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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERA Ciclo Acadmico : 2011-3 FACULTAD DE INGENIERA ELCTRICA Y ELECTRNICA Fecha: 14/02/12 DEPARTAMENTOS CIENCIAS BASICAS Duracin: 2 horas

CURSO: _MATEMATICA III_ COD. CURSO: MA133 M-N

TIPO DE PRUEBA: PRACTICA No. Ex. PARCIAL EX. FINAL PRACTICA DIRIGIDA

1. Determine , , / 1 2 , 0 2xy dxdy x y x y

2. Evalue , , / 1 2 , 0 2x y dxdy x y x y

.

3. Calcular , , / 1 2 , 0 2x y x dxdy x y x y

.

4. Calcular 2 , , / 1 2 , 0 2xy y dxdy x y xy x y

.

5. Determine 2 22 , , / 1 2 , 0 2x yx y dxdy x y y x y x

.

6. Calcular 2 2 22 , , / 1 , 0x yx y dxdy x y y x y x

.

7. Determine 2, , / 1x y x y dxdy x y x y

.

8. Determine 2 2

0, , / 0,1 ,x ye dxdy x y x y R

.

9. Encontrar , , / 2x y x y dxdy x y x y

10. Determine 2 2 21 0( 1) , , / 0,1 ,x y dxdy x y x y R

11. Determine / , , / 4 4 1x y x y dxdy x y x y

12. Determine 1 1

0 0

xdxdy

y

x x x

y y y

13. Encontrar el volumen encerrado por

2 2

2 2

4 ( 1) ( 1)

1 ( 1) ( 1)

5

z x y

x y

z

14. Usando el teorema de Pappus halle el volumen del solido al rotar la regin

y=3x, y= alrededor de y=4x

15. Demuestre que , ,E E

f x y dxdy f x y dxdy .

16. Encontrar 2 2 4 2 21( 1) , , / 16x y dxdy x y x y

.

17. Calcule 2 2 , , / 1 2, 4 , , 0 , 0x y dxdy x y xy y x y x x y

.

18. Calcule 2 2 2 25 , , / 0 , 4 16x y dxdy x y y x y

.

19. Determine el centrodie de una lamina delgada de densidad uniforme si

ocupa la regin

2 2( , ) / 0 , 1x t y x x y

2

20. Calcular 2 2 5/2( )x y dxdy

2 2( , ) / 1, 1x y x y x y

21. Calcule mediante una integral doble el rea de la regin limitada por:

2 2 , 2 20 , 0y x x y y

22. Cambiar el orden de integracin de las siguientes integrales:

2 2

( , )

0

xf x y dy dx

x

.

11

1 1

( , )

x

x

f x y dy dx

.

2/(cos )/2

0 0

( cos , )

sen

f r rsen dr d

.

2 cos

0 0

( cos , )

r

f r rsen dr d

23. Determine el centroide de una lamina delgada donde:

.

24. Mediante n cambio de variable, encontrar

25. Encuentre el volumen del solido encerrado por

2 24 , 6x y z z x y

26. Encontrar el volumen encerrado por

2 2 2 2 2 2 2( )x y z x y z

27. Calcular 2 2 2 2 2 2, ( , ) / 4 , 0, 0sen x y dxdy x y x y x y

.

28. Calcular

2 2

, ( , ) / 2, 0, 0

x y

x ye dxdy x y x y x y

.

29. Calcular el rea acotada por las curvas

3 31, 2, 1, 2xy xy xy xy

30. Calcular

2 22

, ( , ) / 0 2 ,0

x xy y

x ye dxdy x y x y e x y

.

31. Calcular 2 2 2 2( 1) , ( , ) / 1x y dxdy x y a x b y

.

32. Calcular 2 2( ) 1( 1)x ye x y dxdy

calcula la integral sobre

( , ) / , , ,x y x a a y b b y luego tomar lmites.

3

33. Demuestre que: , ,E E

f x y dxdy f x y dxdy

34. Hallar el volumen de la interseccin de los cilindros 2 2 2x y a y 2 2 2x y a ,

0a

35. . Demostrar que: 2 4 2

31 2

4 2

2 2

x

x x

x xSen dydx Sen dydx

y y

36. Hallar el centroide de la regin E en el primer cuadrante limitada por la parbola 2 4y ax , el eje x y el lado recto de esta parbola ( 0y ).

37. Hallar el volumen de la porcin de E de la esfera 2 2 2 2x y z a ( 0a ), que se

encuentra dentro del cilindro ( )r aSen .

38. Sea 2 2 2

2 2 2: 1x y z

Sa b c

Se traza un plano secante paralelo al eje 2b a una distancia

H del centro de simetra. Halle en que relacin se encuentran los volmenes de los

slidos parciales?

39. Halle el volumen acotado por el slido: 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2:

x y z x y zS

a b c a b c

40. El slido S esta representado en coordenadas esfricas halle el volumen en

coordenadas cilndricas: : ; 4cos3

S

SOLUCION

)cos(4;3

:

S

20

30

20

Sea 2

)cos(

z

2 2 2 2

22 2 2

4

2 2

z x y z

x y z

4cos2 32

0 0 0

10V r sen drd d

41. Usando una transformacin adecuada grafique y halle el volumen del slido acotado

por las superficies:

1 2

3 4

5 6

: 1; : 9

: 4; : 36

: 25; : 49

S xy S xy

S xz S xz

S yz S yz

SOLUCION

4

yzw

xzv

xyu

xyzJ

yz

xz

xy

2

0

0

0

2

1

2

)(uvwxyz

xyzuvw

),,(

),,(

1

),,(

),,(

zyxd

wvudwvud

zyxdJ 64

)(2

149

25

36

4

9

1 2

1

uvw

dudvdzV

42. Halle el rea de la regin limitada por la curva:

22 2

2 2 2:

x y xy

a b c

SOLUCION

rsenb

yv

ra

xu

cos

cos2

24 sen

c

rr cos

2

2 senc

abr

abrvuJ ),( cos2sen

c

abr

2

3,

2,00cos

sen

2

0 0

2

222

3

02

r r

c

baabrdrdabrdrdS

43. Sea S el slido interior al cilindro 2 2 4y z y limitado por

22

1 2: ; : 6 2S x z S x z

a) Halle el volumen del slido

b) Determine los lmites de , ,s

f x y z dxdydz

44. Demostrar que el volumen de un slido limitado por el prismoide es:

1 2 46

m

HS S S donde 1 2 :S S reas de las bases paralelas y mS : rea de la seccin

media paralela a las bases.

5

S

S

Sm

1

2

H/2

H/2

45. Expresar en coordenadas esfricas la integral:

25 25

2

0 0 0

z

r sen drdzd

SOLUCION

Para el cambio de coordenadas tenemos

2

cilndricas esfricasdv rdrdzd r sen drd d

Por lo tanto tendramos en coordenadas esfricas

523

0 0 0

r sen sen drd d

46. Si el costo por kilmetro para viajar en el primer cuadrante es igual a 1 x . Cual ser la ecuacin de la familia de curvas a lo largo de los cuales resulta ms econmico

viajar?

SOLUCION

2, , ' 1 1 'F x y y x y 0'

d F F

dx y y

Como la funcin no depende explcitamente de y . Entonces la ecuacin diferencial

queda expresada de la siguiente manera

'

FC

y

' 12 2

'1

1 '

y

yF x

y

12 2

'1

1 '

yC x

y

2 2

'

1

Cy

x C

2 21 1 .Y Ln x C x k

47. Halle el centroide de un cono recto de base elptica ( a b : longitud de semiejes) y altura H .

6

SOLUCION

2 2 2

2 2 2:x y z

Sa b H

Por simetra el centroide se encuentra en el eje Z. Pasamos al clculo de dicho punto.

Sabemos por definicin de centroide:

2 2 2

2 2 2:x y z

Sa b H

Por simetra el centroide se encuentra en el eje Z. Pasamos al clculo de dicho punto.

Sabemos por definicin de centroide:

v

zV zdv

2

2

2

2

1

01

3

xb

a Ha

a xb

a

abHz zdzdydx

2

3 2

abH abHz

2

3

Hz

v

zV zdv

2

2

2

2

1

01

3

xb

a Ha

a xb

a

abHz zdzdydx

2

3 2

abH abHz

2

3

Hz