Universidad Nacional de San Juan - Facultad de Ingeniera DEPARTAMENTO DE ELECTRONICA Y AUTOMATICA Carrera: BIOINGENIERA rea: CONTROL Asignatura: CONTROL I Ao: 2007

UUNNIIDDAADD DDEE AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE NN 55

ANLISIS DE ESTABILIDAD RELATIVA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

1. Objetivos generales: Al finalizar la unidad el alumno deber: 1- Distinguir los conceptos de estabilidad absoluta y estabilidad relativa de un sistema. 2- Diferenciar los conceptos de encierro, inclusin. 3- Conocer y comprender el Principio del argumento de la teora de variables complejas. 4- Conocer la trayectoria de Nyquist, y aplicar el principio del argumento a dicha trayectoria y a la ecuacin caracterstica del sistema. Tener claridad a qu trminos hace referencia el principio del argumento. 5- Conocer y entender el criterio simplificado de Nyquist para sistemas de fase mnima. 6- Entender los conceptos de Margen de Fase y Margen de Ganancia y aprender a marcarlos en el diagrama de Nyquist y diagrama de Bode, con el fin de determinar la estabilidad relativa de un sistema de fase mnima.

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3. Contenidos: 5.1. Anlisis de estabilidad relativa en el dominio de la frecuencia 5.1.1 Criterio de Estabilidad de Nyquist. Definicin de Encierro e Inclusin. Nmero y sentido de encierros o inclusiones. 5.1.2 Principio del Argumento. 5.1.3 Punto Crtico. 5.1.4 Trayectoria de Nyquist. 5.1.5 Aplicacin del criterio de Nyquist. 5.1.6 Criterio de Nyquist simplificado para Sistemas con Funcin de Transferencia de Lazo Abierto de Fase Mnima. 5.1.7 Estabilidad Relativa. Margen de Ganancia y Margen de Fase. 5.1.8 Anlisis de la Estabilidad Relativa en los Diagramas de Bode.

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4- Diagrama Conceptual:

ANALISIS DE LA RTA FRECUENCIAL DE LAZO ABIERTO PARA SISTEMAS DE FASE MINIMA

Anlisis de Especificaciones

frecuenciales de Lazo Abierto

Analisis de Estabilidad de Lazo Cerrado mediante el anlisis de la Rpta

Frecuencial de Lazo Abierto

Margen de Ganancia

Margen de Fase

DETERMINACION DE ESTABILIDAD ABSOLUTA Y RELATIVA

Principio del Argumento

Punto Critico

Trayectoria de Nyquist

Definicion de Encierro e Inclusion

Aplicacin del Criterio Simplificado de

Nyquist

Simulacion por Software

ANALISIS DE ESTABILIDAD RELATIVA

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5- Bibliografa: a) Libros de texto: * "Automatic Control Systems". Autor: B. KUO. Editorial Prentice Hall (Sptima edicin Edicin). 1996. * "Ingeniera de Control Moderna". Autor: K. OGATA. Editorial Prentice Hall (Segunda Edicin). 1993. * "Sistemas Automticos de Control". Autor: B. KUO. Editorial Continental -Mxico (Sexta Edicin). 1991. b) Libros de consulta: * "System Control and Modelling". Autor: J. SCHWARZENBACH and K. F.

GILL. Editorial SIEMENS. 1984.

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PRCTICO N 8 El alumno deber responder Si o No a las aseveraciones que a continuacin se enuncian: a)- Los polos de la Funcin de Transferencia de Lazo cerrado, son los ceros de la ecuacin caracterstica del sistema. b)- Un punto se dice incluido por una trayectoria, si est encerrado en la direccin (SCAR) o cuando recorrida la trayectoria en la direccin contraria a las agujas del reloj (SCAR) el punto queda a la izquierda. c)-El principio del argumento dice: Dada una funcin racional y unvoca, (S) en el plano , analtica en el plano complejo S, a excepcin de un nmero finito de puntos (singularidades): Si se elige una trayectoria cerrada contnua arbitraria, S, en el plano S de modo que no atraviese ninguno de los polos y ceros de (S), el lugar correspondiente de en el plano , encerrar el origen tantas veces como la diferencia entre el nmero de ceros y polos de (S) rodeado por S , la trayectoria en el plano S N = Z P d)- La Trayectoria de Nyquist, S, se elige tal que encierre el semiplano negativo de S . e)- La funcin compleja que se elige como (S), es la ecuacin caracterstica del sistema (S)=1+G(S).H(S) f)- N=Z-P Donde : N= nmero de encierros al punto -1 hechos por la traza de G(S).H(S) Z= nmero de ceros de (S)=1+G(S).H(S) encerrados por la trayectoria de Nyquist en el semiplano + del plano S. P= nmero de polos de (S)=1+G(S).H(S) encerrados por la trayectoria de Nyquist en el semiplano + del plano S. g) Las races de la ecuacin caracterstica coinciden con los ceros de G(S).H(S). h)- Los polos de (S)=1+G(S).H(S) coinciden con los polos de G(S).H(S)

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i)- Para la estabilidad del Sistema de Lazo Cerrado, Z 0. j)- El criterio de Nyquist simplificado se aplica solamente a sistemas de Fase Mnima P=0. k)- El criterio de Nyquist, solo informa estabilidad absoluta , no cantidad de races en el semiplano+ de S. l)- Para un sistema de Lazo cerrado, con funcin de transferencia de Lazo abierto de fase mnima P=0, el sistema de lazo cerrado es estable, si el trazado de Nyquist de G(S).H(S) no incluye al punto -1 del plano G(S).H(S). Si el punto -1, est incluido por la trayectoria de G(S).H(S), el sistema es estable. ll)- La estabilidad relativa de un sistema indica solamente si el sistema es estable o no. m)- El margen de ganancia, es la cantidad de ganancia en db, que se puede aadir al sistema de lazo cerrado, antes del que el mismo se haga inestable. n)- El margen de Fase, es la cantidad de fase en sentido negativo, que todava puedo desfasar al sistema de lazo abierto, antes de que el sistema de lazo cerrado se haga inestable. )- La frecuencia de cruce de fase wc, es la frecuencia para la cual el mdulo de GH vale 1 ( /G.H(wc)/ =1) o)- La frecuencia de cruce de fase wc sirve para averiguar el Margen de Ganancia y la frecuencia de cruce de ganancia wg sirve para determinar el Margen de Fase. p)- La frecuencia de cruce de ganancia debe ser menor a la frecuencia de cruce de fase para que el Sistema de fase Mnima sea estable (wg

q)- Un sistema de 2 orden con ganancia positiva tiene un Margen de Fase . r)- Para que un sistema de fase mnima sea estable el MG y el MF deben ser positivos. Autocorreccin de las aseveraciones del prctico N 8 a)- S h)- S m)- No b)- S i)- No )- No c)- Si j)- S o)- S d)- No k)- S p)- S f)- S l)- S q)- No g)-No ll)- No r)- S

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Prctico N 8 Ejercicio N 1 Dada la siguiente Funcin de Transferencia de Lazo Abierto de Fase Mnima:

50)5).(SS.(S2500H(S) G(S) ++=

a) Obtener en papel semilogartmico, el diagrama de mdulo y fase. b) Trazar la curva real de mdulo y fase, teniendo en cuenta que wc =15,8 rad./seg (frecuencia de cruce de fase) y que wg = 6,22 rad/seg . (frecuencia de cruce de ganancia) c) De acuerdo a los valores dados de wc y wg, marcar sobre la curva real de mdulo y fase: wc, wg, Margen de Fase y Margen de ganancia del sistema. d) Encontrar de la grfica los valores aproximados de MG y MF. Deacuerdo a sus valores, determinar la estabilidad del sistema. e) Obtener el tramo I del diagrama polar de Nyquist, partiendo del diagrama de Bode obtenido anteriormente. Marcar en el trazado de Nyquist, wc, wg y MF f) Aplicar el criterio simplificado de Nyquist, teniendo como referencia lo obtenido en c) y determinar tambin por Nyquist la estabilidad absoluta del sistema.

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-150

-100

-50

0

50Gm=14.807 dB (at 15.811 rad/sec), Pm=31.712 deg. (at 6.2184 rad/sec)

10-1 100 101 102 103-300

-250

-200

-150

-100

-50

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Ejercicio N 2 Dada la siguiente Funcin de Transferencia de Lazo Abierto de Fase Mnima:

1.2S10H(S) G(S) 2 ++= S Wg=3 rad/seg para el sistema B.

a) Obtener en papel semilogartmico, el diagrama de mdulo y fase. b) Trazar la curva real de mdulo y fase, teniendo en cuenta que wg = 6,22 rad/seg y wc= rad/seg. (frecuencia de cruce de ganancia) c) De acuerdo a los valores dados wg y wc, marcar sobre la curva real de mdulo y fase: wc, wg, Margen de Fase y Margen de ganancia del sistema. d) Encontrar de la grfica los valores aproximados de MG y MF. Deacuerdo a sus valores, determinar la estabilidad del sistema. e) Obtener el tramo I del diagrama polar de Nyquist, partiendo del diagrama de Bode obtenido anteriormente. Marcar en el trazado de Nyquist, wc, wg y MF f) Aplicar el criterio simplificado de Nyquist, teniendo como referencia lo obtenido en c) y determinar tambin por Nyquist la estabilidad absoluta del sistema.

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg);

Mag

nitu

de (d

B)

Bode Diagrams

-20

-10

0

10

20Gm = Inf, Pm=36.87 deg. (at 3 rad/sec)

10-1 100 101-200

-150

-100

-50

0

100

Ejercicio N3

1.6076

6017

60

60/10060.76.17

100)10)(6)(1(

100)().(2

323

+++=+++=+++= SSSSSSSSS

SHSG

a) Para KLA= 100/60, obtener en papel semilogartmico, el diagrama de mdulo y fase. b) Trazar la curva real de mdulo y fase, teniendo en cuenta que wc =15,8 rad./seg (frecuencia de cruce de fase) y que wg = 6,22 rad/seg . (frecuencia de cruce de ganancia) c) De acuerdo a los valores dados de wc y wg, marcar sobre la curva real de mdulo y fase: wc, wg, Margen de Fase y Margen de ganancia del sistema. d) Encontrar de la grfica los valores aproximados de MG y MF. Deacuerdo a sus valores, determinar la estabilidad del sistema. e) Obtener el tramo I del diagrama polar de Nyquist, partiendo del diagrama de Bode obtenido anteriormente. Marcar en el trazado de Nyquist, wc, wg y MF f) Aplicar el criterio simplificado de Nyquist, teniendo como referencia lo obtenido en c) y determinar tambin por Nyquist la estabilidad absoluta del sistema.

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = 21.8 dB (at 8.72 rad/sec) , Pm = 109 deg (at 1.27 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

101

Ejercicio N 4 Aumentar la ganancia de lazo abierto normalizada a, KLA=3000/60

1.6076

6017

60

60/300060.76.17

3000)10)(6)(1(

3000)().(2

323

+++=+++=+++= SSSSSSSSS

SHSG

a) Para KLA= 3000/60, obtener en papel semilogartmico, el diagrama de mdulo y fase. b) Trazar la curva real de mdulo y fase, teniendo en cuenta que wc =8.72 rad./seg (frecuencia de cruce de fase) y que wg = 12.9 rad/seg . (frecuencia de cruce de ganancia) c) De acuerdo a los valores dados de wc y wg, marcar sobre la curva real de mdulo y fase: wc, wg, Margen de Fase y Margen de ganancia del sistema. d) Encontrar de la grfica los valores aproximados de MG y MF. Deacuerdo a sus valores, determinar la estabilidad del sistema. e) Obtener el tramo I del diagrama polar de Nyquist, partiendo del diagrama de Bode obtenido anteriormente. Marcar en el trazado de Nyquist, wc, wg y MF f) Aplicar el criterio simplificado de Nyquist, teniendo como referencia lo obtenido en c) y determinar tambin por Nyquist la estabilidad absoluta del sistema.

-100

-50

0

50

Mag

nitu

de (d

B)

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-180

-90

0

Phas

e (d

eg)

Bode DiagramGm = -7.73 dB (at 8.72 rad/sec) , Pm = -22.8 deg (at 12.9 rad/sec)

Frequency (rad/sec)

102

103

ANLISIS DE ESTABILIDAD RELATIVA EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA