PRACTICA DE LAORATORIO N° 02 FIISCA II

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Manual de Prácticas de Laboratorio de Física II PENDULO SIMPLE Optaciano Vásquez G.

2012

Universidad nacional“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS SECCIÓN DE FÍSICA

MANUAL DE PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE FISICA II

PRACTICA N° 02 “PENDULO SIMPLE”

AUTOR:M.Sc. Optaciano L. Vásquez García

HUARAZ - PERÚ2013

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2012

UNIVERSIDAD NACIONAL FACULTAD DE CIENCIAS“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO” DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

SECCIÓN DE FISICA

CURSO: FISICA II

PRACTICA DE LABORATORIO Nº 2.

PENDULO SIMPLE

I. OBJETIVO(S)

I.1. Estudiar el movimiento de un péndulo simple.I.2. Verificar si el período de un péndulo depende de varias propiedades del péndulo simple.I.3. Medir la aceleración de la gravedad local utilizando un péndulo simple y un cronómetro.

II. MARCO TEÓICO Y CONCEPTUAL

El péndulo simple es un sistema mecánico que exhibe movimiento periódico oscilatorio. El péndulo simple consiste en una bola de masa m suspendida de un punto fijo mediante una cuerda flexible e inextensible de longitud L como se muestra en la figura 2.1a. Si la masa se desplaza un ángulo pequeño θ a partir de la posición vertical y se libera desde el reposo se observa que la masa describe un movimiento armónico simple siempre y cuando se desprecie la fricción entre ella y el aire.

(a) (b) Figura 2.1. (a) Representación de un péndulo simple, (b) diagrama de cuerpo libre de m.

Del diagrama de cuerpo libre de la partícula de masa m se observa que sobre ésta actúan: la tensión T⃗ , a lo

largo del hilo y el peso W⃗ =m g⃗ de la masa pendular. La componente tangencial del peso mgsenθsiempre se

encuentra dirigida hacia la posición de equilibrio, de dirección opuesta al desplazamiento s⃗. Por tanto, la fuerza tangencial es una fuerza de restitución, de tal manera que cuando se aplica la segunda ley de Newton en dirección tangencial, se tiene

(2.1)

APELLIDOS Y NOMBRES................................................................................................ ……. CODIGO.......................... FECHA..................

FACULTAD................................................... ESCUELAPROFESIONAL................................................ GRUPO.......................

AÑO LECTIVO: ................................... SEMESTRE ACADEMICO................................. .NOTA................................

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(2.2)Donde s⃗ es el desplazamiento medido a lo largo del arco de circunferencia descrito por el péndulo y el signo negativo (-) indica el hecho de que la componente tangencial mgsenθ actúa en dirección opuesta al desplazamiento (es decir está dirigida hacia la posición de equilibrio). Por otro lado la magnitud del desplazamiento es s=Lθ, siendo la longitud del péndulo L constante, la ecuación 2.1 se escribe

(2.3)

(2.4)Esta es ecuación diferencial no lineal, cuya solución exacta es un desarrollo en serie de infinitos términos. Sin embargo, si las oscilaciones son pequeñas, es decir el ángulo θ es pequeño, se puede utilizar la aproximación senθ≅ θ, donde el ángulo θ se expresa en radianes. Por lo tanto la ecuación diferencial (2.4) se escribe

(2.5)

La ecuación (2.3) es la ecuación deferencial de un movimiento armónico simple, es decir, m describe un M.A.S. y la solución de la ecuación (2.5) es de la forma

(2.6)

Donde θ0 es el máximo desplazamiento angular, φ es el desfasaje y ω es la frecuencia natural circular, la misma que queda expresada como

(2.7)

El período del movimiento pendular está dado por

(2.8)*

Donde L es la longitud medida desde el punto de suspensión hasta el centro de masa de la esfera y g es la aceleración de la gravedad local. Debe observarse además que la masa m de la esfera y la amplitud máxima de las oscilaciones θ0, no aparecen en esta expresión. El período de un péndulo (dada nuestra hipótesis) no es dependiente de m y θ0 al menos de acuerdo a la teoría. Sin embargo, si nuestras hipótesis no se aplican al estudio del péndulo (el cable es pesado, la esfera tiene una gran y complicad forma, la amplitud es grande, etc), podría esperarse que esta fórmula no predice correctamente el período del péndulo.

Una investigación científica correcta trata de incluir todos menos uno de los factores que influyen constantemente. Los factores que permanecen constantes son llamados controles. El único factor que cambia durante la experimentación se llama variable independiente. La propiedad del sistema físico que se mide para determinar el efecto de cambio de la variable independiente es llamada variable dependiente. Si logramos mantener todos los demás factores constantes, cualquier cambio en el resultado de un experimento debería provenir de la variable independiente. De este modo, tratamos de dejar fuera los efectos individuales que cada uno de los factores ejerce sobre el fenómeno que estamos estudiando.

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En este experimento, Ud. podrá determinar experimentalmente la validez de la fórmula teórica para el período (T) de un péndulo simple. Va a estudiar la forma en que el período de un péndulo simple (la variable dependiente) es afectada cuando se varía tanto la masa m de la esfera, así como la amplitud θ0 de las oscilaciones, o la longitud del péndulo (la variable independiente) y manteniendo los otros factores (los controles) constantes. También se utilizará los resultados de estos experimentos para medir el valor de la aceleración de la gravedad g experimentalmente.

III. MATERIAL A UTILIZAR

III.1. Un soporte universal con dos varillas de acero y una nuez.III.2. Una prensa.III.3. Una regla graduada en mm.III.4. Un péndulo simple.III.5. Un cronómetro.III.6. Un nivel de burbujas.III.7. Un vernier o un micrómetroIII.8. Una balanza

IV. METODOLOGÍA

4.1 EXPERIMENTO 1. Investigación sobre la dependencia del período (T) de la amplitud de la oscilación (θ0).

En este experimento se trata de medir los períodos (T i) del péndulo para diversas amplitudes θi,0, manteniendo una longitud (L) fija así como una masa también constante m1 durante el experimento y representar en una gráfica la relación entre ambos. Para ello se sigue el siguiente procedimiento.

a) Utilizando la esfera de acero, realice la instalación mostrada en la figura 2.2b. En la parte superior, el hilo debe amarrarse de tal manera que se pueda cambiar la longitud con facilidad.

(a) (b)

Figura 2.2. Instalación del péndulo simple

b) Fije la longitud L del péndulo a un valor de 1 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo con la regla y con el micrómetro el diámetro de la esfera (L=Lhilo+RE). Registre dicho valor con su respectivo error.

c) Con la balanza mida la masa m de la esfera. Registre dicho valor con su errord) Desplace lateralmente a la masa pendular m un ángulo de 5° a partir de la posición de equilibrio y

libérela desde el reposo, midiendo el ángulo con un transportador.e) Con el cronómetro mida el tiempo requerido para 10 oscilaciones. Repita este paso por tres veces y

registre sus datos en la tabla I.

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f) Determine el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación (T=t /n ), donde t es el tiempo y n el número de oscilaciones.

g) Repita los pasos (d) y (e) y (f) para ángulos de 10°, 15°, 20°, 25° y 30°. Ordene los datos en la tabla I y haga una gráfica representando el período en función de la amplitud.

Tabla I. Relación período (T) – amplitud de oscilación (θ0) para el movimiento pendular.

Experimento I: L =L0 ± ΔL =…………..± ………….; m = mo ± Δm =……………..±…………Amplitud Tiempo (s) Período promedio

t1 t2 t3 T1 T2 T3 Tpromedio

5°10°15°20°25°30°

4.2 Experimento II. Investigación de la dependencia del período (T) de la masa (m) del péndulo.

En este experimento se trata de medir los períodos (Ti) del péndulo para diversas masa mi manteniendo constantes la amplitud θ0 y la longitud (L) durante todo el experimento y representar en una gráfica la relación que aparece entre el período y la masa del péndulo. Para ello se sigue el siguiente procedimiento.

a) Utilizando la esfera de acero, realice la instalación mostrada en la figura 2.2b. b) Fije la longitud L del péndulo a un valor de 1 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo

con la regla y con el micrómetro el diámetro de la esfera (L=Lhilo+RE). Registre dicho valor con su respectivo error.

c) Con la balanza mida la masa de la esfera. Ristre sus valores con su respectivo error en la Tabla II.d) Considere una amplitud constante midiendo con el transportador un ángulo entre θ≅ 5 °−10 °.

Registre el valor escogido en la Tabla II.e) Desplace lateralmente a la esfera hasta el ángulo escogido y déjela oscilar libremente.f) Mida el tiempo que demora la esfera en dar 10 oscilaciones. Registre sus valores en la Tabla II.g) Determine el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación (T=t /n ), donde t es el

tiempo y n el número de oscilacionesh) Repita los pasos desde (a) hasta (g) para las demás esferas. Registre sus valores en la Tabla II.

Tabla II: Relación período (T) – masa (m) para el movimiento pendular

Experimento II: L = L0 ± ΔL =…………..± ………….; θ0 = θo ± Δθ0 =……………..±…………

Masa (g)Tiempo (s) Período promedio


4.3 Experimento III. Investigación de la dependencia del período (T) de la longitud (L) del péndulo.

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En este experimento se trata de medir los períodos (Ti) del péndulo para diversas masa Li manteniendo constantes la amplitud θ0 y la masa del péndulo (m) durante todo el experimento y representar en una gráfica la relación que aparece entre el período y la longitud del péndulo. Para ello se sigue el siguiente procedimiento.

a) Utilizando la esfera de acero de mayor diámetro, realice la instalación mostrada en la figura 2.2a. b) Con la balanza mida la masa de la esfera. Ristre sus valores con su respectivo error en la Tabla III.c) Considere una amplitud constante midiendo con el transportador un ángulo entre θ≅ 5 °−10 °.

Registre el valor escogido en la Tabla III.d) Fije la longitud L del péndulo a un valor de 120 m aproximadamente midiendo la longitud del hilo

con la regla y con el micrómetro el diámetro de la esfera (L=Lhilo+RE). Registre dicho valor con su respectivo error en la tabla III.

e) Desplace lateralmente a la esfera hasta el ángulo escogido y déjela oscilar libremente.f) Mida el tiempo que demora la esfera en dar 10 oscilaciones. Registre sus valores en la Tabla III.g) Determine el período del péndulo para dicho ángulo usando la ecuación (T=t /n ), donde t es el

tiempo y n el número de oscilacionesh) Repita los pasos desde (a) hasta (g) para las demás longitudes. Registre sus valores en la Tabla III.

Tabla III: Relación período (T) – longitud (L) para el movimiento pendular

Experimento I: θ0 = θo ± Δθ0 =…………..± ………….; m = mo ± Δm =……………..±…………

Longitud (m)Tiempo (s) Período promedio


1,201,101,000,900,800,700,600,50

4.4 Modelo matemático

En las secciones anteriores pudimos encontrar que el período de un péndulo depende de su longitud pero no de su masa. Ahora vamos a tratar de determinar de qué manera el período depende de la longitud de péndulo. Para entender detalladamente como el período y la longitud están relacionados necesitamos construir un modelo matemático. En esta ecuación nuestro modelo sería una ecuación que exprese la relación detallada entre el período del péndulo y la longitud del mismo. Tendremos en cuenta dos modelos para evaluar cómo el período del péndulo está relacionado con su longitud.

Modelo lineal: T=AL+B, donde A y B son constantes.

Modelo cuadrático: T 2=CL+D , donde C y D son constantes.

Nuestro objetivo es determinar dos cosas

Primero: ¿ninguno de los dos modelos describen correctamente los datos (dentro de las incertidumbres)?.

Segundo: en caso afirmativo, ¿cuáles son los valores de las constantes en el modelo?

Para evaluar la situación presentada construimos dos gráficas usando el programa Excel. Una será una gráfica de T (en el eje de las y) frente a L (en el eje de las x). El modelo lineal predice que los datos se encuentran a lo largo de de una línea recta en un gráfico T vs L. El segundo gráfico corresponde a una

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relación T2 vs L. El modelo cuadrático predice que los datos podrían fijarse sobre una línea recta en el gráfico T2 vs L. Para construir estos gráficos abra el programa Excel y construya una tabla de datos con columnas para L, T y T2. Graficando los puntos cada vez que midió el período (tal que para cada longitud podría graficar tres valores del período). A continuación puede crear las gráficas T vs L y T2 vs L y usando el Excel construir la “mejor línea recta” (la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales). Debe estar seguro además que las unidades han sido utilizadas adecuadamente y que la línea recta es graficada adecuadamente y a partir de ella se obtiene el coeficiente de regresión lineal así como la ecuación de la recta de ajuste que no permita determinar la pendiente y las intersecciones con los ejes coordenados.

4.5 Cálculo de la aceleración de la gravedad

Lo más inmediato sería aplicar la ecuación (2.8)* del período de un péndulo en función de su longitud L para hallar g=4 π2 L /T 2. Sin embargo, aunque el período puede medirse con bastante precisión, su longitud (distancia desde el centro de masa de la masa pendular hasta el punto de suspensión) no es bien determinada. Por el contrario, los incrementos en la longitud del péndulo se miden con un error tan pequeño como la sensibilidad de la escala graduada de la que se dispone, ya que en esta medida no influye la posición del centro de masas de la esfera. Para esto consideremos una longitud l=L+L0, donde r0 es una longitud cualquiera. Entonces se tiene

A partir de esta ecuación podemos determinar la pendiente de la recta la misma que está dada por

Como la constante A se puede expresar con tanta precisión como se requiera, el error relativo de la aceleración de la gravedad g es el mismo de la pendiente A

V. CALCULOS Y RESULTADOS.

V.1. ¿Porqué es necesario que las amplitudes de las oscilaciones deben ser pequeñas?.

5.2. Con los datos de la Tabla I, dibuje una gráfica T=f (θ0 ) . ¿Qué tipo de gráfica obtuvo?. Discuta a partir

de la gráfica si existe dependencia entre estas magnitudes.5.3. Con los datos de la Tabla II, trace una gráfica T=f ( m) . ¿Qué tipo de gráfica obtuvo?. Discuta a partir

de esta grafica si existe dependencia entre estas magnitudes.5.4. Con los datos de la Tabla III, trace una gráfica T=f ( L ) . ¿Qué tipo de gráfica obtuvo?. Discuta a partir

de esta grafica si existe dependencia entre estas magnitudes.5.5. Construir una tabla con los valores medidos, errores y unidades de T2 (período al cuadrado) y la longitud

del péndulo L=L0+RE

5.6 Con los datos de la Tabla construida en el acápite 5.5, dibuje una gráfica T 2=f ( L ) usando mínimos cuadrados. ¿Qué tipo de gráfica obtuvo?. A partir de esta gráfica determine la aceleración de la gravedad de Huaraz con su respectivo error absoluto y porcentual

5.6 Con los datos de la Tabla III, trace una gráfica logT=f ( logL) . ¿Qué tipo de gráfica obtuvo?. A partir de esta gráfica determine la aceleración de la gravedad de Huaraz con su respectivo error absoluto y porcentual

5.7. ¿Cuáles son las posibles fuentes de error de su experimento?.

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5.8 ¿En qué puntos durante la oscilación de la masa pendular, la esfera tendrá su mayor velocidad?. ¿Su mayor aceleración?.

5.9. Si la amplitud de la oscilación fuere mucho mayor que los ángulos recomendados, ¿Qué clase de movimiento describiría el péndulo?.. ¿Puede encontrarse el período?. ¿Qué ecuación utilizaría?

5.10. Discuta las transformaciones de energía que ocurren durante el movimiento del péndulo.5.11 Se llama péndulo que bate segundos a aquel que pasa por su posición de equilibrio , una vez cada

segundo. (a) ¿Cuál es el período de este péndulo?. (b) Determine la longitud del péndulo que bate segundos utilizando la gráfica T 2=f ( L ) .

VI. RECOMENDACIONES

VI.1. Asegúrese que la amplitud de la oscilación para los experimentos II y III sean pequeñas, en caso de no disponer de un transportador esta situación se consigue desplazando la masa una distancia horizontal de tal manera que dicha distancia sea un décimo de la longitud del péndulo.

Figura 2.3. Mecanismo como se puede determinar la medida del ángulo

VI.2. Durante la experimentación mantener las ventanas y puertas cerradas y los operadores no deben caminar cerca del dispositivo, debido a que se generan corrientes de aire que afectarían la precisión en las mediciones.

VI.3. Conviene computar el tiempo a partir de una posición que no sea el extremo de la trayectoria de la masa pendular.

VII. BIBLIOGRAFÍA

1. GOLDEMBERG, J. Física General y Experimental. Vol I. Edit. Interamericana. México 1972.2. MEINERS, H. W, EPPENSTEIN. Experimentos de Física. Edit. Limusa. México 19803. SEARS, ZEMANSKY, YOUNG. Física Universitaria. Vol I. Edit. Addison – Wesley Ibe. USA – 20054. HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de Física Vol I. Edit CECSA. México- 20065. SERWAY RAYMOND. Física.. Vol. II. Edit. Mc Graw-Hill Mexico – 2005.6. TIPLER A. PAUL. Física para la Ciencia y la Tecnología. Vol I. Edit. Reverte, S.A. España – 2000.

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