Practica Estadistica 1

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    TEMA 3. VARIABLES ALEATORIAS

    VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

    1. Una caja contiene 6 fichas numeradas del uno al seis. Se extraen dos fichasal azar sin reemplazo y se define la variable X como la suma de los nmeros

    obtenidos.a) Describir el dominio de X

    b) Describir el recorrido de XRx = 3,4,5,6,7,8,9,10,11

    c) Hallar la funcin de probabilidad de X# = 5*6=30

    x 3 4 5 6 7 8 9 10 11Tota

    lP(x

    )

    0.06

    7

    0.06

    7

    0.1

    3

    0.1

    3

    0.

    2

    0.1

    3

    0.1

    3

    0.06

    7

    0.06

    7 1

    i)

    ii)

    3. El nmero de atrasos por semana en la universidad es una variable aleatoria con funcin de

    probabil idad definida por:

    P(x ) = K(6 + 5x x2) , x = 0,1,2,...,5

    a) Hallar el valor de la constante K.

    x 0 1 2 3 4 5Tot

    alP(x)

    6K 10K 12K 12K 10K 6K 1

    6/56

    10/56

    12/56

    12/56

    10/56

    6/56

    1

    b) Hallar la probabilidad de que un estudiante llegue al menos 3 veces tarde enla semana

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    5. La demanda semanal X de copias de un procesador de textos en una tienda de software tiene

    la siguiente funcin de probabilidades:

    X 3 4 5 6 7 8 9

    P(X) 0,06 0,12 0,16 0,32 0,16 0,12 0,06

    a) Cul es la probabilidad de que en la prxima semana se pidan al menos 7 copias?

    b) Cul es la probabilidad de que la solicitud sea por lo menos 5 pero no ms de 7 copias?

    c) Cuntas copias se espera vender la prxima semana?

    Se espera vender 6 copias la proxima semana

    7. Una variable aleatoria tiene una esperanza igual a 12 y varianza 8. Calcular: E [x2 +2x]

    De la varianza despejamos E[x2]

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    Sustituimos en 1

    9. En el ejemplo anterior, si X ahora es el nmero de Cds en buen estado, hallar su expectativa.

    x= #de cds en buen estado

    X 0 1 2 3 Total

    P(X) 0,02 0,22 0,49 0,26 1

    0 0.22 0.99 0.79

    11. Una urna contiene 4 bolas numeradas 1, 2, 3, 4 respectivamente. Sea Y el nmero que ocurre

    si se saca a! azar 1 bola de la urna. Cul es la funcin de probabilidad para Y?

    X 1 2 3 4 Total

    P(X) 1/4 1/4 1/4 1/4 1

    i)

    ii)

    13. Un fabricante de cereales desea cambiar el diseo de la caja de uno de sus productos, por lo

    que se muestra individualmente cada una de las seis personas la caja anterior y la nueva, y se le

    pide que indique su preferencia. Suponiendo que cada una de las personas no tenga verdadera

    preferencia por ninguna, construir la distribucin de probabilidad.

    Sea x el numero de personas que prefieren la caja nueva.

    X 0 1 2 3 4 5 6 Total

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    P(X) 1/646/6415/6420/6415/646/64 1/64 1

    15. Un juego consiste en lanzar un dado, si sale 2 o 5 la persona gana 50Bs. por cada punto

    obtenido; si sale 1 o 6, la persona gana 100Bs. por cada punto obtenido; en otro caso el jugador

    tiene que pagar 150Bs. por cada punto obtenido.

    a) Flallar el valor esperado de la ganancia del jugador el juego es honesto?

    2 5 => +50Bs.

    1 6 => +100Bs.

    3 4 => -150Bs.

    Sea x la ganancia del jugador

    Rx = {-150, 50, 100}

    +50 +100 -150

    X 2 5 1 6 3 4 Total

    P(X) 2/6 2/6 2/6 1

    X2*P(X) 5000/620000/645000/6

    Siendo la esperanza igual a cero el juego s es honesto

    b) Calcu le la desviacin estndar de la utilidad.

    17. Completar la siguiente funcin deprobabilidad sabiendo que E(x) = 2 y adems calcular su

    0-108 108

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    varianza.

    X 0 1 2 3 Total

    P(X) 1/12 1/4 1/4 5/12 1

    a

    Sistema con 1 y 2

    Sustituyendo ben 1

    VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

    19. Se supone que el dimetro de un cable elctrico, digamos X, es una v.a.c. con funcin:

    (x)=6x(1x), 0

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    ii)

    3 2

    1

    b) Hal le el dime tro promedio.

    21. Suponga que en un cierto sistema elctrico, el voltaje X es una variable continua con funcin

    de probabilidad tal que:

    Demostrar que la esperanza de la variable x es 2.

    Entonces

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    23. Grafique la funcin del ejercicio 4. Es razonable?

    X 0 1 2 3 Total

    P(X) 0.49 0.42 0.08 0.003 1

    El grafico es razonable por que de un lote de 20 es poco probable que se saquen las 3 defectuosas

    solo exitiendo 4.

    25. Una variable aleatoria X, que representa el peso (en Kg.) de un artculo tiene la funcin de

    densidad dada por:

    Determine la esperanza y la varianza de x

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    27. Una compaa de procesamiento de datos tiene una microcomputadora, a la cual se accede a

    travs de un gran nmero de terminales remotas. Se define la variable x = el tiempo (en segundos)

    transcurrido para acceder al computador desde una terminal remota y cuya funcin de

    probabil idad es: (x) = 0,5e-0,5x, x > 0

    Encuentre las probabilidades P(x < 0,75) y P(X 2 > 3)

    29. El tiempo de duracin de las llamadas telefnicas (en minutos) es una variable aleatoriacontinua con funcin de densidad:

    a) Grafique la funcin de densidad

    b) Cul es tiempo promedio de duracin de una llamada?

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    31. Demuestre que la siguiente funcin es una densidad: (y)=20(y3 - y4), 0 < y < 1 .Haga un

    grfico de dicha funcin y encuentre su valor esperado.

    i) Si es mayor que 0

    ii)

    5 4

    1

    E[x] = 0.67

    33. El peso en kilogramos de un componente electrnico tiene la siguiente funcin de densidad:

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    a) Grafique la funcin y verifique que es una densidad

    i) Si es mayor que 0

    ii)

    1

    b) Hal le la varianza de dicha variable

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    c) Cul es la probabilidad de que un componente pese menos de 2 pero ms de 1/2?

    35. Halle el valor de k para la siguiente funcin de densidad:

    =1

    37. Halle el valor de k para la siguiente funcin de densidad:

    Cambio de variable

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    Usando Integral Gamma

    Reemplazando