PRÁCTICA CVV-1 - · PDF filedirección de un vector unitario cualquiera que ......

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P R Á C T I C A C V V -1

Funciones vectoriales.Velocidad y aceleración.

1. FUNCIONES VECTORIALES.

Una función vectorial r: ℜ→ℜ×ℜ es una función de la forma r( t ) = < x( t ), y( t ) > = x( t ) i + y( t ) j. Su gráfica es un conjunto de puntos determinados por los extremos finales de los vectores r( t ). Por ejemplo, si dibujáis la trayectoria de

r( t ) = < 2cos( t ), 3sin( t ) >

usando Mathematica®, obtendréis la siguiente elipse:

42 PROYECTO DOCENTE: Dr. Jesús Vigo-Aguiar

Ejercicio 1: Dibujar la curva plana r( t ) = < Ln( t ), (1- t ) > en el intervalo (0,1].

Las funciones vectoriales tienen límites, derivadas e integrales definidas en términos de sus componentes. Así tenemos:

Si t representa el tiempo, entonces r’( t ) es su vector velocidad, v( t ), y r”( t ) es el vector aceleración, a( t ). Al módulo del vector velocidad || r’( t ) || = √( x’( t )2 + y’( t )2) se le conoce como rapidez. Observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad es un vector.

La velocidad tiene dos componentes, una la “componente en x”, que es la velocidad en la dirección del eje de las x, x’( t ), y otra y’( t ), la “componente en y” que nos dice lo rápido que el objeto se mueve en la dirección del eje de las y. En el gráfico anterior, dibujar el vector velocidad sobre cada uno de los puntos considerados. Obtendréis el siguiente gráfico:

CUADERNO DE PRÁCTICAS 43

Del mismo modo podréis dibujar la aceleración a( t ). En el siguiente gráfico, he dibujado los vectores aceleración partiendo todos del mismo punto, el origen.

Ejercicio 2: Realizar las mismas graficas de velocidad y aceleración para la curva dada en el ejercicio 1.

2. MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL.

Las funciones vectoriales son de gran ayuda a la hora de derivar las trayectorias de un proyectil. Supongamos que no tenemos rozamiento con el aire, que la posición inicial en t = 0 viene dada por s( 0 ) = < 0, h >, y que la rapidez inicial viene dada por || v( 0 ) || = v0 con un ángulo inicial Ø, entonces:


a!!"t# " # 0, $g %

v!!"t# " $ a!!"t#!&t " # C1, $gt ' C2 %,

donde C1 es la velocidad inicial en la dirección del eje x y C2es la velocidad incial en el eje de las y.

Tomando v0 como hipotenusa y Ø como angulo,

la velocidad inicial en el eje x es v0!cos!"Ø#y en el eje y es v0!sin!"Ø#.Por tanto,v!!"0# " # v0!cos!"Ø#, v0!sin!"Ø# % ( C1 " v0!cos!"Ø# &!C2 " v0!sin!"Ø#Es decir, v!!"t# " # v0!cos!"Ø#, $gt ' v0!sin!"Ø# %

s!!"t# " $ v!!"t#!&t " # "v0!cos!"Ø##!t ' C1, $gt2

2' "v0!sin!"Ø##!t ' C2 %

donce C1, es la posición inicial en x, es decir 0 y

C2, la posición inicial en y,

es decir h. La posición en cualquier tiempo t viene dada por :

s!!"t# " # "v0!cos!"Ø##!t,$gt2

2' "v0!sin!"Ø##!t ' h % .

Por ejemplo, lancemos un proyectil con un ángulo de π/4 radianes, con una rapidez inicial de 100m/sec. y una altura inicial de 8m. La posición en cualquier tiempo viene dada por la función s( t ) = < 100cos(π/4)t, -16t2 + 100sin(π/4)t + 8 >. La velocidad es v( t ) = < 100cos(π/4), -32t + 100sin(π/4) >. La aceleración es a( t ) = < 0, -32 >. La siguiente figura muestra la trayectoria que seguirá el proyectil.


Para encontrar el punto donde tocará de nuevo el suelo, debéis hacer y( t ) = 0, resolverla encontrando el valor de t que produce el cero y luego hallar x( t ) para dicho valor. (en este caso os saldrá un poco más de 320m ).

Ejercicio 3: Describir la trayectoria de una pelota de tenis golpeada a 1.5 metros del suelo, con un ángulo de π/4 radianes respecto del suelo y con una velocidad de 50 m./s. ¿ Evitará la pelota una red de 2 metros de altura colocada a 75 metros de la posición de lanzamiento?. Halla el momento en que la pelota tocará de nuevo el suelo.

3. FUNCIONES VECTORIALES EN 3 DIMENSIONES. Un ejemplo de función vectorial r: ℜℜℜℜ→→→→ℜℜℜℜ××××ℜℜℜℜ××××ℜℜℜℜ es la hélice cuya ecuación viene dada por r( t ) = < cos( t ), sin( t ), t >. De nuevo su gráfica viene dada por la unión de los extremos de los vectores r( t ).


La longitud de arco de la hélice desde t = 0 hasta t = 2 π viene dada por la fórmula:

cuyo valor es 2 2 ππππ.

Ejercicio 4: Dibujar la curva

Comprobar que su longitud de arco entre t=0 y t=2 es aproximadamente 4.816.

)21,

34,()( 22/3 ttttr =

CUADERNO DE PRÁCTICAS 47 Si dibujamos con Mathematica los vectores de velocidad v( t ) en cada punto obtendremos la gráfica:

Si dibujamos los vectores de aceleración sobre cada punto obtendremos:


Ejercicio 5: Realizar las mismas gráficas para la curva del ejercicio 4.


P R Á C T I C A C C V - 2 .

Funciones de dos variables .

1. CURVAS DE NIVEL.

La gráfica de una función de dos variables f son los puntos (x, y, z) tales que

z = f( x , y ). Esta gráfica puede interpretarse como una superficie en el espacio. Existen dos maneras de visualizarlas bien representándolas en tres dimensiones o bien representando sus curvas de nivel. A continuación representamos de ambas maneras la curva

z = x2 + y2

utilizando las instrucciones:

• Plot3D[f, !x, xmin, xmax", !y, ymin, ymax"] • ContourPlot[f, !x, xmin, xmax", !y, ymin, ymax"].


�

�

Del mismo modo representamos z = x3 - y3

�

�

CUADERNO DE PRÁCTICAS 51 Ejercicio 1: Representar el hiperboloide z = (y-x) (y+x) de las dos formas mencionadas. Este tipo de representaciones es útil para saber si tratamos con funciones continuas como os dejará ver el siguiente ejercicio. Ejercicio 2: Representar la función f( x, y ) = x/( x2 + y2 ) en un entorno del punto ( 0, 0 ), utilizando distintas perspectivas (opción ViewPoint de Mathematica). ¿Se trata de una función continua en dicho punto?.

2. DERIVADAS DIRECCIONALES. GRADIENTES.

Las derivadas parciales fx , fy representan las pendientes de las tangentes a una superficie en las direcciones de los ejes x e y. Por ejemplo, dada la superficie z = 4 - x2 - y2 y el punto ( 1, 1, 2 ), tenemos que dichas pendientes coinciden y su valor es fx( 1, 1, 2 ) = -2 y fy( 1, 1, 2 ) = -2. Si pensamos en dos planos perpendiculares al plano xy, uno paralelo al eje x y otro paralelo al eje y, ambos conteniendo el punto ( 1, 1, 2 ), tendremos que su intersección son dos parábolas conteniendo el punto ( 1, 1, 2 ) y las pendientes de las tangentes a dichas parábolas en el punto considerado son los valores calculados de fx ,y fy . La siguiente gráfica nos ayuda a visualizarlo, vemos que ambas parábolas son similares.


�

��

��

Si quisiéramos encontrar la pendiente de la tangente a la superficie en cualquier otra dirección, estaríamos preguntándonos por la derivada direccional de f( x, y ) en la dirección de un vector unitario cualquiera que denotaríamos u = < cos( s ), sin( s ) >. Esta derivada se suele denotar por Duf( x, y ) y es igual a

fx( x, y ) cos( s ) + fy( x, y ) sin( s ) = < fx( x, y ), fy( x, y ) > . < cos( s ), sin( s ) >. El primer vector del producto vectorial anterior es < fx( x, y ), fy( x, y ) >, que llamamos gradiente de la función f( x, y ). El gradiente es un vector en el plano xy que señala la dirección de máximo crecimiento de la función, y su opuesta la de mínimo crecimiento. Además es perpendicular a las curvas de nivel. Para comprobarlo vamos a dibujar el gradiente en varios puntos pertenecientes a la curva de nivel de la curva f( x, y ) = x2 + y2

correspondiente a z =4.


Consideremos ahora la función f( x, y ) = x2 - y2, el punto de la gráfica ( -1, 1, 0 ), y la dirección en el plano xy, < 2, 1 >. El plano , x - 2y = -3, contiene el punto ( -1, 1, 0 ) y es paralelo a < 2, 1 >, la representación gráfica es:


En el punto ( -1, 1, 0 ) la derivada en la dirección < 2, 1 > es la pendiente de la línea tangente a la curva de intersección.

Ejercicio 3: Comprobar que su valor -6/√5.

El gradiente es < 2x, -2y >, por tanto en el punto ( -1, 1, 0 ), el gradiente es < -2, -2 >. Por tanto, ésta es la dirección de máximo crecimiento. La dirección de mínimo crecimiento será su opuesta.


Ejercicio 4: Comprobar que el valor de la derivada en la dirección < -1, -1 > es de 2√2.

Ejercicio 5: Comprobar que el valor de la derivada en la dirección < 1, 1 > es de -2√2.

Sabemos pues, que el valor de la derivada direccional estará siempre comprendido entre los valores -2√2 y 2√2 .

Por último, dibujaremos el gradiente en diversos puntos de la curva de nivel y = ± x, resultante de hacer la intersección de la función con el plano xy. Observamos la perpendicularidad de la que habíamos hablado.


Ejercicio 6: La temperatura, en grados Celsius, sobre la superficie de una placa metálica viene dada por

midiéndose x, y en pulgadas. Desde el punto (1,2) determinar la dirección de crecimiento máximo y mínimo de la temperatura. Determinar también a qué ritmo se produce dicho crecimiento. Dibujar las curvas de nivel y el gradiente en diversos puntos de una de las curvas de nivel.

22420),( yxyxT −−=



Integrales dobles.

1. ÁREAS EN EL PLANO

Ejercicio 1: Calcular el área comprendida entre las curvas y = x3 + 1, y = x2 + 3, cuando x varía entre 0.2 y 0.8. Dibujar dicho recinto.

Si dibujamos ambas curvas el problema se convierte en muy sencillo

pues los límites de integración son fáciles de hallar. Así pues,


Ejercicio 2: Calcular el área comprendida entre las curvas y=x , y=√x cuando x varía entre x = 0.2 y x = 0.8.

De nuevo el ejercicio es fácil de realizar si conocemos la siguiente gráfica:

pues el problema se reduce a calcular la integral :

Ejercicio 3: Calcular las áreas de los ejercicios 39, 40 y 41 (pag. 1092) del libro de R. Larson et al.. Dibujar las regiones que allí aparecen.


2. VOLÚMENES.

Ejercicio 4: Calcular el volumen bajo la función f( x, y ) = 8 - x2 - y comprendido en la región, 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3,

Para ello representamos la función:

y por tanto el volumen es fácil de calcular a través de la integral :

�


Ejercicio 4: Calcular el volumen bajo el plano x + y + z = 2 y los planos coordenados del primer octante.

El volumen representado es un tetraedro con cuatro caras triangulares. La región del plano xy sobre la que se va a realizar la integración es:


La recta que aparece tiene por ecuación y=2-x. Por tanto, el volumen viene dado por:

�

Ejercicio 5: Calcular los volúmenes de los ejercicios 29, 30 y 31 (pag. 1102) del libro de R. Larson et al.. Dibujar las regiones que allí aparecen.

3. COORDENADAS POLARES.

Ejercicio 6: Dibujar la curva r= 3 sen(2 ϑ) dada en coordenadas polares.


Ejercicio 7: Encontrar el área de los cuatro pétalos de la figura evaluando la integral

Ejercicio 8: Encontrar el volumen de la esfera unidad, x2 + y2 + z2 = 1. Para ello hallar el volumen de un octante y multiplicarlo por 8. Realizarlo primero la integración en coordenadas cartesianas y luego en polares. Reportar la diferencia de los tiempos de cómputo de las integrales usando uno u otro tipo de coordenadas.


�

Ejercicio 9: Usar una integral doble para hallar el área encerrada por la gráfica de

r=3 cos (3 ϑ)

Dibujar la gráfica de la función.

Ejercicio 10: Usar condenadas polares para calcular el volumen de la región sólida limitada por el hemisferio superior de una esfera de radio 4, e inferiormente por el área comprendida en el círculo de radio 2 del plano xy. Dibujar dicha región.



Integrales triples.

1. Integrales Triples. Coordenadas cilíndricas.

Ejercicio 1: Calcular el volumen limitado por las superficies z = x2 + y2 y z = 8 - x2 - y2


Es decir, nos están pidiendo evaluar la integral:

que transformaremos en coordenadas cilíndricas obteniendo la integral

��

cuyo valor podéis verificar que es 16π.

Ejercicio 2: Hallar el volumen de la región sólida cortada por la esfera de radio 2 y el cilindro r=2 sin(ϑ). Dibujar dicha región.

Ejercicio 3: Calcular los volúmenes de los ejercicios 4.34 y 4.42 (pag. 289) del libro de J. de Burgos. Dibujar las regiones que allí aparecen.

2. Integrales Triples. Coordenadas esféricas.

Ejercicio 4: Hallar el volumen del sólido acotado por la esfera x2 + y2 + z2 = 9 y el cono z = √( 3x2 + 3y2 ).

En primer lugar, dibujamos la superficie que limita al sólido que aparece a continuación.


y escribiendo la integral en coordenadas esféricas obtenemos:


Ejercicio 5: Calcular los volúmenes de los ejercicios 4.17 y 4.19 (pag. 288) del libro de J. de Burgos. Dibujar las regiones que allí aparecen.



Campos vectoriales. Integrales de línea.

1. CAMPOS VECTORIALES.

La función definida por F( x, y ) = < M(x, y), N(x, y) > se llama campo vectorial sobre una región del plano xy. La función definida por F( x, y, z ) = < M( x, y, z ), N( x, y, z ), P( x, y, z ) > es un campo vectorial sobre un sólido definido en el espacio xyz. El gradiente de f( x, y ) es un ejemplo de campo vectorial en el plano, Grad. f( x, y ) = < fx( x, y ), fy( x, y ) > y Grad. f( x, y, z ) es un ejemplo de campo vectorial en el espacio. En la siguiente figura dibujamos un campo vectorial en el plano, para ello dibujamos el gradiente f( x, y ) = x2 + y2 en cada par de puntos del plano que tengan componentes enteras.


Sin embargo, es más usual dibujar vectores de igual longitud o módulo. Por ejemplo, dado el campo vectorial F( x, y ) = < x, 3y >, dibujamos en primer lugar los vectores cuya longitud sea 1, después aquellos de longitud 2, etc.. (Necesitamos para ello que Mathematica resuelva una ecuación con la instrucción Solve[]). La siguiente figura está hecha de este modo.


Las elipses que aparecen no son una casualidad, sino que el campo es conservativo, es decir, es el gradiente de una función potencial, en este caso z = x2/2 + 3y2/2.

Ejercicio 1: Escribir un programa en Mathematica que indique si el campo F( x, y ) = < x + y, x - y > es conservativo. En caso afirmativo hallar el potencial.

Si ejecutamos el programa

Mathematica nos devolverá “True”, lo que significa que el campo es conservativo, para hallar el potencial basta tomar:


Ejercicio 2: Dibujar el campo vectorial F( x, y ) = <2 x , y > . Averiguar si es conservativo. En caso afirmativo hallar el potencial.

Ejercicio 3: Escribir un programa en Mathematica que indique si el campo F( x, y,z ) = exp(z) < y, x , x y > es conservativo. En caso afirmativo hallar el potencial.

2. INTEGRALES DE LÍNEA.

Ejercicio 4: Calcular la integral de f( x, y ) = x + y por el camino y = Sqrt[x] desde ( 0, 0 ) hasta ( 1, 1 ) y regresar por el camino y = x2.

Para resolverlo dibujamos el camino, observando que debemos dividir la integral en dos partes.


La primera parte va desde ( 0, 0 ) hasta ( 1, 1 ) por el camino dado por la raíz cuadrada

dando como resultado numérico 1.5. La segunda


da el mismo resultado 1.5.

Ejercicio 5: Cual sería el resultado de la integral si el camino de integración se recorriese al revés.

Ejercicio 6: : Calcular las integrales de línea 5, 8 y 9 (pág. 1196) del libro de R. Larson et al.. Dibujar las regiones que allí aparecen.

Ejercicio 7: : Buscar ejemplos de integrales de línea que prueben que son independientes de la parametrización de la curva C.

Ejercicio 8: : Buscar ejemplos de integrales de línea que prueben que si la orientación de la curva C se invierte, cambia entonces el signo de la integral.

3. TRABAJO. INTEGRALES DE LINEA SOBRE UN CAMPO VECTORIAL.

El trabajo realizado cuando movemos una partícula por un camino C a través de un campo de fuerzas (campo vectorial ) viene dado por la expresión:


Ejercicio 9: Calcular el trabajo realizado por el campo si la partícula recorre el camino . Dibujar el campo.

El programa solución sería el siguiente:

obteniendo que el trabajo realizado es 0. El campo es:


En la notación que hemos venido usando en las clases de teoría el trabajo se denota por:

� .

Ejercicio 10: Calcular el trabajo realizado por el campo < x, y, 2 > si una partícula se mueve lo largo de la hélice r( t ) = < cos( t ), sin( t ), t >. Dibujar el campo.


El campo vectorial sería:

El programa en Mathematica sería :


Ejercicio 12: : Calcular el trabajo realizado en los ejercicios 29 y 30 (pag. 1198) del libro de R. Larson et al.. Dibujar las regiones que allí aparecen.

4. INDEPENDENCIA DEL CAMINO. CAMPOS CONSERVATIVOS.

Supongamos que una partícula se mueve desde el punto ( 0, 0 ) al punto ( 1, 1 ) a través de un campo de fuerzas f( x, y ) = < 2, y >.

Ejercicio 13: Comprobar que se trata de un campo conservativo.

Vamos a evaluar el trabajo a lo largo de la curva y = x2 con la parametrización r( t ) = { t, t2 }.

�


�

El resultado es 2.5.

Evaluemos el mismo problema a lo largo del camino y = x.

El resultado vuelve a ser 2.5. Si tomamos como camino y = Sqrt[x]


�

�

obtenemos el mismo resultado 2.5.T Si ahora vamos por el eje y hasta el punto ( 0, 1 ) y desde allí hasta el punto ( 1, 1 ) tenemos

�

�


�

el mismo resultado 2.5.

Ello se debe a que el campo es conservativo y existe un función potencial que se obtiene fácilmente. El teorema fundamental de las integrales en línea hace el resto.

�

5. TEOREMA DE GREEN.

Ejercicio 14: Calcular la integral de línea de F( x, y ) = < xy, x > a lo largo de las curvas y = 2x - 1 , y = 1.5x. Observar que F( x, y ) no es conservativo.


En el programa de la izquierda están hechos los cálculos resolviendo la integral de

línea y en el de la derecha usando el teorema de Green.

�


Ejercicio 14: : Resolver los ejercicios 9, 10 y 11 (pag. 1206) del libro de R. Larson et al., utilizando el teorema de Green. Dibujar los campos y las regiones que allí aparecen.


A P E N D I C E .

Programas utilizados.

1. Programa usado para la práctica de funciones vectoriales .

Needs%"Graphics Arrow "& '' r!!" t# '' "(x%t&2' y%t&2 ' z%t&2

v!!"t# " r!'!"t# " # x'%t&,y'%t&,z'%t& %

speed " '' v!!" t# '' " '' r!'!" t# ''a!!"t# " v!'!"t#

arclength " $a

b'' r!'!" t# '' &t

T!!"t# "r!'!" t#'' r!'!" t# '' , N!!" t# "

T!'!" t#'' T!'!"t# ''a!!"t# " ) a!!" t#)T!!" t#*!T!!" t# ' ) a!!" t# )N

!!" t#*!N!!" t#

Kappa "'' T!'!" t# '''' r!'!" t# ''

x%t_& :" Cos%t&y%t_& :" Sin%t&z%t_& :" tr%t_& :" +x%t&,y%t&,z%t&,t1 " Table%Graphics%+RGBColor%1,0,1&,Arrow%+0,0,,+y%t& $x%t&-Sqrt%2&, z%t&$x%t&-Sqrt%2&,&,&, +t,0,6!Pi,Pi-12,&Show%t1&


t2 "

Table%Graphics%+RGBColor%0,0,1&,Arrow%+y%t& $x%t&-Sqrt%2&,z%t& $x%t&-Sqrt%2&,,+y%t&'y'%t&$ "x%t& 'x'%t&#-Sqrt%2&,z%t&'z'%t&$ "x%t& 'x'%t&#-Sqrt%2&,&,&, +t,0,6!Pi,Pi-6,&

Show%t2& Show%t1,t2&

t3 "

Table%Graphics%+RGBColor%0,0,1&,Arrow%+y%t& $x%t&-Sqrt%2&,z%t& $x%t&-Sqrt%2&,,+y%t&'y''%t& $ "x%t&'x''%t&#-Sqrt%2&,z%t& 'z''%t& $"x%t& 'x''%t&#-Sqrt%2&,&,&,+t,0,6!Pi,Pi-6,&

Show%t1,t3&

2. Programas usados en las prácticas sobre derivadas direccionales y gradientes.

f[x_,y_]:=4 - x^2 - y^2

Needs["Graphics`Arrow`"]

p1 = Plot3D[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},Boxed->False,Axes->None,AspectRatio->Automatic]

b1 = Graphics[Arrow[{1-1/Sqrt[2],2-1/Sqrt[2]},{-2/Sqrt[2],-2/Sqrt[2]}]]

Show[p1,b1]

Arrow[{a,b,c},{d,e,f}] -> Arrow[{b-a/ ,c-a/ },{e-d/ ,f-d/ }]

a1 " Graphics.Arrow.+0,0,,/$10 ( 2,$10 ( 2122a2 " Graphics%Arrow%+0,0,,+1,0,&&a3 " Graphics%Arrow%+0,0,,+0,1,&&t1 " Graphics%Text%x,+$.5, $.6,&&t2 " Graphics%Text%y,+1,$.1,&&t3 " Graphics%Text%z,+$.1,1,&&s " Show%a1,a2,a3,t1,t2,t3,AspectRatio$% Automatic&


Show[p1,s,b1,PlotRange->All]

f[x_,y_]:=4 - x^2 - y^2

p1 = Plot3D[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},Boxed->False,Axes->None,AspectRatio->Automatic,ViewPoint->{2,2,2}]

p2 = ParametricPlot3D[{t,1,u},{t,-4,4},{u,-4,4}]

Show[p1,p2]

b1 = Graphics[Arrow[{1-1/Sqrt[2],2-1/Sqrt[2]},{1+1/Sqrt[2],2+1/Sqrt[2]}]]

b2 = Graphics[Arrow[{1-1/Sqrt[2],2-1/Sqrt[2]},{-1-1/Sqrt[2],2-1/Sqrt[2]}]]

l1 = Graphics3D[{AbsoluteThickness[2],Line[{{1,1,2},{-1,1,2}}]}]

l2 = Graphics3D[{AbsoluteThickness[2],Line[{{1,1,2},{1,-1,2}}]}]

Show[l1,l2,AxesLabel->{"x","y","z"}]

Show[p1,PlotRange->All,AspectRatio->Automatic]

f[x_,y_]:=4 - x^2 - y^2

p1 = Plot3D[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},Boxed->False,Axes->None,AspectRatio->Automatic,ViewPoint->{3,3,3}]

p2 = ParametricPlot3D[{t,1,u},{t,-4,4},{u,-4,4},ViewPoint->{3,3,3}]

p3 = ParametricPlot3D[{1,t,u},{t,-4,4},{u,-4,4},ViewPoint->{3,3,3}]

Show[p1,p2,p3,PlotRange->All]

*

f[x_,y_]:=4 - x^2 - y^2

g[x_,y_]:=D[f[x,y],x]

h[x_,y_]:=D[f[x,y],y]

g[x,y]

D[f[x,y],x]

p1 = ParametricPlot[{2Sin[t],2Cos[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio->Automatic]

Needs["Graphics`Arrow`"]

t1 = Table[Graphics[{RGBColor[1,0,0],Arrow[{2Sin[t],2Cos[t]},{4Sin[t],4Cos[t]}]}],{t,0,2Pi,Pi/8}]


Show[t1,p1,AspectRatio->Automatic]

f[x_,y_]:=x^2 - y^2

p2 = Plot3D[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},AspectRatio->Automatic,ViewPoint->{0,3,3}]

f[x_,y_]:=x^2 - y^2

p1 = Plot3D[f[x,y],{x,-2,2},{y,-2,2},AspectRatio->Automatic,ViewPoint->{1,2,2},Boxed->False,Axes->None]

p2 = ParametricPlot3D[{t,t+2,u},{t,-2,2},{u,-4,4},AspectRatio->Automatic,ViewPoint->{1,2,2},Boxed->False,Axes->None]

Show[p2,p1,PlotRange->All,Boxed->False]

p2 = ParametricPlot3D[{2t-3,t,u},{t,-2,2},{u,-4,4},AspectRatio->Automatic,ViewPoint->{1,2,2},Boxed->False,Axes->None]

Show[p2,p1,PlotRange->All,Boxed->False]

p3 = Plot[{x,-x},{x,-2,2},AspectRatio->Automatic,Axes->None]

a1 = Table[Graphics[{RGBColor[1,0,0],Arrow[{i,i},{i+2,i-2}]}],{i,-2,2,0.6}]

a2 = Table[Graphics[{RGBColor[1,0,0],Arrow[{i,-i},{i+2,-i+2}]}],{i,-2,2,0.6}]

Show[p3,a1,a2,AspectRatio->Automatic]

3. Programas usados en integrales triples:

f%x_,y_& :" 8$x^2$y^2g%x_,y_& :" x^2'y^2p1 " Plot3D%f%x,y&,+x,$2,2,,+y,$2,2,&;p2 " Plot3D%g%x,y&,+x,$2,2,,+y,$2,2,&;Show%p1,p2,AspectRatio$% Automatic&

V " 4!$0

2$0

(4$x2$

x2'y2

8$x2$y2

&z!&y!&x


V " 4!$0

+2!$0

2!$r2

8$r2

!r!z!&z!&r!&,

m " 4!$0

2$0

(4$x2$

x2'y2

8$x2$y2

z!&z!&y!&x

Mxy " 4!$0

2$0

(4$x2$

x2'y2

8$x2$y2

z2!&z!&y!&x

l1" Graphics3D%Line%++0,0,0,,+2,0,0,,&&;l2 " Graphics3D%Line%++0,0,0,,+0,2,0,,&&;l3 " Graphics3D%Line%++0,0,0,,+0,0,2,,&&;p1 " Graphics3D%Point%+1,2,3,&&;l4" Graphics3D%Line%++0,0,0,,+1,0,0,,&&;l5 " Graphics3D%Line%++1,0,0,,+1,2,0,,&&;l6 " Graphics3D%Line%++1,2,0,,+1,2,3,,&&;l7 " Graphics3D%Line%++0,0,0,,+1,2,3,,&&;l8 " Graphics3D%Line%++0,0,0,,+1,2,0,,&&;t1 " Graphics3D%Text%"x",+2,0,.2,&&;t2 " Graphics3D%Text%"y",+0,2,.2,&&;t3 " Graphics3D%Text%"z",+0,.2,2,&&;t4 " Graphics3D%Text%"P"-,,,.#",+1,2.5,3.2,&&;t5 " Graphics3D%Text%"-",+0,.6,1.6,&&;t6 " Graphics3D%Text%",",+.3,.3,0,&&;t7" Graphics3D%Text%".",+0,.1,.4,&&;Show%l1,l2,l3, p1,l4,l5,l6,l7,l8,t1,t2,t3,t4,t5,t6,t7, Boxed$% False,ViewPoint$% +2,2,2,& p1 " ParametricPlot3D./t,u,(

3!t2'3!u21,+t,$2,2,,+u,$2,2,2p2 " ParametricPlot3D./t,u,(

9$t2$u21,+t, $2,2,, +u,$2, 2,2 Show%p1, p2&


4. Programas usados en las prácticas de campos vectoriales y trabajo.

Needs%"Graphics Arrow "& t1 " Table%Graphics%+RGBColor%0,0,1&,Arrow%+x,$2,,+x'2!x,$2'2/ "$2#,&,&,+x, $2,2,&;t2 " Table%Graphics%+RGBColor%0,0,1&,Arrow%+x,$1,,+x'2!x,$1'2/ "$1#,&,&,+x, $2,2,&;t3 " Table%Graphics%+RGBColor%0,0,1&,Arrow%+x,0,,+x'2!x,0'2/"0#,&,&,+x, $2,2,&;t4 " Table%Graphics%+RGBColor%0,0,1&,Arrow%+x,1,,+x'2!x,1'2/"1#,&,&,+x, $2,2,&;t5 " Table%Graphics%+RGBColor%0,0,1&,Arrow%+x,2,,+x'2!x,2'2/"2#,&,&,+x, $2,2,&;Show%t1,t2,t3,t4,t5,AspectRatio$%Automatic&

m%x_,y_& :" xn%x_,y_& :" 3!y f%x_,y_& :" +m%x,y&,n%x,y&, mf%x_,y_& :" ( "m%x,y&#2' "n%x,y&#2mf%2,1& Solve%mf%x,y& "" 1,y&

t1 " Table.Graphics./RGBColor%1,0,0&,Arrow./x, $(1$x2

31, /2!x, $4!

(1$x2

31212,+x,$1,1,.1,2;

t2 " Table.Graphics./RGBColor%1,0,0&,Arrow./x, (1$x2

31,/2!x, 4!

(1$x2

31212, +x,$1,1,.1,2;

Show%t1,t2&

Solve%mf%x,y& "" 2,y&

t3 " Table.Graphics./RGBColor%0,0,1&,Arrow./x, $(4$x2

31, /2!x, $4!

(4$x2

31212,+x,$2,2,.1,2;

t4 " Table.Graphics./RGBColor%0,0,1&,Arrow./x, (4$x2

31,/2!x, 4!

(4$x2

31212, +x,$2,2,.1,2;

Show%t1,t2,t3,t4,AspectRatio$%Automatic&


m%x_,y_& :" x'yn%x_,y_& :" x$yf%x_,y_& :" +m%x,y&,n%x,y&,mf%x_,y_& :" ( "m%x,y&#2' "n%x,y&#2Solve%mf%x,y& "" 1,y&

t1 "

Table.Graphics./RGBColor%1,0,0&,Arrow./x,$

(1$2!x2( 2

1, /x$ (1$2!x2( 2

'x,$(1$2!x2( 2

'x'(1$2!x2( 2

1212,+x,$.7, .7,.1,2;t2 "

Table.Graphics./RGBColor%1,0,0&,Arrow./x, (

1$2!x2( 21,/x' (

1$2!x2( 2'x, $

(1$2!x2( 2

'x'(1$2!x2( 2

1212,+x,$.7, .7,.1,2;Show%t1,t2,AspectRatio$% Automatic&

0M0 y

"0 N0 x

m%x_,y_& :" x'yn%x_,y_& :" x$yf%x_,y_& :" +m%x,y&,n%x,y&,D%m%x,y&,y& """ D%n%x,y&,x&

$ m%x,y&!&x$ n%x,y&!&y

potential%x_,y_& :" xy 'x2

2$y2

2 F%x_,y_,z_& :" # x, xy, 3!z %

curlF!"x,y,z# " # 0, 0, y %

divF!"x, y, z# " 1 ' x ' 3 " 4 ' x


$C

f!" x, y#!&s " limn12

3i"i

nf!"xi, yi#!3s

$C

f!" x, y, z#!&s " limn12

3i"i

nf!"xi, yi, zi#!3s

ds " '' r1'!" t#'' dt "( "x'!"t##2' "y'!"t##2$

C

f!" x, y#!&s " $a

bf!" x!" t#, y!" t# # ( "x'!"t##2' "y'!"t##2 !&t

$C

f!" x, y, z#!&s " $a

bf!" x!" t#, y!" t#, z!" t# # ( "x'!"t##2' "y'!"t##2 ' "z'!"t##2 !&t

$C

x 'y!&s

f%x_& :" (x

g%x_& :" x^2p1 " Plot%+f%x&,g%x&,,+x,0,1,,AspectRatio$%Automatic, PlotStyle$% RGBColor%0,0,1&&l " Graphics%++RGBColor%0,0,1&,Line%++.25,.5,,+.15,.5,,&,,+RGBColor%0,0,1&,Line%++.25,.5,,+.25, .4,,&,,+RGBColor%0,0,1&, Line%++.5,.25,,+.5, .35,,&,,+RGBColor%0,0,1&,Line%++.5,.25,,+.6, .25,,&,,&;Show%p1,l& $C

x 'y!&s

x%t_& :" ty%t_& :" (

t

N. $0

1) t '(t*!( "x'%t&#2' "y'%t&#2 !&t, 22

x%t_& :" 1$ty%t_& :" "1$t#2N. $

0

1) "1$t# ' "1$t#2*!( "x'%t&#2' "y'%t&#2 !&t,22

W " $C

F!)&r! " $C

F!)T!!&s " $a

bF!!"x!" t#,y!" t## )r!'!" t#!&t

CUADERNO DE PRÁCTICAS 93 F!!"x, y# " # y,x % " y!i

!' x!j

!r!!"t# " # cos!" t#, sin!" t# %

p1 " ParametricPlot%+Cos%t&,Sin%t&,,+t,0,2!+,,AspectRatio$%Automatic, PlotStyle$% RGBColor%1,0,0&&t " Table%Graphics%+RGBColor%0,1,0&,Arrow%+Cos%i&,Sin%i&,,+Cos%i& 'Sin%i&,Sin%i& 'Cos%i&,&,&,+i,0,2!+, + -12,&Show%p1,t,AspectRatio$% Automatic&

Clear%d,f,r,t,u,v, x&f " +Sin%t&,Cos%t&,r " +Cos%t&,Sin%t&,d " D%r,t&dotproduct " Dot%f,d&$0

2!+dotproduct!&t

W " $

C

M!&x' NdyorW " $C

M!&x' Ndy ' Pdz

W " $0

2!+" Cos%t&/"$Sin%t&# ' 1/Cos%t& # &t

F!!" x, y, z# " # x, y, 2 %

C: r!" t# " # cos!" t#, sin!" t#, t %

t "

Table.Graphics./RGBColor%0,1,0&,Arrow./Sin%t& $Cos%t& 0 ( 2,t$Cos%t& 0 ( 21,/2!Sin%t&$2!Cos%t& 0 ( 2,t'2$2!Cos%t& 0 ( 21212,+t,0, 4!+, + -12,2;

Show%t&

Clear%f,r,d,t&f " +Cos%t&,Sin%t&,2,r " +Cos%t&,Sin%t&,t,d " D%r,t&dotproduct " Dot%f,d&work " $

0

4!+dotproduct!&t " 8!+


5. Programas usados en la práctica del teorema de Green:

Needs%"Graphics Arrow "& m%x_,y_& :" 2n%x_,y_& :" y0 n0 x

"0 m0 y

cx1%t_& :" tcy1%t_& :" t^2p1 " ParametricPlot%+cx1%t&,cy1%t&,,+t,0,1,,AspectRatio$%Automatic& p1 " ParametricPlot./t,t21,+t, 0,1,,AspectRatio$% Automatic,PlotStyle$% RGBColor%1,0,0&2

t " Table.Graphics./RGBColor%0,1,0&,Arrow./i,i21,/i'2,i2'i21212,+i,0,1,.1,2Show%p1,t,AspectRatio$% Automatic,PlotRange$%All& Clear%t&f%t_& :" /2,t21r%t_& :" /t,t21work " $

0

1Dot%f%t&,r'%t&&!&t

Clear%p,t&p1 " ParametricPlot%+t,t,,+t,0,1,,AspectRatio$%Automatic,

PlotStyle$% RGBColor%1,0,0&&t " Table%Graphics%+RGBColor%0,1,0&,Arrow%+i,i,,+i'2,i'i,&,&,+i,0,1,.1,&Show%p1,t,AspectRatio$% Automatic,PlotRange$%All& Clear%t&f%t_& :" +2,t,r%t_& :" +t,t,work " $

0

1Dot%f%t&,r'%t&&!&t


Clear%p,t&( x

p1 " ParametricPlot./t,( t1,+t,0,1,,AspectRatio$%Automatic,

PlotStyle$% RGBColor%1,0,0&2t " Table.Graphics./RGBColor%0,1,0&,Arrow./i,( i1,/i'2,( i '

( i1212,+i,0,1,.1,2Show%p1,t,AspectRatio$% Automatic,PlotRange$%All& Clear%t&f%t_& :" /2,( t1r%t_& :" /t,( t1work " $

0

1Dot%f%t&,r'%t&&!&t

Clear%p,t&p1 " ParametricPlot%+0,2!t,,+t,0,.5,,AspectRatio$%Automatic,

PlotStyle$% RGBColor%1,0,0&&p2 " ParametricPlot%+2!t$1,1,, +t,.5,1,,AspectRatio$%Automatic,PlotStyle$% RGBColor%1,0,0&&

t1 " Table%Graphics%+RGBColor%0,1,0&,Arrow%+0,2!i,,+0'2,2!i'2!i,&,&,+i,0,.5,.1,&t2 " Table%Graphics%+RGBColor%0,1,0&,Arrow%+2!i$1,1,,+2!i$1'2,1'1,&,&,+i,.5,1,.1,&Show%p1,p2,t1,t2,AspectRatio$%Automatic,PlotRange$%All& Clear%t&f%t_& :" +2,2!t,r%t_& :" +0,2!t,work1 " $

0

.5Dot%f%t&,r'%t&&!&t

Clear%t&f%t_& :" +2,1,r%t_& :" +2!t$1,1,work2 " $

.5

1Dot%f%t&,r'%t&&!&t

work " work1' work2


potential1%x_,y_& :" $ 2!&x

potential2%x_,y_& :" $ y!&y

potential1%x,y&potential2%x,y&

$C

Mdx ' Ndy " $ $ 45 0 N0 x

$0 M0 y

67!&A c1%x_& :" 2x $1c2%x_& :" 1.5!x

Plot%+c1%x&,c2%x&,,+x,0,2,,AspectRatio$%Automatic,AxesOrigin$% +0,0,,PlotRange$% ++0,2,,+0,3,,,PlotStyle$% RGBColor%1,0, 0&&

Clear%p,t&p1 " ParametricPlot%+t,2t$1,,+t,0,2,,AspectRatio$% Automatic,PlotStyle$% RGBColor%1,0,0&&

p2 " ParametricPlot%+t,1.5!t,,+t,0,2,,AspectRatio$%Automatic,PlotStyle$% RGBColor%1,0,0&&

t1 "

Table.Graphics./RGBColor%0,1,0&,Arrow./i,2i$11, /i'i/)2i$1*,)2i$1* 'i1212,+i,0,2,.2,2

t2 "

Table%Graphics%+RGBColor%0,1,0&,Arrow%+i,1.5!i,,+i'i/1.5/i,1.5!i'i,&,&,+i,0,2,.2,&Show%p1,p2,t1,t2,AspectRatio$%Automatic,PlotRange$%All&


Clear%t&f%t_& :" +t/"2t$1#,t,r%t_& :" +t,2t$1,work1 " N.$

0

2Dot%f%t&,r'%t&&!&t,42

Clear%t&f%t_& :" +t/"1.5/t#,t,r%t_& :" +t,1.5!t,work2 " N.$

2

0Dot%f%t&,r'%t&&!&t,42

work " work1' work2

m%x_,y_&:" x/yn%x_,y_& :" x

N.$0

2$2x$1

1.5!x"1$x#!&y!&x,42

PRÁCTICA CVV-1 - · PDF filedirección de un vector unitario cualquiera que ......

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