1Laboratorio 2: Momentos de InerciaUniversidad de San Carlos, Facultad de Ingeniera, Departamento de Fsica, Laboratorio de Fsica 1

Lidia Maribel Pablo Lastor 2014-03928; Seccin QAna Lucia Can Reyes 2014-04059; Seccin N-

ResumenEn el anlisis del sistema utilizado en la prcticase da a conocer los resultados acerca del momento de incercia deuna esfera slida de acero, basado en la cinemtica de rotacin decuerpos rigidos. El sistema consista de un plano inclinado, en elcual se dej rodar una esfera, siguiendo una trayectoria uniformea lo largo del plano. Utilizando el principio de conservacin dela energa mecnica y considerando que la esfera no se desliza,se calcul el momento de inercia experimental de la esfera quenos do un valor de (0.00019 0.00009)km m2 y se comparcon la inercia terica que es de (0.00026 0.00002)km m2 ,se puede determinar que la esfera al rodar por el plano, por notener fuerzas externas, posee una aceleracin constante a partirdel reposo.

I. OBJETIVOS

I-A. Objetivo General

Estudiar el sistema de conservacin de energia de uncuerpo rigido y su momento de inercia.

I-B. Especficos

* Calcular tericamente el momento de inercia de unaesfera slida.

* Determinar la velocidad que lleva la esfera al terminarsu recorrido del plano inclinado.

* Representar por una grfica el desplazamiento vs eltiempo, que demuestre la aceleracin de la esfera.

* Analizar y calcular el momento de inercia de una esferaslida por el anlisis de conservacin de la energa ycompararlo con la inercia encontrado teoricamente.

II. MARCO TERICO

EL momento de inercia se refiere a la medida de la inerciarotacional. Cuanto mayor sea el valor del momentode inercia, mayor ser la dificultad en cambiar el sistemade rotacin. El momento de inercia marca la forma en quese distribuyen las masas de un sistema de rotacin conrespecto a un determinado eje de rotacin. sta distribucines nicamente referente a la posicin del eje y la masa delcuerpo. Se expresa como una sumatoria de masas m queconstituyen un cuerpo, en la que cada una est a determinadadistancia perpendicular r el eje de rotacin. De esta manera:

I =

mr2

Si un sistema no interacciona con su entorno de ningunamanera, entonces determinadas propiedades mecnicas delsistema no pueden cambiar. Algunas veces nos referimos

a ellas como onstantes del movimiento". Estas cantidadesse dice que son conservadas; las leyes de conservacinresultante, se pueden considerar como los principios msfundamentales de la mecnica, uno de ellos es el principio deconservacin de la energa, el cual establece que la cantidadde energa al inicio es igual que la cantidad de energa alfinal, siedo su ecuacion la siguiente:

Eo = Ef

Donde E es la energa mecnica del sistema, la cal vienedada por:

E = K + U

donde K es la energa cintica del sistema y U es la energapotencial, si el sistema esta en rotacin y adems se estatrasladando respecto a un punto de referencia, su energacintica es la suma de la energa cintica de rotacin Krot yla energa cintica de traslacin, es decir:

K = Ktrans + Krot

Donde la energa de rotacin viene dada por la siguienteecuacin:

Krot =1

2Icm

2 (1)

Donde cm significa que es respecto del centro de masa, laenerga de traslacin viene dada por:

Ktrans =1

2mvcm

2 (2)

y la energa potencial es:

U = mgh (3)

por lo que la ecuacin inicial se reduce la siguiente expresin,una vez que se han asumido las siguientes condicionesiniciales para este sistema, hf = 0, vo = 0 y o = 0.

mgh =1

2mvcm

2 +1

2Icm

2 (4)

Asumiendo una rotacin es perfecta, es decir que la esferano se desliza en ningn punto a lo largo de su trayectoria, sepuede asumir la siguiente relacin:

=vcmr

(5)

2Por lo que al despejar la inercia de la ecuacin No. 4 ysustituir la relacin anterior,

Icm = mr2(

2gh

v2cm 1) (6)

Dado que se esta analizando una esfera, la ecuacinanterior es equivalente a la inercia de una esfera calculadageometricamente.

Icm =2

5mr2 (7)

Para esta prctica se utilizar el siguiente sistema:

III. DISEO EXPERIMENTAL

III-A. Materiales

* Una esfera de acero* Una cinta de papel* Un tablero de madera* Dos trozos de madera de igual medida* Un cronmetro* Una cinta mtrica* Un vernier* Una balanzaMateriales utilizados para el sistema analizado:

III-B. Magnitudes fsicas a medir

* Radio r [m] de la esfera.* Masa m [kg] de la esfera.* Cambio de altura h [m] que experimenta la esfera.* Tiempo [s] que le toma a la esfera en llegar en determi-

nada posicin.

III-C. Procedimiento

* Armar el equipo a utilizar.* Utilizar la cinta de papel como una especie de riel de

tal manera que la esfera siga una trayectoria uniforme alo largo del plano.

* Medir distancias de 10 [cm] y marquelas sobre la cintade papel.

* Dejar rodar la esfera sobre el plano y medir 5 veces eltiempo [s] que le toma llegar a cada posicin.

* Medir la masa [kg] de la esfera.* Medir el dimetro de la esfera [m] con el vernier.* Medir la altura h [m] del tablero desde donde se dejo

rodar la esfera, tomando como nivel de referencia lasuperficie de la mesa.

IV. RESULTADOS

Modelo utilizadoy(t) = 12at

2

a, Obtenida por Qtiplota = 1.6927414312849e 01 7.3570971919000e 03

Correlacin del dato (R)R2 = 0.9260475770139

Velocidad de la esfera al final del plano inclinadovf = (0.52 0.01)ms

Inerciateorica (0.00026 0.00002)kg m2InerciaExp (0.00019 0.00009)kg m2Error porcentual entre Inercias obtenidas:

3%E = 26.9

V. DISCUSIN DE RESULTADOS

El dato del radio terico comparado con el radioexperimentalmente encontrado tiene una diferencia muypequea con un valor de 0.00007m, el cual es un valorpequeo, el error porcentual al tomar los datos es de26.9 %, aunque el error porcentual nos indica que es grandeel error, se puede determinar por medio de la grfica No.2 que el dato terico se encuentra en la incerteza del dato real.

En la Grafica No. 1, que presenta el desplazamiento vs.tiempo, se utiliz la ecuacin y(t) = 12at

2, de grado 2, sepuede determinar que los valores se encuentran cercanos ala curva, la correlacin de la grfica es R2 = 0.926047 , lacurva representa la aceleracin constante de la esfera.

VI. CONCLUSIONES

1. El valor terico del momento de Inercia de la esferasolido determinado geomtricamente es de (0.00026 0.00002)kg m2.

2. El velocidad encontrada al final del plano inclinadocorresponde al valor de vcm = (0.52 0.01)ms .

3. La grfica No.1 representa representa el desplazamientolineal vs el tiempo, la curva representa la aceleracinconstante de la esfera, la aceleracin tiene un valor dea = (0.169 0.007)ms2 y los valores son prximos a lacurva.

4. La inercia de la esfera, determinado por medio dela conservacin de la energa mecnica, mediante suscaractersticas y considerando que la esfera no se deslizaes de Icm = (0.000190.00009)kgm2, el grfico No.2representa una comparacin de Inercia real y terica, elerror porcentual entre las Inercias es de 26.9 %.

VII. FUENTES DE CONSULTA

[1] Raymond A. Serway. Fsica para ciencias e ingeniera.(Sptima edi-cin). Mxico: Cengage Learning Editores.2008.723p.ISBN-13: 978-607-481-357-9

[2] Young,Hugh D. y Roger A. Freedman .Fisica Universitaria Volu-men 1.(Decimosegunda Edicin).Mxico: Pearson educacin.2009.760p.ISBN: 978-607-442-288-7

[3] Wilson,Jerry; Anthony J. Bufa,Bo Lou.Fsica (Sexta edicin). Mxi-co:Pearson educacin.2007.912 p.ISBN: 978-970-26-0851-6

VIII. ANEXOS

Tabla de tiempos tomados en el desplazamiento de la esfera.

x[m] t1 t2 t3 t4 t5 t[s]0.100 0.87 0.81 0.81 0.79 0.81 0.820.200 1.12 1.18 1.19 1.25 1.19 1.190.300 1.78 1.53 1.75 1.66 1.69 1.680.400 1.96 1.92 1.98 1.83 1.89 1.920.500 2.44 2.25 2.40 2.45 2.45 2.400.600 2.56 2.60 2.69 2.59 2.52 2.590.700 2.96 2.91 2.91 2.93 2.91 2.920.800 3.21 3.14 3.21 3.32 3.29 3.21

Para encontrar la Inercia experimental, se utilizo lasiguiente ecuacin

Icm = mr2(

2gh

v2cm 1)

Para determinar la velocidad del centro de masa vcm, seutilizarn las siguientes ecuacines:

X = vot + 0.5(a)t2

Tomando el valor de to = 0, y que parte del reposo, entoncesvo = 0, por lo cual la ecuacin se reduce a:

X = 0.5(a)t2

Despejando el tiempo de esta ecuacin y sabiendo que eldesplazamiento recorrido es de X = 0.800m:

t =

1.6

a

La grfica realizada en el programa Qtiplot, nos da el valor dela aceleracin el cual corresponde a: a = (0.169 0.007)ms ,tamben fue necesario utilizar la siguiente expresin paradeterminar la velocidad final de la esfera que es:

vf = vo + a(t)

Como se sabe que parte del reposo por lo cual vo = 0, ysustituyendo la ecuacin del tiempo encontrada, la ecuacinde la velocidad inicial es:

vf = a

1.6a

Al agregar valores a esta ecuacin nos da que es de:

vf = 0.169

1.60.169

vf = 0.52000ms

El error para este valor se determino por la siguienteecuacin

(VF ) =a 1.6((a)

2 a )Al agregarle los valores correspondientes a esta ecuacin, nosda que:

(VF ) =a 1.6( (0.007)

2 0.169)El valor de Vf = (0.52 0.01)msCon la ecuacin que se tenia inicialmente que es de

Icm = mr2(

2gh

v2cm 1)

El valor de la masa corresponde a m = (0.2280 0.0005)km, el valor del radio es de r = (0.017 0.005)m,

4el valor de la gravedad es 9.80m

s2y el valor de la altura es

de h = (0.040 0.005)m, ingresando los siguientes datos, elvalor de la Inercia corresponde a:

Icm = (0.228)(0.017)2(

2 9.80(0.040)0.522cm

1)Icm = 0.000192155km m2

La incerteza de este valor corresponde a:

Icm = mr2(

2gh

v2cm 1) ((m)m + 2(rr + (h)h + 2(v)v )

Al agregarle los valores a esta ecuacin, la incerteza es de

Icm = 0.000094262

Por lo cual la Inercia experimental es:

Icm = (0.00019 0.00009)km m2Para hallar la Inerciacm teorica de la esfera se utiliza,

la la inercia geomtrica de una esfera solida que corresponde a

Icm =25mr

2

De esta ecuacin se sabe que el radio es de r =(0.0170.005)m y la masa es de m = (0.22800.00005)kg,por lo cual el valor de la Inercial terica es de:

Icm = 0.0002635kg m2El valor de la incerteza para la Inercia terica, se determinapor la ecuacin:

Icm =25mr

2 ((m))m + 2(r)r )Al incluir los valores correspondientes el valor de la incertezaes:Icm = 0.00001556Por lo cual el valor de la Inercia terica de una esfera solidaanalizada es de:

Icm = (0.00026 0.00002)km m2Para calcular el valor de la error porcentual de las Inercias,

se utiliza la siguientes ecuacin:

Error = |RE RTRE

| 100

Al sustituir los valores

Error = |0.00026 0.000190.00026

| 100

Error = 26.9 %

Objetivos Objetivo GeneralEspecficos

Marco TericoDiseo ExperimentalMaterialesMagnitudes fsicas a medirProcedimiento

ResultadosDiscusin de ResultadosConclusionesFuentes de consultaAnexos