UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLA0

FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRICA Y ELECTRONICA

SECCION POSTGRADO

MAESTRIA EN CIENCIAS DE LA ELECTRONICA CON MENCION EN

CONTROL Y AUTOMATIZACION

Diseño de un Sistema de Control Optimo para un

Péndulo Invertido Rotante

Pre Proyecto de Tesis elaborado por el

Ingeniero Russell Córdova Ruiz

Curso

METODOLOGIA DE INVESTIGACION II

Profesor

Dr. Ing. Marcelo Damas Niño

CALLAO – PERU

2009

INFORMACION BASICA

Facultad : Ingeniería Eléctrica y Electrónica

Titulo : Diseño de un Sistema de Control Optimo para un Péndulo

Invertido Rotante

Ejecutor : Ing. Russell Córdova Ruiz

Asesor : M.Sc.Ing. Ricardo Bustinza

Lugar de Ejecución : Universidad Nacional del Callao

Unidades de Análisis : Laboratorio de Control y Automatización

de la FIEE-UNAC

Tipo de Estudio : Orientado al diseño de un sistema de control

utilizando técnicas avanzadas de control

INTRODUCCION

Este trabajo de investigación sintetiza el diseño de un sistema de control

óptimo de un péndulo invertido rotante, usando para efectos de simulación

MATLAB. Se usa como actuador un servomotor de corriente continua, cuyo

encoder incremental permite sensar el ángulo del brazo rotatorio y un sensor

magnético resistivo para el control del ángulo del péndulo.

Conocido el sistema físico, lo modelamos matemáticamente, utilizando las

ecuaciones de Lagrange-Euler. Una vez obtenido el modelo, procedemos al diseño

del Control Optimo Proporcional Integral con Observador de Estados. El diseño

de un observador de estados es útil para estimar aquellas variables que no

podemos medir. Una vez diseñado el observador, las variables estimadas son

tomadas por el controlador, obteniéndose el desempeño deseado, el cual es

mantener el péndulo en posición vertical.. Se demostrará que el uso del

Controlador Optimo Proporcional Integral es de alto rendimiento y precisión,

según se puede observar en los resultados gráficos de la simulación, cuyos

programas se adjuntan en el Apéndice.

El autor

PROBLEMA DE INVESTIGACION

I. SELECCION

1.1 General:

Los péndulos invertidos no solo ha sido objeto de muchas discusiones de control

sin embargo, los péndulos han sido usados como sistemas para modelos

matemáticos y teoría de cinemática.

El problema a resolver, es controlar el brazo en una posición determinada.

Aquí el problema de control clásico se dificulta dado que varilla rápidamente se

puede caer.

1.2 Especifica

El objetivo que vamos a tener en cuenta a la hora del diseño del controlador es

minimizar el error de seguimiento a una referencia r y garantizar que cuando la

referencia es constante, el error en el régimen permanente es nulo: Dado que

nuestro actuador se trata de un motor de corriente continua, necesitamos que la

acción de control se mantenga acotada. Suponiendo que la planta tiene

incertidumbre en los parámetros del sistema, consideraremos los siguientes

parámetros nominales:

m=0.05 l=0.3 L=0.9 r=0.27 g=9.8

I=0.06 b=-0.3 R=3.36 K= 1.2 M=0.5

El sistema de control debe tener una respuesta rápida, que permita lograr el

objetivo propuesto, por lo que el tiempo de asentamiento debe ser

II. DEFINICION

El péndulo invertido rotante consiste en un brazo giratorio horizontal, el cual posee

en su extremo una barra vertical la cual gira libremente alrededor de un eje

paralelo al brazo, como podemos apreciar en la Figura 1.

g

Figura 1: Diagrama del péndulo invertido rotante.

III. JUSTIFICACION DEL ESTUDIO

La ejecución del presente trabajo de investigación, se justifica por su:

3.1 Naturaleza

Dado que nuestra Universidad no cuenta con un Péndulo Invertido Rotante, por su

alto costo, nos propusimos en principio, hacer el diseño del sistema de control y la

correspondiente simulación; para que en posteriores trabajos se logre su

implementación.

3.2 Magnitud

La magnitud de este problema será resuelto por estas nuevas técnicas avanzadas

que ofrecen mejores prestaciones dado que en los momentos actuales existen

dispositivos con alta velocidad de procesamiento de datos que ejecutan algoritmos

con mucha precisión.

3.3 Vulnerabilidad

El problema de investigación es vulnerable por que es posible diseñar sistemas de

control avanzados para el control del péndulo invertido rotante. Una vez que ha

sido posible demostrar los resultados de la utilización de los métodos avanzados

de control, tendrá amplia generalización.

3.4 Práctica

Los resultados de la investigación serán aplicados en beneficio de nuevos

investigadores que tratan temas similares. Así mismo servirá a los estudiantes de

pregrado de la UNAC y otras Universidades como medio de investigación hacia

otros temas del área.

IV. AGENDA DE TRABAJO

PROYECTO DE INVESTIGACION

TITULO: Diseño de un Sistema de Control Optimo para un Péndulo Invertido Rotante

Actividades Año Meses

E F M A M J J A S 0 N D

1. Planteamiento del problema. 2009 x

2. Elaboración del Marco Teórico y

conceptual de referencia.

2009 x

3. Formulación y operacionalización

de la hipótesis.

2009 x

4. Modelo matemático de la planta y

pruebas de estabilidad.

2009 x x

5. Controlabilidad y Observabilidad 2009 x x

6. Diseño del controlador optimo 2009 x x

7. Diseño del controlador deslizante 2009 x x

8. Diseño del controlador difuso 2009 x x

9. Constrastación de resultados 2009 x x

10. Edición del trabajo 2009 x x

11. Presentación de los resultados y

sustentación

2009 x

V. PLANTEAMIENTO

5.1 Implicancias. La ejecución del proyecto de investigación tendrá las

siguientes implicancias:

5.1.1 Económica. En cuanto a la bibliografía especializada y necesaria para el

sustento teórico y práctico, es muy escasa asi como de difícil adquisición. Estos

libros son costosos y de poco tiraje.

5.1.2 Sociopolítica. Como la Biblioteca especializada de la Universidad no

cuenta con libros especializados; esto hace que el proceso de investigación o

desarrollo de la Tesis de Maestría se vea afectado en el tiempo de elaboración. Por

lo que el desarrollo del presente trabajo paliará esta dificultad presente.

5.1.3 Técnica. La técnica utilizada para diseñar sistemas de control optimo,

pasara a formar parte de los conceptos teóricos de mecánica clásica y de sistemas

de control no lineal.

5.1.4 Científica. La hipótesis demostrada y comprobada, originara la creación

de nuevos planteamientos matemáticos con relación a la estabilización del

sistema.

5.2 Limitantes. El término limitantes no se refiere a los factores que

obstaculizan el desarrollo de la investigación, sino a parámetros establecidos por

el investigador para la mejor ejecución del proyecto de investigación. Dichas

limitantes son:

5.2.1 Teórica. Para la ejecución del presente proyecto de investigación, se

aplicarán las teorías científicas que a continuación se indica:

a. Mecánica para Ingenieros, Dinámica. De este libro se utilizara las

técnicas de plantear las ecuaciones de Lagrange-Euler para un sistema de

partículas.

b. Vibraciones. De este libro se utilizara las consideraciones de las

ecuaciones de Lagrange-Euler para el movimiento considerando la energía

cinética del sistema, la energía potencial del sistema, la función de disipación de

Rayleigh y la fuerza generalizada que actúa sobre el elemento de inercia. Con esta

teoría se encontrara las ecuaciones diferenciales del movimiento.

c. Control no lineal aplicado. De este libro se tomara las técnicas de control

por deslizamiento y controlabilidad de sistemas no lineales.

d. Sistemas de control óptimo lineal. De este libro se consideraran las

teorías para encontrar un controlador óptimo.

5.2.2 Temporal. El estudio tiene un cronograma de ejecución de 12 meses.

5.3 Interrogantes. Además de las limitantes establecidas, el planteamiento del

problema se realiza a base de las siguientes interrogantes:

5.3.1 Generales:

¿Cuál es la planta a controlar?

¿Es el sistema no lineal?

¿Qué técnicas de control estabilizaran el proceso?

5.3.2 Especificas

¿Cuáles son las ecuaciones diferenciales del movimiento rotacional?

¿Cuáles son sus ecuaciones de estado?

¿Cuál es la respuesta a una entrada escalón?

¿Cuál es su controlabilidad del sistema?

¿Qué método de control escoger en el caso que el sistema sea no lineal?

¿Cómo determinar el controlador óptimo?

5.4 Objetivos.

5.4.1 Generales. Diseñar controladores utilizando técnicas avanzadas de control

para la estabilización un péndulo invertido rotante.

5.4.2 Específicos.:

a. Modelar la planta

b. Observar su respuesta en el tiempo, ante una señal de prueba

c. diseñar el controlador óptimo

VI. MARCO TEORICO CONCEPTUAL DE REFERENCIA

El péndulo invertido rotante contiene tres enlaces, el primer enlace lo maneja el

motor DC, el segundo enlace es libre en su rotación y el tercer enlace libre para

rotar es no modelado, tal como se muestra en la figura 1.1.

Muchas Universidades poseen un péndulo invertido para demostrar resultados de

control. Dado que nuestra Universidad no cuenta con un Péndulo Invertido

Rotante, por su alto costo, entonces la propuesta del presente trabajo de tesis es el

diseño de controladores avanzados utilizando las técnicas de control óptimo

teniendo como planta un Péndulo Invertido Rotante que se muestra en la figura

1.1.

Figura 1.1: Esquema del péndulo invertido rotante

6.1 Situación actual

Modelos actuales de trabajo con sistemas dinámicos para usar en clase dan tanto

beneficio como demostraciones visuales de sistemas de control, para la

verificación de modelos matemáticos derivados de teorías. Este trabajo propone

un modelo de trabajo con el Péndulo Invertido como una ayuda para mejorar el

interés en dinámicas y sistemas de control dinámico. Un diseño especial

introducido constituye un reto a la aplicación de estas teorías.

Cursos de Dinámica usa el péndulo invertido clásico para ilustrar la cinemática.

Luego de haber modelado el sistema, puede ser usado como un modelo de trabajo

para verificar teorías con mediciones actuales y simulaciones.

Cursos de control elemental pueden usar teoría clásica de control para diseñar un

controlador para el modelo lineal, y para evaluarlo balanceando el péndulo en la

posición recta.

Cursos de control avanzado pueden usar el sistema con todos sus resaltantes

rasgos , como su dinámica altamente no lineal y elementos no lineales fuertes,

para aplicar la teoría de diseño de control avanzado.

Robustez y rasgos de ejecución de diseños de control alternativos pueden ser

verificados. Además de retos como llevar el péndulo a la posición vertical de

posición baja de inicio, y balancear un doble péndulo invertido hay otras dos

posibilidades para aplicar modelos dinámicos y teorías de diseño de control.

6.3 Hipótesis

“Los controladores avanzados tales como el optimo, estabilizan al péndulo

invertido rotante no lineal e inestable.”

6.4 Operacionalización

En el caso del péndulo invertido rotante; es un sistema con dos grados de libertad.

De acuerdo con el diagrama de cuerpo libre de la planta, las variables que actúan

sobre el sistema serán:

Variables independientes (variables de entrada):

El torque rotacional del motor

Variables dependientes (variables de salida):

= posición angular de la varilla 1

= posición angular de la varilla 2

En la figura mostrada se observa la acción de otras fuerzas tales como: la fuerza

gravitacional (peso) de cada varilla, las fuerzas de rozamiento viscoso; pero estas

son funciones de la posición angular; es por ello que la fuerza de entra es el torque

entregado por el motor y las salidas serán las posiciones angulares de las varillas.

VII. DISEÑO DE CONTROLADORES

Diseño del controlador optimo

Diseño del Control Optimo Proporcional Integral con Observador de Estados

VIII. MATERIALES Y METODOS

8.1 De los materiales.

Los materiales que se emplearan en este trabajo de investigación son de consulta,

ejecución e impresión.

8.1.1 De consulta.

Son los libros de Ingeniería aplicada de tipo básico y de tipo avanzado, revistas

con aplicaciones al área de investigación y tesis relacionadas.

8.1.2 De ejecución.

Los materiales de ejecución son:

- Computadora personal de última generación

- Software de simulación: última versión de Matlab

- Lenguaje de programación: última versión de C++.

- Calculadora científica.

8.1.3 De impresión.

Para presentar los resultados de la investigación se utilizara el siguiente material:

- Impresora Epson Stylus Photo R270

- Seis cartuchos de tinta a colores

- Papel bond formato A4, 80gr.

- Material de empaste

- CD para registro de la información.

8.2 De los métodos

Los métodos a aplicar en el presente trabajo de investigación son de tipo generales

y específicos.

8.2.1 Generales

Diseñar los controladores avanzados que estabilizaran a la planta

8.2.2 Específicos

a. Simulación

Durante el proceso de investigación, en forma continua se realizara análisis de las

respuestas que presenta el sistema a controlar. Las simulaciones se verificaran

utilizando el Software Matlab.

b. Matematización

El modelado es el primer paso en el diseño de un lazo de control. Cuanto mayor es

el conocimiento del proceso, mejores son los resultados que obtendremos, ya que el

diseño del control será basado en el modelo. Para conocer la dinámica del sistema,

podemos deducir su comportamiento a partir de las leyes físicas que lo rigen, tales

como: eléctricas, mecánicas, térmicas, etc.,o podemos utilizar técnicas de

identificación de sistemas, que tiene que ver con el problema de construir el modelo

matemático de sistemas dinámicos a partir de la observación de entradas y salidas

del sistema

Detallaremos la obtención del modelo matemático del péndulo invertido

rotante a partir de las leyes físicas que lo gobiernan. Para obtener el modelo

matemático utilizamos las ecuaciones de Lagrange-Euler, que proporcionan dos

ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden no lineales, las que

escribimos como cuatro funciones diferenciales de primer orden no lineales

(ecuaciones de estado). Dado que el modelo obtenido es no lineal, linealizamos el

sistema alrededor del punto de operación (equilibrio del sistema).

IX. PRESUPUESTO

Para la exposición lógica cuantificada de las necesidades económicas en la

ejecución de la presente investigación se requiere del siguiente presupuesto:

DESCRIPCION CANTIDAD PRECIO

UNITARIO

S/.

PARCIAL

S/.

SUBTOTAL

S/.

9.1 Recursos humanos

- Investigador responsable

- Apoyo secretarial

1x12

1x06

1000.00

500.00

10000.00

3000.00 13000.00

9.2 Materiales bibliográfico

- Libros

- Revistas

05

10

200.00

10.00

1000.00

100.00 1100.00

9.3 Útiles de escritorio

- Diskettes

- Papel bond 80 gr.

- Impresora

- Tinta

1 caja

04 paquetes

01

06 unidades

50.00

20.00

500.00

50.00

50.00

80.00

500.00

300.00 930.00

9.4 Servicios

- Internet

- Fotocopiado

- uso de computadora

- Anillados

50 horas

1000 hojas

200 horas

2 unidades

2.00

0.10

0.50

100.00

100.00

100.00

100.00

200.00 500.00

9.5 Viáticos

- Refrigerio investigador

- Refrigerio personal de apoyo

- Movilidad

S/. 20x12 meses

S/. 20x06 meses

S/. 40x12 meses

5.00

5.00

5.00

1200.00

600.00

2400.00 4200.00

TOTAL S/. 19730.00

Nota: En dólares americanos (cambio US$ 1.00 = S/. 3.00 6576.67

X. ESQUEMA DE INVESTIGACION

Se refiere a la estructura del índice o sumario de la Tesis de Maestría, cuya

estructura es la siguiente:

INDICE

- Dedicatoria

- Agradecimiento

- Resumen

- Abstract

- Índice General

- Índice Analítico

- Introducción

CAPITULOS FUERA DE VARIABLES

CAPÍTULO I

MODELADO DEL SISTEMA

Ecuaciones de movimiento del péndulo invertido

Modelo matemático de un motor de corriente continua

Modelo del Sistema en Espacio de Estado

Linealización del sistema

Simulación de la Respuesta del Proceso en Lazo Abierto

CAPÍTULO II

DISCRETIZACION DEL PROCESO

Modelo Discreto del sistema

Simulación de la Respuesta del Modelo Discreto en Lazo Abierto

CAPITULOS DENTRO DE VARIABLES

CAPÍTULO III

DISEÑO DEL OBSERVADOR DE ESTADOS Y DEL CONTROL

OPTIMO CUADRATICO

Introducción al Control Optimo cuadrático en Tiempo Discreto

Diseño del Observador de Estados

Diseño del Sistema de Control Optimo Proporcional

Diseño del Sistema de Control Optimo Proporcional Integral

Simulación del Sistema de Control Optimo Proporcional

Integral con Observador de Estados

CAPÍTULO IV

PROPUESTA DE IMPLEMENTACION

El Hardware del Sistema de Control

El Software del Sistema de Control

CAPÍTULO V

CONCLUSIONES , RECOMENDACIONES Y APORTES

Conclusiones

Recomendaciones

Aportes

BIBLIOGRAFÍA

AGUADO BEHAR, ALBERTO, Identificación y Control Adaptivo, Prentice Hall,

2003.

BALAKUMAR BALACHANDRAN, Vibraciones, Thomson, 2006

DOMINGUEZ, SERGIO, Control en el Espacio de Estado, Prentice Hall, 2002

FERNANDEZ, ANTONIO, Dinámica Clásica, Fondo de Cultura Económica,

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KHALIL, HASSAN, Nonlinear System, Prentice Hall, 2002

KWAKERNAAK, HUIBERT, Linear Optimal Control Systems, Wiley

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MURRAY, R., Ecuaciones Diferenciales, Prentice Hall, 1983.

ROSS, TIMOTHY, Fuzzy Logic with Engineering Applications, McGraw Hill

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SIRA RAMIREZ, HERBERTT, Control de Sistemas No Lineales, Prentice Hall,

2003.

- APENDICES

- ANEXOS

XI. BIBLIOGRAFIA

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