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MATEMÁTICA ENSAYO

Este material es propiedad de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Prohibida su reproducción total o parcial.

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PRUEBA DE MATEMÁTICA

INSTRUCCIONES

1.- Esta prueba consta de 80 preguntas. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con las letras A; B; C; D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2.- Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.

3.- Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se le ha entregado. Complete todos los datos pedidos, de acuerdo con las instrucciones contenidas en esa hoja. Se le dará tiempo para ello antes de comenzar la prueba.

4.- Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito N°2 o portaminas HB.

5.- Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas N°74 a N°80, que se encuentran a continuación de la pregunta N°73. ESTAS INSTRUCCIONES LE FACILITARÁN SUS RESPUESTAS.

6.- No se descontarán del puntaje las preguntas erróneas.

7.- Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportunamente sus respuestas a la hoja, ya que NO habrá tiempo extra para ello. Tenga presente que se considerarán para la evaluación EXCLUSIVAMENTE las respuestas marcadas en dicha hoja.

8.- Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba en ella solamente los datos pedidos y las respuestas.

9.- Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.

10.- Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entreguen los resultados.

11.- A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

12.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

DECLARACIÓN: Estoy en conocimiento de que el presente material es propiedad exclusiva de la Pontificia Universidad Católica de Chile y que está prohibida su reproducción parcial o total.

ENSAYO PSU

Forma MASIVO 215

FIRMA . . –

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INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS 1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar

durante el desarrollo de los ejercicios.

2. Las figuras que aparecen en este ensayo son solo indicativas.

3. Los gráficos que se presentan en este ensayo están dibujados en un

sistema de ejes perpendiculares.

4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al

lanzarlo las caras son equiprobables de salir.

5. En este ensayo, las dos opciones de una moneda son equiprobables de

salir, a menos que se indique lo contrario.

6. Los números complejos i y i− son las soluciones de la ecuación 2x 1 0.+ =

7. Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y z es su

módulo.

8. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que ( )Z ~N 0,1 y donde la

parte sombreada de la figura representa a ( )Z z≤P , entonces se verifica

que:

z ( )Z z≤P

0,67 0,749 0,99 0,839 1,00 0,841 1,15 0,875 1,28 0,900 1,64 0,950 1,96 0,975 2,00 0,977 2,17 0,985 2,32 0,990 2,58 0,995

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SÍMBOLOS MATEMÁTICOS

es menor que es congruente cones mayor que ~ es semejante cones menor o igual a es perpendicular aes mayor o igual a es distinto de

// es paralelo aángulo rectopertenece aángulo

log logaritmo en base 10 trazo ABABvconjunto vacío x

< ≅>≤ ⊥≥ ≠

∈

φ

∢

c

alor absoluto de x

ln logaritmo en base e x! factorial de x

unión de conjuntos intersección de conjuntoscomplemento del conjunto A vector uA u

∪ ∩�

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4

1. ( )−+ =

1

4,2 0,990,6 0,3

A) 223

B) 10 C) 1 D) 70,3 E) 10,3

2. ¿Cuál de las siguientes igualdades es verdadera?

A) =30,1 0,1 B) −= 10,6 6 C) =20,2 0,4 D) − =0,3 0,5 0,2 E) ÷ =0,6 0,3 2

3. Con respecto a un número de tres cifras A, B y C, donde C es la cifra de las centenas, B es la cifra de las decenas y A es la cifra de las unidades, es correcto afirmar que el número

I) es divisible por 3 si A B C+ + es múltiplo de 3. II) es múltiplo de 5 solo si A 5= . III) es divisible por 6 cuando A es un múltiplo de 6.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

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5

4. ¿Cuál es la medida de cada segmento resultante, en metros, si un segmento de 60 km se reparte en 250 partes iguales?

A) 224 10⋅

B) 22,4 10−⋅

C) 40,24 10⋅

D) 22,4 10⋅

E) 1240 10−⋅

5. En el casino del colegio el día lunes, cuando almorzó el primer turno de alumnos (que corresponde a la mitad de los alumnos), sobró solo la

décima parte de la fuente de pollo asado. Entonces los cocineros

decidieron hacer más, esperando que la otra mitad de alumnos pidiera

exactamente lo mismo que el primer turno. De acuerdo a ese cálculo,

¿qué fracción de la fuente pollo deberían agregar para que alcance

justamente para todos, sin faltar ni sobrar comida?

A) 110

B) 210

C) 810

D) 910

E) 1010

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6. Si los números m y n son racionales positivos tales que m < 1 < n,

entonces, ¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) mn puede valer 1.

B) nm es siempre mayor que 1.

C) mn es siempre mayor que 1.

D) mn es siempre menor que 1.

E) m n+ es mayor que 1.

7. Si p y q corresponden a la aproximación a la milésima por redondeo y por truncamiento, respectivamente, del número que resulta de ÷6,1 6 ,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) p – q = 0,01

II) el resultado de p · q tiene 6 cifras decimales.

III) p + q = 2,033

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III

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7

8. Dada la expresión ( )2x4x

m con m y x números enteros distintos de cero,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si =m 4x , entonces la expresión equivale ( ) −2x 14x .

II) Si =

xx

m2, entonces la expresión equivale a ( )x8x .

III) Si ( )−=

2xm 4x , entonces la expresión equivale a ( )4x216x .

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

9. Si los números reales a y b son tales que <a 0b

y <a b , entonces ¿cuál

de las siguientes alternativas es FALSA?

A) <1 0a

B) − >b a 0 C) ⋅ <a b 0

D) >b 0a

E) <−1

0a b

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8

10. El resultado de − +1,439 1,209 0,4 es

I) un número irracional positivo.

II) un número racional menor que 1.

III) igual a 2330.

De ellas, ¿cuál(es) es (son) correcta(s)? A) Solo I B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) Ninguna de ellas es correcta.

11. ( )−

−

23 2 3

5 2 es igual a

A) −5 2

B) +5 2

C) − +5 2

D) ( )− +3 5 2

E) −3

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12. Si pT

q= , con q 0≠ , es un número real, entonces con respecto a T,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) Si p q< , el número T es irracional.

II) Existe un valor p, tal que para cualquier valor de q, T resulta

entero.

III) T puede ser un valor positivo, negativo o cero.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

13. Si a y b son números naturales mayores que 1, con m y t números enteros, entonces la expresión ⋅a bm t2 2 es

A) ⋅ab m t2

B) +ab m t2

C) +ab at bm2

D) +ab m t4

E) at bm m t4+ ⋅

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14. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones de orden es (son) verdadera(s)?

I) 4 18 5< <

II) 1 2

32 5

< <

III) 2 5 7 3 6< <

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

15. Si p plog m log n< , para p, m, n números reales positivos distintos de

cero y p distinto de 1, ¿cuál de las siguientes alternativas es siempre verdadera?

A) Si 1

p2

= , entonces m n< .

B) Si p = 2, entonces ( )plog m n 0⋅ < .

C) Si p = 2, entonces ( )plog n m 0− < .

D) Si 1

p2

= , entonces p

mlog 0

n <

.

E) Si 1

p2

= , entonces plog m 0< .

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16. Siendo i la unidad imaginaria. Si ( )22 3i a bi+ = + . La relación correcta

entre a y b es

A) a b 7+ = B) a b 17− = C) ab 60= D) a b 17+ = −

E) a 3b 2

=

17. Con respecto al número complejo 4 2izp 2i

−=+, siendo p un número real.

Es correcto afirmar que

I) si p 4= , entonces z es número real. II) si p 4= − , entonces z es un imaginario puro. III) si p 0= , entonces z es igual a 1 2i− − .

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) Ninguna de ellas es correcta.

18. Para a b≠ − y a no nulo se tiene que ab 1 b

aa b 2 2a

− + + es igual a

A) ( ) ( )a 1 a b

2a

− +

B) a2

C) 1 b2−

D) ( )2ab

4 a b+

E) ( )

( ) ( )2a 1 b

2 a b a 1

++ +

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19. Con respecto a la expresión que representa un número real, x yy x1 1x y

−

−,

¿cuál de las siguientes alternativas NO es siempre correcta?

A) Si x y 0+ > la expresión es negativa. B) x e y no pueden ser iguales a 0. C) Si xy 0> y x 0< entonces la expresión es positiva.

D) Si su valor es igual a 1, entonces x y 1 1y x x y

− > − .

E) Si 2 2x y 0− = , entonces la expresión es igual a 0.

20. La situación: “La división entre dos números resulta cociente 3 y resto 2, y el mayor excede al menor en 12 unidades”, se puede modelar mediante

A) una ecuación lineal con dos incógnitas. B) un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas. C) una ecuación de segundo grado con una incógnita. D) un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas. E) una inecuación con una incógnita.

21. Se compran 32 cuadernos y 24 gomas de borrar en $ 12.040. Si cada cuaderno cuesta el triple que cada goma, más $ 20. ¿Cuánto cuestan los 32 cuadernos?

A) $ 95 B) $ 305 C) $ 2.280 D) $ 5.320 E) $ 9.760

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22. La cifra d de las decenas de un número excede en 5 a la cifra u de la unidades del mismo número de dos cifras. Si el número se divide por la suma de sus dígitos, resulta 8. ¿Cuál de las siguientes alternativas presenta dos ecuaciones que permiten calcular el número?

A) d u 5− = y 10d u

8d u

+ =+

B) d u 5= + y du

8d u

=+

C) u d 5= + y du

810d u

=+

D) u d 5+ = − y 10d u

8du

+ =

E) u d 5− = − y d u

8du+ =

23. En la ecuación cuadrática 2

14 x 1 a

2 + = −

, con a un número real,

¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre correcta(s)?

I) Si a 1≤ una de sus raíces es positiva y la otra es negativa.

II) Si a 1> el discriminante de la ecuación es positivo.

III) Si a 1≠ la ecuación tiene raíces reales y distintas.

A) Solo II

B) Solo I y II

C) Solo II y III

D) I, II y III

E) Ninguna de ellas.

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24. Se definen los intervalos P a,b= , Q b,c= y R b,d= . Si con

ellos se quiere representar el intervalo mostrado en la figura adjunta, entonces éste se puede expresar como

A) { }P R b,d∪ ∪

B) { } { }P Q d a∪ ∪ −

C) { } { }P R b,d a∪ ∪ −

D) P Q R∪ ∩

E) { }P Q R d∪ ∪ ∪

25. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema de inecuaciones adjunto?

A) 1

x / x 33

∈ < <

ℝ

B) 1

x / x 13

∈ < ≤

ℝ

C) { }x / 1 x 3∈ ≤ <ℝ

D) 1

x / x 13

∈ < <

ℝ

E) φ

26. El conjunto de los números reales que están a más de 4 unidades de distancia de 6− y que no son mayores que 2, corresponde a

A) , 6 4 4 6, 2 −∞ − − ∪ −

B) { }6 4, 4 6 2 − − − ∪

C) , 2−∞

D) , 6 4 −∞ − −

E) , 6 4 4 6, 2 −∞ − − ∪ −

2x 1 3x 2 2x 11 3x 0

+ ≤+ > −

− <

|

a|

b|

c|

d

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27. Si en un rectángulo su ancho 2x es menor en 1 unidad que su largo, entonces ¿cuánto debe valer x para que su perímetro sea menor que 20 unidades, pero valga al menos 4 unidades?

A) 1 9x

4 4≤ <

B) 1 9x

4 4< <

C) 9

x4

<

D) 1x

2≤

E) 1 9x

2 2≤ <

28. Sean p, q y r tres funciones tales que ( ) 1p x

x= , para x distinto de cero,

( )q x 1 x= − , para x menor o igual que 1, y ( ) 3, para x 0r x

x, para x 0− <

= − ≥.

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ( )( )p r x está definida para todos los números reales.

II) ( )( )q r x es distinto de cero para cualquier valor real de x.

III) ( )( ) ( )( )1

p q 5q p 5

− =−

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III

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29. Un romboide de altura x, con base 5 cm mayor que su altura, tiene un área que aumentada en tres unidades equivale a la de un rectángulo, cuyo largo es el triple de la altura del romboide, pero cuyo ancho es 6 cm menos que la altura del romboide. Esta situación se puede describir mediante la ecuación

A) 24x 13x 3 0− − = B) 22x 14x 0− = C) 22x 23x 3 0− − = D) 24x 18x 2 0− + = E) 22x 18x 2 0− − =

30. Durante un evento, el estacionamiento habilitado contenía 900 automóviles. Al terminar el evento los automóviles comenzaron a salir a razón de 5 autos cada 40 segundos. ¿Cuál es la función que representa el número de automóviles que quedan en el estacionamiento a los x minutos desde que comenzaron a salir?

A) ( )A x 900x 5 60x= + ⋅

B) ( )A x 5x 900= −

C) ( )A x 900 8x= −

D) ( )A x 900 7,5x= −

E) ( )A x 900 5 40x= − ⋅

31. ¿Cuál de las siguientes funciones intersecta al eje y?

A) ( )f x x 3 2= − +

B) ( )g x 5 x 1= − − −

C) ( )h x 4 x 1= − − −

D) ( )r x 4 x= − −

E) ( )s x x 6 10= − − +

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32. Dada una función lineal f, con dominio los números reales, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) La expresión ( )f x

x resulta un valor constante, para todo valor

real de x.

II) Si ( )f m n= y ( )f p q= , entonces m np q

= , para valores m, n, p

y q reales distintos de cero.

III) Para f la imagen de cero es cero.

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

33. Para la función ( ) 6f x kx= , con k un número real distinto de cero, ¿cuál

de las siguientes alternativas es siempre verdadera?

A) La imagen de 1 es 1. B) Su gráfica está en los cuadrantes I y II del plano cartesiano. C) Su dominio son los números reales.

D) Para todo su dominio ( ) ( )6 6f x 1 k x 1+ = + .

E) Si k < 0, entonces su recorrido son los números reales negativos.

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34. ¿Cuál debe ser el valor de m para que la función ( ) 2f x mx 4x= − tenga

su máximo valor en x 10= − ?

A) 25

B) 25

−

C) 0

D) 15

E) 15

−

35. Sea la función ( ) ( )9f x log cx 7= − , para la cual se cumple que ( ) 1f 5

2= .

¿Cuál es la preimagen de 1 según f?

A) 8

B) 2

C) 1

D) 45

E) 20

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36. El cuadrilátero ABCD se compone por cuatro triángulos rectángulos como lo indica la figura adjunta, de tal manera que BEC DEC∆ ≅ ∆ y BEA DEA∆ ≅ ∆ . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) Si BA BC≠ , entonces ABCD es un deltoide.

II) Si BEC BEA∆ ≅ ∆ , entonces ABCD es un cuadrado.

III) Si DEC DEA∆ ≅ ∆ , entonces ABCD es un rombo.

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo I y III

E) Solo II y III

37. Los extremos de un trazo AB son los puntos ( )5,0 y ( )3,2

respectivamente, de tal manera que M es su punto medio. Los extremos de un trazo CD son los puntos ( )4,9 y ( )8,7

respectivamente, de tal manera que N es su punto medio. ¿Cuál es el vector traslación que logra que M sea la imagen de N?

A) ( )2, 7− −

B) ( )7,2

C) ( )2,2

D) ( )4, 2− −

E) ( )1, 7− −

A

B

C

D E

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38. El triángulo ABC es rectángulo en C. Sea un punto D cualquiera sobre AB . ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) Si D es punto medio de AB , entonces CD AD DB= = .

B) Si CD es bisectriz del ángulo ACB, entonces los triángulos ADC y BDC son rectángulos en D.

C) Los ángulos BAC y CBD son complementarios.

D) Si CD es simetral de la hipotenusa AB , los triángulos CDB y CDA son isósceles rectángulos congruentes entre sí.

E) Si CD es altura, entonces ésta es la menor de las tres alturas del triángulo ABC.

39. ¿Cuál de los siguientes valores podría tomar p de tal manera que el vector

1u p ,2p 3

2 = + +

� sea unitario?

A) 32

−

B) 1110

C) 32

D) 136

−

E) 11 1

76 3

− −

A

B

C

D

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40. Se tiene un triángulo ABC cuyos vértices tienen por coordenadas ( )A 6, 2− − , ( )B 2,2− y ( )C 5,5− , y el triángulo A 'B 'C ' es su imagen

luego de una reflexión con respecto al eje y, de tal manera que A ' , B' y C ' son las imágenes de A, B y C, respectivamente. ¿Cuáles son las coordenadas en que la recta BB ' intersecta a A'C'?

A) 20

0,11

B) ( )0,40

C) ( )3,1

D) 38,2

7 −

E) 38,2

7

41. Las rectas paralelas 1 2L y L son intersectadas por las transversales 3L

y 4L en los puntos A, B, C y D, como en la figura, las cuales se cortan en E. ¿Cuál es la longitud del segmento CD?

A) 2cm

7

B) 4cm

7

C) 9cm

7

D) 5cm

3

E) 2cm

3

C

A

E

B

D

1L

2L

3L4L

8 cm

10 cm

2x

x 1+

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42. La distancia entre una ciudad S y una ciudad P es de 130 km. Un tren interurbano realiza un recorrido lineal entre ambas ciudades, pero siempre se detiene en un pueblo intermedio R. Si la distancia entre S y R es mayor que la distancia entre R y P, y la ubicación del pueblo intermedio divide a la distancia entre las ciudades terminales en la razón 5 : 3 , ¿cuántos kilómetros más recorre el tren, yendo de S a R

que de R a P?

A) 81,25 km

B) 48,75 km

C) 32,5 km

D) 16,25 km

E) 8 km

43. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre correcta(s)?

I) Cuatro segmentos de largo 4 cm forman un polígono siempre semejante a otro formado por cuatro segmentos de largo 8 cm.

II) Tres segmentos de largo 5 cm forman un polígono siempre semejante a aquél formado por tres segmentos de largo 9 cm.

III) Un triángulo rectángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm es siempre semejante a un triángulo rectángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

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44. En la circunferencia de centro O y diámetro AB , C es un punto de ella. Se extiende el diámetro hasta P y desde P se traza una recta tangente a la circunferencia en T, como se indica en la figura adjunta. Si AP 3 cm= y PT 14 cm= , ¿cuánto mide el segmento OC?

A) 149

B) 73

C) 53

D) 56

E) 146

45. En la figura adjunta, los rectángulos ABCD y BEFG son congruentes de tal manera que AB 1 5 cm= + y GF 2 cm= . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ( )( )

Área CFG 2

Área ACD 3 5

∆=

∆ +

II) A, C y F son colineales. III) ABC ~ FGC∆ ∆


|

O

T

PAB

C

A B E

FG

CD

1 5 cm+

2 cm

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46. En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, tal que el ángulo CBA mide 58°. ¿Cuál es la medida del ángulo BDC?

A) 64°

B) 32°

C) 116°

D) 58°

E) 90°

47. En un triángulo ABC rectángulo en C y de altura CD h= se cumple que

el cateto mayor AC mide a y su proyección sobre la hipotenusa es

igual a p. El otro cateto BC mide b y su proyección sobre la hipotenusa

es q. ¿Cuál de las siguientes relaciones es siempre verdadera?

A) ( )2 2p h a+ =

B) h pq=

C) a qb p

=

D) ( )ab p q h= + ⋅

E) ( )2b p p q= +

A

B

C

D

O|

58°

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48. ABC ~ DEF∆ ∆ , de tal manera que AB es el lado homólogo de DE y BC es el lado homólogo de EF . ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) CAB FDE=∢ ∢

B) ( )( )

Perímetro DEF DEPerímetro ABC AB

∆=

∆

C) ACB DFE=∢ ∢

D) ( )( )

Área ABC CAFDÁrea DEF

∆=

∆

E) CA BAFD ED

=

49. Sea 1L :ax by c 0+ + = una recta cualquiera con a, b y c números reales y los coeficientes a y b no nulos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) ax by d 0+ + = (con d un número real) es una recta con igual

pendiente que 1L .

II) bx ay e 0− + = (con e un número real) es una recta

perpendicular a 1L .

III) La recta 1L intersecta al eje de las abscisas en el punto

c,0a

−

.


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50. ¿A cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones corresponde la solución gráfica de la figura?

A) 3

y2

2x 3y 1

= −

− =

B) x 3y 2

= −=

C)

2y x 433

y x2

= +

= −

D)

2y x 4

33

y x2

= − +

=

E) 3

y x 62

x 3

= +

= −

51. El área del triángulo ABC que tiene coordenadas ( )A 1, 1− , ( )B 1, 5− y

( )C 5,2 , es

A) 8 B) 16

C) 65

D) 2 65

E) 3 412

–6

2

–3

4

y

x –3

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27

52. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( )P 1,1,3 y

( )Q 3,4,2 ?

A) x 1 y 1 z 32 3 1+ + += =

−

B) x 1 y 1 z 32 3 1− − −= =

−

C) x 1 y 1 z 33 4 2− − −= =

D) x 2 y 3 z 11 1 3− − += =

E) x 1 y 1 z 31 1 3− − −= =

53. Un semicírculo de perímetro 16 8+ π unidades se rota indefinidamente en torno a su diámetro. ¿Cuál es la diferencia positiva entre ese volumen y el que se obtendría al trasladar el semicírculo perpendicularmente al plano que lo contiene, en 8 unidades?

A) 358

6⋅ π

B) 318

2⋅ π

C) 318

3⋅ π

D) 318

6⋅ π

E) 3138

12⋅ π

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28

54. Dados los vectores ( )A 2, 3, 2− − −��

y ( )B 1,1, 2−��

, ¿cuál de las siguientes

afirmaciones es FALSA?

A) ( )A B 3, 4,0− = − −��

B) ( )B A 3,4,0− =��

C) El vector ( )3,4,0 corresponde a la dirección de la recta que pasa

por los puntos A�� y B��.

D) La ecuación de la recta AB podría escribirse como

( ) ( ) ( )r t 1,1, 2 t 3, 4,0= − + ⋅�

, con t un número real distinto de cero.

E) La ecuación de la recta que pasa por A�� y B��, pasa también por el

origen.

55. ¿En cuál de las siguientes encuestas es posible formar una tabla de frecuencias y así, calcular todas las medidas de tendencia central básicas, es decir, media aritmética, moda y mediana?

I) Se pregunta a los trabajadores de una empresa, cuál es su

cargo en ella.

II) Se pregunta a un grupo de estudiantes cuántas veces han

viajado en locomoción colectiva en la última semana.

III) Se pregunta a un grupo de médicos, cuál es su especialidad

médica.

A) Solo en I

B) Solo en II

C) Solo en III

D) Solo en II y en III

E) En ninguna de ellas

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29

56. La tabla adjunta muestra la marca de clase de 4 intervalos de amplitud 2 y sus respectivas frecuencias relativas correspondientes a un total de 30 datos. ¿Cuál(es) de las siguientes gráficas se puede(n) desprender de manera correcta de los datos de la tabla dada?

A) Solo II B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

Marca Frecuenciade clase Relativa11 0,213 0,0615 0,417 0,3

|

10|

12|

14|

16|

18

0,6 −

2 −3 −

4 −

FrecuenciaAbsoluta

horas

I)

|

10|

12|

14|

16|

18

6 −

2 −

12 −

10 −

Frecuencia

Absoluta

horas

II)

FrecuenciaAbsolutaAcumulada

|

10|

12|

14|

16|

18

8 −

6 −

30 −

20 −

horas

III)

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30

57. Si de una población se pueden extraer 45 muestras de 2 elementos, sin orden ni reemplazo. Entonces, el tamaño de la población es de

A) 40 B) 15 C) 17 D) 10 E) 9

58. Sean P y Q dos muestras de datos cuantitativos. P tiene todos sus datos exactamente iguales, mientras que Q tiene todos sus datos distintos y tiene al menos dos datos. Con respecto a ellas, se afirma que

I) La varianza de Q es mayor que la varianza de P. II) El percentil 90 de Q es mayor que el percentil 90 de P. III) La desviación estándar de ambas muestras podrían ser

iguales.

De tales afirmaciones, es (son) verdaderas

A) solo I. B) solo I y II. C) solo I y III. D) solo II y III. E) I, II y III.

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31

59. En una lista de 10 datos ordenados en forma creciente, los tres valores menores tienen una media aritmética A, los cuatro valores siguientes tienen una media B y el resto tiene media C. ¿Cuál es la media aritmética de la lista completa?

A) A B C3

+ +

B) 3A 4B 3C3

+ +

C) 3A 4B 3C10

+ +

D)

A B C3 4 310

+ +

E) A B C10

+ +

60. En el siguiente cuadro se presentan las notas de matemática de tres alumnos de un curso.

Carla 5 5 5 5 5 5

Ángela 3 5 5 5 5 7

Pedro 3 3 3 7 7 7

¿Cuál de las alternativas es FALSA?

A) El rango es mayor para Pedro que para Ángela.

B) Las medianas de Pedro y Ángela son iguales.

C) Pedro y Carla tienen iguales medias aritméticas.

D) La desviación estándar es mayor para Ángela que para Carla.

E) Carla y Ángela tienen las mismas modas.

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32

61. Una variable se midió en dos grupos A y D, obteniéndose tres registros para cada uno, como en la siguiente tabla. Si ambos tienen iguales medias aritméticas, pero A tiene mayor desviación estándar que D, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Si c – b = b – a y f – e = e – d, entonces b = e. II) La mediana de A es mayor que la de D. III) Podría ser que el rango de D fuese mayor que el de A.

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III

62. De acuerdo a la siguiente tabla de datos, ¿cuál de las alternativas es FALSA?

A) El primer cuartil es 3.000.

B) El percentil 1 es 2.000.

C) El segundo cuartil es 4.000.

D) El sexto decil es 5.000.

E) El percentil 30 es 6.000.

A a b c D d e f

xi Frecuencia Absoluta

2.000 5

3.000 25

4.000 25

5.000 15

6.000 30

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63. En un curso de pintura el 60% de los alumnos son adultos y el resto son niños. Si de los niños el 90% es diestro y el resto zurdo, y de estos

últimos el 40% debe usar anteojos para pintar, ¿cuál es la probabilidad

de que al elegir un alumno al azar, éste sea niño, zurdo y que use

anteojos para pintar?

A) 1,6%

B) 2,4%

C) 3,6%

D) 16%

E) 24%

64. En un club de campo se realiza un campeonato de dobles en tenis cuyas parejas participantes provienen de dos grupos. En el grupo A

hay 6 jugadores y en el grupo B hay 4 jugadores. ¿Cuántos partidos

podrían jugarse en el campeonato si siempre una pareja debe

pertenecer al grupo A y la otra pareja al grupo B?

A) 10

B) 24

C) 90

D) 180

E) 240

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65. Al lanzar una moneda, la probabilidad de obtener cara es igual a p. Sabiendo que en la moneda solo puede salir cara o sello, ¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) La probabilidad de que salga sello es igual a 1 p− .

B) Si se lanza 3 veces, la probabilidad de obtener cara en los tres

lanzamientos es igual a 3p .

C) Si p 0,5= , entonces la moneda no está cargada.

D) Si se lanza al aire 7 veces, la probabilidad de que salga cara las 7

veces es 7p .

E) Si se lanza al aire 2 veces, independientemente del valor de p,

siempre la probabilidad de obtener una cara y un sello, es la

misma que obtener un sello y una cara.

66. La cantidad de veces que una persona va al cine anualmente se modela por medio de una distribución normal de media µ y de varianza 25. Se

toma una muestra aleatoria de 25 personas y se obtiene una media de

30 veces al año. Si el límite inferior del intervalo de confianza asociado

a la media poblacional µ es 27,68, ¿cuál es el nivel de confianza de tal

intervalo?

A) 99%

B) 98%

C) 97%

D) 95%

E) 90%

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67. Un laboratorio clínico está estudiando un nuevo virus que ingresó a nuestro país a través de un cargamento de frutas contaminadas. El

virus, sin ser mortal para el ser humano, causa molestias estomacales

y cefaleas constantes en los contagiados. Una empresa consultora

estadística fue la encargada de analizar los datos que se obtuvieron en

el laboratorio; y se determinó que la cantidad de contagiados con el

virus se rige por una distribución normal de media 15 y de varianza

100. Con estos datos, el laboratorio tomó las respectivas medidas y

masificó en los respectivos centros asistenciales el medicamento para

el virus. De acuerdo a tales datos, antes de la aplicación del

medicamento, ¿cuál es la probabilidad que la cantidad de contagiados

con el virus sea mayor que 21,7?

A) 0,749

B) 0,67

C) 0,251

D) 0,95

E) 0,0816

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68. De acuerdo a la Ley de los Grandes Números se realizan las siguientes afirmaciones.

I) Si un evento se repite una gran cantidad de veces, entonces

las probabilidades muestrales serán mayores a las

probabilidades teóricas.

II) Si un evento se repite un gran número de veces, entonces no

es posible afirmar que las frecuencias muestrales coincidan

exactamente con las probabilidades teóricas.

III) Si un evento se realiza un número elevado de veces, las

frecuencias muestrales irán acercándose a las probabilidades

teóricas conforme aumente el número de repeticiones del

experimento.

De ellas, es (son) siempre verdadera(s)

A) solo I.

B) solo III.

C) solo I y II.

D) solo I y III.

E) solo II y III.

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69. Un cajón contiene 5 frutas, todas del mismo tamaño, peso y forma. Dos de ellas están en mal estado y por lo tanto no son aptas para el

consumo y tres de ellas están aptas para el consumo. De una cierta

cantidad de extracciones al azar, se define la variable aleatoria X como

la cantidad de frutas obtenidas aptas para el consumo. ¿Cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si se extraen 2 frutas entonces los valores que puede tomar

la variable X son 1 y 2.

II) Si se extraen 3 frutas al azar, los posibles valores que puede

tomar la variable aleatoria son 1, 2 y 3.

III) Si se extraen 4 frutas, entonces los posibles valores de X son

0, 1, 2, 3 y 4.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

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70. Si los eventos consecutivos A y B son independientes, y los eventos C y D de un espacio muestral son mutuamente excluyentes. ¿Cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) ( ) ( )A |B A=P P

B) ( ) ( ) ( )C D C D∪ = +P P P

C) ( ) ( ) ( )( )B

B| A A |BA

= ⋅P

P PP

D) ( ) ( ) ( )A y B A B= ⋅P P P

E) ( ) ( ) ( )C D C D∩ = ⋅P P P .

71. Un policía está en la carretera controlando dos tipos de infracciones de manera independiente. De tal manera que se determina que el 5% de los partes cursados son por exceso de velocidad y un 8% de ellos son cursados por conducir sin luces encendidas. ¿Cuál es la probabilidad de que, luego de haber controlado a 10 autos, 7 de ellos hayan incurrido en una de las dos faltas anteriores?

A) ( ) ( )3 7100,126 0,874

7

B) ( )770,126

3

C) ( ) ( )7 3100,126 0,874

7

D) ( ) ( )10 3100,126 0,874

3

E) ( ) ( )3 1070,126 0,874

3

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72. Se realiza una cierta cantidad de veces un experimento que solo tiene dos resultados posibles. Sea X la variable aleatoria que cuenta el número de éxitos obtenidos. Se asigna el valor p a la probabilidad de que el experimento resulte exitoso, pero a aquel no exitoso se le asigna probabilidad 1 p− . ¿Cuál de las siguientes alternativas es

siempre verdadera?

A) Al realizar el experimento una vez ( ) ( )X 1 X 0= = =P P .

B) Al realizar el experimento dos veces, ( )X 2 2p= =P .

C) Al realizar el experimento dos veces, ( )X 1 p= =P .

D) Al realizar el experimento 3 veces, si 1

p5

= , entonces

( )X 0 0= =P .

E) Al realizar el experimento una vez, si ( ) 5X 0

6= =P , entonces

( ) 1X 1

6= =P .

73. Una variable aleatoria X cuyo soporte corresponde al conjunto { }0,1,2

tiene por función de distribución acumulada a los datos de la tabla adjunta. ¿Cuál es la esperanza de X?

A) 176

B) 23

C) 16

D) 3 E) 1

( )X X x

1025

16

2 1

≤P

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EVALUACIÓN DE SUFICIENCIA DE DATOS INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS N°74 A LA N°80

En las siguientes preguntas no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se pueda llegar a la solución del problema. Es así, que se deberá marcar la opción: A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es, B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes para

responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente, D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder

la pregunta, E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes

para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

Ejemplo: Se puede determinar el monto total de una deuda, en términos de P y Q, si se

sabe que

(1) La cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. (2) La cuota mínima a pagar es de $ Q.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

En la información (1) se tiene que la cuota mínima a pagar es del P% de la deuda. Si

x representa el monto total de dicha deuda, entonces este porcentaje queda expresado por Px100

, el cual no permite determinar el monto total de la deuda.

Con la afirmación (2) se conoce la cuota mínima a pagar, que es de $ Q, pero esta

información por sí sola es insuficiente para determinar el monto total de la deuda.

Ahora, si se juntan los datos entregados en (1) y en (2) se tiene que Px

Q100

= , luego

esta ecuación permite determinar el monto total de la deuda. Por lo tanto, se debe marcar la opción C), Ambas juntas, (1) y (2).

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74. Se puede determinar si un número aNb

= , con a y b números reales,

es entero positivo si:

(1) a b 0⋅ > y b 0≠ .

(2) b es divisor de a.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)

E) Se requiere información adicional

75. Sabiendo que a y b son números reales, se puede afirmar que a b a b+ ≥ ⋅ , si se sabe que:

(1) a 0≥ y b 1=

(2) a b≠

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




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76. Se puede determinar cuál es el dominio de la función ( ) ( )nf x a x h k= − + , con a, h, n y k números reales, si se sabe que:

(1) k 2= y a 0> .

(2) n es un número impar mayor que 3.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




77. Se puede afirmar que el triángulo ABC es rectángulo si se sabe que:

(1) Sus lados miden 21 cm, 28 cm y 35 cm.

(2) La suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus

lados menores es equivalente al área del cuadrado construido

sobre el tercer lado.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




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43

78. En la figura, P, Q y R son rectas que se intersectan en O. Se puede determinar la medida del ángulo α si:

(1) Se conoce el valor de β + δ .

(2) Los ángulos α y δ son

congruentes.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




79. Se puede determinar el valor de la moda de una muestra de datos si se sabe que:

(1) La desviación estándar de la muestra es 0.

(2) La media aritmética de la muestra es igual a 2.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




αβ

δ

P

Q

R

O

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80. Se puede determinar el número de fichas blancas que tiene una caja de 30 fichas si se sabe que:

(1) La probabilidad de escoger una ficha roja es 23.

(2) La probabilidad de escoger una ficha azul es 16.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




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