PRÀCTIQUES DE SIMULACIÓ INFORMÀTICA

2

PRÀCTICA DE SIMULACIÓ INFORMÀTICA

Les pràctiques de simulació informàtica de les assignatures de Teoria de Màquines i

Mecanismes i de Sistemes Mecànics han estat preparades amb la intenció de familiaritzar

als estudiants amb l’aplicació dels recursos informàtics actuals als temes estudiats a les

seves assignatures.

Les pràctiques disponibles són:

1. Dinàmica directa (Equació de Lagrange)

2. Cinemàtica i dinàmica inversa (cineto-estàtica)

La pràctica de dinàmica directa utilitza el programa MAPLE per obtenir les equacions

diferencials del moviment d’un sistema mecànic.

La pràctica de cinemàtica i dinàmica inversa utilitza un programa desenvolupat a la UPC

per estudiar els moviments i les forces als mecanismes motor i quadrilàter articulat.

3

1.- ÍNDEX

A) PRÀCTICA DE DINÀMICA DIRECTA

B) PRÀCTICA DE CINEMÀTICA I DINÀMICA INVERSA

1.- PRÀCTICA DE SIMULACIÓ PER LAGRANGE 4

2.- MECANISME MOTOR 7

3.- QUADRILÀTER ARTICULAT 9

4.- TREBALL PERSONAL SOBRE LA PRÀCTICA DE SIMULACIÓ 11

5.- EXEMPLE DE RESOLUCIÓ MATRICIAL: 13

5.1.- MECANISME MOTOR: 13

5.2.- MECANISME QUADRAT: 21

4

1.- EQUACIÓ DE LAGRANGE

Una de les eines més poderoses per la obtenció de les equacions diferencials d’un sistema

és la utilització de la Lagrangiana. L’alternativa és aplicar el mètode d’Alembert

multidimensional que obliga a calcular velocitats i acceleracions.

Algoritme per obtenir les equacions de Lagrange:

1. Determinar el número de graus de llibertat del sistema.

2. Assignar una variable a cada grau de llibertat per a poder especificar l’estat del

sistema a cada instant.

3. Determinar l’energia cinètica i potencial emprant aquestes variables. Calcular:

L=Ec-Ep

4. Aplicar l’equació de Lagrange X

d L LF

dt xx

per al moviment rectilini i

d L LM

dt

per al moviment de rotació; FX i M són les forces i

parells no conservatius aplicats al sistema (Vgr. Parell motor exterior, roçaments

interns).

Exemples:

Fig. 1 Pèndol simple Fig. 2 Pèndol simple sobre corredera

Fig. 3 Pèndol elàstic Fig. 4 Pèndol elàstic sobre corredera

O

m

L

O

m

L

x

m

L + r

O

m

x

L + r

5

Notes:

1. Si hi ha una molla, L és la distància del centre de ‘m’ a l’eix de gir quan la molla

té la seva longitud natural (ni traccionada ni comprimida).

2. L’energia potencial d’una molla és Ep= ½ · k · (x)² . En el nostre cas ‘r’ ha estat

escollida de forma que es pugui escriure: Ep= ½ · k · r² .

3. S’ha de tenir en conte amb la composició de velocitats en els tres últims casos.

Treball a realitzar a classe:

1. Introduir el document MAPLE adjunt, corresponent a la figura 1.

2. Obtenir les equacions diferencials dels quatre exemples. No oblidar que la

velocitat és un vector.

Treball personal:

Oportunament es publicarà una llista en la que s’assignarà a cada alumne un

problema de la col·lecció. Obtenir les equacions diferencials del mecanisme que

apareix en el problema emprant MAPLE i comparar el resultat amb les equacions

diferencials obtingudes manualment. Si el mecanisme resultant té un grau de llibertat,

comprovar el resultat utilitzant un mètode alternatiu, amb MAPLE i a mà.

Els càlculs manuals cal presentar-los com manuscrit original. No s’acceptaran

documents escanejats.

Annex:

Veure Lagange1.mw

6

7

2.- MECANISME MOTOR

El programa permet realitzar l’anàlisi complet del Mecanisme Motor, tant

cinemàticament com dinàmicament, mitjançant el sistema matricial de càlcul.

Un cop entrades les dades geomètriques del mecanisme, en la pestanya “Límits”, el

programa té l’opció de visualitzar una animació del moviment del motor, o comprovar la

geometria d’aquest (angles i distancia d) per un angle 2 donat. També es pot veure la

trajectòria d’un punt de la biela.

Llavors, entrant a la pestanya “Dinàmica” i introduint les magnituds cinemàtiques de la

barra 2 (2 i 2), les masses i els moments d’inèrcia de les barres, així com la força dels

gasos a la qual s’està sotmetent el pistó, ara es pot analitzar el mecanisme cinemàticament

i dinàmicament.

El programa realitza l’anàlisi del mecanisme motor adoptant la manovella com a barra

d’entrada.

L’anàlisi de la dinàmica del mecanisme es pot fer de tres formes diferents:

Total (estàtic + dinàmic).

Estàtic.

Dinàmic.

Com a característiques cinemàtiques el programa calcula:

La velocitat i acceleració angular de la biela (W3, E3)

La velocitat i acceleració lineal d’un punt de la biela, en component o en mòdul (VDx,

VDy, VD; ADx, ADy, AD).

La velocitat i acceleració del pistó (Vp, Ap).

Velocitat i acceleració lineal del centre de gravetat de qualsevol de les barres. (VG2x, VG2y,

VG2; AG2x, AG2y, AG2; VG3x, VG3y, VG3; AG3x, AG3y, AG3, AG4).

Com a característiques dinàmiques el programa calcula:

Reaccions a la bancada en components i en mòdul (F12x, F12y, F12; F14).

Accions mútues entre les barres en components i en mòdul (F23x, F23y, F23; F34x, F34y, F34),

i les forces i parells d’inèrcia (FG2x, FG2y, FG2; FG3x, FG3y, FG3; FG4; MG2; MG3).

Parell accelerador a aplicar en l’eix de la manovella (Mo2).

Forces de sacsejada i parell de sacsejada a la bancada (FSx, FSy, FS, Ms).

8

A la pestanya “resultats” podem escollir si es volen veure els resultats en forma de

gràfica, en forma de taula, o les duess coses a la vegada.

En les dues formes de visualització dels resultats, els càlculs es refereixen sempre en

funció de l’angle de la manovella (2).

En la representació en forma de taula es pot especificar l’interval de 2 i en quin

increment de 2 es vol treballar.

La representació gràfica es fa amb eixos cartesians. El programa calcula l’escala i els

eixos automàticament, però també es poden especificar els eixos que es desitgin.

9

3.- QUADRILÀTER ARTICULAT

En el cas del Quadrilàter Articulat el programa QUADART realitza, mitjançant el sistema

matricial, l’anàlisi cinemàtic i dinàmic a partir del les dades introduïdes per l’usuari.

Un cop introduïdes les dades geomètriques del mecanisme, en la pestanya “Límits”, el

programa analitza el mecanisme i diu si és de Grashof o no, i en el cas que tingui angles

límits, ens els diu.

El programa també té l’opció de visualitzar una animació del moviment del Quadrilàter, o

comprovar la geometria d’aquest (angles 3 i 4 ) per un angle 2 donat. També es pot

veure la trajectòria d’un punt de la biela (barra 3).

A la pestanya “Dinàmica” s’entren les dades de la cinemàtica de la barra 2 (2 i 2), les

masses i els moments d’inèrcia de les barres, i el parell exterior aplicat a la barra 4, per

analitzar el mecanisme cinemàticament i dinàmicament.

El programa realitza l’anàlisi del Mecanisme adoptant la barra 2 (manovella) com a barra

d’entrada.

L’anàlisi de la dinàmica del mecanisme es pot fer de tres formes diferents:

Total (Estàtic + dinàmic).

Estàtic.

Dinàmic.

Les característiques cinemàtiques que el programa calcula són:

Velocitats i acceleracions angulars de les barres 3 i 4 (3, 4, 3, 4).

Relació de la velocitat angular entre l’entrada i la sortida (RV=4/3).

Avantatge Motora: (VM=3/4).

Velocitat i acceleració lineal d’un punt de la biela en components i en mòdul (VDx, VDy,

VD; ADx, ADy, AD).

Velocitat i acceleració lineal del centre de gravetat de qualsevol de les barres. (VG2x, VG2y,

VG2; AG2x, AG2y, AG2; VG3x, VG3y, VG3; AG3x, AG3y, AG3; VG4x, VG4y, VG4; AG4x, AG4y, AG4).

10

Les característiques dinàmiques que calcula són:

Accions mútues entre barres en components i en mòdul (F23x, F23y, F23; F34x, F34y, F34).

Reaccions a la bancada (F12x, F12y, F12; F14x, F14y, F14).

Parell accelerador a aplicar en l’eix de la manovella (Mo2).

Forces d’inèrcia (FG2x, FG2y, FG2; FG3x, FG3y, FG3; FG4x, FG4y, FG4).

Parells d’inèrcia (MG2, MG3, MG4).

Forces de sacsejada i moments de sacsejada a la bancada (FSx, FSy, FS, MS).

A la pestanya resultats podem escollir si es volen veure els resultats en forma de gràfica,

en forma de taula, o les dues coses a la vegada.

En les dues formes de visualització dels resultats, els càlculs es refereixen sempre en

funció de l’angle de la manovella (2).

En la representació en forma de taula es pot especificar l’interval de 2 i en quin

increment de 2 es vol treballar.

La representació gràfica es fa amb eixos cartesians. El programa calcula l’escala i els

eixos automàticament, però també es poden especificar els eixos que es desitgin.

11

4.- TREBALL PERSONAL SOBRE LA PRÀCTICA DE

SIMULACIÓ

Cada alumne tindrà assignades, en la llista que es publicarà oportunament, unes lletres i

un número, el significat del qual és el següent:

C1, C2, C3: Quadrilàter Articulat a estudiar. M1, M2, M3: Mecanisme Motor a estudiar.

A: 3 B: 3 C: Vp D: Ap

E: 3 F: 3 G: 4 H: 4

K: F12 L: F23 M: F14 N: F34

El número és el valor de l’angle 2 i està comprès entre 0 i 360º.

Instruccions:

Cada alumne ha d’executar la simulació del mecanisme que li ha tocat, i ha de presentar

un informe amb els següents punts:

Còpia de les pantalles amb les gràfiques sol·licitades, d’acord amb el codi de lletres

anterior. S’ha d’obtenir també, la gràfica del parell motor Mo2.

Comprovació analítica (plantejant sempre equacions amb una incògnita, segons el mètode

explicat en la sessió teòrica) de la validesa dels càlculs de l’ordinador, per l’angle donat.

Addicionalment (per obtenir la màxima nota) es pot comprovar aquest càlcul manual

resolent el sistema d’equacions amb un altre programa, o amb calculadora.

Comprovar analíticament, a partir de l’angle donat, que el parell total (estàtic+dinamic)

Mo2T que ha d’aplicar-se a la manovella (barra 2), és la suma del parell estàtic

equilibrant Mo2E i del parell dinàmic accelerant Mo2D. Obtenir aquests mateixos parells

mitjançant el programa de simulació i comparar resultats.

Comentaris, conclusions, etc.

Notes sobre l’avaluació:

Els punts següents són importants a l’hora d’avaluar aquesta pràctica:

Assistència a l’explicació teòrica.

L’informe conté totes les gràfiques sol·licitades, així com tots els desenvolupaments

analítics.

Els comentaris comparen correctament els resultats obtinguts en la simulació i en el

càlcul analític.

Claredat i elegància en els desenvolupaments analítics.

Notes addicionals:

-No s’ha d’utilitzar cap programa per fer els desenvolupaments analítics.

-Els desenvolupaments analítics han d’estar escrits a mà. Cal presentar el document

original

-No fa falta enquadernació especial. És suficient la grapa.

PRÀCTICA MECANISME MOTOR

N. R (m) L (m) e (m) a (m) h (m) 2 (r/s) 2

(r/s2)

Q (N) m2

(kg)

m3

(kg)

m4

(kg)

IG2

(kg·m2)

IG3

(kg·m2)

punt D

(m)

1 0.5 1 0.1 0.25 0.6 100 0 -6000 6 10 4 1.2 2.8 0.5, 0.5

2 0.5 1.2 0.2 0.3 0.5 50 0 -2000 2 4 3 0.4 0.7 0.9, 0.9

3 0.6 1.1 -0.4 0.4 0.5 80 0 200 7 9 3.5 1.4 3.1 0.7, 0.7

PRÀCTICA MECANISME QUADRAT

N. a (m) b (m) c (m) d (m) L2

(m)

L3

(m)

L4

(m)

2 (r/s) 2

(r/s2)

m2

(kg)

m3

(kg)

m4

(kg)

IG2

(kg·m2)

IG3

(kg·m2)

IG4

(kg·m2)

Me

(Nm)

punt D

1 0.5 0.7 0.6 0.3 0.2 0.3 0.4 100 0 5 7 6 0.1 0.1 0.15 -200 0.5, 0.4

2 0.5 0.86 1.44 1.15 0.25 0.43 0.72 50 0 10 15 20 0.2 0.8 1.2 -20 0.6, 0.5

3 0.7 0.4 0.6 0.2 0.2 0.2 0.1 10 0 3 1 2 0.05 0.3 0.2 10 0.2, 0.15

13

5.- EXEMPLE DE RESOLUCIÓ MATRICIAL:

5.1 MECANISME MOTOR:

5.1.1 CÀLCULS DE LA GEOMETRIA:

L’equació vectorial de posició és: R L d e

L’equació vectorial de posició és: 2

3

·sinarcsin

R e

L

De la geometria del Motor coneixem les longituds de les seves barres (R i L),

l’excentricitat del pistó, i l’angle 2.

Per simple anàlisi de la geometria, es pot calcular l’angle 3 i d.

La fórmula per calcular 3 és:

2

3

·sinarcsin

R e

L

Per conèixer la distància d només cal aplicar la fórmula: 2 3·cos ·cosd R L

e: excentricitat

14

5.1.2 CÀLCULS DE LA CINEMÀTICA:

5.1.2.1 VELOCITATS I ACCELERACIONS ANGULARS:

Pel càlcul de la cinemàtica del Motor es fan servir les següents fórmules:

- Velocitat angular de la barra 3:

23 2

3

cos

cos

Rk

L

- Acceleració angular de la barra 3:

22 2 3 2 32

3 2 2 2

3 3

sin cos coscos k

cos cos

RL

tgR

L

Aquestes fórmules només poden tenir indeterminacions quan l’angle 3 sigui 90º+180·k,

ja que el cosinus seria 0. Però amb les limitacions geomètriques fixades ja no pot donar-

nos aquest valor.

5.1.2.2 VELOCITAT I ACCELERACIÓ LINEALS DEL PISTÓ:

El pistó (barra 4) té una trajectòria rectilínia. Això implica que no tingui velocitat ni

acceleració angular, i només tindrà component “i” (x) a la velocitat i acceleració lineal:

- Velocitat lineal Pistó:

2 2 3 3sin sin Bv R L i

- Acceleració lineal Pistó:

2 2

2 2 2 2 3 3 3 3cos sin cos sin BA R L i

15

5.1.2.3 ACCELERACIONS DELS CENTRES DE GRAVETAT:

- Acceleracions dels CDG: les acceleracions dels CDG de les diferents barres es calculen

amb les següents fórmules.

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2cos sin i cos sin jGA a a a a

2 23 3 3 3 3 3 3 3 3cos sin i sin cos jG BA A h h h h

L’acceleració del centre de gravetat de la barra 4 (pistó) serà igual a l’acceleració lineal

del pistó:

4G BA A

16

5.1.2 CÀLCULS DE FORCES I PARELLS D’INÈRCIA I PESOS:

5.1.2.1 Càlculs de les forces d’inèrcia:

222 GG AmF

333 GG AmF

444 GG AmF

En components tenim:

222 xGxG AmF yGyG AmF 222

333 xGxG AmF yGyG AmF 333

4444 GxGG AmFF 04 yGF

5.1.2.2 Càlculs dels parells d’inèrcia.

222 GG IM

333 GG IM

17

5.1.3 ANÀLISI DINÀMICA PEL SISTEMA MATRICIAL:

Per analitzar el mecanisme matricialment separem les 3 barres, i fem sumatori del

component x i sumatori del component y de les forces, i sumatori de parells en cada

barra. Obtenim un sistema de 8 equacions i 8 incògnites (a la barra 4 no té sentit fer suma

de moments).

Equilibri de la barra 2: 0 ; 0 ; 0 2 G

YX MFF

023212 X

G

XX FFF

0223212 gmFFF Y

G

YY

0sincoscossin 22322322122122 G

XYYX

O MaRFaRFaFaFM

Equilibri de la barra 3: 0 ; 0 ; 0 3 G

YX MFF

18

043323 XX

G

X FFF

0343323 gmFFF YY

G

Y

0cossincossin 3233233343343 hLFhLFMhFhF YX

G

YX

Equilibri de la barra 4: 0 ; 0 YX FF

0434 QFF G

X

043414 gmFF Y

Q: Força dels gasos

(dada)

19

Reordenant els termes s’obté el sistema d’equacions següents:

XXX

G FFF 23122

YYY

G FFgmF 231222

O22

X

232

Y

232

Y

122

X

12G2 MsinθR-aFcosθaRFcosθaFsinθaFM

XXX

G FFF 34233

YYY

G FFgmF 342333

3233233343343 cossincossin hLFLhFhFhFM YXYX

G

X

G FF 344

YFFgm 34144

20

Aquest sistema d’equacions lineals es pot expressar en forma matricial simbòlica següent:

E IF L F

Expressat en forma matricial:

2

2 2

2 2 2 22

3

3 3

3 3 3 33

4

4

1 0 0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0

sin cos 1 sin cos 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 sin cos sin cos 0

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1

X

G

Y

G

G

X

G

Y

G

G

G

F

F m g

a a a R R aM

F

F m g

h L L h h hM

F Q

m g

12

12

2

23

23

34

34

14

X

Y

O

X

Y

X

Y

F

F

M

F

F

F

F

F

Al resoldre aquest sistema de 8 equacions i 8 variables s’obtenen les reaccions, les forces entre barres i el parell Mo2.

{FE}: Vector columna de les forces exteriors (conegudes) i les forces i parells d’inèrcia (prèviament calculades)

[L]: Matriu quadrada dels paràmetres coneguts del mecanisme (geometria)

{FI}: Vector columna de les incògnites (forces reaccions, forces internes i parell accelerador)

21

5.2.- MECANISME QUADRILATER ARTICULAT

(PROGRAMA INFORMÀTIC QUADART):

5.2.1 CÀLCULS DE LA GEOMETRIA:

De la geometria del quadrat coneixem les longituds de les seves barres (a, b, c i d) i

l’angle 2.

Per a calcular els angles 3 i 4, utilitzarem les següents fórmules:

- Càlcul de l’angle 4:

1,2

2

4

42 arctan

2

B B AC

A

On:

2 1 2 2 3cos cosA K K K

22 sinB

1 2 2 31 cosC K K K

1

dK

a

Me: Parell exterior

22

2

dK

c

2 2 2 2

32

a b c dK

a c

El doble signe ± és a causa que per un mateix angle 2 el quadrat pot prendre dues

posicions, l'oberta i la creuada.

- Càlcul de l’angle 3:

1,2

2

3

42 arctan

2

E E DF

D

On:

2 1 4 2 5cos cosD K K K

22 sinE

1 4 2 51 cosF K K K

4

dK

b

2 2 2 2

52

c d a bK

a b

El doble signe ± és a causa que per un mateix angle 2 el quadrat pot prendre dues

posicions, l'oberta i la creuada.

23

5.2.2 CÀLCULS DE LA CINEMÀTICA:

5.2.2.1 Velocitats i acceleracions angulars:

Les fórmules que es mostren a continuació són vàlides per tots els Quadrilàters

exceptuant les posicions plegades dels Quadrilàters estrictament Grashofians; les

fórmules utilitzades per a aquests casos es veuran posteriorment.

Pel càlcul de la cinemàtica del quadrat es fan servir les següents fórmules:

- Velocitats angulars de les barra 3 i 4:

4 2

3 2

4 3

sin

sin

a

b

2 3

4 2

4 3

sin

sin

a

c

2 i w2 són dades, i 3 i 4 s’han calculat a l’apartat anterior, per tant tot és conegut i es

poden calcular w3 i w4.

- Acceleracions angulars de les barres 3 i 4:

4 2

2

4 3

3

4 3 4 2 4 2 4 2 4 3 4 3

2 2

4 3

sin

sin

sin cos sin cos

sin

a

b

2 3

2

4 3

4

4 3 2 3 2 3 2 3 4 3 4 3

2 2

4 3

sin

sin

sin cos sin cos

sin

a

c

2, w2, i 2 són dades, i 3 i 4 s’han calculat a l’apartat anterior, i w3 i w4 també han estat

calculades, per tant tot és conegut i es poden calcular 3 i 4.

24

5.2.2.2 Acceleracions dels centres de gravetat:

- Acceleracions dels CDG: les acceleracions dels CDG de les diferents barres es calculen

amb les següents fórmules.

22 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

cos sin cos sin

cos sin sin cos

GA L i j L j i

L L i L L j

23 3 2 2 2 2 2 2

2

3 3 3 3 3 3 3 3

2 2

2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

2 2

2 2 2 2 3

cos sin cos sin

- cos sin cos sin

- cos sin cos sin

- sin cos

G A G AA A A a i j a j i

L i j L j i

a a L L i

a a L

3 3 3 3 3sin cos j L

24 4 4 4 4 4 4 4 4

2 2

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

cos sin cos sin

cos sin sin cos

GA L i j L j i

L L i L L j

25

5.2.3 CÀLCULS DE FORCES I PARELLS D’INÈRCIA I PESOS:

5.2.3.1 Càlculs de les forces d’inèrcia:

2 22 G GF m A

3 33 G GF m A

4 44 G GF m A

En components tenim:

2 2 2 G x G xF m A 2 2 2G y G yF m A

3 3 3 G x G xF m A 3 3 3G y G yF m A

4 4 4 G x G xF m A 4 4 4G y G yF m A

5.2.3.2 Càlculs dels parells d’inèrcia.

2 22 G GM I

3 33 G GM I

4 44 G GM I

5.2.3.3 Càlculs dels pesos:

Per calcular els pesos només cal aplicar la constant de la gravetat a les masses:

2 2P m g

3 3P m g

4 4P m g

26

5.2.4 ANÀLISI DINÀMICA PEL SISTEMA MATRICIAL:

Per analitzar el mecanisme matricialment separem les 3 barres i fem sumatori del

component x i sumatori del component y de les forces, i sumatori de parells en cada barra

en el centre de gravetat. Obtenim un sistema de 9 equacions i 9 incògnites.

- BARRA 2: 20 ; 0 ; 0X Y

GF F M

12 32 2 0X X X

GF F F

12 32 2 2 0Y Y Y

GF F F P

02 2 12 2 2 12 2 2 32 2 2 32 2 2sin cos sin cos 0X Y X Y

GM M F L F L F a L F a L

- BARRA 3: 30 ; 0 ; 0X Y

GF F M

27

23 43 3 0X X X

GF F F

23 43 3 3 0Y Y Y

GF F F P

3 23 3 3 23 3 3 43 3 3 43 3 3sin cos sin cos 0X Y X Y

GM F L F L F b L F b L

- BARRA 4: 40 ; 0 ; 0X Y

GF F M

14 34 4 0X X X

GF F F

14 34 4 4 0Y Y Y

GF F F P

4 14 4 4 14 4 4 34 4 4 34 4 4sin cos sin cos 0X Y X Y

G eM M F L F L F c L F c L

En total tenim 9 equacions que tornarem a escriure portant al costat dret totes les

incògnites:

2 12 23

X X X

GF F F perquè 32 23

X XF F

2 2 12 23

Y Y Y

GF P F F perquè 32 23

Y YF F

2 12 2 2 12 2 2 02 23 2 2 23 2 2sin cos sin cosX Y X Y

GM F L F L M F a L F a L

3 23 43

X X X

GF F F perquè 43 34

X XF F

3 3 23 34

Y Y Y

GF P F F perquè 43 34

Y YF F

3 23 3 3 23 3 3 34 3 3 34 3 3sin cos sin cosX Y X Y

GM F L F L F b L F b L

4 14 34

X X X

GF F F

4 4 14 34

Y Y Y

GF P F F

28

4 14 4 4 14 4 4 34 4 4 34 4 4sin cos sin cos 0X Y X Y

G eM M F L F L F c L F c L

29

Aquest sistema d'equacions lineals es pot expressar en forma matricial simbòlica següent:

I BF L F

Expressat en forma matricial:

2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

3 3

3 3 3 3 3 3 3 33

4

4 4

4

1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0 0

sin sin cos cos 1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 1 0 0

0 sin 0 cos 0 sin cos 0

X

G

Y

G

G

X

G

Y

G

G

X

G

Y

G

G e

F

F P

M L L a L a L

F

F P

L L L b b LM

F

F P

M M

12

23

12

23

2

34

34

14

4 4 4 4 4 4 4 414

0

0 0 0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 sin cos sin cos

X

X

Y

Y

O

X

Y

X

Y

F

F

F

F

M

F

F

F

c L L c L L F

Al resoldre aquest sistema de 9 equacions i 9 variables s’obtenen les reaccions, les forces entre barres i el parell M02.

30