Practica Laboratorio 1 2

8/18/2019 Practica Laboratorio 1 2

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FISICA TEORICA COMPUTACIONAL II

EJERCICIO Nº 1: Calcule el tiempo necesario para que el nivel del líquido dentro del

tanque esférico con radio R = 5m, ver figura, pase de 4m a 3m, la velocidad de salida

por el orificio del fondo es av 895.4 m/s, el diámetro de dicho orificio es de 10 cm.

Solución

Sea: Se sabe: √

Por tanto:

(√ )

Entonces:

√ C. I.

5m

a

4

2

√


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El gráfico muestra el comportamiento de la variación del líquido cuando está lleno.

El gráfico según las condiciones del problema y del resultado es:


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PROGRAMA MEDIANTE EL METODO DE EULER

EN FORTRAN 90, mediante el método de EULER

PROGRAM EULER !! 25-SET-2015! ------------------------------------------------------------------

! REALIZADO POR: J.TORDOCILLO /UNIV. NAC. DEL CALLAO, PERÚ! EDO POR METODO DE EULER! ------------------------------------------------------------------! DECLARACIÓN DE TIPOS! ==================================================================IMPLICIT NONEREAL, DIMENSION (1000000)::X,YREAL :: A, B,C,H,FINTEGER :: N !NUMERO MAXIMO DE ITERACIONESINTEGER :: I! ------------------------------------------------------------------

! ENTRADA DE DATOS! ------------------------------------------------------------------WRITE( *, 10, ADVANCE = 'NO' ) 'INGRESE LIMITE INFERIOR A: 'READ*,AWRITE( *, 10, ADVANCE = 'NO' ) 'INGRESE LIMITE SUPERIOR B: 'READ*,BWRITE( *, 10, ADVANCE = 'NO' ) 'NUMERO DE SUB INTERVALOS N 'READ*,NWRITE( *, 10, ADVANCE = 'NO' ) 'CONDICION INICIAL Y(0): 'READ*,C

10 FORMAT( 1X,A )

OPEN (20,FILE='AEULER.TXT',STATUS='UNKNOWN',ACTION='WRITE')WRITE (20,300) ' '300 FORMAT(10X,A)

!PASO 1H=(B-A)/REAL(N)

X(0)=AY(0)=C

WRITE(*,30)30 FORMAT(8X,' X ',5X,' F(X) ')

WRITE(20,40)X(0),Y(0)

40 FORMAT(1X,F20.8,1X,F20.8)!PASO 2

DO I=0,N-1X(I+1)=X(I)+H

Y(I+1)=Y(I)+H*F(X(I),Y(I))!PASO 3

WRITE(*,40)X(I+1),Y(I+1)WRITE(20,40)X(I+1),Y(I+1)

END DO

END PROGRAM EULER


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EL SUBPROGRAMA ES:

FUNCTION F(X,Y)IMPLICIT NONEREAL F,X,Y,A2,PI,D

PI=4*TAN(1.0)D=0.1A2=PI*(D**2/4)F=(-A2*(4.895*SQRT(Y))/(PI*(10*Y-(Y*Y)))) +X*0RETURNENDLECTURA DE DATOS EN MATLABhold on A=load('AEULER.TXT'); X=A(:,1); Y=A(:,2); plot(X,Y,'b-')

Hacer los cambios respectivos y elaborar un programa para resolver el sistema de ecuaciones

diferenciales ordinarias mediante el método de Euler.

SUGERENCIA:

Sea y1 y y2 las variables dependientes del tiempo común del problema 4. Incorporar la

idea de la sugerencia dentro de su programa.

a) Graficar: , , y1(i+1) = y1(i) + h * f1( t(i),y1(i))

y2(i+1) = y2(i) + h * f2( t(i),y2(i))

Para resolver numéricamente las EDO de orden superior el sistema es transformado a

derivadas de primer orden.

Sea la siguiente expresión:

, , Con Solución:

; Reemplazando se tiene:

Despejando se tiene:


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Por tanto:

Elaborar un programa y graficar, para el ejemplo anteriorEJERCICIOS N° : Un depósito tiene forma cilíndrico de radio 1.5m como se muestra

en la figura, contiene un líquido de densidad a una altura “h” de 3m,tiene una válvula que inicialmente se encuentra cerrada y cuando se abre

completamente la velocidad de salida de , donde a es el área seccional deltubo de salida y es 78.5x10-4 m2 y g =9.81 m/s2. Se desea saber cómo varia la altura a lo largo de tres minutos cuando la válvula está

completamente abierto. Utilizar el método de RK4 y graficar el comportamiento.

a) Se desea saber luego de tres minutos cual es la altura del líquido.

Velocidad de salida: Entonces: Donde: ;


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Por tanto:

(A es el área de la sección transversal del tanque)

C. I. RESULTADO SE MUESTRA EN LA SIGUIENTE FIGURA


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METODOS DE RUNGE KUTTA

Los métodos de Runge Kutta, son métodos implícitos y tienen el error de truncamiento

local de un alto orden respecto a los métodos explícitos.

METODO DE RUNGE KUTTA DE ORDEN DOS

El método de RK2 simula la precisión del método de Taylor de orden dos, el proceso

que se muestra a continuación permiten ilustrar las ideas involucradas a los métodos

de Runge Kutta en general.

Partiendo de la serie de Taylor:

(1)

Considerando: (2)Derivando respecto a t y usando la regla de la cadena para funciones de dos variables:

(3) Reemplazando (2) en (3) tenemos:

(4)Reemplazando (3) y (4) en (1):

[ ] (5)El método de runge kutta de orden dos utiliza una combinación lineal de dos funciones

de la forma:

(6)Donde: (7) (8)Usando la fórmula de Taylor para una función de dos variables, se aproxima obteniendo la siguiente representación.

(9)Reemplazando (7) y (9) en (6):

* +


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Finalmente se obtiene:

Comparando con (5) se tiene:

Entonces el método de RK2 tiene elecciones posibles para asignar un valor:

Caso 1: , lo que permite a deducir: , , Entonces:

Método de Heun

Caso 2: , lo que permite a deducir: , , Entonces: Método de Euler modificado o de CauchyPara el método de RK2 tenemos el método conocido:

Elaborar un programa utilizando el método RK2 para el Ejemplo 2, del LABORATORIO

Nº 1:

Sugerencias:

DO I=0,N-1

X(I+1)=X(I)+H

K1=H*F(X(I),Y(I))

K2=H*F(X(I)+H,Y(I)+H*K1)

Y(I+1)=Y(I)+(K1+K2)/2

WRITE(*,40)X(I+1),Y(I+1)

END DO


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Probar y comparar el resultado anterior utilizando la expresión DOWHILE

DO WHILE(COUNT


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Código en FORTRAN es como sigue:

DO I=0,N-1

X(I+1)=X(I)+H

K1=H*F(X(I),Y(I))

K2=H*F(X(I)+0.5*H,Y(I)+0.5*K1)

K3=H*F(X(I)+0.5*H,Y(I)+0.5*K2)

K4=H*F(X(I)+H,Y(I)+0.5*K3)

Y(I+1)=Y(I)+((K1+2*(K2+K3)+K4)/6 )

WRITE(*,40)X(I+1),Y(I+1)

END DO

Utilizar Runge Kutta de cuarto orden para mostrar la evolución del líquido en el ejemplo 2

Para derivadas de orden superior mediante RK4, se deduce de la misma forma para el método

de Euler.

Sea la siguiente expresión:

, , Con Solución:

Reemplazando se tiene:


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Entonces para RK4 tenemos.

Entonces para RK2 tenemos.

Elaborar la evolución del ejemplo anterior mediante los dos métodos (RK2 y RK4)


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Sistema de ecuaciones para RK4, es de la forma:

PASO 1: PASO 2: Para PASO 3: Salida: PASO 4: Para hasta PASO 5: Para

PASO 6: Para

PASO 7: Para

PASO 8: Para

PASO 9: Para

( ) PASO 10: PASO 11:


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PARA EL CASO DE UN SISTEMA DE DOS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

! PASO 1H=(B-A)/NT=A

! PASO 2W1=ALPHA1W2=ALPHA2

! PASO 3WRITE(8,60) T,W1,W2

! PASO 4DO I=1,N! PASO 5

X11=H*F1(T,W1,W2)X12=H*F2(T,W1,W2)

! PASO 6X21=H*F1(T+H/2,W1+X11/2,W2+X12/2)X22=H*F2(T+H/2,W1+X11/2,W2+X12/2)

! PASO 7X31=H*F1(T+H/2,W1+X21/2,W2+X22/2)X32=H*F2(T+H/2,W1+X21/2,W2+X22/2)

! PASO 8

X41=H*F1(T+H,W1+X31,W2+X32)X42=H*F2(T+H,W1+X31,W2+X32)

! PASO 9W1=W1+(X11+2*X21+2*X31+X41)/6W2=W2+(X12+2*X22+2*X32+X42)/6

! PASO 10T=I*H

! PASO 11WRITE(8,60) T,W1,W2

END DOWRITE(8,60) T,W1,W2

END DO! PASO 12

CLOSE(8)60 FORMAT(3(1X,E15.8))

Completar el programa y mostrar gráficamente el ejemplo 4. , ,

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