INSTITUTO POLITECNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniera Mecnica y ElctricaUnidad Profesional Culhuacan

Laboratorio de anlisis numrico

Practica No 1"Introduccin a los mtodos numricos"

Alumnos:

Grupo:

Profesor: Ezequiel Snchez Jurez1. Objetivo.El objetivo que se persigue en esta prctica, consiste en analizar la forma de generar un modelo matemtico. Desde el anlisis de un problema, aplicar la metodologa para la solucin de problemas, desde la generacin de un algoritmo, diagrama de flujo y la concepcin de una codificacin que de solucin al problema planteado. Introduccin2. introduccinDesde el inicio del aprendizaje en el mundo de las matemticas, se ha trabajado con mtodos analticos analizados en asignaturas como el lgebra complementados con, clculo diferencial e integral, clculo vectorial, ecuaciones diferenciales, transformadas de funciones y otras ms. Estos mtodos son llamados soluciones analticas por que satisfacen las ecuaciones diferenciales modelos matemticos usados para representar el comportamiento de sistemas fenmenos. Pero como se ha notado en los diferentes cursos de matemticas que se han cursado, hay ciertas limitaciones en los mtodos analticos que hemos usado.Las limitaciones de las soluciones analticas: por ejemplo, en el caso de problemas de geometra simple, en clculos de linealidad, por lo regular solo se manejan condiciones ideales de los problemas, y sobre todo se acota para soluciones de pocas dimensiones, adems en mltiples ocasiones no se logra obtener la solucin, o mejor dicho no se pude demostrar la solucin alcanzada con el modelo analtico. Es importante recordar que en los problemas de la vida real nos encontramos con muy contados procesos lineales ideales. En este mismo sentido para las soluciones graficas: los resultados carecen de precisin, cuando se procede a buscar la solucin, los clculos son tediosos y difciles de implementar, sin mencionar que solo sirven para representaciones de sistemas con un mximo de 3 dimensionesPara soluciones aproximadas o ms bien conocidas como soluciones numricas (sin computadora): se usan calculadoras, puesto que los mtodos numricos en la mayora de ocasiones usan demasiadas iteraciones en el proceso de la bsqueda de una solucin, este tipo de mtodo sin la ayuda de las computadoras suele ser lento y muy tedioso sin mencionar que durante el proceso suelen generarse mltiples errores en el manejo de los datos, de tal forma en este tema se analiza la diferencia que existe entre una solucin analtica y un solucin numrica.

3- Consideraciones tericas.Los mtodos numricos son tcnicas mediante las cuales es posible dar solucin a problemas complejos mediante aproximaciones, de tal forma que el objetico de este tipo de mtodo es dar solucin a los problemas con operaciones aritmticas bsicas. Como ya se menciono, los mtodos numricos ya existan desde antes de la existencia de las computadoras personales, pero eran poco populares, ya que alcanzar una solucin, se debe realizar en la mayora de los casos un nmero muy grande de operaciones iterativas. Sin embargo su popularidad aumento con la aparicin de las computadoras personales, las cuales con el transcurso del tiempo, el costo de produccin disminuy hacindose accesible a la mayor parte de investigadores y poblacin en general.

Para hacer un uso adecuado de las computadoras, lo primero que se debe hacer al implementar una solucin numrica de un problema dado, es observar los elementos que intervienen en el problema, analizar las leyes fundamentales para poder fundamentar la propuesta de solucin. Con todos estos elementos se contina en la elaboracin de un modelo matemtico, y por ltimo se aplica en forma iterativa el modelo para determinar si su funcionamiento es adecuado para dar solucin al problema.Modelo matemticoEn este punto es conveniente hacer una pregunta qu es un modelo matemtico? Se puede definir como la expresin matemtica, o sea, una ecuacin que proporciona en forma recurrente las soluciones aproximadas de un problema (en anlisis numrico) expresa las caractersticas esenciales de un sistema fsico o proceso en trminos matemticos. En general, el modelo matemtico se puede representar de la siguiente forma.

La variable dependiente es un elemento que generalmente refleja el estado del sistema o comportamiento de los componentes del problema en cuestin. Las variables independientes son aquellas partes del sistema, a travs de los cuales se analiza el comportamiento de un fenmeno determinado. En cada problema aparecen, los parmetros que reflejan las propiedades particulares o composicin del sistema. Las funciones, como en el anlisis de la cada libre, aparecen derivadas de la fuerza, estas son influencias externas que actan sobre el sistema.Por ejemplo; Newton, en sus observaciones estableci que la razn de cambio de momentum con respecto al tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que acta sobre l. As el modelo que obtuvo fue:

F=ma

Donde F es la fuerza total que acta sobre el cuerpo (Newtons kg m/s(s)), m es la masa del objeto (kg) y a es su aceleracin (m/s(s)). Al despejar la aceleracin a dividiendo ambos lados de la ecuacin por m la ecuacin queda de la siguiente manera.a= F/mDonde a es la variable dependiente que refleja el comportamiento del sistema, F es la funcin de fuerza y m es un parmetro que representa una propiedad del sistema o sea la masa de cualquier elemento a estudiar. En este ejemplo sencillo no hay variable independiente por que aun no se predice como varia la aceleracin (a) con respecto al tiempo o al espacio.Como ejemplo se supone que deseamos calcular la velocidad de un paracaidista en cada libre cerca de la superficie de la Tierra. De cursos anteriores de fsica, se sabe que la aceleracin es el cambio de velocidad a travs del tiempo

Entonces, si a = F/m y se considera que la aceleracin es el cambio de velocidad a travs del tiempo;

As mismo, para incrementos infinitesimales de la velocidad a travs del tiempo, se dice que:

Ahora toca identificar las fuerzas y cmo actan sobre el sistemaSe puede notar en un entorno de cada libre, cuando un objeto es soltado a cierta distancia o altura con respecto al suelo, sufre una aceleracin hacia el centro de la Tierra, que como se sabe, es provocada por la fuerza de atraccin gravitatoria del planeta.Tambin se sabe que el entorno donde se efecta la cada libre, no est vaci, sino que hay un componente llamado aire, el cual est integrado por distintos elementos, entonces se puede suponer que cuando un objeto pasa a travs del aire, este genera una friccin. As la aceleracin de la fuerza de gravedad (hacia abajo) se ve alterada por esta friccin del aire creando una fuerza que se opone a la primera. Esta fuerza es llamada resistencia del aire.As que se debe interpretar a la fuerza total F de la siguiente manera.F = m aAl despejar la aceleracin la expresin queda

En el contexto de la cada libre de un objeto se tiene que la fuerza total F es la suma de dos fuerzas opuestas, que por el momento llamaremos Fg y Fop por lo que la fuerza total F = Fg + Fop

Al analizar la naturaleza de las fuerzas, se nota que Fg acta en forma natural hacia abajo y la fuerza de oposicin Fop en direccin contraria, o sea, es negativa (Fop se opone a Fg), entonces al substituir las fuerzas que actan en la fuerza total se obtiene.F = Fg FopSe toma como referencia el modelo inicial de la fuerza total, y se substituye la fuerza total para obtener la siguiente expresin.

En este ejemplo de cada libre, la Fg corresponde a la relacin de la masa por la gravedad, que es la aceleracin aplicada al cuerpo en cada libre.

Fg = mg (fuerza producida por la gravedad = masa x g (aceleracin))

Del anlisis de la cada libre, se observa que la resistencia del aire contrarresta el efecto de la masa y afecta la velocidad de cada del cuerpo observado, con esta consideracin se tiene que:

(Donde c es el coeficiente de resistencia del aire)

Retomando la formula de la fuerza total en la cada libre.

fSe substituye las fuerzas participantes en el anlisis de la cada libre Fg y Fop la expresin quedad de la siguiente forma.

Reagrupando trminos semejantes.

Modelo matemtico de tipo analtico

Con este anlisis se ha llegado a la formulacin del modelo matemtico que describe en cada instante la velocidad y la aceleracin del sistema de un cuerpo en cada libre.4. AplicacinLa aplicacin es para el hipottico caso en el que nuestro profesor de variable compleja nos colme la paciencia y se decida arrojarlo desde una ventana del ltimo piso del edificio ms alto de la ciudad.Desgraciadamente ya que el profesor es muy listo, decide como ltima voluntad elegir 2 condiciones.1.- Que la altura sea considerable2.- llegar al piso con una velocidad en funcin del tiempo igual a 0Como inicio de la solucin al problema de la cada libre del profesor, se debe implementar una solucin analtica, o sea, una frmula para predecir la cada del profesor en cada instante. Se dice que es una solucin analtica o exacta si esta satisface a la ecuacin diferencial (el modelo matemtico que se obtuvo en el proceso de anlisis numrico)

Ahora, se analiza la forma de la ecuacin diferencial E. D. En este caso se observa que es una ecuacin diferencial ordinaria, no homognea, con coeficientes constantes y de 1er grado y ordenAs pues se puede reconocer como P(x) a c/m y obtener as el factor integrante, que al multiplicarlo por ambos lados de la ecuacin y reduciendo trminos, factorizando el fi y por ultimo despejando queda la velocidad en funcin del tiempo:

Solucin analticaPara comprobar la veracidad del resultado de la solucin analtica, si es una solucin correcta a la ecuacin diferencial, se propone evaluar en forma iterativa para intervalos de tiempo de dos segundos t = 2, con una masa del profesor de 68.1 kg y una constante de friccin c =12.5 kg/sEl resultado que se obtiene es:

Ahora, de teora de ecuaciones diferenciales, se usa la supuesta solucin y la derivamos la E. D. O. e igualando el resultado con la misma ecuacin diferencial y reduciendo trminos, se obtiene.

Al substituir valores en la expresin se obtiene lo siguiente.6.7999 = 6.8En esta expresin se observa la validez de la solucin.

Para t = 2 seg.Una vez que se demuestra que la solucin es verdadera, se evala para los valores de tiempo:T=0, 2, 4, 6, 8,10, 12, 14Con lo que se obtienen los siguientes resultados:

Mtodo analticot (s)v (m/s)

000.00

216.40

427.77

635.64

841.10

1044.87

1247.49

53.39

Al observar que la velocidad aumenta en cada segundo, despus de un determinado tiempo se aproxima asintticamente a una velocidad terminal, por lo tanto como se haba comentado anteriormente, en un tiempo la velocidad se hace constante (no hay cambio en ella), o sea que, la velocidad en funcin del tiempo es 0, con este ultimo calculo, se puede dar por cumplido el objetivo y la ltima voluntad del profesor al arrojarlo al vacio de que la velocidad con respecta al tiempo sea igual a cero.Como se haba mencionado, la desaparicin de la aceleracin se debe a que, la fuerza de resistencia del aire aumenta ocasionando que la velocidad de cada disminuya.As, cuando Fop llega a tener el mismo valor de Fg, las dos llegan al equilibrio, entonces Fg Fop=0 y por lo que = F/m = 0, con F total igual a ceroComo se nota, el resolver la ecuacin diferencial, proponer valores para validar la solucin y usar la solucin para evaluar en cada segundo, toma un tiempo considerable, sin mencionar que en ocasiones las E. D. O. no tienen soluciones analticas (adems de que se pueden cometer equivocaciones por el factor humano).Para esto se propone desde la perspectiva de los mtodos numricos, elaborar una alternativa numrica para darle solucin al problema, de una manera sencilla sin operaciones complicadas.En la implementacin de la solucin con mtodos numricos, se propone hacer una analoga de la primera derivada con la substitucin de los incrementos de la velocidad y del tiempo de la siguiente forma. En esta aplicacin se observa que en la aproximacin numrica no se usar incrementos infinitesimales, sino intervalos de t finitos, de tal forma se obtiene la siguiente aproximacin.

Entonces se puede sustituir directamente al incremento finito de la velocidad en la ecuacin diferencial, obteniendo:

Y si se tiene en cuenta que:

Queda:

Que al despejarlo y acomodando se obtiene: 14.Se obtienen los siguientes resultados:Mtodo numrico

t (s)v (m/s)

000.00

219.60

432.00

639.85

844.82

1047.97

1249.96

53.39

Al comprobar con esto la eficiencia del mtodo numrico se obtiene el mismo valor final para la velocidad que con el mtodo analtico exacto

Se puede observar para el intervalo 0 < t < 12 existen diferentes resultados entre ambos mtodos. Esta falta de precisin es resultado de la aproximacin numrica (finita) que se usa. La forma para calcular y reducir este error se ver en el tema siguiente.

5. Algoritmo

1. Pedir datos acerca del sistema y condiciones iniciales como es la masa, velocidad inicial, tiempo inicial.

2. Realizar operaciones implementando el mtodo numrico que hemos obtenido

3. Preguntar si se desea hacer otra operacin o si se desea terminar la aplicacin

4. Segn el paso anterior, seguir la ejecucin o terminar6. Diagrama de flujo

7. Codificacin.// Practica 01 de mtodos numricos#include#include class parachute { private: float a, c, vf, vi, mass, ti, tf; public: void menu( ); void datos( ); void proceso( ); }phi; void parachute::datos( ) { coutvi; coutmass; coutc; coutti; } void parachute::proceso( ) { float g=9.81; float aux_a, aux_b, aux_c, aux_d, aux_e; phi.datos( ); aux_a=c/mass; aux_b=aux_a*vi; aux_c=g-aux_b; aux_d=tf-ti; aux_e=aux_d*aux_c; vf=vi+aux_e; //xtra a=(vf-vi)/(tf-ti); cout