdo al 1er experimento. 4) Determinar la relacin entre el desplazamiento vertical y la longitud de la viga

voladiza cuando se mantiene constante la carga aplicada. 5) Calcular el mdulo de Young del acero, de acuerdo al 2 experimento.

2.1. Experimento N 1


2.1.1. Material y equipo - Viga de acero - Tornillo fijador - Tornillo micromtrico - Flexmetro - Porta pesas - Serie de pesas de 5 g hasta 100 g - Soporte universal - Hojas milimtricas - Bscula

2.1.2. Procedimiento experimental

1. Tomar mediciones directas constantes (alto, largo y ancho de la viga, masa del porta pesas)

2. Fijar la hoja milimtrica en el soporte universal

3. Fijar la viga a la mesa con el tornillo y alinearla a la hoja milimtrica

4. Poner una a una las pesas y medir la deformacin vertical de la viga

5. Graficar


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2.1.3 Tablas de datos

Tabla 1. Tabla de mediciones directas constantes

Smbolo Definicin Unidad Valor Incertidumbre

l Longitud cm 15 5E-4 m

a ancho mm 12.558 1E-6 m

h altura mm 0.195 1E-6 m

T temperatura 19.5 0.5

Tabla 2. Tabla de mediciones directas variables

Z (m) m (kg) 0.0005 0.0026 0.001 0.0036

0.0015 0.0046 0.0019 0.0056 0.0023 0.0066 0.0025 0.0076 0.0029 0.0086 0.003 0.0096

0.0033 0.0106 0.0039 0.0126 0.0045 0.0146 0.005 0.0166

0.0055 0.0186 0.0061 0.0206 0.0078 0.0256 0.009 0.0306

0.0109 0.0356 0.0121 0.0406 0.0132 0.0456 0.0148 0.0506 0.0178 0.0606 0.0202 0.0706 0.023 0.0806

*Z = Deformacin vertical *m= masa aplicada a la viga voladiza

Elvia Daz 22/3/14 12:41Comment [2]: De qu?



Elvia Daz 22/3/14 12:42Comment [5]: Reporten en sistema internacional


8

2.1.4 Clculos y Grficas

Tabla 3. Tabla de las medidas, directas e indirectas a graficar para obtener la relacin entre la carga aplicada y la deformacin vertical en la viga voladiza

W(N) Z (m) 0.02548 0.0005 0.03528 0.001 0.04508 0.0015 0.05488 0.0019 0.06468 0.0023 0.07448 0.0025 0.08428 0.0029 0.09408 0.003 0.10388 0.0033 0.12348 0.0039 0.14308 0.0045 0.16268 0.005 0.18228 0.0055 0.20188 0.0061 0.25088 0.0078 0.29988 0.009 0.34888 0.0109 0.39788 0.0121 0.44688 0.0132 0.49588 0.0148 0.59388 0.0178 0.69188 0.0202 0.78988 0.023

*Z = Deformacin vertical *W= Carga aplicada a la viga voladiza

La grfica de desplazamiento vertical en funcin de la carga aplicada para una longitud constante de la viga de cobre?

Relacin funcional del desplazamiento vertical en funcin de la carga aplicada para una longitud constante de la viga de cobre?

Interpretacin del comportamiento desplazamiento vertical en funcin de la carga aplicada para una longitud constante de la viga de cobre?

Conclusiones?

2.2. Clculo del mdulo de Young con los datos del experimento 1

Objetivo

1) Calcular el mdulo de Young del acero.


9


2.1.4.1 Clculo del mdulo de Young y su incertidumbre

Tenemos que la ecuacin de la grfica es y = 0.029x, por la relacin encontrada en los clculos anteriores

= !!!!" As que se puede reescribir la ecuacin como Z = 0.029 W

El mdulo de Young se relaciona con la pendiente de la ecuacin de la recta obtenida !3 = 0.029 A I se denomina momento de inercia de la seccin transversal, la cual es:

= 112 ! Sustituyendo

= 4!0.029! = 4 . 15!0.029 0.0125 (19.5 5)! = 4.9912 ! La incertidumbre de la pendiente se calcular con la siguiente frmula

Donde b es la pendiente, r el coeficiente de correlacin y n el nmero de datos

Por lo tanto el error de la pendiente es = 4E-4

Para calcular la incertidumbre del mdulo de Young, se harn las derivadas parciales respecto de cada variable independiente, b representar la pendiente, b= 0.029 y su incertidumbre

= 12!! + 4!!! + 4!!! + 12!! Haciendo los clculos, obtenemos que la incertidumbre del mdulo de Young es

= 4.0911 ! As que el mdulo de Young es de Y = (4.9912 4.0911) !!! El error relativo es |!"#!"#$!!"#$"%&'"()*+|!"#!"#$ 100 = 149.5%

Elvia Daz 22/3/14 12:56Comment [6]: Para el clculo del mdulo de Young, requieren graficar de manera que el mdulo de Young se calcule como la pendiente de la grfica. Entonces esta relacin la deben poner de forma que Y sea la pendiente de la relacin lineal.

Elvia Daz 22/3/14 12:45Comment [7]: Unidades?

Elvia Daz 22/3/14 12:57Comment [8]: El mdulo de Young no se calcula as.

Elvia Daz 22/3/14 13:00Comment [9]: Pero la pendiente no es una medicin directa.

Elvia Daz 22/3/14 13:00Comment [10]: Cul es el valor?

Elvia Daz 22/3/14 13:02Comment [11]: Este valor es muy grande!


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Interpretacin del valor que obtuvieron como mdulo de Young?

Interpretacin del error porcentual?

2.1.4.2 Grfica Deformacin vertical Carga aplicada a una viga voladiza de acero

2.1.5. Anlisis, discusin e interpretacin de la grfica deformacin vertical contra carga aplicada a una viga voladiza de acero

Al obtener la grfica puede notarse su forma lineal, de la cual obtuvimos la pendiente, la cual nos da el mdulo de Young, en este caso para el acero. Al momento de obtener la incertidumbre, se not que hubo un gran error en los datos experimentales obtenidos en la prctica.

Como en la teora se dijo, se observaron en la prctica las zonas de tensin y compresin que sufre la viga al deformarse por la aplicacin de masas en su extremo, como tambin se not la zona neutra de la viga.

Interpretacin del valor obtenido como mdulo de Young del cobre?

Interpretacin del valor obtenido como error porcentual?

Conclusiones?

2.2. Experimento N 2

Objetivos generales:

Obtener el comportamiento deformacin-esfuerzo de una viga voladiza de acero.

c) Para la configuracin alto > ancho d) Para la configuracin ancho > alto

Objetivos particulares:

y = 0.0292x + 0.0003 R = 0.99898 0

0.005 0.01

0.015 0.02

0.025

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

Deform

acin ve

r.cal Z (m

)

Carga aplicada W (N)

Grca de deformacin ver.cal contra la carga aplicada a una viga

voladiza de acero

Elvia Daz 22/3/14 13:02Comment [12]: Pero no de manera directa

Elvia Daz 23/3/14 00:41Comment [13]: El error se debi a los datos experimentales?


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2) Desarrollar las expresiones deformacin-esfuerzo de una viga voladiza de acero.


4) Calcular el mdulo de Young del acero, de acuerdo al 1er experimento. 5) Determinar la relacin entre el desplazamiento vertical y la longitud de la viga

voladiza cuando se mantiene constante la carga aplicada. 6) Calcular el mdulo de Young del acero, de acuerdo al 2 experimento.

2.2.1 Material y equipo

- Viga de acero - Tornillo fijador - Tornillo micromtrico - Flexmetro - Porta pesas - Serie de pesas de 5 g hasta 100 g - Soporte universal - Hojas milimtricas - Bscula

2.2.2 Procedimiento experimental

1. Tomar mediciones directas constantes (alto, largo y ancho de la bscula, masa del porta pesas)

2. Fijar la hoja milimtrica en el soporte universal

3. Fijar la viga a la mesa con el tornillo y alinearla a la hoja milimtrica

4. Poner una pesa fija y medir la deformacin vertical de la viga

5. Variar la longitud de la viga con la misma pesa y medir la deformacin

5. Graficar

2.2.3 Tablas de datos

Tabla 1. Tabla de medidas directas constantes

Smbolo Definicin Unidad Valor Incertidumbre

l Longitud cm 15 5E-4 m

a Ancho mm 12.558 1E-6 m

h Altura mm 0.195 1E-6 m

T Temperatura C 19.5 0.5C

m Masa constante aplicada Kg 0.0226 5E-6 kg


12

Tabla 2. Tabla de medidas directas variables

Z (m) L (m)

0.035 0.27

0.027 0.2425

0.0223 0.219

0.014 0.195

0.0095 0.1675

0.0065 0.143

0.004 0.118

0.0019 0.093

0.0009 0.07

0.0003 0.042 *Z = Deformacin vertical

*L= longitud de la viga voladiza


2.2.4.2 Grfica Deformacin vertical Carga aplicada a una viga voladiza de acero

2.2.5 Anlisis, discusin e interpretacin de la grfica deformacin vertical contra la longitud de una viga voladiza de acero

y = 0.282x3 + 0.6112x2 - 0.0621x + 0.002 R = 0.99638

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

Deform

acin ve

r.cal Z (m

)

Longitug de la viga L (m)

Grca de deformacin ver.cal contra la longitud de una viga voladiza de acero


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Se observaron las zonas de tensin, compresin y neutra de la viga con el cambio de la longitud que se encuentra en voladizo, aplicando una masa constante.

Al graficar se pudo notar una forma parablica que a diferencia del primer experimento hubo un error menor en la obtencin del mdulo de Young, acercndose ms al valor terico del mdulo de Young del acero.

Interpretacin del comportamiento desplazamiento vertical en funcin de la longitud de la viga de cobre para una carga aplicada constante?

Conclusiones?

2.2. Clculo del mdulo de Young con los datos del experimento 2

Objetivo

1) Calcular el mdulo de Young del acero.

2.2.4.1 Clculo del mdulo de Young y su incertidumbre

Tenemos que la ecuacin de la grfica es y = 0.282x3 + 0.6112x2 - 0.0621x + 0.002. Por la relacin encontrada en los clculos anteriores, sabemos que:

= !3 As que se puede reescribir la ecuacin como:

Z = !!!" ! = 0.282!

El mdulo de Young se relaciona con la pendiente de la ecuacin de la recta obtenida 3 = 0.282 I se denomina momento de inercia de la seccin trasversal, la cual es:

= 112 ! Despejando y sustituyendo:

= 40.282! = 4 0.02260.282 0.0125 (19.5 5)! = 3.4612 ! La incertidumbre de la pendiente se calcular con la siguiente frmula:

Donde b es la pendiente, r el coeficiente de correlacin y n el nmero de datos.

Elvia Daz 23/3/14 00:58Comment [14]: Qu otras opciones de comportamiento pueden proponer? Falta la interpretacin de las constantes de la funcin de ajuste.

Elvia Daz 23/3/14 01:02Comment [15]: Esta es otra funcin. Cmo pueden comprobarla? Qu hay de los otros trminos de la ec cbica?


14

Por lo tanto el error de la pendiente es = 1.2E-2

Para calcular la incertidumbre del mdulo de Young, se harn las derivadas parciales respecto de cada variable independiente, b representar la pendiente, b= 0.282 y su incertidumbre

= 4! + 4!! + 4!! + 12! Haciendo los clculos, obtenemos la incertidumbre del mdulo de Young:

= 2.01411 ! As que el mdulo de Young es de Y = (3.4612 2.01411) !!! El error relativo es |!"#!"#$!!"#$"%&'!"#$%|!"#!"#$ 100 = 73% Interpretacin del valor obtenido como mdulo de Young del cobre?

Interpretacin del valor obtenido como error porcentual?

Conclusiones?

III. CONCLUSIN

Se obtuvo el comportamiento deformacin esfuerzo de una viga voladiza de acero para dos configuraciones (alto > ancho y ancho > alto), que al comparar los resultados con los tericos, como es el mdulo de Young del acero, se pueden notar diferencias no tan grandes.

Se desarrollaron las expresiones para la obtencin del mdulo de Young a partir de los datos obtenidos en el experimento y se determin la relacin entre el desplazamiento vertical para:

1) Una longitud constante y una masa variable. 2) Una masa constante y una longitud variable.

IV. BIBLIOGRAFIA

1) Apuntes de el Prof. Peralta 2) Feynman, Richard, Lectures on physics volume 2, pp. 38.9 38.11 3) Sears, Zemansky, Fsica Universitaria Volumen I, pp. 363-365, Edit. Addison -

Wesley.

Elvia Daz 23/3/14 01:02Comment [16]: Unidades?

Elvia Daz 23/3/14 01:42Comment [17]: Indiquen los valores

Elvia Daz 23/3/14 01:43Comment [18]: Estas no son conclusiones, ms bien es un resumen de lo que hicieron.

Práctica de Elasticidad (Viga Voladiza)

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