Momento y energa II

Jonathan Lozano MayoLunes, 18 de Mayo del 2015

Equipo: Iliana Isabel Corts Prez

Andrs Gutirrez Valds

Gabriel Alfonso Carranco Sapiens

Dr.Jorge Amn Seman Harutinian

Resumen

Se realizaron dos arreglos experimentales con el n de comprobar la conservacin del momento y la energauna vez ms, pero esta ocasin se usaron discos para realizar colisiones con las cuales adems de observar laconservacin del momento lineal en dos dimensiones se podra observar el momento anglar del sistema.

1. Objetivo

Comprobar la conservacin del momento lineal en dos dimensiones.

Comprobar la conservacin del momento angular.

2. Introduccin

En la prctica de Momento y Energa I se deni el momento Lineal y la energa mecnica de un sistema,por lo que en esta ocasin nos ocuparemos de los aspectos de la energa rotacional y el momento angular.

Se dene el momento angular de una particula como:

L = r p (1)

Podemos notar que a diferencia del momento lineal, el momento angular es un vector que depende de laposicin donde se mide, es decir depende de r, otro aspecto importante del momento angular es su direccinpues recordando la denicin de producto cruz sabemos que obtenemos un vector ortogonal a los vectores ry p

Para un movimiento de dos dimensiones, sea este el plano x-y, con vector de posicin r = (x; y; 0) y momentop= m(vx ; vy ; 0) el momento angular se puede calcular como sigue:

m

i^ j^ k^x y 0vx vy 0

= m(xvy yvx)k^ (2)

1

jr j esconstante para cada particula del cuerpo que gira alrededor del eje, y r slo puede cambiar su dirrecin, esdecir, cambia la velocidad perpendicular a r.

Denamos r = x2 + y2 + z2p

como la distancia del origen al cuerpo, y por otra parte %j como la distanciaperpendicular de cada particula del cuerpo al eje de rotacin, como el eje est jo tenemos %j = x j2 + yj2

q

Entonces si consideramos un cuerpo rotando alrededor del eje z, temos la siguiente ecuacin para el momentoangular:

L j ;z = %j m j vj = m j vj %j (3)

y como jvj j = jr j_j = w%j sustituyendo en (3) obtenemos:

L j ;z = %j m j vj = m j w%j2 (4)

De modo que el momento angular del cuerpo es la suma del momento de todas las partculas del cuerpo yw es constante pues consideramos que se trata de un cuerpo rgido.

L z =X

jm j %j2w (5)

La ecuacin puede ser escrita como:

L z = Iw (6)

donde I=P

j m j %j2

I es una cantidad muy importante dentro de la discusin a la que llamamos momento de inercia es una can-tidad geomtrica pues nos dice como est distribuida la masa del cuerpo rgido, para cuerpos con distribucinde masa continua podemos remplazar la suma por una integral sobre elementos diferenciales de la masa, esdecir:

X

jm j %j2 !

Z%2dm = I (7)

Para hablar de la conservacin del momento angular slo nos falta denir un vector al que llamamos torcay se denota como en muchos libros.

La torca se dene como:

= r F (8)

Veamos que la torca es la derivada del momento angular:

dLdt =

ddt (r p)

=

drdt p

+

r dpdt

2

r_ p = v mv = 0 , de donde:

dLdt = r

dpdt = r F (9)

De (8) y de (9) conclumos que:

=dLdt (10)

Si =dLdt = 0 se sigue que L es una constante, e interpretando fsicamente estas ecuaciones quiere decir que

el momento angular se conserva.

Cuando se analiza un sistema en el que un cuerpo se traslada y rota es natural pensar que la energa sesepara en trminos que se reeran a la energa por rotar y trminos que se reeran a la energa del cuerpopor estar traslandndose, vemos que esto sucede:

K = 12P

m j vj2

=12

Pm j

%j0_ + V 2

=12

Pm j %j0_

2+

Pm j %j0_ V +

12

Pm j V 2

=12Iw

2 +12MV

2 (11)

3. Materiales

Mesa de aire Compresora de aire Dos discos deslizadores Balanza

Vernier Cmara de video Tripode Discos con clavo

Barra agujerada en elcentro

Disco agujerado

4. Sistema experimental

Para la primera experiencia se mont un sistema experimental con la mesa de aire, la compresora, los discos,el tripode y la cmara de video. La mesa de aire se puso en el suelo, esto con el n de grabar las colisionescon ms fcilidad y con mejor calidad, se nivel la mesa para evitar componentes de la aceleracin debido ala gravedad. La compresora fue usada para permitir que Durante un segundo intento se cambi el mtodode uso del tripode, ya que en vez de colocarlo soportando la camara verticalmente se us una mesa sobre lacual se recost el tripode, de manera que todo se grab con perspectiva area, es decir, desde arriba.

Se provocaron choques entre los dos discos desde diferentes ngulos de la mesa, comenzando con un choquefrontal. Para lanzar los discos se usaron las bandas colocadas al rededor de las mesas de aire, con ellas seles daba una velocidad inicial la cual se trataba fuera la misma para cada intento. Adems se realizaronvideos usasndo la misma masa para los dos discos, y luego variando las masas para seleccionar los videosms convenientes.

3

tracker .

Para cada uno de los intentos se lanz la primera pieza del sistema experimental con una velocidad quepermitiera poner la segunda pieza sin que dejara de rotar el sistema en pocos segundos, en el caso de la barrano se tuvo esta dicultad por lo que la velocidad con la que se lanz la primera pieza del sistema fue msvariada.

Figura 1. Sistema experimental usado en la prctica 1 Figura 2. Primer arreglo de la experiencia 2

Figura 3. Segundo arreglo de la experiencia 2 (Barra girando sobre disco)

5. Marco Terico

Para el anlisis del momento lineal y energa mecnica de la primera experiencia se usaron las mismasecuaciones de la prctica 5, sin embargo hay una novedad en est prctica y es el carcter vectorial delas ecuaciones pues ahora las colisiones se realizan en dos dimensiones, es decir, tenemos componentes develocidad en x y en y. En resumen las ecuaciones que se utilizaron son las siguientes:

K = m2 v~2 con v~ = (vx ; vy) (12)

P = mv~ (13)

4

U(i ) + K (i ) = U( j ) + K ( j )

)12m1v~1

2 +12m2v~2

2=

12m1v~1

02 +12m2v~2

0 2 (14)

y

m1v~1 + m2v~2 = m1v~10+ m2v~2

0(15)

Para la experiencia 2 se usaron conceptos ya expuestos en la introduccin de esta prctica, por lo que seusaron las ecuaciones (6) y 1(11). Slo queda calcular el momento de inercia (I) de cada uno de los discosy con eso podrmos calcular el momento angular y la energa cintica rotacional del sistema, los siguientesrenglones estn dedicados al calculo del comento de inercia (I):

Dado un disco uniforme de masa M y radio R podemos calcular el momento de inercia dividiendo el discoen anillos pequeos de radio %y ancho d%y momento de incercia dI . Luego I =

RdI

El rea de un anillo es dA=2d% y su masa es

dm= M dAA = M2%d%R 2

=2M%

R2 d%

Sustituyendo en dI

dI= %2 dm = 2M%3d%

R2

Ahora que todo est en funcin de %podemos inte-grar y obtener el valor del momento de inercia:

I =R

0R 2M%3d%

R2

=12MR

2

Figura 4. Disco uniforme de masa M y radio R

1. Se modic el segundo termino de la ecuacin pues del anlisis de videos se observ que el movimiento traslacional de losdiscos rotando era despreciable, por lo que el seundo trmino desaparece.

5

Cortes del disco en anillos

Para la barra se puede aplicar el mismo procedimiento y dividirla en pedazos pequeos para despues integrar,y obtenemos el siguiente momento de incercia:

I = M (a2 + 2) 112

Donde a=ancho y l=largo del paraleleppedo, es decir, la barra.

Con estas relaciones slo necesitamos obtener la velocidad angular w con tracker , para hacer el clculo deincertidumbres se us el error estndar

Np donde es la desviacin estndar, se us el error estndar debido

a la gran cantidad de datos obtenidos al analizar la rotacin de los discos, al igual que en la prctica pasadase tuvo cuidado al hacer el anlisis de desviacin estndar pues se tienen que ver los puntos de inexin ellos cuales la velocidad angular comienza a disminuir pues este no es un error de medicin si no un sucesonatural del movimiento rotacional.

6. Resultados

Para el anlisis de las colisiones se us tracker , con este se obtuvieron las velocidades angulares y lascomponentes de la velocidad de los discos antes y despus de la colisin.

Se us como escala la distancia compredida entre dos pedazos de cinta que se colocaron en uno de losextremos de la mesa de aire, dicha distancia era de 25.5 cm. Para los discos que rotaban se puso un sistemade coordenadas con origen en el centro del disco, de manera que pudiesemos medir el cambio en el ngulocuadro por cuadro.

Se intent poner un ltro negativo al video para que las marcas contrastaran lo suciente como para quetracker las detectara, debido a la velocidad de los discos esto no funcion del todo con la deteccin automticaya que aumentaba el error en la posicin considerablemente, as que cada disco se analiz manualmentecuadro por cuadro intentando poner apuntadores en la parte central de la marca observable en el video.

Las guras que se presentan son para mostrar la limitacin de para obtener el movimiento del disco de maneracontinua, sin embargo si comparamos con la grca de la posicin del ngulo mostrada en cada intentorealizado con el disco rotando podemos ver que el cambio en el ngulo es constante en intervalos cortos detiempo, es decir, / t cte para intervalos muy pequeos de tiempo. Vase apndice

6

0.001kg

Masa 2

0.032 0.001kg

Unidades P=kgcm

s

Unidades K= milijoules

I` Pi P i (%) Pf P f (%) K i K i (%) K f K f (%) P% K% \1 0.600 1.199 0.700 1.382 0.197 2.414 0.254 2.019 11.349 28.716 171.52 1.200 7.401 0.100 8.697 0.012 13.739 0.009 15.188 18.224 24.409 166.73 6.438 0.153 6.456 0.153 2.115 1.651 2.128 0.237 0.304 6.097 151.74 8.477 0.326 8.547 0.326 3.663 0.052 5.658 0.176 0.231 4.618 123.25 1.115 0.200 1.216 0.427 6.753 0.195 7.546 0.071 5.706 11.739 111.0E 4.870 0.053 4.341 0.053 1.210 0.005 0.961 0.005 10.865 20.549

Tabla 1. Diferencias porcentuales del momento y la energa (I=Intento, E=esttico)

Experiencia 1 (Distinta masa)

Masa 1

0.067 0.001kg

Masa 2

0.032 0.001kg

Unidades P=kgcm

s

Unidades K= milijoules

I` Pi P i (%) Pf P f (%) K i K i (%) K f K f (%) P% K% \1 0.500 1.844 0.500 1.909 0.147 3.701 0.132 3.720 5.423 10.258 176.72 1.100 1.806 0.900 2.837 0.579 3.599 0.419 3.931 14.855 27.649 150.63 1.200 2.919 1.300 1.012 0.731 1.651 0.851 2.020 4.032 16.496 165.74 3.300 2.582 3.300 1.854 5.471 0.052 5.658 1.172 1.742 3.418 129.55 1.300 6.306 1.300 0.817 0.916 1.616 0.868 1.706 2.685 5.265 155.9

Tabla 2. Diferencias porcentuales del momento y la energa (I=Intento)

Experiencia 2 (Primer arreglo)

Momento de incercia inicial = 0.259 0.002 m2 Kg

7

0.002 m2 kg

Unidades de L= kg rad cm2

s

Unidades de K = kg rad cm2

s2

i)

intento L i 0.961 L f 0.363 K i 0.232 K f 0.354 L% K %1 11.952 9.916 275.084 97.418 17.032 64.582

Tabla 3. Experiencia 2 (Primer arreglo )

ii)

intento L i 0.640 L f 0.552 K i 0.232 K f 0.354 L% K %2 17.920 17.031 618.345 287.388 4.957 53.522

Tabla 4. Experiencia 2 (Primer arreglo )

iii)

intento L i 0.639 L f 0.359 K i 0.087 K f 0.325 L% K %3 14.353 12.431 396.703 153.104 13.393 61.406

Tabla 5. Experiencia 2 (Primer arreglo )

iv)

intento L i 2.037 L f 0.663 K i 0.115 K f 0.245 L% K %4 18.500 14.718 659.061 214.632 20.445 67.439

Tabla 6. Experiencia 2 (Primer arreglo )

v)

intento L i 0.227 L f 0.788 K i 0.068 K f 0.449 L% K %5 13.074 11.192 329.142 124.110 14.392 62.295

Tabla 7. Experiencia 2 (Primer arreglo )

Notemos que en ningun intento se conserv la energa cintica ni el momento angular, sin embargo en elintento 2 el sistema slo perdi el 5% del momento angular despes de la colisin. En conjunto el momentoangular presenta una prdida razonble dadas las limitaciones del experimento, pues en la prctica anteriorhubieron prdidas de hasta el 67%.

Experiencia 2 (Segundo arreglo)

Momento de incercia inicial = 0.259 0.002 m2 Kg

8

0.03 m2 kg

Unidades de L= kg rad cm2

s

Unidades de K = kg rad cm2

s2

i)

intento L i 0.507 L f 0.665 K i 0.081 K f 0.242 L% K %1 15.911 14.544 487.475 350.172 9.396 39.215

Tabla 8. Experiencia 2 (Segundo arreglo )

ii)

intento L i 0.505 L f 0.576 K i 0.111 K f 0.180 L% K %2 12.171 12.480 285.264 257.838 2.475 10.632

Tabla 9. Experiencia 2 (Segundo arreglo)

iii)

intento* L i 9 10 4 L f 9 10 4 K i 0.111 K f 0.060 L% K %3* 2.17 10 3 2.17 10 3 1.578 1.953 1.763 23.809

Tabla 10. Experiencia 2 (Segundo arreglo)

iv)

intento L i 0.008 L f 0.001 K i 1.334 K f 2.340 L% K %4 0.386 0.370 950.362 257.838 4.325 27.639

Tabla 11. Experiencia 2 (Segundo arreglo)

v)

intento L i 0.007 L f 0.002 K i 1.130 K f 1.940 L% K %5 0.361 0.361 740.426 257.838 0.111 23.543

Tabla 12. Experiencia 2 (Segundo arreglo)

7. Conclusiones

Los resultados nos arrojan datos que parecen no conservar la energa, ni el momento angular y lineal, aunquemuchas de estos faltantes se deben a que el sistema en realidad si est disipando energa, y nuestro anlisisno contempla la friccin entre los discos.

Por otra parte la perdida de energa y momento puede explicarse con nuestras ecucaciones ya que cuando losdiscos giran tambin se trasladan (una cantidad pequea) y una parte de la energa y momento estn en lasecuaciones de traslacin. Adems de que nuestras ecuaciones son adecuadas para un movimiento con un ejejo como lo es el clavo, el inconveniente es que no permanece estrictamente jo durante todo el movimientoya que el sistema se inclina (se tambalea) mientras gira, por lo que para realizar un anlisis ms precisotendramos que calcular el tensor de inercia, y analizar el momento en cada componente.

I~=

0B@

I xx I xy I xzI yx I yy I yzI zx I zy I zz

1

CATensor de inercia (16)

9

L x = I xx wx + I xy wy + I xz wz

L y = I yx wx + I yy wy + I yzwz

L z = I zx wx + I zywy + I zzwz

Otro de los errores que se cometen al realizar este experimento es que las colisiones nunca son iguales yaque el sistema con el que colocamos el segundo disco mientras el otro giraba no es lo sucientemente precisocomo para siempre caer de la misma altura, o entrar con el mismo ngulo y no golpear el eje del disco que rota.

Del anlisis anterior conclumos que el momento se conservo para las intentos 1,3,4,5 de la primera experienciacon masas distintas y en el intento 2 de la segunda experiencia (primer arreglo), con conservacin aqunos refermos a una diferencia porcentual que pueda ser justicada con alguno de los errores tericos antesmencionados como la pequea perdida ocasionada por la traslacin de los discos, o la pequea inclinacinque presentan los discos al girar, este fue el caso del momento angular de la experiencia 2 (segundo arreglo)donde 4 intentos conservaron el momento, lo que parece plausible pues la barra no desetabiliza tanto elsistema al ser colocada sobre el disco.

En cuanto a la energa cintica de los sistemas slo se conserv en el intetnto 4 y 5 de la primera experienciacon distintas masas

Apndice

Figura 6. Disco antes de la colisin (Intento 1)

10

Figura 7. Discos un instantes despus de la colisin (Intento 1)

Figura 8. Disco rotando antes de la colisin (Intento 2)

11

Figura 9. Dos discos girando despus de la colisin (Intento 2)

Figura 10. Disco rotando antes de la colisin (Intento 3)

12

Figura 11. Dos discos girando despus de la colisin (Intento 3)

Figura 12. Disco rotando antes de la colisin (Intento 4)

13

Figura 13. Dos discos girando despus de la colisin (Intento 4)

Figura 14. Disco rotando antes de la colisin (Intento 5)

14

Figura 15. Dos discos girando despus de la colisin (Intento 5)

Segunda experiencia, segundo arreglo.

Figura 16. Disco antes de la colisin. (intento 1, segundo arreglo)

15

Figura 17. Disco y barra despues de la colisin (intento 1, segundo arreglo)

Figura 18. Disco antes de la colisin. (intento 2, segundo arreglo)

16

Figura 19. Disco y barra despues de la colisin (intento 2, segundo arreglo)

Bibliografa

[1] Oda,B.(2013).Introduccion al anlisis de datos experimentales .Mxico:UNAM, Facultad de Ciencias

[2] Kleppner.D.(2012).An Introduction To Mechanics .United Kingdom:Cambridge University Press

[3] Taylor.R(2013).Mecnica Clsica .United Kingdom.United States:Revert

17

Bibliografa