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PRÁCTICA Nº 6. CARGA Y DESCARGA DE UN CAPACITOR

OBJETIVOS

Analizar los procesos de carga y descarga de un condensador a través de

una resistencia.

Determinar la capacitancia de un capacitor aplicando el método de la constante

de tiempo.

FUNDAMENTO TEÓRICO

Para estudiar el proceso de carga y descarga de un capacitor se utilizará un

circuito RC, el cual es un circuito compuesto de resistores y capacitores

alimentados por una fuente eléctrica. Los circuitos RC pueden usarse para filtrar

una señal al bloquear ciertas frecuencias y dejar pasar otras.

En la práctica emplearemos un circuito RC de primer orden, compuesto de un

capacitor de capacidad , que puede cargarse y descargarse a través de una

resistencia . El circuito se muestra en la figura 6.1.

Considere inicialmente que el capacitor está descargado. Cuando se pasa el

interruptor hacia la posición , el capacitor se carga hasta que la diferencia de

potencial entre sus placas sea igual al potencial suministrado por la fuente. Una

vez que el capacitor ha adquirido su carga máxima, se pasa el interruptor a la

posición y el capacitor se descargará a través de la resistencia. Ninguno de los

dos procesos (carga y descarga) son instantáneos, para ambos se requiriere de

un tiempo que depende de los valores de y .

Figura 6.1. Circuito RC de primer orden.

_ _ +

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Proceso de carga

Para este proceso el interruptor de la figura 6.1 se posiciona en a . Aplicando la

2da Ley de Kirchhoff a la malla se obtiene:

0 0 0C R C RV V V o V V V= + − − = (1)

Como RV i R= y cqV C= , la ecuación (1) se puede escribir:

0 0qV i RC

− − = (2)

En 0t = , es decir, en el instante de cerrar el interruptor, el capacitor está

descargado ( 0q= ), por lo tanto al sustituir este valor de carga en la ecuación

(2) se obtiene que la corriente inicial en el circuito es:

00

ViR

= (3)

Para un tiempo 0t > , el capacitor ha adquirido su carga máxima, es decir, 0q Q=

por lo tanto se comportará como un circuito abierto ( 0i= ) y de la ecuación (2) se

obtiene el valor de la carga máxima del capacitor:

0 0Q CV= (4)

Para estudiar la variación de la carga y la corriente en el circuito mientras se va

cargando el capacitor, retomamos la ecuación (2) recordando la relación entre

carga y corriente dqidt

= , así la ecuación (2) se escribiría como:

0 0q dqV RC dt

− − = (5)

Reescribiendo la ecuación (5) queda:

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0

dq dtCV q RC

=− (6)

La solución para la ecuación (6) es:

( ) ( ) ( ) ( )0 01 1t t

RC RCt tq CV e o q Q e

− −= − = − (7)

Derivando la ecuación (7) con respecto al tiempo se obtiene la corriente que

circula por el circuito en función del tiempo:

( ) ( )0

0

t tRC RC

t tVi e o i i eR

− −= = (8)

El voltaje para el capacitor y el resistor como una función del tiempo será:

( ) ( )0 1tRC

C tV V e−

= − (9)

( ) 0

tRC

R tV V e−

= (10)

La energía almacenada en un capacitor es:

212 CU CV= (11)

Como el voltaje en el capacitor varía con el tiempo, la energía almacenada en él

también será una función del tiempo.

Proceso de Descarga

Para descargar ahora al capacitor, el interruptor de la figura 6.1 se posiciona en b .

Se cumple en este proceso que C RV V= , es decir:

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q dqRC dt=− (12)

El signo negativo en la ecuación (12) representa la reducción de carga que ocurre

en el capacitor.

La solución de la ecuación (12) es:

( ) ( )0 0

t tRC RC

t tq CV e o q Q e− −

= = (13)

La corriente en el circuito será:

( ) ( )0

0

t tRC RC

t tVi e o i i eR

− −= = (14)

El voltaje en el capacitor será:

( ) 0

tRC

tVc V e−

= (15)

Constante de Tiempo Capacitiva o Constante de Relajación

La constante representa el tiempo que tarda el capacitor en acumular entre sus

placas el 63.3% del voltaje aplicado en el proceso de carga. Se representa por la

letra griega τ , se expresa en unidades de tiempo (segundos) y depende de las

características del circuito RC, es decir, de los valores de C y R . Se define como:

RCτ = (16)

Donde la resistencia debe estar expresada en ohmios y la capacitancia en

faradios.

Teóricamente un condensador se cargará completamente cuando transcurra un

tiempo infinitamente grande. Experimentalmente un capacitor se cargará en un

5t τ= , equivalente al 99% de su carga máxima.

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MATERIALES Y EQUIPO REQUERIDO

Fuente de alimentación DC.

Multímetro digital.

Cronómetro.

Resistencia fija.

Capacitor electrolítico.

Interruptor de doble tiro.

Cables para conexiones.

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL

PROCESO DE CARGA

1. Montar el circuito mostrado en la figura 6.1, y fije el voltaje de la fuente en 10 V.

2. Registre los valores de C y R . Determine la constante de tiempo capacitiva

del circuito, y estime el tiempo en el cual el capacitor adquiere el 99% de su

carga máxima

_____ ; ______ ; ________;5 ________R C τ τ= = = = ,

3. Cortocircuite el condensador C para garantizar que esté descargado.

4. Con el cronómetro en mano, coloque el interruptor en la posición a y

simultáneamente pulse el Start del cronómetro. Mida los tiempos para los

voltajes sobre el condensador indicados en la tabla No. 6.1.

TABLA No. 6.1. Vc (V) 1.2 2.2 3.9 5.2 6.3 7.1 8.9 9.5 9.8 9.9

t (s)

5. Construya las tablas de los valores prácticos para q vs. t, i vs. t, y U vs. t,

utilizando los valores de voltaje registrados en la tabla No. 6.1, y las relaciones

dadas en (17), asignándole los mismos tiempos de la referida tabla:

2( ) 1 2

V Vcq CVc i U CVcR−

= = = (17)

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TABLA No. 6.2 q ( C)

t (s)

TABLA No. 6.3 i ( A)

t (s)

TABLA No. 6.4 U ( J )

t (s)

6. Con ayuda de los tiempos registrados en la tabla No. 6.1, y las relaciones

dadas en (9), (7), (8) y (11), encuentre los valores de Vc, q, i, y U en cada

tiempo y forme las tablas correspondientes a los valores teóricos de las

cantidades anteriormente descritas (tablas 6.5, 6.6, 6.7, 6.8).

TABLA No. 6.5 Vc(V)

t (s)

TABLA No. 6.6 q ( C)

t (s)

TABLA No. 6.7 i ( A)

t (s)

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TABLA No.6.8 U ( J )

t (s)

7. Grafique en la misma hoja de papel milimetrado la curva correspondiente a Vc

vs.t, tanto téorica como práctica. Repita el mismo procedimiento para el resto

de las cantidades mencionadas.

PROCESO DE DESCARGA.

Con el condensador cargado y el cronómetro en cero, coloque el interruptor en

la posición b, iniciando el conteo del tiempo simultáneamente. Mida los tiempos

para los voltajes sobre el condensador indicados en la tabla No. 6.9.

TABLA No. 6.9. Vc (V) 7.8 6.1 4.8 3.7 2.6 1.4 0.5 0.3 0.2 0.1

t (s)

8. Construya las tablas de los valores prácticos para q vs. t, i vs. t, y U vs. t,

utilizando los valores de voltaje registrados en la tabla No. 6.9, y las relaciones

dadas en (18):

21 2

Vcq CVc i U CVcR

= = = (18)

TABLA No. 6.10 q ( C)

t (s)

TABLA No. 6.11 i ( A)

t (s)

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TABLA No. 6.12 U ( J )

t (s)

9. Con ayuda de los tiempos registrados en la tabla No. 6.9, y las relaciones

dadas en (15), (13) (14) y (11) encuentre los valores de Vc, q, i, y U en cada

tiempo y forme las tablas correspondientes a los valores teóricos de tales

cantidades (tablas 6.13, 6.14, 6.15, 6.16).

TABLA No. 6.13 Vc(V)

t (s)

TABLA No. 6.14 q ( C)

t (s)

TABLA No. 6.15 i ( A)

t (s)

TABLA No. 6.16 U ( J )

t (s)

10. Grafique en la misma hoja de papel milimetrado la curva correspondiente a

Vc vs.t, tanto téorica como práctica. Repita el mismo procedimiento para el

resto de las cantidades.

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11. Grafique en papel semilogarítmico Vc vs. t con los valores de la tabla No. 6.9

y encuentre la ecuación de Vc vs. t. Compare esta expresión con la dada en

la relación (15). Obtenga, además, de la gráfica, el valor experimental de la

constante de tiempo τ, y compárela con el valor teórico dado por τ=RC.

Determine el porcentaje de error entre ellas.

12. Analice las gráficas obtenidas en los procesos de carga y descarga.

DETERMINACIÓN DE C EMPLEANDO EL MÉTODO DE LA CONSTANTE DE TIEMPO.

13. Instale el circuito de la figura 6.1 (asumiendo la capacitancia como

desconocida).

14. Estando el condensador descargado coloque el interruptor en la posición a,

simultáneamente pulse el Start del cronómetro. Mida el tiempo que tarda el

condensador en adquirir 6.3 V. Repita el procedimiento 5 veces y determine la

constante de tiempo promedio (τp). Anote los resultados en la tabla 6.17.

Tabla 6.17

1 ( )t s 2 ( )t s 3 ( )t s 4 ( )t s 5 ( )t s ( )pt s

15. Con el valor de τp obtenido determine el valor de C aplicando la relación (16)

τ=RC, es decir, C= τ / R.

16. Determine el error con que se ha medido C empleando la ecuación: 2 2C CC R

Rτ

τ∂ ∂ ∆ = ∆ + ∆ ∂ ∂

donde 2

1 y C CR R R

ττ

∂ ∂= = −

∂ ∂

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; siendo y n =5( 1)

% , donde Er% corresponde al valor de la tolerancia de R100

ii p i

dd

n n

ErR xR

τ τ τ∆ = = −−

∆ =

∑

17. Exprese la capacitancia en términos de su valor y de su error, es decir:

C=C ±ΔC.

18. Analice los resultados obtenidos.