Prácticas de Matemática Apoyadas en Aplicaciones Informáticas

8/12/2019 Prcticas de Matemtica Apoyadas en Aplicaciones Informticas

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Prcticas de Matemtica apoyadas en aplicaciones informticas MSc. Csar A. Ypez

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Prcticas de matemtica apoyadas

en aplicaciones informticas

Csar A. Ypez


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Presentacin

El creciente desarrollo de las nuevas tecnologas de la informacin y lacomunicacin ha permitido que se desarrollen tambin diferentesaplicaciones informticas que facilitan la enseanza y el aprendizaje dematemtica.

El uso de programas computacionales en la enseanza mejora eldesempeo de los estudiantes, facilitan la exploracin y eldescubrimiento, promueven la interaccin del alumno con el maestro yentre alumnos, constituye un elemento potenciador que producemejoras en la formacin matemtica del estudiante.

Por tal motivo ofrezco el presente trabajo Prcticas de matemtica

apoyadas en aplicaciones informticas, a la comunidad educativa, alos maestros que buscan nuevas estrategias para mejorar elaprendizaje y, en especial a los alumnos del bachillerato yuniversitarios que necesitan aclarar las dudas que siempre sepresentan al estudiar matemtica.

Csar A. Ypez


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ndice y Contenidos

1. Descarga e instalacin de programas 71.1. Microsoft MathematicsMicrosoft Mathematics proporciona un conjunto de herramientasmatemticas que ayudan a los estudiantes a hacer sus tareas escolaresde forma rpida y sencilla

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1.2. GeoGebraGeoGebra es un software interactivo de matemtica que renedinmicamente geometra, lgebra y clculo. Lo ha elaborado MarkusHohenwarter junto a un equipo internacional de desarrolladores, parala enseanza de matemtica escolar

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2. Proyectos de Aula2.1. Fundamentos de Matemticas de Microsoft. Prcticas de

matemtica con Matemticas de Microsoft

Identificar las utilidades y las principales formas de aplicacin delprograma Matemticas de Microsoft.

Graficar rectas, planos, parbolas, circunferencias, cilindros,esferas utilizando el programa matemticas de Microsoft

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2.2. Suma de VectoresDisear un modelo grfico para que realice la suma vectorial en elprograma GeoGebra.

Resolver problemas de suma vectorial mediante la utilizacin delmodelo creado en GeoGebra.

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2.3. Fundamentos de Microsoft Mathematics. Prcticas dematemtica con Microsoft Mathematics.

Identificar las utilidades y las principales formas de aplicacin del

programa Microsoft Mathematics.

Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones utilizando elprograma Microsoft Mathematics.

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ndice y Contenidos

2.4. El crculo trigonomtricoDisear el crculo trigonomtrico que presente en forma dinmicalos valores de las funciones trigonomtricas en GeoGebra.

Resolver problemas de trigonometra mediante la utilizacin delmodelo creado en GeoGebra.

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2.5. Funciones trigonomtricasDisear un modelo en GeoGebra 4 que presente en formadinmica los valores de las funciones trigonomtricas seno,coseno y tangente.

Graficar las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente.

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2.6. Anlisis de datos 1EstadsticaResolver un problema de estadstica, utilizando Geogebra4.

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2.7. Anlisis de datos 2- EstadsticaResolver un problema de estadstica, utilizando Microsoft Excel.

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2.8. Grficas de funcionesGraficar diferentes tipos de funciones.

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2.9. Funciones en ExcelCalcular valores de funciones.

Graficar diferentes tipos de funciones.

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2.10.Grficas de ecuaciones de segundo gradoGraficar parbolas, elipses, hiprbolas, circunferencias.

Resolver sistemas de ecuaciones no lineales

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2.11.Polinomios 1Determinar los ceros y la grfica de una funcin polinomial mediante el

uso de TICs.

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2.12.Polinomios 2Determinar la grfica y la monotona de una funcin polinomialmediante el uso de TICs.

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1. Descarga e instalacin de programas

Matemticas de Microsoft y Microsoft Mathematics

Matemticas de Microsoft es una versin anterior a la actual Microsoft Mathematics 4.0. Es

posible que el lector disponga de la versin anterior, caso contrario se recomienda la descarga quese indica ms adelante. La siguiente introduccin se ha tomado de la Ayuda del programaMicrosoft Mathematics.

Microsoft Mathematics proporciona un conjunto de herramientas matemticas que ayudan a losestudiantes a hacer sus tareas escolares de forma rpida y sencilla. Con Microsoft Mathematics,los estudiantes pueden aprender a resolver ecuaciones paso a paso, mientras profundizan susconocimientos sobre conceptos fundamentales de introduccin al lgebra, lgebra, trigonometra,fsica, qumica y clculo.

Microsoft Mathematics incluye una calculadora de grficas completa que funciona como si fuera

una calculadora manual. Otras herramientas matemticas pueden servir para calcular tringulos,convertir de un sistema de unidades a otro y resolver sistemas de ecuaciones.

Microsoft Mathematics puede ayudarle con muchas tareas, como, por ejemplo:

Calcular funciones matemticas estndar, como races y logaritmos. Resolver ecuaciones e inecuaciones. Resolver tringulos. Convertir medidas de una unidad a otra. Calcular funciones trigonomtricas, como seno y coseno. Realizar operaciones de matriz y vector, como inversas y productos cruzados. Calcular estadsticas bsicas, como una media y una desviacin estndar. Realizar operaciones con nmeros complejos. Representar grficas en 2D y 3D en coordenadas cartesianas, polares, cilndricas y

esfricas. Hallar derivadas e integrales, lmites y sumas y productos de serie. Hallar, representar y resolver frmulas y ecuaciones comunes.

Descargar Microsoft Mathematics

1. En la barra de direcciones del navegador de internet escribimos

Se ingresa al centro de descargas de Microsoft


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2. En la barra de bsqueda escribimos matemticas

Se indican tres resultados de sta bsqueda y sus correspondientes caractersticas

3. Escogemos . Luego se observa el sitio de descarga con tresopciones disponibles, as: el archivo MSetup_x64.exe deber descargarse cuando se tiene unsistema operativo de 64 bits; mientras MSetup_x86.exe debe descargarse para un sistemaoperativo de 32 bits.Para observar el si nuestro sistema operativo es de 32 bits o de 64 bits, lo hacemos mediante

la siguiente secuencia:


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4. Seleccionamos el archivo a descargar por ejemplo MSetup_x86.exe, dando un clic enLa descarga se inicia, al final se observar el archivo instalador en la carpeta de descargas

Instalacin de Microsoft Mathematics

1. Damos doble clic sobre el archivo MSetup_x86.exe

2. El sistema operativo pedir permiso para realizar cambios. Se deber aceptar para seguir conla instalacin

3. Se observa el Asistente para la instalacin de Microsoft Mathematics 4.0.

4. SeleccionamosAparece el contrato de licencia


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5. Marcamos la casilla de aceptacin del contrato de licencia y damos un clic enSe observar la siguiente ventana opcional.

6. Escogemos el botn7. Aparece la ventana de para seleccionar una carpeta donde se instalar el programa. Esta

opcin es opcional.


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8. Damos un clic enSe observa la ventana que indica que se comenzar con al instalacin

9. SeleccionamosSe observa el progreso de instalacin

Luego la ventana de finalizacin de la instalacin


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10.Damos un clic enLuego se observar la ventana de instalacin de un complemento que permite trabajar conMicrosoft Mathematics.


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11.Seleccionamos y luego el botn

12.Damos un clic en el botn

13.Escogemos


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Se observa la ventana de finalizacin de instalacin

14.Damos un clic en

GeoGebra

Existen en internet muchos trabajos sobre GeoGebra, a continuacin se muestra un resumen de lautilidad de ste programa

GeoGebra es un software interactivo de matemtica que rene dinmicamente geometra,lgebra y clculo. Lo ha elaborado Markus Hohenwarter junto a un equipo internacional dedesarrolladores, para la enseanza de matemtica escolar.

Vistas Mltiples de los Objetos Matemticos

GeoGebra ofrece tres perspectivas diferentes de cada objeto matemtico: una Vista Grfica, una,numrica, Vista Algebraica y adems, una Vista de Hoja de Clculo. Esta multiplicidad permiteapreciar los objetos matemticos en tres representaciones diferentes: grfica (como en el caso depuntos, grficos de funciones), algebraica (como coordenadas de puntos, ecuaciones), y en celdasde una hoja de clculo. Cada representacin del mismo objeto se vincula dinmicamente a lasdems en una adaptacin automtica y recproca que asimila los cambios producidos encualquiera de ellas, ms all de cul fuera la que lo creara originalmente.

Descargar GeoGebra

1. Ingresamos a la direccinObservaremos entre otras opciones la seccin de descarga de GeoGebra


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2. Damos un clic en . Buscamos la seccin siguiente.

3. Seleccionamos . Se observa las opciones para escoger nuestro sistemaoperativo.

4. Seleccionamos el sistema operativo, por ejemplo . Se inicia la descargay el archivo puede observarse de la siguiente forma:

5. Instalamos GeoGebra, dando doble clic sobre el archivo instalador y seleccionando lasopciones de instalacin.


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Observacin:Es posible que al momento de la instalacin se requiera un complemento de Java. Este sedescarga de internet con la asistencia del mismo instalador de GeoGebra.


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2. Proyectos de aula

Micro Proyecto 1

Autor: MSc. Csar A. Ypez

Tema : Fundamentos de Matemticas de Microsoft. Prcticas de matemtica con Matemticasde Microsoft

Objetivos:

- Identificar las utilidades y las principales formas de aplicacin del programa Matemticasde Microsoft.

- Graficar rectas, planos, parbolas, circunferencias, cilindros, esferas utilizando el programaMatemticas de Microsoft

Materiales: Computador, software matemtico (Matemticas de Microsoft), gua deprocedimiento

Procedimiento:

1. Leer el documento de Fundamentos de Matemticas de Microsoft e identificar suscaractersticas, utilidades y aplicaciones en el computador.

2. Realizar las grficas de las ecuaciones planteadas siguiendo el procedimiento que se indica.Fundamentos de Matemticas de Microsoft.

Un excelente programa de matemtica y muy sencillo de utilizar es Matemticas de Microsoft,cuando se ingresa al programa podemos observar el men Ayuda donde encontraremos lasutilidades de Matemticas de Microsoft:

Matemticas de Microsoft es un conjunto de herramientas matemticas que puede ayudarle a

que su trabajo sea ms rpido y sencillo. Lo ms destacado de Matemticas de Microsoft es una


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compleja calculadora cientfica con amplias capacidades de representacin grfica y de resolucinde ecuaciones. Puede utilizarla como una calculadora de mano, pulsando sus botones, o tambinpuede usar su teclado para escribir aquellas expresiones matemticas que quiera que lacalculadora evale. Otras herramientas adicionales le ayudarn a evaluar tringulos o a convertircantidades de un sistema de unidades a otro.

Podr usar Matemticas de Microsoft para las siguientes tareas:

1. Clculos matemticos estndar, tales como funciones, races y logaritmos.2. Resolucin de tringulos.3. Convertir medidas de una unidad a otra.4. Calcular funciones trigonomtricas como el seno y el coseno.5. Interpretar matrices y vectores, inversas y productos cruzados.6. Calcular datos estadsticos, como media y desviacin estndar.7. Interpretar operaciones con nmeros complejos.8. Representar grficas 2D y 3D en coordenadas cartesianas, polares, cilndricas y esfricas.9. Ejecutar operaciones de clculo de funciones, incluyendo el clculo de derivadas, integrales y

lmites, as como sumas y productos de sucesiones.10. Resolucin numrica y simblica de ecuaciones.Cuando abrimos Matemticas de Microsoft, se observa su interfaz en donde podemos verdesplegados los siguientes elementos:

El teclado de la calculadora est dividido en diferentes grupos: Nmeros complejos,Estadsticas, Trigonometra, lgebra lineal, Clculo, Estndar y Botones favoritos.

La ficha Hoja de clculo se muestra por defecto, en esta ficha se realizarn la mayora delos clculos numricos. Esta ficha incluye un campo de entrada de datos y otro de salida.Cuando haga clic en los botones de la calculadora, estar construyendo una expresinmatemtica en el campo de entrada. Cuando haga clic en ENTER, Matemticas deMicrosoft evaluar la expresin de forma simblica y numrica (si procede), y a


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continuacin mostrar los resultados en el campo de salida de datos. En algunos casos, lasalida de datos podr incluir Resoluciones paso a paso o informacin adicional acerca de lasolucin.

La ficha Grficas se utiliza para crear la mayora de las grficas matemticas. Esta fichaincluye un campo de entrada de datos para introducir las funciones, ecuaciones,inecuaciones, conjuntos de datos o ecuaciones paramtricas que quiera representar. Paratrabajar con la grfica despus de haber sido representada, la ficha Grficas incluye unaventana que describe la grfica representada y una ventana donde se visualiza la grfica.

El botn Herramientas proporciona un acceso rpido a lassiguientes utilidades de Matemticas de Microsoft:Resolucin de ecuaciones, para resolver una ecuacin o unsistema de ecuaciones.

Frmulas y ecuaciones, para encontrar ecuaciones que seusan con frecuencia en ciencias y en matemticas.Matemticas de Microsoft las explora grficamente o lasresuelve para una variable concreta.Resolucin de tringulos, para calcular las dimensiones de loslados y ngulos de un tringulo en el que las medidas dealgunos de sus lados y ngulos son conocidas.Conversor de unidades, para convertir medidas de una unidad a otra.


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Grficas

Rectas

Podemos iniciar el estudio de la ecuacin de la recta mediante una motivacin geomtrica que seindica a continuacin:

Ejemplo 1. Representar grficamente las siguientes ecuaciones

a) b) c) d) 1. Damos un clic en la ficha2. Escogemos la categora

Se abren las opciones de ecuaciones, donde se observan porejemplo: el botn para seleccionar el tipo de grfica 2D o 3D,

los botones Agregar, Quitar, Grfica

3. Escogemos las opciones4. Damos un clic en el cuadro correspondiente a la primera ecuacin

5. Ingresamos la primera ecuacin y presionamos el botn Intro

6. Damos un clic en el botnSe observar la primera grfica en la parte derecha de la pantalla7. Se observar la primera grfica en la parte derecha de la pantalla


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8. Introducimos el resto de ecuaciones que se indican y damos un clic en el botn .Seobservarn las rectas de distintos colores. identificando las caractersticas de cada recta,mediante la seccin Controles de la grfica.

9. Identificamos las caractersticas de cada recta, mediante la seccin Controles de la grfica.Planos

Para graficar planos, ingresamos las ecuaciones de los planos en 3D, por ejemplo las ecuacionesanteriores representan planos que se intersecan perpendicularmente al plano XY. Esto se observaen la siguiente grfica.


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Parbolas

Ejemplo 2. Representar grficamente las siguientes ecuaciones:

a)

b)

c)

d)

1. Seleccionamos la ficha2. Abrimos la seccin3. Escogemos las opciones4. Damos un clic en el cuadro correspondiente a la primera ecuacin

5. Ingresamos la primera ecuacin y presionamos el botn Intro6. Damos un clic en el botn7. Se observar la primera grfica en la parte derecha de la pantalla.

8. Ingresamos las ecuaciones restantes mediante el mismo procedimiento. Luego, se observarnlas grficas con diferentes colores.

9. Podemos controlar algunos aspectos mediante las opciones de la seccin Controles de lagrfica.


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Animacin

La animacin de una grfica se la hace utilizando parmetros, realizaremos una animacin sencillade la grfica de una parbola, utilizaremos el parmetro . Se pueden utilizar varios parmetrosen una misma ecuacin.

Animacin en 2D

1. Iniciamos graficando la ecuacin de la parbola

en 2D.

Se observar la grfica y los respectivos controles

2. Damos un clic en el botn de reproduccin de la seccin Animar. La animacin comienzadesde el lmite inferior hasta el lmite superior . Estos valores podemos cambiarlos segn serequiera.


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Animacin en 3D

Graficaremos una ecuacin con dos parmetros y 1. Graficamos la ecuacin

en 3D.

2. En la seccin Animar de los Controles de la grfica escogemos el parmetro y luego damosclic en el botn de reproduccin.

Se observar que si escogemos el parmetro , lagrfica tiende a cerrarse conrespecto al eje , mientrasque si escogemos el parmetro , la grfica se desplazaen eje hasta el valor .

Circunferencia, cilindro y esfera

Podramos graficar la ecuacin de la circunferencia en 2D, y observar la diferenciacuando se obtiene un cilindro en 3D, al cual lo hacemos girar mediante el botn

.


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Por ltimo se podra agregar el trmino a la ecuacin en 3D para obtener unaesfera como se observa en la figura.

Evaluacin:El docente verificar visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos enel computador.Los estudiantes presentarn un documento impreso con las grficas realizadas


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Grfica de ecuaciones paramtricas en 3D

Grfica en forma de un tubo cilndrico de las ecuaciones paramtricas

( ) ( ) realizada en el programa Winplot.


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Micro Proyecto 2


Tema : Suma de Vectores

Objetivos:

- Disear un modelo grfico para que realice la suma vectorial en el programa GeoGebra.- Resolver problemas de suma vectorial mediante la utilizacin del modelo creado en

GeoGebra.

Materiales:Computador, software matemtico (GeoGebra), gua de procedimiento

Procedimiento:

Creacin de puntos, segmentos, vectores

Realizaremos el procedimiento que permite disear el modelo de suma de vectores siguiente:

1. Definimos los Puntos A y B desde el campo de entrada

2. Definimos el punto C como la interseccin de los ejes Xy Y. desde el campo de entrada

3. Definimos un vector u4. Definimos el vector v5. Ubicamos el punto final del vector w mediante la suma

de los puntos A y B (el punto D)

6. Formamos el paralelogramo( segmento a)


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(el segmento b)7. Sumamos los vectores u y v

( vector w)8. Ubicamos el punto E: la proyeccin del

punto A en el eje X

9. Ubicamos el punto F: la proyeccin delpunto B en el eje X

10.Ubicamos el punto G: la proyeccin delpunto A en el eje Y

11.Ubicamos el punto H: la proyeccin delpunto B en el eje Y

12.Creamos los segmentos de proyeccinsobre los ejes X y Y (segmento d)

(segmento c)

(segmento e)

(segmento f )

El procedimiento anterior permite obtener el diseo que se observa a continuacin:

Se observa que todos los elementos tienen el mismo estilo, color y grosor; podemos cambiar estas

caracterstica para obtener un diseo que mejore la presentacin.


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Estilo, color, grosor

Podemos editar la presentacin, modificando el color, estilo, grosor, etc. de todos los objetos

creados (puntos, rectas, segmentos, etc.)

1. Damos clic derecho en un objeto, por ejemplo: elsegmento a. Se despliega un men con las opciones

disponibles para el objeto seleccionado.

2. Seleccionamos la opcin Propiedades. Entre laspropiedades disponibles se observan: Bsico, Color,

Estilo, Decoracin y Avanzado. Adems podemos

escoger otros objetos en la columna de la izquierda

para modificar sus propiedades.

3. Escogemos el color y el estilo conveniente

Luego de escoger las opciones mencionadas, nuestro diseo podra quedar de la siguiente forma:


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Creacin de ngulos

Existen algunas formas de definir un ngulo; cuando escribimos la palabra ngulo en el campo de

entrada, aparecen los formatos de ingreso, debemos escoger la forma ms conveniente.

Escogemos la tercera forma:

Crearemos los ngulos (del vector u), (del vector v), y ( del vector suma w). Para los tres

ngulos se necesita un punto lateral (I), un vrtice (C) y un punto lateral antihorario (el punto

extremo de cada vector: A,B,D)

1. Ubicamos un punto sobre el eje X Se crea el punto I sobre el eje X2. Definimos el ngulo Se crea el ngulo 3. Definimos el ngulo Se crea el ngulo 4. Definimos el ngulo Se crea el ngulo

Se observa en la Vista algebraica, los tres ngulos creados

Si movemos el punto D hacia la posicin (3.-3) observaremos la

representacin de los ngulos creados en la Vista grfica y los

correspondientes valores en la Vista Algebraica


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Introduccin de texto

Todos los elementos matemticos (punto, recta, vector, ngulo, etc.) creados en GeoGebra se

llaman objetos. Para introducir texto en cualquier posicin de la Vista Grfica se utiliza el campo

de entrada o el botn Inserta Texto, ubicado en la barra de herramientas:

Utilizaremos ste botn:

1. Seleccionamos el botn Inserta Texto. Inmediatamente el puntero del ratn cambia ala forma de cruz negra.

2. Damos un clic en la posicin donde insertaremos el texto, por ejemplo en la posicin (7,4) . Enforma inmediata aparece el cuadro de texto.

Los botones ubicados en la

parte superior derecha sirven

para seleccionar los caracteres

que no se encuentran en el

teclado.

d

3. Escribimos el texto Angulo =+.El texto entre comillas se

leer en forma idntica en la

Vista Grfica, mientras que

se antepone el signo +, a los

objetos que deseamos visualizar su valor, a esto se le llama texto dinmico. As, el texto

ingresado se observar como:

4. Damos un clic en OK.Luego, procedemos en forma similar para ingresar cualquier objeto, por ejemplo para ingresar

los valores de los ngulos y , escribiremos el siguiente texto.

Ingresamos el siguiente texto mediante el botn Inserta Texto, para observar los valores de los

vectores u, v y w.


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Ahora se observa el texto ingresado en la Vista grfica

Coordenadas polares y cartesianas

Si observamos en la Vista Algebraica y en

la Vista Grfica, encontramos los vectoresdefinidos mediante coordenadas

cartesianas. Podemos cambiar a

coordenadas polares mediante el

siguiente procedimiento:

1. Damos un clic derecho en el objeto que queremos cambiar el tipo de coordenadas, porejemplo el vector u.

2. Seleccionamos Coordenadas Polares.3. Realizamos el mismo procedimiento para los vectores v y w.

Se observa la Vista Algebraica y la Vista Grfica con los vectores u, v y w en coordenadas

polares.

Realizamos el mismo procedimiento para regresar a coordenadas cartesianas.


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Redondeo

Se observan en la Vista Algebraica y la Vista grfica los valores de todos los objetos creados

(segmentos, puntos, ngulos, vectores), hasta con dos decimales o posiblemente ms de dos

decimales. Podemos cambiar el nmero de decimales de la siguiente forma:

1. Seleccionamos el men Opciones2. Escogemos Redondeo3. Escogemos el nmero de Lugares Decimales o de Cifras Significativas

Si escogemos 0 Lugares decimales, se observarn los siguientes valores:

Evaluacin:

El docente verificar visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos enel computador.Los estudiantes presentarn un archivo que contiene el modelo de suma de vectores creado enGeoGebra.


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Grfica de una funcin de dos variables en 3D

Grfica de la funcin de dos variables

( ) realizada en el programa Winplot


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Micro Proyecto 3


Tema : Fundamentos de Microsoft Mathematics. Prcticas de matemtica con MicrosoftMathematics.

Objetivos:

- Identificar las utilidades y las principales formas de aplicacin del programa MicrosoftMathematics.

- Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones utilizando el programa MicrosoftMathematics.

Materiales:Computador, software matemtico (Microsoft Mathematics), gua de procedimiento

Procedimiento:

3. Leer el documento de Fundamentos de Microsoft Mathematics e identificar suscaractersticas, utilidades y aplicaciones en el computador.

4. Realizar las grficas de las ecuaciones planteadas siguiendo el procedimiento que se indica.Fundamentos de Microsoft Mathematics.

Un excelente programa de matemtica y muy sencillo de utilizar es Microsoft Mathematics,cuando se ingresa al programa podemos observar el men Ayuda donde encontraremos lasutilidades de:Microsoft Mathematics

Microsoft Mathematics proporciona un conjunto de herramientas matemticas que ayudan a losestudiantes a hacer sus tareas escolares de forma rpida y sencilla. Con Microsoft Mathematics,


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los estudiantes pueden aprender a resolver ecuaciones paso a paso, mientras profundizan susconocimientos sobre conceptos fundamentales de introduccin al lgebra, trigonometra, fsica,qumica y clculo.

Microsoft Mathematics incluye una calculadora de grficas completa que funciona como si fuerauna calculadora manual. Otras herramientas matemticas pueden servir para calcular tringulos,convertir de un sistema de unidades a otro y resolver sistemas de ecuaciones.

Microsoft Mathematics puede ayudarle con muchas tareas, como, por ejemplo:

1. Calcular funciones matemticas estndar, como races y logaritmos.2. Resolver ecuaciones e inecuaciones.3. Resolver tringulos.4. Convertir medidas de una unidad a otra.5. Calcular funciones trigonomtricas, como seno y coseno.6. Realizar operaciones de matriz y vector, como inversas y productos cruzados.7. Calcular estadsticas bsicas, como una media y una desviacin estndar.8. Realizar operaciones con nmeros complejos.9. Representar grficas en 2D y 3D en coordenadas cartesianas, polares, cilndricas y

esfricas.10. Hallar derivadas e integrales, lmites y sumas y productos de serie.11. Hallar, representar y resolver frmulas y ecuaciones comunes.

Cuando Microsoft Mathematics se abre, ver los siguientes elementos:

1. Teclado de la calculadoraEl teclado de la calculadora incluye un teclado numrico y los siguientes grupos debotones: Nmeros complejos, Clculo, Estadstica, Trigonometra, lgebra lineal, Estndar

y Botones favoritos.2. Ficha Hoja de clculo

La ficha Hoja de clculo, que se muestra de forma predeterminada, es dondeprobablemente realizar la mayora de los clculos numricos. Esta ficha incluye un panelde entrada y un panel de resultado. Puede usar expresiones matemticas de entradausando el teclado, el mouse o el lpiz. Cuando termine de escribir la expresin, MicrosoftMathematics la calcula de forma simblica y numrica (si corresponde) y, a continuacin,muestra los resultados en el panel de resultado. En algunos casos, el resultado puedeincluir soluciones detalladas o informacin adicional sobre la solucin.

3. Ficha GrficasLa ficha Grficas se puede usar para crear la mayora de las grficas matemticas. Estaficha incluye un panel de entrada para escribir la funcin, ecuacin, inecuacin, conjuntode datos o ecuacin paramtrica que desea representar. Para trabajar con la grficadespus de representarla, la ficha Grficas tambin incluye un panel que describe lo quese representa en la grfica y un panel de grfica que muestra la grfica en s.

4. CintaLa cinta est diseada para ayudarle a encontrar rpidamente los comandos que necesitapara llevar a cabo una tarea. Los comandos estn organizados en grupos lgicos, que seencuentran recopilados en forma de fichas. Cada ficha se relaciona con un tipo deactividad, como insertar datos. Para no recargar la pantalla, algunas fichas se muestran


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solo cuando es necesario. Por ejemplo, la ficha Herramientas grficas se muestra solocuando se representan grficas.

Ecuaciones

Ecuacin de primer grado

Ejemplo 1. Hallar tal que:a) b) ( ) ( ) c) ()

1. Seleccionamos la ficha Hoja de clculo2. Escribimos la ecuacin en el cuadro de entrada como se indica en la figura.3. Damos un clic en el botn Entrar o presionamos la tecla Enter4. Observamos la solucin de la ecuacin ingresada. Adems cuando es posible se puede

observar elprocedimientorealizado.

5. Damos unclic enPasos desolucin.


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6. Ingresamos la ecuacin ( ) ( )en el cuadro de entrada ypresionamos Enter.

7. Escribimos la ecuacin ()

de la forma que se indica; es importante agrupar entre

parntesis los numeradores y denominadores en forma correcta.

.El resultado de la ecuacin anterior se observara de la siguiente forma:

Ecuacin cuadrtica

Ejemplo 2. Sean las funciones cuadrticas , hallar el conjunto () a) () b) () c) () 1. Seleccionamos la ficha Hoja de clculo2. Escribimos la ecuacin en el cuadro de entrada, como se indica en la figura.

Para ingresar el trmino , escribimos y utilizamos el botn del teclado de lacalculadora. Para otros exponentes utilizamos el botn

3. Damos un clic en el botn Entrar o presionamos la tecla Enter.4. Observamos las soluciones de la ecuacin ingresada. Para las ecuaciones cuadrticas se

presentan dos procedimientos solucin.5. Damos un clic en Pasos de

solucin mediante lafrmula cuadrtica. Seobservar una explicacinde este procedimiento.

Observacin:El conjunto solucin es:

()


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6. Ingresamos la ecuacin dela misma forma. Seobserva el resultado enla parte superior, comose muestra en la figura.

7. Ingresamos la siguienteecuacin . El resultado semuestra en la siguientefigura. Se observa quelas soluciones nopertenecen al conjuntode los nmeros realessino al conjunto de losnmeros complejos. Luego, el conjunto solucin es:

() Sistemas de ecuaciones

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas es el conjunto de ecuaciones:

{ Donde

denotan las incgnitas,

se denominan incgnitas,

se

llaman trminos independientes.

Resolver en el conjunto el sistema de ecuaciones lineales con coeficientes y trminosindependientes en , significa hallar, si existen, dos nmeros reales que satisfacen las dosecuaciones del sistema propuesto. El conjunto solucin es:

{( ) { }Ejemplo 3. Hallar la solucin en , si existe de los sistemas de ecuaciones lineales .

a){ b){ c){

En general, para resolver una ecuacin o un sistema de ecuaciones se utiliza la herramienta Solvede ecuaciones que se encuentra en la ficha Inicio.


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Resolveremos la primera ecuacin:

1. Seleccionamos el botn Solve de ecuaciones2. Escogemos Resolver un sistema de 2 ecuaciones3. Ingresamos la primera ecuacin4. Ingresamos la segunda ecuacin5. Damos un clic en el botn Resolver6. Observamos la solucin del sistema

En este caso el conjunto solucin {( ) { } ()

Resolviendo los sistemas { y { se obtiene respectivamente:

Evaluacin:

El docente verificar visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos enel computador.Los estudiantes presentarn un documento en Word que contiene las el desarrollo de los ejemplospropuestos.


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Micro Proyecto 4


Tema : El crculo trigonomtrico

Objetivos:

- Disear el crculo trigonomtrico que presente en forma dinmica los valores de lasfunciones trigonomtricas en GeoGebra.

- Resolver problemas de trigonometra mediante la utilizacin del modelo creado enGeoGebra.

Materiales:Computador, software matemtico (GeoGebra), gua de procedimiento.

Procedimiento:

Disearemos un modelo de un circulo trigonomtrico de radio igual a 1; mediante la creacin detodos los objetos desde el campo de entrada y la correspondiente alternativa utilizando la barrade herramientas.

1. Introducimos el punto A definido como la interseccin de los ejes X y Y.Objeto Definicin Comando HerramientaPunto A Punto de Interseccin: EjeX, EjeY Interseca[EjeX,EjeY]

2. Insertamos el punto B sobre el eje X, luego lo trasladamos a la ubicacin (1,0).Objeto Definicin Comando Herramienta

Punto B Punto sobre el EjeX Punto[EjeX]


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3. Ubicamos la circunferencia c de centro en el punto A y que pasa por el punto BObjeto Definicin Comando Herramienta

Circunferenciac

Circunferencia de centro A quepasa por B

Circunferencia[A,B]

4. Ubicamos el punto C sobre la circunferencia cObjeto Definicin Comando HerramientaPunto C Punto sobre c Punto[c]

5. Definimos el ngulo positivo con los puntos B, A y CObjeto Definicin Comando Herramienta

Angulo Angulo de extremo B, vrtice A yextremo C

Angulo[B,A,C]

6. Trazamos el segmento a desde el punto A hasta el punto C.Objeto Definicin Comando Herramienta

Segmento a Segmento que une los puntos Ay C

Segmento[A,C]

7. Ubicamos el punto D como la proyeccin del punto C sobre el EjeYObjeto Definicin Comando Herramienta

Punto D Proyeccin del punto C sobre elEjeY

(0,y(C))

8. Ubicamos el punto E como la proyeccin del punto C sobre el EjeXObjeto Definicin Comando HerramientaPunto E Proyeccin del punto C sobre el

EjeX(x(C),0)

9. Trazamos la recta b que es perpendicular al EjeX y pasa por el punto B.Objeto Definicin Comando HerramientaRecta b Recta que pasa por B y es

perpendicular al EjeXPerpendicular[B,EjeX]

10.Ubicamos el punto F de coordenadas (())Objeto Definicin Comando Herramienta

Punto F Punto de coordenadas(()) (())11.Trazamos el segmento d que va del punto C al punto F

Objeto Definicin Comando Herramienta

Segmento d Segmento que une el punto Ccon el punto F

Segmento[C,F]


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12.Trazamos el segmento e que va del punto D al punto CObjeto Definicin Comando Herramienta

Segmento e Segmento que une el punto Dcon el punto C

Segmento[D,C]

13.Trazamos el segmento f que va del punto C al punto EObjeto Definicin Comando HerramientaSegmento f Segmento que une el punto C

con el punto ESegmento[C,E]

14.Ubicamos el texto y el valor del seno del ngulo , en el punto D. Esto hace que el texto setraslade junto con el punto.


Textotexto1

Texto que indica el valor delseno de

sen =+(sin())

15.Ubicamos el texto y el valor del coseno del ngulo , en el punto E. Esto hace que el texto setraslade junto con el punto.


Textotexto2

Texto que indica el valor delseno de

cos =+(cos())

16.Ubicamos el texto y el valor del ngulo .Objeto Definicin Comando HerramientaTextotexto3

Texto que indica el valor delngulo

= +

17.Ubicamos el texto y el valor de la tangente del ngulo .Objeto Definicin Comando HerramientaTextotexto4

Texto que indica el valor de latangente de

tan =+(tan())

Finalmente editaremos los objetos creados, con los estilos de linea, colores, grosor, tamao deletra, etc. Para obtener el crculo trigonomtrico que se observa en la imagen siguiente, con laVista algebraica y la Vista Grfica.

Observaciones:

Cuando desplazamos el punto C sobre la circunferencia c, se observarn los distintos valores de lasfunciones trigonomtricas, as como las lngitudes de de los segmentos trazados.

En la versn 4 de GeoGebra, es posible hacer una Animacin automtica del punto C, dando unclic derecho sobre ste y escogiendo la opcin correspondiente.


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Podemos observar el resumen de los objetos creados al seleccionar el men Vista y la opcinProtocolo de Construccin.

Evaluacin:

El docente verificar visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos enel computador.

Los estudiantes presentarn el archivo guardado en GeoGebra y demostrarn la utilizacin delmodelo creado, calculando los valores de las funciones trigonomtricas para ngulos notables.


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Micro Proyecto 5


Tema : Funciones trigonomtricas

Objetivos:

- Disear un modelo en GeoGebra 4 que presente en forma dinmica los valores de lasfunciones trigonomtricas seno, coseno y tangente

- Graficar las funciones trigonomtricas seno, coseno y tangente.Materiales:Computador, software matemtico (GeoGebra), gua de procedimiento.

Procedimiento:

Disearemos el modelo que se observa en la figura con las grficas de las funciones seno, coseno ytangente.

Es importante aclarar que el modelo debe crearse en la versin 4 de GeoGebra o en versionessuperiores. Utilizaremos dos aplicaciones interesantes de sta versin:

- Una segunda vista grfica, que permitir grficar las funciones trigonomtricas, al cambiarla escala del EjeX a grados; una escala distinta a la primera vista grfica.

- La herramienta de Animacin Automtica, que permite visualizar el movimiento de unpunto sobre la circunferencia.


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Primera Parte

Iniciaremos ingresando a GeoGebra 4 y diseando el modelo de un circulo trigonomtrico deradio igual a 1; mediante la creacin de todos los objetos desde el campo de entrada o utilizandola barra de herramientas.

18. Introducimos el punto A definido como la interseccin de los ejes X y Y.Objeto Definicin Comando Herramienta

Punto A Punto de Interseccin: EjeX, EjeY Interseca[EjeX,EjeY]

19. Insertamos el punto B sobre el eje X, luego lo trasladamos a la ubicacin (1,0).Objeto Definicin Comando Herramienta

Punto B Punto sobre el EjeX Punto[EjeX]

20.Ubicamos la circunferencia c de centro en el punto A y que pasa por el punto BObjeto Definicin Comando HerramientaCircunferenciac

Circunferencia de centro A quepasa por B

Circunferencia[A,B]

21.Ubicamos el punto C sobre la circunferencia cObjeto Definicin Comando Herramienta

Punto C Punto sobre c Punto[c]

22.Definimos el ngulo positivo con los puntos B, A y CObjeto Definicin Comando Herramienta

Angulo Angulo de extremo B, vrtice A yextremo C

Angulo[B,A,C]


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23.Trazamos el segmento a desde el punto A hasta el punto C.Objeto Definicin Comando Herramienta

Segmento a Segmento que une los puntos Ay C

Segmento[A,C]

24.Ubicamos el punto D como la proyeccin del punto C sobre el EjeYObjeto Definicin Comando HerramientaPunto D Proyeccin del punto C sobre el

EjeY(0,y(C))

25.Ubicamos el punto E como la proyeccin del punto C sobre el EjeXObjeto Definicin Comando Herramienta

Punto E Proyeccin del punto C sobre elEjeX

(x(C),0)

26.Trazamos la recta b que es perpendicular al EjeX y pasa por el punto B.Objeto Definicin Comando HerramientaRecta b Recta que pasa por B y es

perpendicular al EjeXPerpendicular[B,EjeX]

27.Ubicamos el punto F de coordenadas (())Objeto Definicin Comando HerramientaPunto F Punto de coordenadas(()) (())

28.Trazamos el segmento d que va del punto C al punto FObjeto Definicin Comando Herramienta

Segmento d Segmento que une el punto Ccon el punto F

Segmento[C,F]

29.Trazamos el segmento e que va del punto D al punto CObjeto Definicin Comando Herramienta

Segmento e Segmento que une el punto Dcon el punto C

Segmento[D,C]

30.Trazamos el segmento f que va del punto C al punto EObjeto Definicin Comando HerramientaSegmento f Segmento que une el punto C

con el punto E

Segmento[C,E]

31.Ubicamos el texto y el valor del seno del ngulo , en el punto D. Esto hace que el texto setraslade junto con el punto.

Objeto Definicin Comando HerramientaTexto texto1 Texto que indica el valor del

seno de sen =+(sin())


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32.Ubicamos el texto y el valor del coseno del ngulo , en el punto E. Esto hace que el texto setraslade junto con el punto.


Texto texto2 Texto que indica el valor delseno de

cos =+(cos())

33.Ubicamos el texto y el valor del ngulo .Objeto Definicin Comando HerramientaTexto texto3 Texto que indica el valor del

ngulo = +

34.Ubicamos el texto y el valor de la tangente del ngulo .Objeto Definicin Comando HerramientaTexto texto4 Texto que indica el valor de la

tangente de tan =+(tan())

Finalmente editaremos los objetos creados, con los estilos de linea, colores, grosor, tamao deletra, etc. Para obtener el crculo trigonomtrico que se observa en la imagen siguiente, con laVista algebraica y la Vista Grfica.

Observaciones:

Cuando desplazamos el punto C sobre la circunferencia c, se observarn los distintos valores de lasfunciones trigonomtricas, as como las lngitudes de los segmentos trazados.

En la versn 4 de Geogebra, es posible hacer una Animacin automtica del punto C, dando un clicderecho sobre ste y escogiendo la opcin correspondiente.

Podemos observar el resumen de los objetos creados al seleccionar el men Vista y la opcinProtocolo de Construccin.


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Segunda parte

Empezaremos configurando el diseo de la pantalla. Para ello utilizamos el men Vista; dondepodemos activar o desactivar cualquier elemento que se muestra a continuacin.

- Desactivamos la Vista Algebraica- Activamos la Vista Algebraica 2 y la ubicamos en forma conjunta con la primera Vista

Grfica mediante el botn Expone en la Vista Principal


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Luego se presentan en conjunto las dos Vistas Grficas,a las cuales podemos configurarlas paraobtener la presentacin adecuada.

Para configurar la Vista Grfica:

1. Damos un clic derecho sobre la Vista Grfica

2. Escogemos Vista GrficaSe observa la ventana para ingresar la configuracin adecuada.

La configuracin para la Vista Grfica 2 es la siguiente:

- En la seccin Bsico ponemos los avlores que se indican:


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- En la seccin EjeX marcamos las opciones que se indican con un visto y seleccionamos lascaractersticas adicionales como: Distancia, Rtulo, Unidad.

- En la seccin EjeY marcamos las opciones que se indican con un visto y seleccionamos lascaractersticas adicionales como: Distancia, Rtulo.

La configuracin para la primera Vista Grfica es la siguiente:

- En la seccin Bsico ingresamos los valores que se indican y seleccionamos lascaractersticas como: Muestra Ejes, Color, Estilio de trazo.


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- En la seccin EjeX marcamos las opciones que se indican con un visto y seleccionamos lascaractersticas adicionales como: Distancia 0.5.

- En la seccin EjeY marcamos las opciones que se indican con un visto y seleccionamos lascaractersticas adicionales como: Distancia 0.5.

- En la seccin cuadrcula marcamos Muestra Cuadrcula, en Tipo de Cuadrcula escogemosCartesiano, seleccionamos Distancia y Estilo de Trazo como se indica en la figura.


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Tercera Parte

Una vez configuradas las Vistas Grficas, procedemos a realizar el diseo en la Vista Grfica 2.Esto lo hacemos desde el procedimiento 18 del siguiente protocolo de construccin:

Observaciones:

- El comando (/,0) ubica un punto sobre el EjeX con el valor del ngulo . Este punto sedesplazar sobre el EjeX cuando el ngulo cambie de valores.

- El comando (/,sin()) define al punto I sobre el EjeX, e indica el valor del seno del ngulo.

- El comando (/,cos()) define al punto H sobre el EjeX, e indica el valor del coseno delngulo .

- El comando (/,tan()) define al punto J sobre el EjeX, e indica el valor de la tangen te deldel ngulo .

- El valor Booleano k sirve para mostrar u ocultar la funcin seno.- El valor Booleano l sirve para mostrar u ocultar la funcin coseno.- El valor Booleano m sirve para mostrar u oultar la funcin tangente.

Los valores booleanos se introducen de la siguiente forma:

1. Selecccionamos2. Damos un clic en el sitio donde ubicaremos nuetra Casilla de Control.

Inmediantamente aparece el cuadro de de dialogo Casilla de Control para Mostrar /Ocultar Objetos, el cual se indica en la siguiente figura.


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3. Escribimos el nombre de la Casilla de control en el cuadro Subtitulo, por ejemplo:Funcin Seno.

4. En Seleccin de objetos de la construccin o de la lista, escogemos los elementos quese indican. Es decir, no solo se puede escoger un elemento, sino varios. Esto se nuestraen la siguiente figura.

5. Damos un clic en el botn Aplica.

Evaluacin:


Los estudiantes presentarn el archivo guardado en GeoGebra y demostrarn la utilizacin delmodelo creado, calculando los valores de las funciones trigonomtricas para ngulos .


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Micro Proyecto 6


Tema : Anlisis de datos 1 - Estadstica

Objetivos:

- Resolver un problema de estadstica, utilizando Geogebra4.Problema:

La inversin anual, en miles de dlares, de una muestra de 40 pequeas empresas fueron:

36 19 29 37 33 22 29 31 21 35

20 4 25 34 24 27 27 24 26 31

27 17 31 10 28 15 41 30 18 39

46 26 12 23 18 33 25 28 23 28

- Calcular: el nmero total de valores(n), la media, la varianza (), la desviacin estndar(s), valor mnimo (Min), valor mximo (Max), mediana, cuartiles (Q1, Q3).

- Realizar el histograma de frecuencias, diagrama de cajas, diagrama de tallo y hojas,diagrama de puntos.


Procedimiento:

1. Abrimos la versin 4 de GeoGebra2. Seleccionamos el men3. Escogemos

Se observar la Vista Hoja de Clculo como en la siguiente figuara:


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4. Ingresamos los valores en la Hoja de clculo

La hoja de clculo es similar a Excel, podemos ingresar los datos en una sola columna o envarias, en el ejemplo se han ingresado los datos en dos columnas. Para realizar algunaoperacin sobre los datos ingresados debemos seleccionarlos, como se indica en la figurade la derecha.

5. Seleccionamos las celdas que contienen los datos6. Damos un clic en la herramienta Anlisis de un avariable

Inmediatamente aparece la ventana Estadaticas de Una Variable


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En esta ventana se observan dos secciones, la primera que indica los resultadosestadsticos obtenidos como por ejemplo el nmero total de datos (n), la media, ladesviacin estndar (s), la varianza (), valor mnimo (Min), etc. La segunda seccin queindica el histograma correspondiente.

7. Damos un clic un la flecaha hacia abajo del cuadro que indica el tipo de grfico, en este casoHistograma

Se observan als opciones disponibles segn el tipo de diagrama

8. Seleccionamos el tipo de diagrama, por ejemplo tenemos:


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Evaluacin:

El docente verificar visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos enel computador.Los estudiantes desarrollarn el ejercicio en forma manual y comprobarn los resultadosobtenidos en el computador.


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Micro Proyecto 7

Autor:MSc. Csar A. Ypez

Tema : Anlisis de datos 2- Estadstica

Objetivo:

- Resolver un problema de estadstica, utilizando Microsoft Excel.Problema

La siguiente tabla muestra las edades de los jugadores en un torneo de ftbol

22 24 28 34 30 26 17

17 18 24 30 29 28 21

19 26 25 22 23 29 20

31 24 25 20 20 28 30

27 24 26 28 21 22 28

24 28 27 26 24 28 3530 20 19 15 17 24 24

26 16 19 22 28 26 26

27 28 24 21 25 25 22

19 21 28 22 26 22 25

Disear en Excel la tabla de frecuencias correspondiente

Nota: Frecuencia (f) de un conjunto de datos es el nmero de veces que se repite un valor,mientras que frecuencia relativa (fr) es la frecuencia dividida para el nmero total de datos. Lafrecuencia acumulada (fa), resulta de sumar las frecuencias parciales; de la misma forma, lafrecuencia relativa acumulada (fra) es la suma de las frecuencias relativas parciales.

Materiales:Computador, software matemtico (Microsoft Excel), gua de procedimiento.

Procedimiento:

1. Copiamos los datos en una hoja de Excel, empezamos en la celda A2 y terminamos en la celdaG11, es decir ingresamos los datos en el rango A2:G11. Diseamos la tabla de frecuencias paradistribuir los datos en 7 intervalos, en las celdas que se indican


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2. Completamos los valores que corresponden al rango de celdas F13:F17 Contamos el nmero de jugadores, nos ubicamos en la celda F13 y aplicamos la funcin

CONTAR.En la barra de frmulas se observa sta funcin

Calculamos la edad promedio en la celda F14, aplicamos la funcin PROMEDIO, segn seobserva en la barra de frmulas

En la celda F15 calculamos la edad mnima, mediante la funcin MIN. La frmula para estecaso, se observa en la barra de frmulas

La edad mxima se obtiene aplicando la funcin MAXen la celda F16 La desviacin estndar de las edades la obtenemos en la celda F17, aplicando la funcin

DESVEST, como se observa en la barra de frmulas

3. Calculamos la frecuencia de las edades mediante la funcin FRECUENCIA:a. Seleccionamos el rango de celdas L3:L10

b. Seleccionamos la funcin estadstica


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Inmediatamente aparece el cuadro Argumentos de la funcin frecuencia, dondeingresaremos el rango de celdas donde se encentran los Datos y el rango de celdas dondese encuentran los intervalos o grupos

c. Seleccionamos los datos ubicados en el rango A2:G11 y los intervalos o grupos en el rangoI3:I9

Las frecuencias se observan en la seccin resaltada de rojo.

d. Presionamos las teclas MAYUS+CTRL+ENTER

Luego, las frecuencias f de las edades de los jugadores del torneo se copian en el rango deceldas seleccionadas, como se observa en la siguiente figura:

e. Sumamos la los valores de la frecuencia en la celda L10, mediante el botn. Se observar en la barra de frmulas:


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4. Para el clculo de la frecuencia relativa:a. Escribimos en la celda M3, la frmula =L3/$L$10

b. Copiamos la frmula hacia el resto de celdas de la columna y sumamos las frecuencias, losresultados se observan en el siguiente grfico.

5. Para completar la tabla realizamos los siguientes pasosFrecuencia acumulada (fa)

En la celda O3 copiamos el contenido de la celda L3; escribimos la frmula =L3 En la celda O4, escribimos la frmula =O3+L4 Copiamos la frmula hacia el resto de celdas de la columna

Frecuencia relativa acumulada (fra)

Ubicamos el cursor en la celda P3 y copiamos el contenido de la celda M3 mediante lafrmula =M3

Ubicamos el cursor en la celda P4 y escribimos la frmula =P3+M4 Copiamos sta ltima frmula hacia el resto de celdas de la columna


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La siguiente tabla muestra todas las frmulas correspondientes a la tabla de frecuencias delejemplo anterior.

- Calcular: el nmero total de valores(n), la media, la varianza (), la desviacin estndar(s), valor mnimo (Min), valor mximo (Max), mediana, cuartiles (Q1, Q3).

- Realizar el histograma de frecuencias, diagrama de cajas, diagrama de tallo y hojas,diagrama de puntos.

Evaluacin:

El docente verificar visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos enel computador.Los estudiantes desarrollarn el ejercicio en forma manual y comprobarn los resultadosobtenidos en el computador.


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Grficas de funcines en cordenadas polares

Rosa de cuatro ptalos: Grfica de la funcin

()realizada en Winplot.

Cardioide: Grfica de la funcin ()realizada en Winplot

Grfica de la funcin () ( )realizada en Winplot


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Micro Proyecto 8


Tema :Grficas de funciones

Objetivos:

- Graficar diferentes tipos de funcionesMateriales:Computador, software matemtico (GeoGebra), gua de procedimiento.

Procedimiento:

1.

Leer las siguientes definicionesPolinomiosA una funcin P se le llama polinomio si() , .Se llaman coeficientes del polinomio a los valores constantes . El dominiode la funcin la funcin P es () . Si el grado del polinomio es .Si entonces se tiene un polinomio de grado 1 llamado funcin lineal() .La grfica de la funcin lineal es una lnea recta.Si

entonces se tiene un polinomio de grado 2 al cual se le llama funcin cuadrtica

() .

Su grfica es una parbola que se abre hacia arriba si y que se abre hacia abajo si .Si entonces se tiene un polinomio de grado 3 al cual se le llama funcin cbica() Funcin potencia

Una funcin de la forma() se llama funcin potenciaSi , Si , se tiene la funcin raz() Si

, se tiene la funcin recproca

()

Funciones racionales

La funcin de la forma() ()() , donde P y Q son polinomios es una funcin racional.Su dominio () () Funciones algebraicas

Cuando una funcin puede construirse mediante el uso de operaciones algebraicas desuma, resta, multiplicacin divisin, y el uso de races, se llama funcin algebraica.


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Funciones trigonomtricas

Las funciones trigonomtricas() (),() ()tienen el mismo dominio() y el mismo recorrido () .La funcin tangente

() () ()()

, no est definida cuando

() , es decir

cuando toma los valores de El recorrido de la funcin tangente es () Funciones exponenciales

Una funcin exponencial tiene la forma() , donde es una constante.El dominio de la funcin exponencial es () El recorrido es () Funciones logartmicas

La funcin logartmica es la inversa de la funcin exponencial, as se tiene la siguienteequivalencia

Entonces la funcin logartmica tiene la forma() donde es una constantepositiva. El dominio de la funcin logartmica es () , mientras que elrecorrido es () .Funciones trascendentes

Comprende las funciones que no tienen nombre, se incluyen las funciones que no sonalgebraicas, adems las funciones trigonomtricas, trigonomtrica inversa, exponencial ylogartmica.

2. Clasificar las siguientes funciones escribiendo al frente de cada literal, el tipo de funcin alcual corresponde.

a. () b. +1c. d. e. f. g.

h. i. j. k. l. m. () n. ()

o. () p. () q. () ( ) r. () s. () t. () ( )u.

() ()

v. () ()w. () ()x. y. ()z. () aa.() bb.


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3. Realizar la grfica de las siguientes funciones ingresando la funcin desde el campo deentrada, como se indica en la parte inferior de cada grfica.


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4. Graficar las siguientes funciones utilizando el comando Funcin de GeoGebra.

Se ha definido la funcin mediante lossiguientes argumentos:

Funcin() ()El valor inicial El valor final


Funcin() El valor inicial El valor final


Funcin

()

El valor inicial El valor final

La grfica representa a la funcindefinida como:

() Valor inicial Valor fina


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5. Realizar las siguientes grficas definidas a trozos utilizando la funcin lgica Si deGeoGebra. La estructura de la funcin lgica Si, se indica a continuacin:

O tambin:

Evaluacin:

El docente verificar visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos enel computador.Los estudiantes presentarn un documento impreso que contiene las graficas realizadas.

()

()

() () La representacin de la funcin

Se obtiene ingresando la instruccin

que se indica en la barra de entrada.


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Micro Proyecto 9


Tema : Funciones en Excel

Objetivos:

- Calcular valores de funciones- Graficar diferentes tipos de funciones

Materiales:Computador, software matemtico (Microsoft Office Excel), gua de procedimiento.

Procedimiento:

1. Lee la siguiente informacin:Funcin

Funcin es una correspondencia entre los elementos de un conjunto A de partida, llamadoDominio,y los elementos de un conjunto B de llegada, llamado Recorrido, de forma tal que, acada elemento del dominio le corresponde uno, y solo uno, en el recorrido.

Una funcin se representa mediante las siguientes formas:

En la funcin lineal ,m y b son valores constantes mientras x, y son variables,as:

Si

y

se tiene la funcin

() . Luego,

( ) Si () () -2 -1Si () () -1 1Si () () 0 3Si () () 1 5Si () () 2 7

()

( )

()

La funcin lineal es de laforma:


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Se observa que los valores de y dependen de los valores de x, entonces x es la variableindependiente, mientras yes la variable dependiente.

Podemos en Excel, calcular los valores f(x) de la funcin para todos los valores de la variable x,para luego hacer la grfica de la funcin mediante las Herramientas de grficos.

2. Graficar la funcin lineal mediante el siguiente procedimiento:1. Escribimos en una columna los valores que corresponden a la variable x.

2. Digitamos la frmula que permita hallar el primer valor de y. En este caso es: =2*B7+3.

3. Pulsamos ENTER. Aparece en la celda, el primer valor de y

4. Copiar la frmula en el resto de la columna de los Valores de y. Se calculaautomticamente los valores de y.

1 2

4

3


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5. Seleccionamos las celdas que contienen los valores de x y los valores de y.

6. Seleccionamos la ficha insertar

7. Escogemos el tipo de grfico, Dispersin

8. Seleccionamos el tipo Dispersin con lneas suavizadas y marcadores

Luego del proceso anterior, se puede observar el grfico de la funcin lineal.

5


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3. Grafica la funcin lineal

4. Grafica la funcin cuadrtica

5. Grafica la funcin cbica

Evaluacin:


Los estudiantes presentarn un documento impreso que contiene las graficas realizadas.


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Micro Proyecto 10


Tema : Grficas de ecuaciones de segundo grado

Objetivos:

- Graficar parbolas, elipses, hiprbolas, circunferencias.- Resolver sistemas de ecuaciones no lineales


Procedimiento:

6. Leer las siguientes definicionesCircunferencia

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos ()cuya distancia al centro ()es una constante Si el centro se ubica en el origen (), se tiene la ecuacin: La ecuacin de una circunferencia con centro ( )y radio r es:( ) ( )

La ecuacin de la circunferencia se obtiene usando la frmula de la distancia entre dos puntos,as, la distancia r del punto (x,y) al punto (h,k) es:

( ) ( )Luego, ( ) ( ) Por ejemplo la ecuacin del crculo de radio 2 y centro (5,3) es:( ) ( ) ( ) ( )


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Parbola

Una parbola es el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes de unpunto fijo F (foco) y de una lnea fija (directriz). El punto sobre la parbola que se ubica a lamitad de la distancia entre el foco y la directriz se llama vrtice.

Si el vrtice de la parbola es el origen entonces se tiene la ecuacin:

La ecuacin de una parbola de vrtice en el punto ()es: ( )Se obtiene la ecuacin ms simple de laparbola si colocamos su vrtice en elorigen O y su directriz paralela al eje Xcomo se indica en la figura.Segn la definicin de una parbola, ladistancia del punto F de coordenadas(0,p) hacia el punto P de coordenadas

(x,y) ser: || ( ) ( ) Elevando al cuadrado ambos miembrosde la ecuacin se tiene: ( )

Despejamos para

,

Luego si se tiene: Elipse

Una elipse es el conjunto de puntos en el planocuya suma de sus distancias desde dos puntosfijos y (focos) es una constante.As por ejemplo en la figura si A y B son dos

puntos distintos de la elipse, y sus focos,entonces se cumple la igualdad:|| || || ||


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La ecuacin de una elipse cuyo centro se encuentra en el origen (), de intersecciones , es: Si el centro de la elipse se traslada al punto

( ), entonces se tiene la ecuacin:

( ) ( ) Se obtiene la ecuacin ms simple de la elipsecolocando los focos en los puntos decoordenadas ()y ()como se indica en lafigura

Hiprbola

Una hiprbola es el conjunto de todos lospuntos en un plano, cuya diferencia de susdistancias desde dos puntos fijos, y (focos) es constante. En la figura P est sobrela hiprbola si || ||

La ecuacin de una hiprbola de centro en el origen y de intersecciones es: Si el centro de la hiprbola se traslada al punto ()entonces su ecuacin toma la forma:( ) ( )

7. Clasificar las siguientes ecuaciones cuadrticas escribiendo al frente de cada literal, el tipo decurva al cual corresponde.

a.

b.

c. d. e. f. g. h.

i.

j.

k. l. m. n.


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8. Realizar la grfica de las ecuaciones cuadrticas anteriores ingresando la ecuacin desde elcampo de entrada, como se indica en la parte inferior de cada grfica.

Evaluacin:

El docente verificar visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos enel computador.Los estudiantes presentarn un documento impreso que contiene las graficas realizadas.


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Micro Proyecto 11


Tema : Funciones polinomiales

Objetivos:

-Determinar los ceros, la monotona y la grfica de una funcin polinomial mediante el usode TICs.

Materiales: Computador, software matemtico (GeoGebra), gua de procedimiento.

Procedimiento:

9. Leer las siguientes definicionesPolinomios

Sea y sean , con . La funcin() .se llama funcin polinomial de y de grado .El nmero se llama coeficiente del trmino principal y el nmero se llama trminoconstante.Ejemplos: () () () ()

(

)

()

Ecuaciones polinomiales

Dado un polinomio (). Se llama ecuacin polinmica a la siguiente igualdad:() Ejemplos:

Raz de un polinomio

Un nmero se llama raz de un polinomio ()si se cumple que:()


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Ejemplos:- El polinomio () tiene dos races reales o , as:

Si entonces () () () Si entonces () () ()

-

El polinomio () tiene una raz reales , as:Si entonces - El polinomio () tiene tres races reales o o , as:

Si entonces () () () () () ( ) Si entonces () () () () () ( ) Si entonces () () () () () ( )

Factor

El binomio ( )es un factor del polinomio ()si existe un polinomio ()tal que() ( )()Ejemplos:- El binomio ( )es un factor del polinomio () porque existe

el polinomio () ( )tal que () ( )(). Es decir: ( )( ).- El binomio ( )es un factor del polinomio () porque

existe el polinomio () ( )tal que () ( )(). Es decir: ( )( ).Teorema del factor

El polinomio () tiene como factor a ( ) si al evaluarlo en , resulta la igualdad() .Ejemplos:- El polinomio () tiene como factor ( ) si al evaluarlo en , resulta la igualdad () . Esto se comprueba a continuacin:()

Si entonces () () () () .Esto significa que () ( )()es decir:

(

)(

)

- El polinomio () tiene como factor ( )si alevaluarlo en , resulta la igualdad () . Esto se comprueba a continuacin:() Si entonces () () () () () () .Esto significa que () ( )()es decir: ( )( )


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Teorema del nmero de races de una ecuacin polinomial

Todo polinomio ()de grado tiene exactamente races.Teorema de las races enteras de un polinomio

Si la ecuacin polinmica () tiene races enteras, entonces estas races son divisoresdel trmino independiente .Ejemplo:- Las races de la ecuacin polinmica () se obtienen de los

divisores del trmino independiente , stos son: . Comprobando uno poruno se tiene:Si ; () () () ( ) , no es raz de ().Si ; () () () ( ) , luego es raz de ().Si ; () () () ( ) , no es raz de ()Si ; () () () () , luego no es raz de ()

Teorema de las races racionales de un polinomio

Sea el polinomio de coeficientes enteros() donde y . Si el nmero racional es raz de () , entonces, es divisor deltrmino independiente y es divisor del trmino principal .

10.Graficar en Geogebra la siguiente funcin polinomial: () - Escribimos en el campo de entrada el comando que se indica a continuacin:

Se observar en la vista grfica, la figura de la izquierda- Ubicamos el punto P de interseccin de la grfica de la funcin Q con el eje Y, mediante elcomando:

- Mediante observacin ubicamos el punto P1 escribiendo en el campo de entrada lasiguiente instruccin:

La grfica con los puntos agregados se observa en la figura de la derecha.


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11.Aplicar el teorema de las races racionales de un polinomio para encontrar los ceros de lafuncin polinomial () .- El trmino principal es -4 y el trmino constante es 2, por lo tanto las posibles races

racionales son:

- Con estos valores que son las posibles races racionales del polinomio Q, construimos unamatriz llamada Matriz1 de (2x4) 2 filas y cuatro columnas mediante el siguiente comando.

- Ubicamos en una matriz llamada Matriz2 los valores de la funcin Q para los valores de . Para ello utilizamos el siguiente comando:

En la vista algebraica se observarn las dos matrices de la siguiente forma

Los valores correspondientes a la fila 1columna 4 en las dos matrices que se hanresaltado, corresponden a la solucin, as laMatriz1 representa los valores de , en estecaso ; mientras la Matriz2 representalos valores de la funcin

(), esto es

() .

- Comparando las dos matrices se observa que existe una nica raz real, esto es:Si entonces () . Entonces es raz racional delpolinomio Q

12.Graficar la funcin polinomial () . Realizar elprocedimiento 2 anterior para ubicar los puntos de interseccin con los ejes.


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El resultado del procedimiento 4 deber ser el de las grficas anteriores, para ello seconfigurar la vista grfica.

13.Aplicar el teorema de las races racionales de un polinomio para encontrar los ceros de lafuncin polinomial () .- Obtener las posibles races racionales- Construir una matriz de nombre Matriz3 que contiene las posibles races

del polinomio

- Construir una matriz de nombre Matriz4 con los valores de ().- El resultado de la construccin de las matrices Matriz3 y Matriz4 en la Vista Algebraicaser el que se observa a continuacin:

- Comparando las matrices Matriz3 y Matriz4 establecer las races racionales de la funcinP.

Evaluacin:

El docente verificar visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos enel computador.Los estudiantes presentarn un documento impreso que contiene las graficas y ejerciciosrealizados.


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Grficas de superficies cuadrticas

Elipsoide: Grfica de la ecuacin Paraboloide elptico: Grfica de la ecuacin

Paraboloide hiperblico: Grafica de la ecuacin

Cono: Grfica de la ecuacin

Hiperboloide de una hoja: Grfica de laecuacin

Hiperboliode de doss hojas: Grfica de laecuacin:

Grficas realizadas en Matemticas de Microsoft


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Micro Proyecto 12


Tema : Funciones polinomiales

Objetivos:

-Determinar los ceros, la monotona y la grfica de una funcin polinomial mediante el usode TICs.


Procedimiento:

14.Leer las siguientes definicionesFuncin creciente

Seauna funcin real,es creciente en un intervalo ()si ; () ()Funcin decreciente

Seauna funcin real,es decreciente en un intervalo ()si ; () ()Funcin montona

Una funcin es montona si es creciente o decreciente en todo su dominio

En la figura se observa que la funcin es

creciente en el intervalo y en elintervalo , mientras que es decrecienteen el intervalo .

15.Establecer la monotona de la siguiente funcin polinomial() - Graficamos en GeoGebra la funcin () . Escribimos

en el campo de entrada el comando que se indica

La grfica que se obtiene se observa a continuacin


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Como podemos notar, la grfica no seaprecia en forma completa, se requieracambiar la escala de visualizacin de los ejes

- Damos un clic derecho en la Vista Grfica; se observan las opciones disponibles

- Escogemos luego seleccionamos la escala ms conveniente, en stecaso ser: . La grfica obtenida se observa a continuacin.

- Ubicamos los valores mximos y mnimos en cada intervalo


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Mediante observacin identificamos los intervalos donde existen valores mximos ymnimos. Ubicamos stos puntos mediante las siguientes funciones:

En la Vista Algebraica se observan la funcin polinomial y los puntos mximo Max ymnimo Min

- Proyectamos los puntos Max y Min hacia el EjeXUtilizamos el comando

para el punto A.Mediante el comando y

se crea el punto B.

- Establecemos los intervalos de monotona de la funcin La funcin es creciente en el intervalo .La funcin

es decreciente en el intervalo

.

La funcin

es creciente en el intervalo

.

16.Ubicar una recta tangente a la grfica de la funcin - Ubicamos un punto sobre la funcin mediante la herramienta ,

en este caso se crea el punto C.- Ubicamos la recta tangente a la grfica de la funcin mediante la herramienta


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- Mediante la herramienta , calculamos la pendiente de la rectatangente que pasa por el punto C.

Se observa en la Vista Grfica y en la Vista Algebraica, la pendiente (m=-6.3) de la rectatangente creada.

Observacin: Si movemos el punto C sobre la grfica de la funcin se tiene que cuandola pendiente es positiva, la funcin es creciente, mientras que si la pendiente es negativala funcin es decreciente.

17.Analizar la monotona de las siguientes funciones polinomiales()

()

()

() () () Evaluacin:

El docente verificar visualmente el desarrollo y cumplimiento correcto de los procedimientos enel computador.Los estudiantes presentarn un documento impreso que contiene las grficas y ejerciciosrealizados y propuestos

Prácticas de Matemática Apoyadas en Aplicaciones Informáticas

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