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PRCTICA I: NGULOS DE EULER

Gonzlez Chvez Rolando

MARCO TERICO

1. Transformaciones

A grandes rasgos, unatransformacin consiste en unaaplicacin que hace corresponder acada punto P (x,y,z) a otro punto P(x,y,z). En consecuencia, cualquierconjunto de puntos F se puedetransformar en otro conjunto de puntoF.

Las transformaciones ms usualesson las de traslacin, simetra yrotacin. La primera consiste en eldesplazamiento de un conjunto depuntos segn un vector fijo no nulo, lasegunda consiste en la reflexin deun conjunto de puntos respecto a unarecta dada (eje de simetra), y laltima consiste en la rotacin de unconjunto de puntos respecto a unpunto fijo.

1.1. Transformacin matricial derotacin

Suponga que cada punto de R2 serota en sentido contrario a lasmanecillas del reloj, en un ngulo respecto del origen de un sistema decoordenadas rectangulares, enconsecuencia, si el punto P tienecoordenadas (x,y) y despus de larotacin tenemos un P (x,y). Paraobtener una relacin entre lascoordenadas de P y las de P,

tomamos como uel vector , que serepresenta por medio del segmentode recta que va del origen a P(x,y) ysea el ngulo formado entre el eje

xy en vector u, esto se muestra en lafig. 1.

Figura 1 Rotacin

Denotando como r la longitud delsegmento de recta dirigido de 0 a P,de acuerdo con la fig. 1 vemos que

() () (1) ( ) ( ) (2)

Por medio de las frmulas para el

seno y el coseno de una suma dengulos, las ecuaciones (2) setransforman en

() () ()()() () ()()

Sustituyendo la expresin (1) en lasltimas dos ecuaciones se tienen

() () () () (3)Al despejarxy yen (3) tenemos

() () () () (4)

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La ecuacin (3) proporciona lascoordenadas de P en trminos de lasde P, y (4) expresa las coordenadasde P en trminos de las de P, conello puede deducirse que el vector

f(u

)

est representado por elsegmento de recta que va de 0 a P yque la trasformacin matricial derotacin es la siguiente

() [ ] [][] [ ] (5)

Sin embargo, la expresin (5)determina la rotacin en R2, paraobtener la expresin para R3, porinspeccin, se sabe que la rotacines exclusiva alrededor del eje z, porlo que las coordenadas z semantienen constantes, por lo tanto, larotacin alrededor de zes

(6)Siguiendo un procedimientosemejante se deduce la rotacinalrededor del ejex

(7)Y otra para la rotacin alrededor deleje y

(8)

Algo importante a considerar en lastransformaciones matriciales derotacin es que no son conmutativas.

2. ngulos de Euler

La orientacin de un cuerpo rgido sepuede especificar considerando unsistema de coordenadas fijo en l, sinembargo, hay que especificar larelacin entre un sistema de ejes fijoen el espacio y uno fijo en el cuerpo:Se pueden construir la transformacinentre estos dos sistemas con tresrotaciones virtuales sucesivas delcuerpo rgido, esto se realiza con los

ngulos de Euler.Existen muchas convenciones para elorden de rotacin de los ejes, las msutilizadas es la de rotacin alrededordel eje z, luego, el nuevo sistema deejes se rota alrededor del nuevo ejexy por ltimo se realiza rotacin sobreel nuevo eje z, este movimiento deejes se conoce como la convencinx (Ver fig. 2). Todas las rotaciones

(sin importar la convencin a utilizar)se realizan en el sentido contrario delas manecillas del reloj y todas lasrotaciones posteriores se harn sobrelos nuevos ejes resultantes de cadarotacin.

Los ngulos de Euler , y especifican la orientacin del sistemafijo al cuerpo relativo al sistema fijo alespacio, y por lo tanto actan comotres coordenadas generalizadas.

Figura 2 ngulos de Euler.

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Por lo tanto, la transformacin de losngulos de Euler se representa por lasiguiente expresin

* *

(9)2.1. Aplicaciones

Una aplicacin de los ngulos deEuler es en la aeronutica, ya queasignan un ngulo de inclinacin ceroa un avin en horizontal, los ngulos

definen una rotacin de forma nicaalrededor de cada uno de los ejesintrnsecos del objeto, los ngulosempleados en la aeronutica sonmejor conocidos como la convencinde TaitBryan.

Puede emplearse tambin pararealizar descripciones de orientacinempleando giroscopios paramantener constante el eje de

rotacin, ngulos medidos en unmarco giroscopio son equivalentes angulos medidos en el marco dellaboratorio. Por lo tanto giroscopiosse utilizan para conocer la orientacinreal de mover una nave espacial, ylos ngulos de Euler sondirectamente mensurables.

Al estudiar los cuerpos rgidos engeneral, que se llama el sistema decoordenadas en el espacio xyz, y elcuerpo del sistema de coordenadas

XYZ. Las coordenadas espaciales setratan como inmvil, mientras que lascoordenadas del cuerpo seconsideran incrustadas en el cuerpoen movimiento. Clculos con laaceleracin, la aceleracin angular,velocidad angular, momento angulary la energa cintica son a menudoms fciles de calcular en lascoordenadas del cuerpo, porqueentonces el momento de inercia nocambia en el tiempo.

Los ngulos de Euler, normalmenteen la convencin de Tait-Bryan,tambin se utilizan en robtica parahablar acerca de los grados delibertad de una mueca. Tambin seutilizan en el control electrnico deestabilidad de una manera similar.

DESARROLLO

Se implementa una simulacin enMatlab para mostrar la rotacinsobre ejesxyzde referencia iniciales,para ello se realizar una rotacinsimilar a la expresin de los ngulosde Euler mostrado en (9), con ladiferencia de que en la simulacin serealiza primero la rotacin sobre eleje x, posteriormente se realiza unarotacin sobre el nuevo eje y y porltimo una rotacin sobre el nuevo ejez, utilizando las expresiones (7), (8) y(6) respectivamente, por lo que lamatriz de rotacin puede expresarseen (10).

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* *

*

(10)

Para mostrar la simulacin secomienza estableciendo el rea detrabajo, es decir, se establece unafigura de 2 X 2 X 2 unidades, enmedio se establece la coordenada(0,0,0) y a partir de ah se generanlos ejes de referencia que sernmostrados en rojo y quepermanecern fijos para visualizarmejor el movimiento de los ejes quese grafican posteriormente sobreestos en color verde (Ver fig. 3)

Figura 3 Inicio de la simulacin

Se establece un ciclo para realizar larotacin de los ejes actuales, los ejesgraficados en verde rotarn sobrecada ejex, yy znuevo que se generetras cada rotacin. En la fig. 4 se

muestra la primera rotacin de 45sobre el ejex.

Figura 4 Rotacin sobre el eje x

Posteriormente se realiza otrarotacin de 45 sobre el nuevo eje y,mostrando la rotacin en la fig. 5.

Figura 5 Rotacin sobre el nuevo eje y, las lneasazules muestran el eje zy el ejex anterior.

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Por ltimo se realiza una rotacinsobre el nuevo eje z, esto se observaen la figura 6.

Figura 6 Rotacin sobre el nuevo eje z, las lneasazules representan el ejexy al eje y anterior.

FUENTES DE CONSULTA

Gaviln, M. E. y Muz J. D.Simulacin por dinmica moleculardel movimiento de un trompo pesado.Revista Colombiana de Fsica, Vol.38, No.1. Colombia: 2006.

Matrices y transformaciones.Fascculo 21. Fundacin Polar.Venezuela: 2006.

Kolman, B. y Hill, D. R. lgebraLineal. Pearson Education, Mxico,2006.

ngulos de Euler. En Lnea.Consultado el 21 de Agosto, 2013.Disponible en:

ANEXOS

Se muestra el cdigo empleado enMatlab:

functionmovEje %

(theta,alpha,gamma)

close all;clear all;clc;

% Generacin de los ejes de

referencia iniciales.Eje=[0;1];Ref=zeros(2,1);

X=Eje;RefY1=Ref;RefZ1=Ref;

RefX2=Ref;Y=Eje;RefZ2=Ref;

RefX3=Ref;RefY3=Ref;Z=Eje;

% % Graficacin de los ejes de

referencia iniciales.figure;plot3(Eje,Ref,Ref,'r','LineWidth'

,2);hold on;grid on;xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Z');axis([-1,1,-1,1,-1,1])

plot3(Ref,Eje,Ref,'r','LineWidth',2);plot3(Ref,Ref,Eje,'r','LineWidth'

,2);pause;A=plot3(Eje,Ref,Ref,'g','LineWidt

h',2);B=plot3(Ref,Eje,Ref,'g','LineWidt

h',2);C=plot3(Ref,Ref,Eje,'g','LineWidt

h',2);

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_de_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_de_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_de_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_de_Eulerhttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulos_de_Euler

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D=1;

% Establecer las matrices de

rotacin con los valores de los

ngulos rotar% en cada eje.whileD==1

theta=round(input(['Elija los

grados de rotacin del eje\n'...'X(valor

entero): ']));iftheta

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% Rotacin de eje Z.fori=1:abs(gamma)

XRef=rZ*[X(2);RefY1(2);RefZ1(2)];X(2)=XRef(1);RefY1(2)=XRef(2);RefZ1(2)=XRef(3);

YRef=rZ*[RefX2(2);Y(2);RefZ2(2)];RefX2(2)=YRef(1);Y(2)=YRef(2);RefZ2(2)=YRef(3);

delete(A)delete(B)

delete(C)

A=plot3(X,RefY1,RefZ1,'g','LineWi

dth',2);

B=plot3(RefX2,Y,RefZ2,'g','LineWi

dth',2);

C=plot3(RefX3,RefY3,Z,'g','LineWi

dth',2);pause(0.001);

end

D=input(['\nRotar de nuevo

los ejes desde\nla posicin

actual? 1=S'...' 2 = No\n\nSu

desicin? ']);clc;

end