Predicción del Ibex 35 con un modelo estocástico de salto de ...

Prediccion del Ibex 35 con un modelo

estocastico de salto de Poisson compuesto

Trabajo Fin de MasterMaster en Direccion Financiera y Fiscal

Presentado por: Oscar Monzo Chafer

Profesores tutores: Dr. Juan Carlos Cortes Lopez

Dra. Ana Marıa Debon Aucejo

Universitat Politecnica de Valencia, febrero 2014

Facultad de Administracion y Direccion de Empresas

Indice

Indice de Tablas 7

Indice de Figuras 10

1 Resumen del Trabajo 11

2 Objeto del Trabajo Fin de Master y justificacion de las asig-naturas relacionadas 15

3 Objetivos del Trabajo 17

4 Antecedentes. Evolucion historica, situacion actual y fun-cionamiento del Ibex 35 21

4.1 Evolucion historica y composicion del Ibex 35 . . . . . . . . . . 22

4.2 Calculo del Ibex 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Necesidad de prediccion del Ibex 35 . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Analisis tecnico bursatil como metodo de prediccion . . . . . . 26

5 Formulacion del modelo econometrico. Regresion no lineal yajuste por mınimos cuadrados 29

5.1 Modelizacion econometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.1 Formulacion del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.2 Hipotesis del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3

Indice

5.1.3 Estimacion de parametros del modelo y de la varianza dela perturbacion. Mınimos Cuadrados Ordinarios (MCO) 33

5.1.4 Intervalos de confianza de los parametros y de la varianzade la perturbacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1.5 Coeficiente de determinacion y coeficiente de determi-nacion corregido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5.1.6 Contraste de hipotesis sobre los parametros del modelomediante la utilizacion del estadıstico F . . . . . . . . . 37

5.1.7 Prediccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Diagnosis y validacion del modelo de regresion . . . . . . . . . 42

5.3 Descripcion de los analisis estadısticos utilizados . . . . . . . . 46

5.3.1 Regresion no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3.2 Ajuste de funciones no lineales en R . . . . . . . . . . . 48

5.3.3 Tecnicas de suavizado de datos . . . . . . . . . . . . . . 49

6 El modelo ARIMA. Analisis y descripcion de series tempo-rales 53

6.1 Introduccion e ideas basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.2 Series temporales univariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2.1 Modelo clasico de descripcion de series temporales . . . 55

6.2.2 Procesos estocasticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.2.3 Procesos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.4 Procesos integrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.3 Analisis y prediccion de series temporales univariantes. MetodologıaBox-Jenkins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3.1 Modelos para procesos estacionarios . . . . . . . . . . . 68

6.3.2 Modelos para procesos integrados . . . . . . . . . . . . . 72

6.3.3 Metodologıa de Box-Jenkins . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.4 Identificacion y prediccion del modelo ARIMA . . . . . . . . . 73

6.4.1 Identificacion de la estructura no estacionaria . . . . . . 74

6.4.2 Identificacion de la estructura ARMA . . . . . . . . . . 74

6.4.3 Estimacion del modelo ARIMA . . . . . . . . . . . . . . 75

6.4.4 Prediccion automatica. El paquete de prediccion para R 75

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Indice

6.5 Validacion del modelo ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.5.1 Contrastes sobre los parametros . . . . . . . . . . . . . 79

6.5.2 Contrastes sobre el error . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.5.3 Contrastes sobre el modelo. Reformulacion y sobreajuste 81

7 Prediccion del Ibex 35 con un modelo estocastico de salto dePoisson compuesto 83

7.1 Introduccion. Seleccion y correcciones sobre la serie de datos . 84

7.1.1 La serie de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

7.1.2 Ajustes realizados sobre la serie de datos . . . . . . . . . 88

7.1.3 Descripcion estadıstica de la serie de datos corregida . . 92

7.1.4 Descomposicion detallada de la serie de datos corregida 95

7.2 Elaboracion del modelo del Ibex 35 . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.2.1 Ajuste del modelo del Ibex 35. Parte determinista . . . 98

7.2.2 Modelo ARIMA para la componente irregular. Partealeatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.3 Validacion del modelo del Ibex 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.3.1 Contrastes sobre los parametros . . . . . . . . . . . . . 106

7.3.2 Contrastes sobre el error . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7.4 Modelo para los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.5 Validacion total del modelo del Ibex 35 . . . . . . . . . . . . . 118

7.6 Predicciones con el modelo. Aplicacion de tecnica Monte Carlo 121

8 Conclusiones. Propuestas de actuacion 125

Bibliografıa 129

5

Indice de Tablas

5.1 Modelo de tabla ANOVA para el analisis de la varianza . . . . 39

6.1 Similitudes y diferencias en la FAS y la FAP de los modelosAR(p), MA(q) y ARMA(p,q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.2 Medidas de bondad del ajuste obtenidas con el modelo ARIMA 78

7.1 Parametros principales de la serie de datos corregida . . . . . . 93

7.2 Resultados del ajuste del modelo tendencia-ciclo . . . . . . . . 100

7.3 Resultados del ajuste del modelo estacional . . . . . . . . . . . 104

7.4 Resultados del ajuste del modelo ARIMA (1,0,2) . . . . . . . . 106

7.5 Ajuste del cuadrado de los residuos frente al tiempo . . . . . . 109

7.6 Ajuste del cuadrado de los residuos frente a la variable observada109

7.7 Resumen del proceso de filtrado de los residuos . . . . . . . . . 114

7.8 Datos descriptivos de los saltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.9 Medidas de bondad del ajuste del modelo con logaritmos . . . . 121

7.10 Medidas de bondad del ajuste del modelo mediante tecnicaMonte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.11 Medidas de bondad del ajuste de la prediccion a 9 meses medi-ante tecnica Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

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Indice de Figuras

5.1 Ejemplo de papel probabilıstico normal . . . . . . . . . . . . . 43

5.2 Ejemplo de salida en pantalla de analisis tsdiag de un modelocorrectamente especificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3 Salida de pantalla del analisis stl . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.4 Ejemplo de suavizado loess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.1 Ejemplo de proceso con tendencia creciente . . . . . . . . . . . 57

6.2 Ejemplo de proceso con variaciones cıclicas . . . . . . . . . . . 58

6.3 Ejemplo de proceso con estacionalidad . . . . . . . . . . . . . . 59

6.4 Ejemplo de proceso con comportamiento irregular . . . . . . . 60

6.5 Realizaciones de la variable Zt y distribucion en cada instantede tiempo t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.6 Relacion entre los valores de un proceso estacionario . . . . . . 65

6.7 Diferenciacion de un proceso no estacionario . . . . . . . . . . . 66

6.8 FAS de una serie con tendencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.9 Relacion entre valores de un AR (1) . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.10 Relacion entre valores de un AR (2) . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.1 Evolucion del Ibex 35 desde el 1 de enero de 1998 al 31 dediciembre de 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.2 Rentabilidad promedio historica de los dıas de la semana . . . . 88

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Indice de Figuras

7.3 Grafico Box-Whisker del logaritmo de los datos . . . . . . . . . 90

7.4 Logaritmo de los datos semanales corregidos desde el 1 de enerode 1998 hasta el 31 de diciembre de 2012 . . . . . . . . . . . . . 91

7.5 Histograma de los datos del Ibex 35 . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.6 Histograma del logaritmo de los datos del Ibex 35 . . . . . . . . 94

7.7 Descomposicion de la serie completa del Ibex 35 (1998-2012) . 97

7.8 Ajuste del modelo tendencia-ciclo a los datos corregidos . . . . 101

7.9 Serie de datos corregidos sin tendencia ni ciclo . . . . . . . . . 101

7.10 Ajuste del modelo estacional anual . . . . . . . . . . . . . . . . 103

7.11 Serie descontada de tendencia, ciclo y estacionalidad anual . . . 103

7.12 FAS y FAP de la componente irregular . . . . . . . . . . . . . . 105

7.13 Residuos frente a la variable (a) y frente al tiempo (b) . . . . . 108

7.14 Resultados del analisis tsdiag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7.15 Grafico Q-Q de normalidad de los residuos estandarizados . . . 111

7.16 Serie de residuos del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.17 Histograma de los residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7.18 Histograma de los residuos filtrados . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.19 Histograma de los saltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.20 Histograma de los saltos negativos (a) y positivos (b) . . . . . . 116

7.21 Ajuste del modelo completo del Ibex 35 descompuesto en partedeterminista y la suma de la parte determinista y la estocastica 119

7.22 Ajuste del modelo completo del Ibex 35 . . . . . . . . . . . . . 120

7.23 Histograma de los residuos del modelo del Ibex 35 . . . . . . . 120

7.24 Ajuste del modelo completo al logaritmo del Ibex 35 y predicciona 9 meses mediante tecnica Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . 122

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Capıtulo 1

Resumen del Trabajo

El Ibex 35 es el principal ındice de referencia del mercado bursatil espanol,compuesto por las 35 empresas cotizadas con mas liquidez de nuestra economıa.Su valor es un reflejo de la situacion economica del paıs y de la perspectivaque tienen los inversores de la misma. Por este hecho, estudiar su evolucion ytratar de predecir su valor futuro es de gran interes economico, especialmenteen el entorno actual en el que los mercados son altamente volatiles y se manejagran cantidad de informacion.

El mercado bursatil tiene una serie de particularidades que lo definen y locaracterizan. En este mercado se negocian valores de las empresas cotizadaspor los miembros del mercado, bien sea por cuenta propia o por orden desus clientes. Mediante esta negociacion, basandose en la ley de la oferta yla demanda se establece el precio de mercado. Este precio es el de la ultimatransaccion realizada, que es el punto en el que el precio de demanda y ofertahan coincidido y se ha producido el intercambio de valores. Esto conlleva quesiempre exista una contraparte con la que se produce el intercambio, no setrata de un “almacen” ficticio donde se cogen o dejan tıtulos. Por ello mismoinfluye notablemente la psicologıa de masas y las grandes corporaciones, y poreste y multiples motivos, la bolsa sigue al ciclo economico siempre de formaanticipada. En los proximos capıtulos se trataran con mas detalle estos puntos.

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Capıtulo 1 Modelo de prediccion del Ibex 35

Ası pues, para controlar de mejor forma los riesgos y poder prever de formageneral el comportamiento de los precios en cualquier mercado se hace nece-sario elaborar modelos matematicos y estadısticos, que ayuden a las usuariosen la toma de decisiones en ambientes de incertidumbre, como es el caso delmercado bursatil. Si bien, en economıa la toma de decisiones ha estado fre-cuentemente influida por la experiencia de los agentes de un mercado o porlas opiniones de expertos (las denominadas tecnicas cualitativas). Es por elloque cada vez se hace mas necesaria la aplicacion de tecnicas multidisciplinaresde distinta ındole de forma que las empresas tengan una vision global y deconjunto de los problemas y retos a los que se enfrentan.

Las tecnicas matematicas empleadas en la elaboracion del modelo que nosocupa son, por un lado, la modelizacion econometrica clasica, es decir, el ajustede curvas por regresion y, por otro lado, las tecnicas estadısticas de analisis ymodelizacion de series temporales mediante los modelos denominados ARIMA.La justificacion del empleo de estas dos tecnicas es la existencia a su vez dedos partes diferenciadas en el modelo: una parte determinista, cuyo compor-tamiento puede ser replicado por funciones lineales y trigonometricas, y unaparte aleatoria, para la cual ha sido necesario recurrir al modelo ARIMA y almodelo de saltos Poisson compuesto.

En este trabajo se presenta un modelo del ındice espanol Ibex 35 basadoen tecnicas analıticas y estadısticas, elaborado a partir de los datos de cierresemanales del mercado desde el 1 de enero de 1998 hasta el 31 de diciembrede 2012.

En primer lugar, se ha identificado la existencia de un “comportamientoregular” en los datos del Ibex 35, necesario para determinar la posibilidad demodelizar dichos datos siguiendo el modelo clasico de descripcion de seriestemporales, es decir, descomponiendo la serie en sus elementos: tendencia,ciclo, estacionalidad y componente irregular.

En segundo lugar, se han realizado las correcciones que se consideran ha-bituales en el campo estadıstico sobre los datos, como son la eliminacion devalores extremos y sustitucion por otros mas adecuados si los hubiera (no hasido necesario dada su inexistencia) o la aplicacion de logaritmos en los datospreviamente a la modelizacion.

En tercer lugar, se realiza el ajuste de la parte determinista, dividida envarias partes. La primera de ellas recoge las componentes tendencia-ciclo a

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Modelo de prediccion del Ibex 35 Capıtulo 1

partir de la combinacion de una funcion lineal para la tendencia y una funciontrigonometrica para el ciclo. La segunda, modeliza la componente estacionalanual, con una funcion coseno con frecuencia de un ano.

La componente irregular (parte aleatoria del modelo) requerira de un trata-miento especial, puesto que no sera una serie estacionaria, siendo necesario en-tonces aplicar tecnicas estadısticas de modelizacion y prediccion. En este casose ha empleado un modelo ARIMA para recoger el comportamiento de la com-ponente irregular de los precios, siendo necesario emplear series estocasticaspara obtener una explicacion mas precisa. Para la modelizacion de los saltosextremos que se producen en el Ibex 35 a lo largo del tiempo se ha empleadoun proceso de Poisson compuesto.

Finalmente, se realiza una validacion del modelo completo para compro-bar su idoneidad y la bondad del ajuste sobre la serie de datos que se deseamodelizar. Tambien se obtienen predicciones de forma puntual y mediante latecnica Monte Carlo, junto con una evaluacion de las mismas, estableciendoseen su caso las correcciones necesarias a tal efecto y las propuestas de mejorapara el modelo elaborado.

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Capıtulo 2

Objeto del Trabajo Fin deMaster y justificacion de lasasignaturas relacionadas

El presente trabajo se divide en dos partes bien diferenciadas. La primera,desde el capıtulo 4 hasta el capıtulo 6, recoge de forma teorica y descriptivatanto el funcionamiento del Ibex 35 y el mercado bursatil en Espana, como delas tecnicas empleadas en la modelizacion, la regresion no lineal y el modeloARIMA. La segunda parte, el capıtulo 7, es eminentemente practica, ya queconsiste en aplicar los conocimientos expuestos en los anteriores capıtulos enla elaboracion de un modelo de prediccion semanal del Ibex 35.

El objetivo principal de este trabajo, por lo tanto, es la descripcion delmercado bursatil espanol a traves del ındice Ibex 35 y la aplicacion de tecnicasanalıticas y estadısticas para tratar de predecir su comportamiento semanal.

En cuanto a las asignaturas relacionadas, en el Master en Direccion Fi-nanciera y Fiscal se han estudiado asignaturas de distinta ındole dirigidas adotar de las herramientas necesarias en el mundo del ejercicio financiero, lascuales, en buena medida, se han tratado de aplicar a la hora de realizar lapresente TFM.

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• Modelizacion y Valoracion de Opciones Financieras: En esta asig-natura se estudian diferentes metodos de valoracion y prediccion para losprecios de distintos subyacentes financieros. Los metodos aplicados sonprincipalmente analıticos, destacando los modelos discretos basados enarboles binomiales y modelos continuos fundamentados en el modelo Log-normal para valorar primas de opciones, como el modelo de Black-Scholesde valoracion de opciones o los basados en el movimiento browniano-geometrico. La aplicacion de diversos metodos analıticos es una de laspartes fundamentales del presente trabajo.

• Mercados Financieros y Valoracion de Empresas: En esta asig-natura se estudian metodos de valoracion de empresas y analisis de dife-rentes activos financieros empleando tecnicas de analisis sectorial (dentrodel analisis fundamental de empresas) y el analisis tecnico o chartista,basado en la observacion de tendencias a partir de los graficos de coti-zaciones. Ademas, se realiza una introduccion a la aplicacion de mode-los econometricos y estadısticos para la prediccion del valor de diferen-tes activos financieros, principalmente acciones de empresas cotizadas.Tanto los conceptos del analisis sectorial y tecnico como las tecnicaseconometricas y estadısticas de prediccion se han aplicado en las dospartes de este trabajo.

A parte de las asignaturas senaladas anteriormente, tambien cabe hacermencion a los conocimientos adquiridos durante la Licenciatura de Adminis-tracion y Direccion de Empresas, los cuales han sido utilizados tanto para des-cribir el contexto en el que se encuadra el Ibex 35 como reflejo de la economıaespanola, como para comprender el funcionamiento del mercado bursatil en sı.

Finalmente, se debe senalar que el aprendizaje del programa estadısticocon el que se ha desarrollado el modelo del Ibex 35, denominado R, ha sidoprincipalmente debido a la dedicacion de los tutores del Trabajo, ademas delempleo del mismo a lo largo del trabajo.

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Capıtulo 3

Objetivos del Trabajo

Los objetivos del trabajo son acordes a aquellos que establece la normativade la Facultad de Administracion y Direccion de Empresas de la UniversitatPolitecnica de Valencia respecto a las TFM (Facultad de Administracion yDireccion de Empresas, 2010), es decir:

• Debe estar orientado a la aplicacion y evaluacion de competencias aso-ciadas al tıtulo.

• Debe ser original y quedar de manifiesto los conocimientos, habilidadesy competencias adquiridas en el tıtulo.

Por extension de los Trabajos Final de Carrera, tambien se ha tratado deque cumpla los siguientes requisitos:

• Debe estar basado en problemas reales.

• Debe ser fundamentalmente practico y aplicado.

• Debe apoyarse en las asignaturas cursadas y relacionadas con la natu-raleza del trabajo.

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• Debe estar relacionado con el trabajo profesional.

• Debe tender un puente hacia el ejercicio profesional habitual.

A los efectos del cumplimiento de los puntos arriba senalados, se describena continuacion cuales son los objetivos del presente trabajo.

El trabajo se ha dividido en dos partes con el objeto de separar, por unlado, el estudio de las herramientas empleadas en la elaboracion de un modelode prediccion del Ibex 35 y, por otro lado, la elaboracion del propio modelo.Por esta razon, en primer lugar se estudia el marco teorico del mercado bursatilespanol y las tecnicas matematicas y estadısticas que seran empleadas en lamodelizacion. El analisis que se plantea en esta primera parte abarca variosobjetivos. En primer lugar, la descripcion del funcionamiento del mercadobursatil espanol, posteriormente las tecnicas de modelizacion matematica y,por ultimo, la revision del modelo ARIMA.

Por lo que respecta al mercado bursatil espanol, los objetivos que se hanestablecido estan relacionados con su descripcion y funcionamiento.

Al realizar una revision de las tecnicas de modelizacion matematica y delmodelo ARIMA, se pretende recoger los conocimientos que sobre estas materiasse han estudiado en la Licenciatura de Administracion y Direccion de Empresasy en el Master en Direccion Financiera y Fiscal, ası como profundizar en losmismos a los efectos de disponer de una mayor variedad y amplitud de herra-mientas que puedan ser utilizadas en la elaboracion del modelo. Otro de losobjetivos que este trabajo pretende alcanzar es el planteamiento y resolucionde un problema mediante tecnicas multidisciplinares, el cual se ha abordadocon una revision de los contenidos adecuados pertenecientes a tres disciplinasaplicadas: finanzas, matematicas y estadıstica.

Como segunda parte del trabajo, se propone el estudio y modelizacion dedatos semanales del Ibex 35 desde 1998 hasta 2012. Para ello se han empleadolos datos de cierre semanal del Ibex 35. El primer fin del modelo es poderexplicar el comportamiento semanal del ındice Ibex 35. Se han escogido in-tervalos semanales porque son datos mas fiables para una prediccion teniendoen cuenta ciclos economicos, ya que los datos diarios sufren de una volatili-dad mayor y no son adecuados para contemplar adecuadamente un periodo detiempo tan largo.

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Los objetivos planteados en la elaboracion del modelo son los siguientes:en primer lugar, analizar en detalle el comportamiento de la serie de datospara establecer de forma preliminar los patrones que dominan su dinamica;en segundo lugar, cuando se disponga de la descripcion basica de los patronesde la serie, se propondra un modelo basado en las tecnicas estudiadas en laprimera parte del trabajo.

El punto de partida del modelo propuesto consiste en la aplicacion detecnicas analıticas en aquellas componentes de la serie que presenten un com-portamiento determinista. Posteriormente, aquella parte de los datos que nopueda ser explicada por la componente determinista, requerira de la aplicacionde tecnicas estadısticas, debido a la aleatoriedad que suele caracterizar buenaparte de la dinamica de las series temporales de variables financieras.

El segundo fin que se persigue con el modelo es poder realizar prediccionesrazonables sobre un periodo de tiempo. No obstante su valor numerico no dejade ser aproximado y por ello es conveniente una valoracion de su error y laobtencion de un intervalo de confianza para la estimacion obtenida. Ademas,la prediccion del Ibex 35 debe llevarse a cabo mediante la construccion de in-tervalos de confianza para las estimaciones obtenidas puesto que de esta formatenemos la medicion, mediante la confianza, en terminos de probabilidad de laincertidumbre que rodea a dicha estimacion. Estas predicciones se realizarande forma puntual y mediante la aplicacion de la tecnica Monte Carlo, la cualse describira mas adelante.

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Capıtulo 4

Antecedentes. Evolucionhistorica, situacion actual yfuncionamiento del Ibex 35

En este capıtulo del trabajo se introduce el ındice Ibex 35 en sı y el mercadobursatil espanol (Dıaz, 2012), con especial incidencia en por que el metodopropuesto es valido para la prediccion del Ibex 35 desde un punto de vista deanalisis tecnico bursatil.

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4.1 Evolucion historica y composicion del Ibex 35

Como se ha adelantado anteriormente, el Ibex 35 es el principal ındice dereferencia del mercado bursatil espanol. Esta compuesto por las 35 empresascotizadas con mas liquidez del Sistema de Interconexion Bursatil Electronico(SIBE) en las cuatro bolsas espanolas (Madrid, Barcelona, Bilbao y Valencia).Se elabora por la empresa Bolsas y Mercados Espanoles, operador de todos losmercados de valores y sistemas financieros de Espana. Esta empresa ademas esla encargada de la gestion y funcionamiento del SIBE y de la gestion, calculo,composicion y difusion del Ibex 35.

Aparte del Ibex 35, existen homologos en todos los paıses desarrollados,como son el Dow Jones en EE.UU., el DAX 30 en Alemania, el FTSE 100 enReino Unido o el CAC 40 en Francia.

Los valores que componen el Ibex 35 varıan con el tiempo, en funcion dela decision del Comite Asesor Tecnico, un grupo de expertos que se reunedos veces al ano ordinariamente y determinan la entrada/salida de empresasen el ındice. La reunion ordinaria no supone necesariamente la modificaciondel ındice, pudiendo mantenerse con los valores anteriores. Asimismo, no esnecesaria la reunion ordinaria para realizar modificaciones en el Ibex 35 encaso de que el Comite Asesor Tecnico ası lo decida.

Para valorar la liquidez de los valores que componen el Ibex 35 el ComiteAsesor Tecnico se basa en distintas cuestiones plasmada en las Normas Tecnicaspara la Composicion y Calculo de los Indices de Sociedad de Bolsas, S.A., queson:

• El volumen de negociacion en el mercado.

• La suspension de la cotizacion durante un periodo que pueda considerarsesignificativo.

• La calidad del volumen. Se descontara el volumen que se haya producidopor:

– Consecuencia de operaciones que conlleven un cambio importanteen el accionariado de la empresa.

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– Haya sido producido por un unico miembro del mercado, realizadoen pocas negociaciones o en un espacio de tiempo considerado pocorepresentativo.

– Que el efectivo negociado sufra un descenso tal que se considere quela liquidez del valor esta gravemente afectada.

No importa el sector al que pertenece la empresa ni su dimension parapoder formar parte del Ibex 35. Tampoco influye el comportamiento de losprecios, unicamente su liquidez, es decir, el volumen negociado.

Si bien existen una serie de requisitos que atender para la inclusion o ex-clusion de un valor en el ındice, el Comite Asesor Tecnico dispone de libertadpara, a su juicio, llevarla a cabo incumpliendo los requisitos establecidos.

Ası pues, este ındice es tecnicamente un ındice de precios de los valores quelo componen, ponderados en funcion de su capitalizacion bursatil, que quedareflejado en un valor numerico. Este valor numerico se inicio en 3.000 pun-tos. Este inicio se remonta al 14 de enero de 1992. Sin embargo, se puedenobtener cotizaciones anteriores desde 1989 mediante estimaciones que se re-alizaron posteriormente. Desde este punto inicial, el Ibex 35 oscilo entre los3.000 y 4.000 puntos aproximadamente hasta finales de 1996, momento en elque rompe con fuerza al alza por la fuerte especulacion que tuvo lugar conlas empresas de telecomunicaciones e internet, alcanzando los 10.000 puntosen ano y medio, a principios de 1998. A partir de este ano sufre oscilacioneshasta alcanzar su primer maximo cerca de los 12.500 puntos a principios delano 2000, punto desde el que baja rapidamente hasta los 5.400 puntos a finalesde 2002. Nuevamente a finales de 2007 alcanza un maximo todavıa superior,cercano a los 16.000 puntos, tras una subida con pocos descensos. En este ano,al estallar la crisis financiera y pincharse la burbuja inmobiliaria, el ındice sehunde hasta los 7.600 puntos en 2009, mınimo del que intenta repuntar perosin exito, descendiendo hasta los 6.000 puntos en 2012, marcando un mınimodesde los 5.400 de 2002. Actualmente, despues de un ano 2012 de gran vola-tilidad, el Ibex 35 cotiza en torno a los 10.000 puntos, en un claro sıntoma derecuperacion sostenida en los ultimos meses.

A continuacion se explicara como se calcula el Ibex 35.

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4.2 Calculo del Ibex 35

Para el calculo del Ibex 35 se utiliza una formula matematica que recogela capitalizacion bursatil (precio por numero de acciones) de las 35 empresasque compongan el Ibex 35, aplicando ademas un coeficiente de ajuste.

Por esta forma de calculo las empresas con mayor capitalizacion tendranmas peso en el ındice y sus oscilaciones afectaran en mayor medida al mismo.En consecuencia, unicamente las empresas Santander, Telefonica, BBVA, In-ditex, Iberdrola y Repsol ya representan cerca del 70% del ındice, siendo tansolo 6 de 35.

La formula matematica para el calculo es:

Ibex 35(t) = Ibex 35(t− 1) ·

35∑

i=1

Capi(t)

35∑

i=1

Capi(t− 1) + J

, (4.1)

siendo:

• t, instante de calculo del ındice.

• Capi(t), capitalizacion de la companıa i incluida en el ındice en el instantet, es decir, S(t)× P (t).

• S(t), numero acciones computables para el calculo del valor del ındiceen el instante t.

• P (t), precio de las acciones de la companıa incluida en el ındice en elinstante t.

• ∑35i=1Capi(t), suma de la capitalizacion de todas las companıas incluidas

en el ındice en el instante t.

• J , cantidad utilizada para ajustar el valor del ındice.

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El valor del coeficiente J representa la capitalizacion de ajuste para ase-gurar la continuidad del ındice. Esta cantidad J es introducida con motivode determinadas operaciones financieras definidas de acuerdo a las NormasTecnicas de Composicion y Calculo del Indice. El objetivo es asegurar que elındice no se vea alterado por las operaciones financieras indicadas, como:

• Dividendos ordinarios y similares.

• Dividendos extraordinarios y similares.

• Ampliaciones y reducciones de capital.

• Emision de instrumentos financieros convertibles o canjeables.

• Variaciones del valor nominal.

• Fusiones y absorciones.

• Segregacion patrimonial o escision societaria con retribucion a los ac-cionistas.

Con caracter general, se toma como precio el de la ultima transaccionrealizada en el SIBE. El numero de acciones para el calculo dependera delcapital flotante (que varıa en funcion de las operaciones financieras arribaindicadas que tengan lugar). Sin embargo, el Comite Asesor Tecnico podratomar otras decisiones en ambos sentidos, justificando sus decisiones en basea criterios objetivos y publicandolas con la antelacion oportuna suficiente.

4.3 Necesidad de prediccion del Ibex 35

En la actualidad la economıa es cada vez mas competitiva y existen multi-ples factores de riesgo que afectan a la toma de decisiones. Por ello, los metodosde decision y prediccion cobran especial relevancia, y mas concretamente enla prediccion de la economıa en su conjunto. Esto no solo es util en terminosmacroeconomicos, ya que si lo trasladamos al objeto del presente trabajo, laprediccion de un ındice bursatil puede suponer un beneficio significativo en elcorto y medio plazo mediante la especulacion con los valores.

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Ası pues, el uso de metodos matematicos, estadısticos y econometricos esnecesario para reducir y acotar el intervalo de variacion de las variables que seanalizan en cada caso. Por ende, es imprescindible el conocimiento de tecnicasy metodos concretos que faciliten la determinacion de hipotesis o prediccionesacerca de la evolucion futura de determinadas variables. En funcion de lasnecesidades de cada caso, se requerira una aproximacion cualitativa o bien eluso de sofisticadas tecnicas estadısticas y matematicas que ofrezcan un inter-valo con una confianza concreta.

La necesidad de la prediccion, como ya se ha adelantado, resulta obvia. Porello, es ineludible un conocimiento del comportamiento que presentan las seriestemporales asociadas a las magnitudes analizadas, ası como de los modelosestadısticos que se han mostrado eficaces en la tarea de predecir los valoresfuturos de variables similares.

Conseguir modelar la evolucion del Ibex 35 nos proporcionarıa una fuentemuy importante de informacion sobre las perspectivas que tienen los inversoresrespecto a la actividad economica del paıs y, aplicado en terminos bursatiles,una orientacion estimada de la direccion que tomara el Ibex 35 a efectos deinvertir en un sentido u otro (Hernandez, 1999).

4.4 Analisis tecnico bursatil como metodo de pre-

diccion

Dada la importancia del mercado bursatil, desde su inicio se han estudia-do diversas herramientas para su prediccion. En la actualidad, existen dostendencias principales: analisis fundamental y analisis tecnico. Ambos tiposde herramientas son ampliamente explicados en diversa bibliografıa (Mateu,2003) (Pring, 1989) y son complementarias, pero difieren notablemente una deotra en su fundamento,

El analisis fundamental trata de determinar el valor real del tıtulo bursatil,llamado valor fundamental, y que no tiene por que corresponder con el valorde mercado. Para ello se realiza un estudio en profundidad de la empresa, delsector al que pertenece y de los paıses en los que opera. Con dicho estudiose realizan proyecciones financieras con un escenario probable y en base a los

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resultados esperados de la empresa se determina su valor real. Este valor puedediferir con el valor en el parque bursatil, de modo que el mercado tendera, enun plazo indeterminado de tiempo, hacia el valor real, ya que las perspectivasactuales estan sobrevaloradas o infravaloradas, segun el caso.

Este metodo es absolutamente logico, pero tiene una serie de inconve-nientes: se realizan predicciones, con sus consecuentes errores, y pueden pro-ducirse hechos significativos que automaticamente cambien el valor real. Dadoque se trata de una inversion a largo plazo hasta que alcance el valor real,estos inconvenientes pueden suponer cambios drasticos en la rentabilidad dela inversion.

Por su parte, el analisis tecnico se trata de una herramienta para corto ymedio plazo. La Teorıa de Dow (Murphy, 2007), que debe su nombre a sucreador, Dow Jones, es el origen de este tipo de analisis. El analisis tecnico es-tudia las graficas del valor de la accion y el volumen de negociacion, basandoseen una serie de premisas:

• Los movimientos del mercado lo descuentan todo: esta afirmacionhace referencia a que cualquier hecho que pueda afectar al valor, bien seade origen economico, polıtico, psicologico o cualquier otra causa, se reflejasiempre en el precio de negociacion.

• Los precios se mueven por tendencias: entendiendo las tendenciascomo la existencia de una mayor probabilidad de que siga una direccionque otra. El analisis tecnico trata de detectar estas tendencias y seguirlas.

• La historia se repite: el mercado bursatil se mueve por las masas, ypor lo tanto se mueve por la “psicologıa de masas” (Tvede, 1990). Estapsicologıa es aplicable tanto en la actualidad como en el pasado, porlo que los patrones identificados son validos para predecir movimientosfuturos.

Este metodo de analisis tambien tiene sus inconvenientes: actualmente elmercado es muy volatil y esta muy manipulado por las grandes institucionesy fondos de inversion y en muchas ocasiones los patrones son difıciles de iden-tificar o se transforman en otros conforme avanza el tiempo.

Dado que el presente trabajo esta enfocado a una prediccion del valordel Ibex 35 en parte basando la modelizacion en funciones deterministas que

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consideran la ciclicidad, el analisis tecnico es mucho mas aplicable. Esteplanteamiento tambien tiene que ver con el ciclo economico. El ciclo economicoy el mercado bursatil tienen una relacion muy estrecha, en tanto que el mercadoaglutina las expectativas de la economıa y “lo descuenta todo”, anticipandoseal mismo.

El ciclo economico es como se denomina a las oscilaciones recurrentes dela economıa, en las que una fase de expansion es seguida de una fase de con-traccion, que a su vez precede a una de expansion y ası sucesivamente. Lasfases del ciclo economico se resumen brevemente en:

• Depresion: la economıa se encuentra en su punto mas bajo. Existenelevadas tasas de desempleo y la economıa se reduce, debido a una bajademanda en comparacion con la oferta existente. En este punto los tiposde interes son bajos para fomentar la inversion y evitar la deflacion, lo quelleva a los inversores especuladores a invertir en bolsa, la cual comienzaa dar senales positivas antes que la propia economıa.

• Recuperacion: poco a poco la economıa se recupera y comienza agenerarse empleo, se incrementa la confianza y se vuelve a tasas posi-tivas de crecimiento. El tipo de interes se mantiene bajo, fomentandoesta recuperacion, pero comenzando a subir, y la bolsa sigue subiendoa medida que aumenta la confianza de los consumidores, sumandose lospequenos inversores que ven una oportunidad en el mercado bursatil.

• Auge: la economıa llega a su punto algido. Existe pleno empleo ycrecimiento positivo. Los tipos de interes suben para evitar una inflacionexcesiva de precios y los inversores, que en su dıa invirtieron en la fasede depresion o recuperacion, venden con beneficios e invierten en rentafija o depositos, dada la baja rentabilidad de la bolsa frente a este otrotipo de inversiones. La bolsa comienza ası a descender, adelantandose ala economıa real.

• Recesion: cae la inversion y progresivamente el empleo y la produccion.Los tipos de interes se mantienen elevados, pero comienzan a tender a labaja, y la bolsa ya ha caıdo significativamente ante las malas expectativasde la economıa.

Como se ha contrastado la economıa es cıclica y este patron va estrechamenteligado al mercado bursatil.

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Capıtulo 5

Formulacion del modeloeconometrico. Regresion nolineal y ajuste por mınimoscuadrados

En este capıtulo se describiran las bases teoricas para la formulacion delmodelo econometrico que se empleara en la parte determinista del modelodesarrollado. Se describiran los principales metodos de modelizacion por re-gresion lineal, ası como los metodos de regresion no lineal utilizados en elmodelo. Asimismo, se describira el ajuste por mınimos cuadrados, la tecnicautilizada en el modelo y una de las mas comunes para la regresion de un mode-lo frente a unos datos dados. Por ultimo, se introduce al programa estadısticode software libre R y las tecnicas de suavizado utilizadas.

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5.1 Modelizacion econometrica

La Econometrıa pretende dar respuesta, entre otras, a la relacion queliga a una determinada variable economica con los valores de otras variableseconomicas (Greene, 2000). Para ello utiliza la regresion, una metodologıaque sirve para contrastar las teorıas economicas con la realidad economica.

En el caso del ındice espanol Ibex 35, existen algunos modelos economicospara predecir la realidad de un mercado altamente volatil (Cortes y otros,2014). A pesar de ello todavıa queda mucho por hacer para reflejar la re-alidad convenientemente. Por este motivo es necesaria la utilizacion de lamodelizacion econometrica para formular un modelo estadıstico, estimar losparametros, medir su utilidad y definir las pruebas de hipotesis que determi-nen la bondad de las estimaciones realizadas y ası poder realizar prediccionescon el modelo resultante.

5.1.1 Formulacion del modelo

En lo que sigue se describiran una serie de resultados estadısticos clasicossobre los cuales se basara el modelo propuesto para describir la dinamica delIbex 35. Pueden consultarse los fundamentos y detalles tecnicos de dichosmetodos para la regresion (Greene, 2000) (Hair, 1995) y para las series tem-porales (Hyndman y otros, 2012) (Trapletti y Hornik, 2012) en diversas refe-rencias bibliograficas.

En primer lugar, se debe formular el modelo que se quiere contrastar. Laformulacion de un modelo econometrico parte de una o varias ecuaciones enlas que se relaciona la variable explicada (Y ) con las variables explicativas(Xi), cuantificandose su relacion mediante parametros (βj). Se debe tener encuenta, ademas, que tanto la variable explicada como las variables explica-tivas son variables aleatorias, por lo que se produce el denominado errorexperimental, es decir, que los resultados de cada experimento realizado sondiferentes. A este efecto hay que anadirle que el modelo no recoge todas lasvariables de poca importancia, pero que en conjunto podrıan afectar a los re-sultados del modelo. Ambas cuestiones suponen la necesidad de anadir untermino al modelo denominado perturbacion aleatoria (U).

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De este modo, el modelo de regresion basico, se formula como se observaen (5.1):

Y = β0 + β1X1 + . . .+ βkXk + U. (5.1)

El valor medio (o esperado) y la varianza de la distribucion condicional (Y/X)son:

E(Y/X) = β0 + β1X1 + . . . + βkXk.

Var(Y/X) = σ2.

La dificultad radica en estimar los parametros βj de la regresion y la varian-za de la distribucion condicional. Para ello hay que utilizar los datos de que sedispone, la observacion de n valores de la variable explicada y las explicativas.De la sustitucion de los valores se obtiene la expresion (5.2):

Y1 = β0 + β1X11 + β2X21 + ...+ βkXk1 + U1,Y2 = β0 + β1X12 + β2X22 + ...+ βkXk2 + U2,...

......

Yn = β0 + β1X1n + β2X2n + ...+ βkXkn + Un.

(5.2)

Si se sustituye el modelo se tiene un sistema de n ecuaciones con n + k + 1incognitas (k + 1 incognitas βj y n incognitas Uj) que no tiene una unicasolucion. Como es necesario tener mas ecuaciones (k + 1) para resolver elproblema, habra que focalizarse en la perturbacion U para hallarlas.

A la variable U se le denomina perturbacion, pero es ademas un error,dado que es la diferencia entre el valor real de la variable y su valor esperado.Despejando en la ecuacion (5.2), se obtiene U como error, tal y como se muestraen (5.3):

Y − (β0 + β1X1 + ...+ βkXk) = Y − Y = U. (5.3)

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De acuerdo a esta ultima definicion, serıa logico que el error fuera lo menorposible para que las estimaciones fueran optimas. Dado que el error se trata deuna variable aleatoria, lo menor posible se traduce en que su valor medio seacero y su varianza lo mas pequena posible. De la minimizacion de esa varianzase obtendran las k + 1 ecuaciones que faltan. De aquı el nombre de metodode los mınimos cuadrados ordinarios (MCO).

5.1.2 Hipotesis del modelo

Es necesario establer una serie de hipotesis que simplifiquen a fin de poderestimar los parametros del modelo. Estas hipotesis se definiran respecto a laperturbacion, a las variables explicativas y explicada y a los parametros βj .Si no se establecieran estas hipotesis, estimar los parametros se convertirıa enuna tarea inaccesible. Las hipotesis son las siguientes:

• Las perturbaciones Uj son variables aleatorias de media nula, E(Uj) = 0.

• Todas las perturbaciones tienen la misma varianza, Var(Uj) = σ2.

• Las perturbaciones estan incorrelacionadas entre sı, Cov(Ui, Uj) = 0.

• Las perturbaciones tienen una distribucion conjunta Normal, cuestionque, junto a la hipotesis anterior, concluye que las perturbaciones sonindependientes.

• La perturbacion no depende de las variables explicativas Xi.

• Las variables explicativas, Xi, y la explicada, Y , se obtienen sin error deobservacion.

• Las variables explicativas Xi son no aleatorias, se puede fijar su valor avoluntad, son controlables.

• Yj es el valor observado de una variable aleatoria cuyo valor medio esuna combinacion lineal de los valores de Xi.

• Entre las variables explicativas Xi no deben existir relaciones linealesexactas.

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• Los parametros βj del modelo son constantes en todas las muestras yforman parte del modelo de forma lineal.

Cabe destacar que la ultima de las hipotesis formara parte del modelo deforma lineal en tanto que la funcion que se ajuste a los datos observados seauna funcion lineal. En el caso del modelo del Ibex 35, el modelo propuesto esno lineal y, por lo tanto, esta hipotesis pierde su validez.

5.1.3 Estimacion de parametros del modelo y de la varianza dela perturbacion. Mınimos Cuadrados Ordinarios (MCO)

El metodo de los Mınimos Cuadrados Ordinarios (MCO) consiste en de-terminar un vector b de estimadores de los parametros que cumpla (5.4):

Y = Xb+ e = Y + e, (5.4)

donde Y es la estimacion de Y y e es el valor aproximado de U , el error quese comete al tomar Y como Y .

Entrando en detalle, el metodo de los MCO consiste en la obtencion deuna recta de forma que se minimice la suma de los cuadrados de las distancias(ei) entre cada una de las observaciones de la variable y dicha recta. A lasdistancias ei se les denominan residuos. La expresion vectorial de los residuosse obtiene de despejar la ecuacion (5.4), dando como resultado (5.5):

e = Y −Xb. (5.5)

Se debe minimizar entonces la suma de cuadrados de los residuos (SCR)porque son el error que se comete en el ajuste (distancia de cada observaciona la recta ajustada). Al elevarlos al cuadrado se pierde el signo, y al sumarlosse acumulan los errores, como se expresa en (5.6):

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SCR =

n∑

j=1

e2j =

n∑

j=1

(Yj − Yj)2 =

n∑

j=1

(Yj − (b0 + b1xij + ...+ bkxkj))2. (5.6)

Al minimizar la expresion (5.6) se obtiene el resto de (k+1) de ecuacionesnecesarias para estimar los parametros del modelo y finalmente la expresion delos estimadores b. Su forma matricial es mas compacta, y es la que se presentaen (5.7):

b = (X ′X)−1X ′Y, (5.7)

donde Y es el vector de la variable a explicar y X es la matriz de datos, comose ha visto anteriormente. Para que el sistema de ecuaciones tenga solucionunica, es decir, no sea indeterminado, el producto de matrices X ′X debe serinvertible, y para ello debe cumplirse que, en primer lugar, el numero de datossea superior que el de los parametros a estimar, n > k+1; y, en segundo lugar,no deben existir relaciones exactas entre las variables explicativas Xi.

Por otra parte, para estimar la varianza de la perturbacion, σ2, hay queutilizar la SCR. Se puede demostrar que el estimador de la varianza de laperturbacion sigue la expresion (5.8), tambien denominada cuadrado medioresidual. Dado que la SCR ha sido minimizada, es obvio que la varianza delerror tambien es mınima, tal y como se exigıa en las hipotesis.

σ2 =SCR

n− k − 1. (5.8)

5.1.4 Intervalos de confianza de los parametros y de la varianzade la perturbacion

Cualquier estimacion que se realice debe venir acompanada del error quese comete al utilizar esa estimacion en vez del valor verdadero. La forma deexpresar ese error es a traves de la varianza de la estimacion. Sin embargo, exis-ten formas mas elaboradas de expresar dicho error. Una de las mas habitualeses mediante los intervalos de confianza.

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Un intervalo de confianza es un intervalo que contiene al valor ver-dadero y desconocido del parametro a estimar, con una cierta probabilidad(1-α) fijada. El valor α se denomina nivel de significacion, y correspondeal porcentaje de veces en que se esta dispuesto a aceptar equivocarse, esto es,el intervalo que no contiene al valor verdadero y desconocido del parametro.

Intervalos de confianza para uno de los parametros βi

La distribucion del estimador bi menos el valor del parametro βi divididopor el error en la estimacion sbi sigue una distribucion t de Student, cuyosgrados de libertad son los residuales (5.9):

bi − βisbi

≡ tn−k−1. (5.9)

A partir de ella, se calcula el intervalo de confianza para el parametro βi cuyaexpresion es la siguiente (5.10):

[bi − t

α/2n−k−1sbi , bi + t

α/2n−k−1sbi

], (5.10)

o bien se puede expresar como la estimacion mas/menos el error, como en(5.11)

bi ± tα/2n−k−1sbi . (5.11)

Intervalo de confianza para la varianza σ2

Conocida la distribucion de la suma de cuadrados de los residuos divididopor la varianza de la perturbacion, como se indica en (5.12):

SCR

σ2≡ χ2

n−k−1, (5.12)

se tiene el intervalo de confianza para la varianza residual, como se expresa en(5.13)

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σ2(n− k − 1)

χ2(α/2)n−k−1

≤ σ2 ≤ σ2(n − k − 1)

χ2(1−α/2)n−k−1

. (5.13)

5.1.5 Coeficiente de determinacion y coeficiente de determi-nacion corregido

La suma de cuadrados de Y puede dividirse en dos partes, una sumade cuadrados explicada debida al efecto de las variables explicativas en lavariable a explicar, y otra, la suma de los cuadrados de los residuos, yavista. Esta descomposicion se justifica con la expresion (5.14):

(Yi − Y ) = (Yi − Y ) + (Yi − Yi), (5.14)

elevando al cuadrado y sumando para todas las observaciones disponibles, setiene la expresion (5.15), si se tiene en cuenta la independencia entre los dossumandos de (5.14).

n∑

i=1

(Yi − Y )2 =

n∑

i=1

(Yi − Y )2 +

n∑

i=1

(Yi − Yi)2 ≡ SCT = SCE+ SCR (5.15)

Las expresiones que se obtienen al desarrollar la suma de cuadrados anteriorreciben las siguientes denominaciones:

• Suma de cuadrados total (SCT): Suma del cuadrado de las diferen-cias entre cada valor observado de la variable y la media de los mismos.Indicarıa si los valores estan muy alejados del valor medio.

• Suma de cuadrados explicada (SCE): Suma de los cuadrados de lasdiferencias entre las estimaciones y el valor medio de las observaciones.Indicarıa si las estimaciones estan muy alejadas de la media de los valoresobservados.

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• Suma de cuadrados del residuo (SCR): Suma de los cuadrados delas diferencias entre los valores observados y los estimados. Como se hasenalado, es una medida en el error que se comete al tomar el uno por elotro, puesto que al elevar al cuadrado se pierde el signo de la diferencia.Al sumarlos se acumulan.

La relacion entre los tres es, por lo tanto, SCT = SCE + SCR. Si unmodelo explicara completamente a la variable, su SCR deberıa ser cero, y lasSCT y SCE iguales. Si, por el contrario, no existiera relacion entre las variablesexplicada y explicativa, la SCE deberıa valer cero, y la SCR igual a la SCT.Como la SCE toma valores entre 0 y SCT, el cociente SCE/SCT toma valoresente 0 y 1, con lo que podrıa ser un buen indicador de la bondad del ajusterealizado.

El cociente SCE/SCT se denomina coeficiente de determinacion (R2)y se emplea para saber si un modelo es adecuado, es decir, si explica suficien-temente a la variable objeto de estudio. Por su definicion, el coeficiente dedeterminacion siempre toma valores entre cero y uno (0 ≤ R2 ≤ 1) por lo quese trata de una escala que mide lo adecuado del ajuste, o dicho de otra forma,mide el porcentaje de la variable Y explicado por el modelo propuesto.

La raız cuadrada de dicho coeficiente recibe el nombre de coeficiente decorrelacion multiple, y es el coeficiente de relacion lineal simple entre lavariable y su estimacion, es decir, entre Y e Y .

5.1.6 Contraste de hipotesis sobre los parametros del modelomediante la utilizacion del estadıstico F

En este apartado se presentan las pruebas de hipotesis para contrastar siun parametro, un conjunto de ellos, e incluso todos ellos, son igual a cero.Con la prueba de hipotesis sobre un parametro se comprobara si una variableexplicativa del modelo es realmente explicativa o no. Con la prueba sobretodos los parametros del modelo se comprobara si el modelo resulta adecuado.Y por ultimo, con la prueba sobre un conjunto de parametros, se estudian lasrestricciones que la teorıa economica puede imponer a sus valores.

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Hipotesis sobre todos los parametros del modelo

La primera prueba se refiere a todos los parametros del modelo, exceptoal termino constante β0. La hipotesis nula es que todos los parametros soniguales a cero, o lo que es lo mismo, que el modelo no resulta adecuado. Lahipotesis alternativa es que al menos uno de los parametros es distinto de cero,o que el modelo podrıa ser adecuado. El estadıstico que sirve para contrastarla hipotesis nula sigue una distribucion F de Snedecor con grados de libertadk y n− k − 1, siendo su expresion (5.16)

Fcalc =SCE/k

SCR/(n − k − 1)≡ CME

CMR≡ Fk,n−k−1. (5.16)

En la elaboracion del modelo se emplea el programa estadıstico R, ya quela prueba de hipotesis se realiza sobre el nivel de significacion, denominado p-valor. El nivel de significacion, para esta prueba, es la probabilidad de que unavariable con distribucion Fk,n−k−1 sea mayor que el estadıstico Fcalc calculado.Por lo tanto, si p − valor ≥ α entonces se acepta H0 y el modelo no resultaadecuado. La informacion necesaria para realizar esta prueba de hipotesis seencuentra recogida en lo que se conoce como tabla ANOVA (tabla 5.1) que esla forma en la que suelen presentar la informacion la inmensa mayorıa de losprogramas estadısticos. El programa R tambien emplea esta tabla de analisis.Como aclaracion, las siglas que se representan tienen el siguiente significado:

• SC: Suma de Cuadrados.

• SCE: Suma de Cuadrados Explicada.

• SCR: Suma de Cuadrados Residual.

• SCT: Suma de Cuadrados Total, siendo SCT = SCE + SCR.

• CM: Cuadrado Medio.

• CME: Cuadrado Medio Explicado, siendo CME = SCE/k.

• CMR: Cuadrado Medio Residual, siendo CMR = SCR/(n − k − 1).

• k: numero de parametros.

• n: numero de datos.

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Tabla 5.1: Modelo de tabla ANOVA para el analisis de la varianzaOrigen SC GDL CM F ratio p-valor

Modelo SCE k CME CME/CMR α

Residuos SCR n-k-1 CMR - -

Total SCT n-1 - - -

Fuente: Elaboracion propia

• GDL: Grados De Libertad.

Hipotesis sobre un parametro individual

En esta segunda prueba se trata de contrastar si un parametro cualquieradel modelo, βi, es igual a cero o distinto de cero. Si se ha realizado la pruebasobre todos los parametros del modelo y el resultado ha sido que al menos unode ellos es distinto de cero, es necesario entonces determinar cual o cuales sondistintos de cero.

Lo mas importante de esta prueba es que, en el caso de que el parametroacompane a una variable explicativa y se admita que su valor es cero, la con-clusion es que dicha variable no es realmente explicativa. Si por el contrariose admite que ese parametro es distinto de cero, entonces se tienen dos con-clusiones: la variable en cuestion ayuda a explicar a la variable estudiada y laestimacion realizada resulta adecuada.

La prueba de hipotesis se realiza mediante el calculo de un estadıstico Fcalc,el cociente del cuadrado de la estimacion del parametro y su desviacion tıpica.Este estadıstico se distribuye como una F de Snedecor, con grados de libertad1 y n − k − 1. La hipotesis nula es que el parametro vale cero, frente a laalternativa que su valor es distinto de cero. El estadıstico se calcula como seexpresa en (5.17), por ser el cuadrado de la expresion (5.9) bajo la hipotesisde que βi es cero, al ser el el cuadrado de una t de Student se distribuye F deSnedecor con los correspondientes grados de libertad.

Fcalc =b2is2bi

≡ F1,n−k−1. (5.17)

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De la misma forma que con la prueba para todos los parametros, se puedeemplear el p-valor para realizar el contraste. Si p − valor ≥ α se acepta H0 yen caso contrario se rechaza.

No obstante, lo mas habitual (ası lo realiza R) es realizar una prueba tcalculando el siguiente estadıstico, expresado en (5.18), proveniente de tomarraıces cuadradas en Fcalc:

tcalc =bisbi

≡ tn−k−1. (5.18)

Hipotesis sobre un subconjunto de parametros del modelo

La ultima prueba de hipotesis se refiere a un subconjunto de parametros delmodelo. Como hipotesis nula se propone que un subconjunto de parametrostoma unos valores determinados o que existe algun tipo de relacion entre ellos.La teorıa economica impone a menudo que los coeficientes de un modelo debancumplir una cierta restriccion lineal.

Para realizar la prueba de hipotesis se debe, en primer lugar, ajustar elmodelo sin las restricciones y obtener su suma de cuadrados residual (SCRc).En segundo lugar, se ajusta el modelo con las s restricciones que se deseancomprobar y se obtiene una segunda suma de cuadrados residual (SCRr). Laprueba se basa en el calculo de un estadıstico Fcalc efectuado como se muestraen (5.19):

Fcalc =(SCRr − SCRc)/s

SCRc/(n− k − 1)=

∆SCR/s

SCRc/(n− k − 1)≡ Fs,n−k−1. (5.19)

5.1.7 Prediccion

Uno de los objetivos que se persiguen al realizar modelos economicos es elde poder hacer predicciones de los valores de la variable, si bien en realidad loque permite el modelo ajustado es predecir el valor medio de dicha variable,o encontrar un intervalo que contenga con una probabilidad determinada al

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valor real. Existen dos formas de realizar predicciones, puntualmente o porintervalos de confianza.

Prediccion puntual

Si se pretende obtener el valor esperado de la variable estudiada Y asociadoa unos determinados valores de las variables explicativas, lo unico que se debehacer es sustituir los valores de las variables explicativas en el modelo ajustadoy calcular la estimacion de Y que corresponde a su valor medio condicionadoE(Y/x1, ..., xk), como se expresa en (5.20):

Y = b0 + b1X1 + b2X2 + ...+ bkXk. (5.20)

Si el modelo ajustado explica el logaritmo de la variable, como sucederacon el modelo del Ibex 35, Y es log(Ibex 35).

Prediccion por intervalos de confianza

La prediccion puntual debe complementarse con la varianza de la esti-macion, para conocer ası el error en la prediccion. La manera de presentarambos valores es el intervalo de confianza que, a su vez, se realiza sobre elvalor de Y y para E(Y |x1, . . . , xn). El intervalo de confianza a nivel α para laestimacion de Y es el que se muestra en (5.21):

Y ± tα/2n−k−1s

√1 +R(X ′X)−1R′. (5.21)

Para su calculo es necesario construir la matriz de datosX y el vector de valoresde las variables explicativas R para el que se pretende realizar la prediccion.

Por su parte, el intervalo de confianza para el promedio de la variable Y ,es decir, E(Y |x1, . . . , xn), a nivel α es el de la expresion (5.22):

Y ± tα/2n−k−1s

√R(X ′X)−1R′. (5.22)

Esta expresion difiere de la anterior en que no se debe sumar el 1 dentrode la raız, con lo que el intervalo es mas estrecho. Esto es consistente con elhecho de que el intervalo se hace sobre un valor promedio, no sobre su valor

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verdadero, lo cual limita el rango de valores entre los cuales se encuentra dichopromedio.

5.2 Diagnosis y validacion del modelo de regresion

En este apartado se describen las pruebas para determinar la idoneidaddel modelo propuesto mediante los residuos del ajuste. No basta con que laspruebas de hipotesis realizadas sobre los parametros indiquen que el modeloresulta adecuado. Tambien se establecieron unas hipotesis sobre el modeloque es necesario verificar. Aquellas restricciones que se deben cumplir son lasrelativas a la perturbacion, descritas en el apartado 5.1.2.

Para la comprobacion de dichas hipotesis, la literatura (Thode, 2002) pro-pone la realizacion de una serie de graficos de los residuos del ajuste, en losque se podran determinar si se satisfacen o no las hipotesis del modelo. Pese ala gran cantidad de informacion que pueda extraerse de un grafico de residuos,el uso de los mismos puede suponer una frustracion puesto que es necesarioun cierto “entrenamiento” para poder aprovecharlos en toda su extension. Losgraficos que se emplearan en la validacion del modelo del Ibex 35 son el papelprobabilıstico normal y el comando tsdiag del programa estadıstico R en sulibrerıa tseries (Trapletti y Hornik, 2012), que incluye un grafico de los resi-duos estandarizados, la FAS de los residuos y los p-valores para el estadısticode Ljung-Box.

El primer grafico, el papel probabilıstico normal, deriva del graficoQ-Q, el cual compara dos distribuciones a partir de sus cuartiles. El papelprobabilıstico normal no es mas que un grafico Q-Q adaptado a la distribucionNormal, con el objeto de comparar si los residuos se distribuyen normalmente.

El cumplimiento de la hipotesis de normalidad es indispensable para poderrealizar los contrastes de significacion y obtener los intervalos de confianza quepermitan realizar predicciones. Ademas, si esta hipotesis no se cumple, los esti-madores dejan de ser maximo-verosımiles. Como apoyo al papel probabilısticonormal, se puede representar el histograma de los residuos, para observar sitienen la forma de la campana de Gauss.

El papel probabilıstico normal ofrece una mayor cantidad de informacion

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sobre la distribucion de los residuos que cualquier otro grafico o prueba numericay se hace imprescindible cuando existe falta de normalidad de los residuos,puesto que permite tomar decisiones sobre la forma de transformar el modelopara conseguir la normalidad. En la figura 5.1 se puede ver un ejemplo depapel probabilıstico normal.

Figura 5.1: Ejemplo de papel probabilıstico normal

Fuente: Thode (2002)

Cuando los puntos representados en el grafico Q-Q quedan casi todos muycerca de la lınea diagonal, se acepta la normalidad. De este modo, cuandolas pruebas indiquen que no existe normalidad, esto sera debido bien a que laasimetrıa es muy grande o bien a que existen punto anomalos. Si los residuosno son normales, se puede hacer lo siguiente:

• Comprobar si existe linealidad en el modelo. Si es este el caso, se elige unatransformacion adecuada, y lo mas probable es que los residuos puedanaceptarse como normales.

• Renunciar a los contrastes de significacion limitando el analisis al calculode los parametros, y dar como medida descriptiva del ajuste el coefi-ciente de determinacion corregido, lo cual, en general, no es una buena“solucion”.

• Deducir, de la distribucion de los residuos, un modelo de distribucion dela perturbacion y construir contrastes para determinar la validez de losparametros.

El segundo analisis se realiza con el comando tsdiag de R y se componede tres graficos, a saber:

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• El primero representa los residuos estandarizados de la serie.

• El segundo es la FAS (Funcion de Autocorrelacion Simple) de los resi-duos. En este grafico se deberıa observar que tan solo el primer coeficientede correlacion es significativo, ya que eso indica que el residuo tan soloesta relacionado consigo mismo.

• El tercer grafico representa los p-valores del estadıstico de Ljung-Box,que se explica a continuacion.

La prueba de Ljung-Box sirve para determinar la existencia de autocorrela-cion en los residuos, siendo muy util cuando se dispone de una muestra grande(n grande), como es el caso de la variable objeto de estudio, los datos de cierresemanal del Ibex 35. Se denomina et a la secuencia de los residuos en el tiempoy se calculan los coeficientes de autocorrelacion ρh como se indica en (5.23):

ρh =

n∑

t=h+1

etet+h

n∑

t=1

e2t

. (5.23)

Se define el estadıstico de Ljung-Box como (5.24):

Q = n(n+ 2)

n∑

h=1

ρ2hn− k

≡ χ2n−k−1, (5.24)

donde n es el numero de coeficientes de la suma y k + 1 es el numero deparametros estimados para calcular los residuos.

Este estadıstico permite plantear una prueba en la que como hipotesisnula se tiene que los n primeros coeficientes de autocorrelacion son cero si

Q < χ2(α)n−k−1. Por lo tanto, este estadıstico contrasta la hipotesis nula de la

distribucion aleatoria de los residuos. Si los principales p-valores (los primerosdel grafico) son mayores que α, entonces no podemos rechazar la hipotesis, o loque es lo mismo, considerar que el modelo esta correctamente especificado. Lafigura 5.2 es un ejemplo de salida en pantalla del analisis tsdiag de un modelocorrectamente especificado.

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Figura 5.2: Ejemplo de salida en pantalla de analisis tsdiag de un modelocorrectamente especificado

Fuente: Thode (2002)

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Cabe subrayar que en el caso concreto del modelo del Ibex 35, tanto elpapel probabilıstico normal como el comando tsdiag se han empleado despuesde ajustar el modelo ARIMA, que debe cumplir unas hipotesis muy similaresa las del modelo de regresion, por lo que se pueden emplear estas mismasherramientas, como bien se senala en el apartado 6.5.

5.3 Descripcion de los analisis estadısticos utiliza-

dos

En el presente epıgrafe se exponen las tecnicas de regresion no lineal ysuavizado de datos que, como derivaciones de la regresion lineal, son la me-todologıa empleada en la modelizacion de los datos del Ibex 35. La regresionno lineal emplea las mismas pruebas y tests que la regresion lineal para ve-rificar la significatividad de los parametros y del modelo. Puesto que ya hansido explicados con anterioridad, no se profundizara en estos aspectos nueva-mente, simplemente se explican sus fundamentos y la forma de realizarlo conel programa estadıstico R.

5.3.1 Regresion no lineal

Los modelos no lineales surgen ante la dificultad o imposibilidad de asumirla relacion por regresion lineal entre variables economicas. Sin embargo, estanueva metodologıa genera nuevos tipos de problemas y dificultades para laresolucion del modelo. En primer lugar, decidir una funcion no lineal adecuadasuele ser difıcil. En segundo lugar, existen una serie de dificultades implıcitasen la interpretacion de la estimacion de los parametros y el analisis de lasestimaciones.

A pesar de la existencia de dichas dificultades, hay cada vez mas evidenciasempıricas que demuestran que muchas relaciones economicas son no lineales,tal y como ocurre con el Ibex 35.

La regresion no lineal consiste en estimar los parametros de una funcion nolineal que se ajusta a unos datos observados. En la regresion no lineal se realiza

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un ajuste de parametros frente a una serie de datos que sigue una curvaturaarbitraria. Con el desarrollo de paquetes estadısticos de facil utilizacion parael usuario, su empleo se ha vuelto bastante comun, como es el caso de R.

El ajuste realizado es el que se expresa en la ecuacion (5.25):

y = f(x, θ) + ε, (5.25)

donde f es una funcion no lineal respecto a algunos parametros desconocidosθ. Como mınimo, se pretende obtener los valores de los parametros asociadoscon la mejor curva de ajuste (habitualmente con el metodo de los mınimoscuadrados). Con el fin de determinar si el modelo es adecuado, puede sernecesario utilizar conceptos de inferencia estadıstica tales como los intervalosde confianza para los parametros, ası como pruebas de bondad de ajuste.

Algunos problemas de regresion no lineal pueden linealizarse mediante unatransformacion en la formulacion del modelo. Por ejemplo, considerando elproblema de regresion no lineal propuesto en la ecuacion (5.26) (ignorando eltermino del error):

y = a · ebx. (5.26)

Aplicando logaritmos a ambos lados de la ecuacion se obtiene la Ecuacion(5.27):

ln(y) = ln(a) + bx. (5.27)

Esto sugiere una estimacion de los parametros desconocidos a traves deun modelo de regresion lineal de ln(y) con respecto a x, un calculo que norequiere procedimientos de optimizacion iterativa. De todas formas, dado quela influencia de los datos en el modelo cambia, ası como la estructura del errordel modelo y la interpretacion e influencia de los resultados, la linealizaciondebe usarse con cuidado. Estos pueden ser resultados no muy convenientes(Greene, 2000).

Para el caso concreto del Ibex 35, es habitual tomar logaritmos antes demodelizar los datos (Benth y Saltyte Benth, 2013), sobre todo con el objeto de

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conseguir la normalidad en los residuos de la serie. En la modelizacion prop-uesta en el presente trabajo tambien se han tomado logaritmos, obteniendosecon ello mejores resultados que sin su aplicacion.

5.3.2 Ajuste de funciones no lineales en R

El programa empleado en la elaboracion del modelo completo es el soft-ware estadıstico R. Es un poderoso y flexible ambiente de programacion parael analisis de datos y la elaboracion de graficas de gran calidad. Es un soft-ware libre de alta calidad, libre y gratuito en el que colaboran expertos in-ternacionales en programacion, estadıstica y matematicas. Al tratarse de unentorno de programacion los procesos repetitivos pueden ser facilmente auto-matizados. Este tipo de planteamiento estimula el pensamiento crıtico para lasolucion de problemas, en contraposicion al enfoque “apriete el boton”.

El programa base de R contiene funciones para un gran numero de proce-dimientos estadısticos. Ademas, existen modulos adicionales escritos por otrosusuarios que extienden las capacidades de R. En el presente trabajo, R ha sidoampliamente utilizado para la descripcion estadıstica de la serie de datos, paraelaborar el modelo ajustando las distintas funciones que lo componen y pararealizar representaciones graficas de los resultados.

El comando nls es el acronimo deNonlinear Least Squares (mınimos cuadra-dos para regresion no lineal). Este comando realiza estimaciones automaticasdel valor de los parametros, pudiendose obtener una pantalla de resultados conla tabla de estimacion de los parametros. Para operar con nls se necesitan lossiguientes argumentos:

• Formula que se quiere ajustar.

• Valores iniciales para los parametros. Esto es aconsejable cuando elprograma supera el lımite de iteraciones necesarias para hacer el ajustey no encuentra una solucion adecuada.

• Una lista opcional de criterios de control para las iteraciones.

La aplicacion de nls presenta los mismos problemas que cualquier algoritmopara ajuste de funciones no lineales. Como se ha descrito en el apartado 5.3.1,

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al realizar el ajuste de una funcion no lineal cabe la posibilidad de que elresultado obtenido no sea un optimo global, sino un optimo local. Por ello,para asegurarse de que la iteracion proporciona un modelo correcto, se debenfijar valores a los parametros ajustados, como puntos iniciales para el ajuste.En el caso del modelo del Ibex 35, el valor de los parametros de la funcion linealse ha obtenido mediante la regresion lineal de la funcion frente al tiempo. Losparametros de la funcion trigonometrica se han ido introduciendo paso a paso,es decir, primero se ajusta la funcion con un parametro fijando un valor adicho parametro y, cuando se tiene el valor ajustado y significativo del primerparametro, se introduce un segundo parametro siguiendo los mismos pasos. Deesta forma se van estimando todos los parametros hasta que el modelo quedacompletamente especificado.

5.3.3 Tecnicas de suavizado de datos

El suavizado de datos consiste en la obtencion de una funcion que recoja el“comportamiento general” de los datos, dejando de lado el ruido. Los metodosde suavizado de datos son necesarios cuando los datos observados de una se-rie presentan muchos valores extremos, que pueden distorsionar la regresionque se realice. El metodo mas habitual de suavizado son las medias moviles,empleadas para captar tendencias generales en las variables economicas.

Concretamente, para el presente trabajo se ha utilizado la tecnica loess,implementada en el programa estadıstico R, obteniendose una grafica en laque se representa la tendencia general del Ibex 35, entre otros indicadores.Esta grafica que se consigue con la funcion stl, sirve para descomponer seriestemporales de datos, como es el caso del Ibex 35. La figura 5.3 es un ejemplode salida de pantalla del analisis obtenido con el comando stl, cuyos graficosse describen a continuacion:

• Grafico data: representa los datos observados, sin ninguna modificacion.

• Grafico seasonal : representa la estacionalidad detectada para la serie,medida con ındices de estacionalidad.

• Grafico trend : muestra la tendencia y el ciclo de la serie, obtenida me-diante tecnicas loess.

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• Grafico remainder : representa los residuos de la serie despues de descon-tar la estacionalidad, la tendencia y el ciclo.

Figura 5.3: Salida de pantalla del analisis stl

Fuente: Zucchini y Nenadic (2008)

La idea basica de loess (en terminologıa anglosajona local regression, re-gresion local) es construir un modelo basado en ajustes locales a pequenosgrupos de datos utilizando mınimos cuadrados, de forma que se simplificael proceso de modelizacion. Con esto se consigue formular una funcion querecoge el comportamiento de una serie con muchas variaciones pero de formamas suavizada. Como ejemplo de suavizado, se muestra la figura 5.4, en la que

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se observa una serie de datos con bastante dispersion a los que se ajusta unafuncion que recoge su comportamiento general, mucho mas suavizado.

Figura 5.4: Ejemplo de suavizado loess

Fuente: Zucchini y Nenadic (2008)

Es habitual confundir el suavizado (o smoothing) con un concepto rela-cionado y que se suele solapar, la regresion no lineal. La principal diferenciaentre una y otra tecnica es que en el caso de la regresion no lineal, se em-plea una funcion explıcita para ajustar una serie de datos, mientras que elsmoothing tiene como resultado una serie de datos suavizados, no una funcion.Ademas, la regresion no lineal tiene como objetivo el ajuste mas exacto posiblea los datos empleados, cuando el smoothing se utiliza para recoger el compor-tamiento general de los mismos.

Ası pues, lo mas usual es que, en primer lugar, se apliquen tecnicas desuavizado a los datos para, en segundo lugar, ajustar una funcion mediantetecnicas de regresion no lineal. Como se ha senalado anteriormente, la tecnica

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loess se ha empleado en el presente trabajo para determinar la existencia detendencias y ciclos en el comportamiento del Ibex 35.

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Capıtulo 6

El modelo ARIMA. Analisis ydescripcion de seriestemporales

Como se ha avanzado anteriormente, para la parte aleatoria del modelo delIbex 35 se ha utilizado el modelo ARIMA, del cual describimos los fundamentosteoricos en este capıtulo. Ademas, se introducen los conceptos basicos de seriestemporales en base a la descripcion clasica de las mismas, la cual descomponela serie en cuatro elementos: tendencia, ciclo, estacionalidad y componenteirregular. En lo que respecta a las tecnicas ARIMA, se explicaran los pasospara la construccion del modelo mediante la metodologıa Box-Jenkins y lasherramientas de validacion de la bondad del modelo.

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6.1 Introduccion e ideas basicas

George E. P. Box, profesor de estadıstica de la Universidad de Wisconsin,y Gwilym M. Jenkins, profesor de ingenierıa de sistemas de la Universidad deLancaster, introdujeron en la decada de los 70 un nuevo enfoque en el analisisde series temporales, en sus trabajos sobre el comportamiento de la conta-minacion en la bahıa de San Francisco. Su finalidad era establecer mejoresherramientas de pronostico y control. Sus investigaciones se publicaron en ellibro Time Series Analysis: Forecasting and Control (1976) en el que describenla metodologıa. Este manuscrito se ha convertido en un clasico gracias al am-plio abanico de posibilidades que abrio en diversas ramas de las matematicas,la economıa, la ingenierıa o la estadıstica. Por sus autores, la metodologıadescrita en el presente capıtulo se conoce como modelos ARIMA o modelos deBox-Jenkins. Esta metodologıa y la implementacion del analisis de series tem-porales en R son analizados en diversa bibliografıa (Chirivella, 2008) (Shumwayy Stoffer, 2006).

Un requisito para este tipo de modelos es que la serie de observacionessea una serie estacionaria, motivo por el cual se deben realizar una serie detransformaciones. Que una serie sea estacionaria significa que ni la media,ni la varianza, ni la autocorrelacion entre las observaciones dependan deltiempo. De esta forma la serie esta “estabilizada”, pudiendo entonces estu-diar la presencia de comportamientos regulares que permitan proponerun modelo matematico. Las herramientas que se emplean para ello son laFuncion de Autocorrelacion Simple (FAS) y la Funcion de Autoco-rrelacion Parcial (FAP), comparandose la forma obtenida en las mismaspara las observaciones con el catalogo de patrones graficos, que son tıpicos delos diferentes modelos propuestos. Se selecciona aquel que mejor se adecue ala forma de las FAS y FAP obtenida con las observaciones empleadas.

Una vez escogida la forma del modelo, se realiza una estimacion de loscoeficientes del mismo. Seguidamente se debe efectuar un analisis de losresiduos (entendidos como la diferencia entre el valor observado y el valorprevisto por el modelo), con el fin de comprobar si el ajuste del modelo a lasobservaciones es adecuado. Si no fuera el caso, se volverıa a repetir el procesoestudiando la aplicacion de otros modelos posibles.

Cuando se ha determinado un modelo suficientemente valido, que expliquede forma adecuada el comportamiento de la serie estacionaria, se deshacen los

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ajustes aplicados anteriormente y se comprueba si los pronosticos obtenidos conel modelo se corresponden significativamente con las observaciones iniciales,volviendo a comenzar la busqueda de un nuevo modelo si ello no ocurriera.Los pasos mencionados en la elaboracion de un modelo ARIMA se puedenconsiderar, por tanto, como un metodo iterativo de prueba-error, por cuantoque se busca la mejora continua del ajuste del modelo a las observacionesmediante la aplicacion de unas herramientas y el filtrado de datos.

6.2 Series temporales univariantes

El analisis univariante es aquel que utiliza como unica informacion parapredecir los valores futuros de una variable sus propios valores pasados (his-toria de la serie). Los modelos univariantes parten de la hipotesis de que elcomportamiento pasado de la serie se repetira en el futuro, por lo que sonrelativamente utiles en predicciones a corto plazo. Sin embargo, al no con-siderar otras variables que puedan afectar a la variable observada, a medio ylargo plazo no suelen ser utiles. Por ello, para realizar pronosticos a medio ylargo plazo son mas utiles los modelos multivariantes, que tienen en cuenta lainteraccion de otras variables que afecten a la observada.

6.2.1 Modelo clasico de descripcion de series temporales

La necesidad de predecir los valores futuros de determinadas variables apartir de la identificacion de comportamientos regulares en el pasado dio origena las series temporales. En el presente trabajo se utilizo para la primera aproxi-macion a la identificacion de estos comportamientos regulares el denominadomodelo clasico de descripcion de series temporales, que se analiza acontinuacion.

Previamente al analisis clasico de series temporales se debe definir el con-cepto de serie temporal, ası como el conjunto de datos empleados para llevarloa cabo. Una serie temporal es una secuencia de datos, observaciones o valores,medidos en determinados momentos del tiempo, ordenados cronologicamentey, habitualmente, espaciados entre sı de una forma regular. En el caso concreto

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del presente trabajo, los datos de que se dispone son los valores semanales delIbex 35. El periodo considerado para la toma de datos es desde el 1 de enerode 1998 hasta el 31 de diciembre de 2012, ultimo ano cerrado disponible en elmomento de iniciar la elaboracion del presente trabajo. Se ha preferido tomaranos naturales debido a la estacionalidad que tiene la bolsa en determinadasepocas del ano. La obtencion del dato de cierre semanal corresponde al vierneso ultimo dıa habil de la semana natural, porque de igual forma que la esta-cionalidad durante el ano, el dato de cierre, ya sea horario, diario, semanal omensual, es un factor clave en el analisis tecnico de la bolsa, y por lo tantoaquel que debe tenerse en cuenta para el presente trabajo (Velez y Capra,2011). Con estos 15 anos de datos disponibles, a 52 por ano, supone un totalde 780 datos sobre los cuales se formulara el modelo. Los primeros datos de2013 se utilizaran para validar el modelo mediante predicciones.

La caracterıstica observada a traves de las series temporales tiene, a su vez,distinta naturaleza temporal, pudiendose hablar de magnitudes de flujo y demagnitudes de stock :

• Magnitudes de flujo: son aquellas que se miden acumulando el valorde la variable desde la ultima observacion realizada, como es el caso delnumero mensual de inquilinos en un hotel. Estas magnitudes presentanel inconveniente de que, como estan definidas en un intervalo de tiempo,aunque este se mantenga constante, puede que se esten midiendo valoresno homogeneos. En el caso mencionado, el numero mensual de inquilinosde un hotel, la base temporal no es homogenea, ya que esta compuestade diferente numero de dıas y no todos los dıas pueden considerarseiguales (fin de semana, festivo, vacaciones, etc) ni aparecen en la mismaproporcion todos los meses.

• Magnitudes de stock: son aquellas que toman valores concretos eninstantes concretos del tiempo, como es el caso de la cantidad del activocirculante de una companıa. Su observacion tambien se realiza a interva-los de tiempo regulares, como en el caso anterior, pero no se ve afectadapor el problema de la falta de homogeneidad.

Al respecto de la clasificacion anterior, se puede afirmar que los datos decierre semanales del Ibex 35 constituyen una serie temporal calificada comomagnitud de stock, dado que toma un valor concreto en cada instante temporalfijado.

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Por su parte, la descripcion de series temporales siguiendo el modelo clasicopropone que toda serie esta formada por cuatro componentes teoricas: tenden-cia, variacion cıclica (ciclo), variacion estacional (estacionalidad) y variacionirregular (residual). La definicion de cada una de las componentes se detallaa continuacion:

• Tendencia, T(t): muestra el movimiento de la serie a largo plazo, estoes, indica si el valor de la variable aumenta o disminuye con el tiempo. Lafigura 6.1 muestra un proceso de tendencia creciente. Tanto la definicioncomo el calculo de la tendencia son cuestiones delicadas en cuanto a sudefinicion precisa. En el primer caso, debido al significado de la expresion“largo plazo”, que esta relacionado con el incremento del tiempo de lasobservaciones y el cual es muy difıcil delimitar. Generalmente, se es-tablece el largo plazo como un periodo de entre 3 y 10 anos, aunque estodepende de la naturaleza del problema. En el segundo caso, el calculo,porque resulta complicado identificar la tendencia al estar generalmenteconfundida con otra de las componentes, la cıclica.

Figura 6.1: Ejemplo de proceso con tendencia creciente


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• Variaciones cıclicas, C(t): son oscilaciones con un periodo de tiemposuperior a las variaciones estacionales, como las representadas en la figura6.2. Son tambien debidas a la naturaleza de la variable (el ciclo del agua,por ejemplo) y generalmente resulta complicado observarlas porque elperiodo del ciclo puede ser variable y porque habitualmente no sueleaparecer un ciclo completo en los datos con los que se trabaja. Esta es unade las razones por las que se ha escogido una serie de datos tan amplia.En el caso concreto del Ibex 35, se ha delimitado el largo plazo entre 8y 10 anos. Son una de las componentes principales cuando se estudiandatos economicos como es el Ibex 35, dado el conocido comportamientocıclico de la economıa.

Figura 6.2: Ejemplo de proceso con variaciones cıclicas


• Variaciones estacionales (estacionalidad), E(t): son oscilacionesque se producen en un periodo de tiempo menor al ano y que se repitende forma mas o menos regular a lo largo del tiempo, como se muestra enla figura 6.3. Son debidas al efecto que tienen los meses, los trimestres ocualquier otro periodo interanual sobre la variable estudiada.

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Figura 6.3: Ejemplo de proceso con estacionalidad


• Variaciones irregulares, residuales o erraticas, I(t): son movimien-tos que no muestran una estructura reconocible, como las que se repre-sentan en la figura 6.4. Se considera que estas variaciones son originadaspor hechos puntuales, como puede ser un cambio en la legislacion vi-gente, un cambio en la polıtica fiscal de un paıs o una noticia que afectadrasticamente a la economıa o las empresas. Esta ultima componente seobtiene haciendo la diferencia entre la serie original y el resto de compo-nentes descritas anteriormente y, por definicion, deberıa ser una variablealeatoria. El hecho de que los residuos sigan un comportamiento identifi-cable y no aleatorio, ha sido el origen de las nuevas tecnicas de descripcionde series temporales (ARIMA y procesos estocasticos).

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Figura 6.4: Ejemplo de proceso con comportamiento irregular


6.2.2 Procesos estocasticos

Un proceso estocastico es una sucesion de variables aleatorias que evolu-cionan con el tiempo. Cada una de las variables aleatorias del proceso tienesu propia funcion de distribucion de probabilidad y, entre ellas, pueden estarcorrelacionadas o no.

El modelo estadıstico que se propone para describir una serie temporal es eldenominado proceso estocastico. A modo de explicacion, se considera unaserie observada compuesta por n datos, que constituira una muestra de unvector de n variables aleatorias ordenadas en el tiempo (Z1, Z2, Z3, ..., Zn). Sedenomina proceso estocastico al conjunto de esas variables {Zt}, siendo t=1,2, 3, ..., n y la serie observada se considera una realizacion o trayectoria delproceso estocastico. Una representacion de la idea de proceso estocastico semuestra en la figura 6.5.

La estructura probabilıstica de cualquier proceso estocastico queda deter-minada cuando se conoce la distribucion conjunta de las n variables aleatoriasZt. La determinacion de la distribucion conjunta del proceso (o de un sub-

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Figura 6.5: Realizaciones de la variable Zt y distribucion en cada instante detiempo t

Fuente: Chirivella (2008)

conjunto del mismo) requiere observar un gran numero de realizaciones. Estaestimacion se simplifica en gran medida cuando se puede suponer que la dis-tribucion conjunta es una Normal multivariada, ya que la distribucion quedaradeterminada por las medias, las varianzas y las covarianzas. A continuacionse explican las funciones que describen las caracterısticas de un proceso es-tocastico.

La funcion de medias proporciona las medias de las distribuciones mar-ginales Zt en cada instante del tiempo, siendo su ecuacion la que se muestraen (6.1):

µt = E(Zt). (6.1)

Se dice que el proceso es estable en la media si la funcion de medias es cons-tante, es decir, todas las variables tienen la misma media.

La funcion de varianzas proporciona la distribucion de varianzas de lasdistribuciones marginales Zt en cada instante del tiempo, representada por laecuacion (6.2):

σ2t = Var(Zt). (6.2)

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Se dice que el proceso es estable en la varianza si esta es constante a lo largodel tiempo.

La estructura de dependencia lineal entre las variables aleatorias del pro-ceso se representa por las funciones de covarianza y correlacion. La funcionde autocovarianzas del proceso describe las covarianzas en dos instantes deltiempo cualesquiera, siendo su ecuacion la que aparece en (6.3):

Cov(Zt) = E[(Zt − µt)(Zt+k − µt+k)]. (6.3)

Como se observa en (6.3), la covarianza depende de los parametros t y k, siendot el instante inicial y k el intervalo de tiempo entre las observaciones.

Una condicion de estabilidad que aparece en diversos fenomenos dinamicoses que la dependencia entre dos observaciones solo depende de la longitud delintervalo de tiempo entre ellas y no del origen considerado, lo cual se expresaen la ecuacion (6.4), donde k = 0,±1,±2, . . ..

Cov(Zt1 , Zt1+k) = Cov(Zt2 , Zt2+k) = γk. (6.4)

La Funcion de Autocorrelacion se define como se muestra en (6.5). Cabehacer una puntualizacion al respecto de la expresion (6.5), y es que la segundaigualdad se cumplira en tanto en cuanto el proceso estudiado sea estable en lafuncion de autocorrelacion, no en general:

ρt,t+k =Cov(Zt1 , Zt1+k)

σtσt+k= ρk. (6.5)

En el estudio de una serie temporal, el proceso estocastico existe concep-tualmente, pero solo se dispone de un valor observado para cada instante (en unconjunto finito de ellos). Para poder estimar las caracterısticas “transversales”(medias, varianzas y covarianzas) del proceso a partir de su evolucion “longi-tudinal” (o a partir de una trayectoria), se debe suponer que las propiedades“transversales” son estables a lo largo del tiempo, lo cual conduce al conceptode estacionariedad, el cual se define en el siguiente apartado.

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6.2.3 Procesos estacionarios

Si se pretende estudiar una serie a lo largo del tiempo y se dispone deuna sola observacion para cada instante de tiempo t, resulta muy complicadoestimar las caracterısticas “transversales” del proceso (media, varianza y cova-rianza) a partir de su evolucion “longitudinal” (valores a lo largo del tiempo),y es necesario suponer que las caracterısticas transversales son estables a lolargo del tiempo. Un caso particular de estabilidad de estas caracterısticastransversales es que la media y la varianza sean constantes y que la covarian-za dependa del retardo entre observaciones y no del instante del tiempo. Unproceso que cumple estas caracterısticas es un proceso estocastico esta-cionario en sentido debil, expresado como se expresa en (6.6):

µt = µ = cte,σ2t = σ2 = cte,

Cov(t, t+ k) = Cov(t, t− k) = γk.

(6.6)

En caso de no cumplirse estas caracterısticas el proceso se denomina evolu-tivo, lo cual complicarıa en exceso la prediccion de los valores futuros respectoa un proceso estacionario.

Los procesos que representan sistemas economicos no se ajustan a las condi-ciones de estacionariedad expuestas, pero es posible eliminar sus tendencias yestabilizar sus varianzas para transformarlos en otros procesos que sean apro-ximadamente estacionarios, lo cual simplifica y permite describirlos y realizarpredicciones. La condicion impuesta sobre la covarianza suele cumplirse en larealidad y no es necesario hacer nada para comprobarlo. Es posible exigir unacondicion mas al proceso estacionario, en este caso a la distribucion del procesoestacionario. Se dice que un proceso es estacionario en sentido estricto cuandolas distribuciones marginales y las de cualquier subconjunto de variables tienenla misma distribucion, con los mismos parametros. Lo habitual sera admitirque un proceso estocastico tenga distribucion Normal multivariante, y que ladistribucion para cada instante de tiempo sea tambien Normal.

Finalmente hay que senalar que lo que realmente caracteriza a un procesoestacionario es la relacion existente entre la variable en el instante de tiempoactual y las variables en instantes de tiempo anteriores. Por ello, de todos losparametros anteriores, el que define realmente a un proceso estacionario (serie

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temporal), es la funcion de autocovarianza, con mayor precision de su valormedio o su varianza. Ahora bien, la funcion de autocovarianza no es el unico niel mejor parametro que mide el grado de relacion lineal entre dos variables, yaque depende de las unidades de medida de la variable y no constituye una escalapara medir el grado de relacion. Una forma de solucionar estos problemas esutilizar el coeficiente de autocorrelacion lineal simple, el cual mide elgrado de relacion total existente entre dos variables. Por su parte, si se quisieramedir el grado de relacion directa entre dos variables, eliminando el efecto devariables intermedias se deberıa calcular el coeficiente de autocorrelacionparcial.

Cuando se quiere analizar una serie temporal es necesario identificar laestructura que la genera, es decir, se debe determinar como influyen las ob-servaciones del pasado en las observaciones del futuro. Para identificar estadependencia se emplean dos herramientas definidas anteriormente, la FAS y laFAP.

Funcion de Autocorrelacion Simple (FAS)

La FAS es la representacion grafica de los coeficientes de autocorrelacionsimple de un proceso, que miden el grado de relacion total existente entre dosvariables separadas en el tiempo por cierto retardo k.

Si la dependencia (correlacion ρk) de las observaciones tiende a cero cuandoaumenta el retardo, entonces el proceso estacionario recibe el nombre de ergo-dico. La ergodicidad es una cualidad necesaria para poder estimar las carac-terısticas del proceso a partir de una unica realizacion, ya que en caso contrario,al aumentar el tamano de la muestra no se adquiere informacion adicional porser todas las observaciones muy dependientes entre sı. A los efectos del trabajo,se considerara que todos los procesos estacionarios son tambien ergodicos.

Funcion de Autocorrelacion Parcial (FAP)

La FAP mide el grado de relacion directa existente entre observacionesseparadas k periodos, sin considerar el efecto de los valores intermedios.

La relacion entre dos variables separadas con un cierto retardo k puede serdirecta o indirecta. Por lo tanto, para una serie temporal observada compuestapor n datos (Z1, Z2, Z3, ..., Zn), la variable Z1 esta directamente relacionadacon Z2 y entre ellas no existe otro tipo de relacion. En el caso de la relacionentre Z1 y Z3, esta se produce a traves de Z2, por lo que serıa indirecta.

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La relacion de una variable con sus anteriores tambien podrıa ser comola que se muestra en la figura 6.6, donde el efecto de Z2 se transmite a Z4

directamente y a traves de Z3. Por lo tanto, en la relacion de Z2 con Z4

hay una relacion directa, que se medirıa con el coeficiente de autocorrelacionparcial, y una relacion total (directa e indirecta) que medirıa el coeficiente deautocorrelacion simple.

Figura 6.6: Relacion entre los valores de un proceso estacionario


6.2.4 Procesos integrados

La mayorıa de procesos economicos son no estacionarios, ya que es habi-tual que presenten tendencia a lo largo del tiempo. Tambien es habitual quepresenten estacionalidad y que su varianza no sea constante, tal y como ocurrecon el Ibex 35. Ası pues, en la mayorıa de los casos es posible eliminar de elloslos efectos de tendencia y estacionalidad, estabilizar la varianza y de esta mane-ra transformarlos en otros procesos que sean aproximadamente estacionarios.La forma para conseguir estas transformaciones es la integracion.

Si el proceso tiene tendencia, es posible que se convierta en estacionarioal tomar diferencias, como se representa en la figura 6.7. Esto es, restar atodos los valores de la serie su anterior. Una vez diferenciado se representagraficamente para observar si los nuevos valores oscilan alrededor de un valorcentral. Si no es ası, la tendencia no se ha eliminado, o no ha desaparecido deltodo y se tomara una segunda diferencia del proceso Zt.

Se dice que un proceso estocastico es integrado de orden h cuando es nece-sario diferenciarlo h veces para conseguir un proceso estacionario.

Una propiedad importante de los procesos estacionarios es tener incremen-tos estacionarios. Ası, si el proceso Zt es estacionario, entonces el proceso

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Figura 6.7: Diferenciacion de un proceso no estacionario


ωt = Zt − Zt−1, es a su vez estacionario, por lo que se deduce que diferenciaren exceso no tiene, en principio, consecuencias negativas para la serie.

Para identificar la existencia de tendencia y/o estacionalidad se debe re-currir a la FAS. La tendencia se observa si los valores de los coeficientes deautocorrelacion decrecen lentamente con el retardo (grafica derecha de la figura6.8) o tienen un decrecimiento lineal (grafica izquierda de la figura 6.8)

Figura 6.8: FAS de una serie con tendencia

Fuente: Chirivella (2008)

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Si el proceso tiene estacionalidad, tambien se suele solucionar mediante ladiferenciacion de la serie, aunque en este caso se debe hacer una diferenciacionestacional. Con ello, la serie desestacionalizada Zt se calcula como se muestraen (6.7):

Zt = ∇sYt = Yt − Yt−s, (6.7)

donde s es el periodo estacional del proceso, por ejemplo tomando el valor 12para periodos mensuales.

La representacion grafica de la serie transformada permite determinar sila componente estacional ha sido eliminada, pudiendose aplicar diferenciasestacionales tantas veces como sea necesario. La estacionalidad se observa enla FAS cuando aparecen unas oscilaciones en los valores de los coeficientes deautocorrelacion simple o unos picos equiespaciados en el retardo.

Si el proceso tiene varianza no constante tambien se realizan una serie detransformaciones que la estabilizan. Si la varianza es proporcional al valormedio de la misma, la forma de resolver el problema consiste en realizar latransformacion logarıtmica de la serie, que conduce a valores mas o menosconstantes. Tambien se puede tomar la raız cuadrada de sus valores. Tomardiferencias tambien podrıa estabilizar la varianza, pero es una transformacionmenos potente.

A veces es necesario recurrir a mas de una transformacion para obteneruna serie estacionaria. El orden en que se realicen estas transformaciones esrelevante, siendo preferible hacer primero las transformaciones logarıtmicas olas raıces cuadradas, ya que al tomar diferencias se pueden obtener valores ne-gativos, por lo que una segunda transformacion no permitirıa tomar logaritmosni raıces cuadradas.

La varianza no constante puede observarse mediante la representaciongrafica de la serie. Se puede determinar comparando la distancia vertical entrepicos del primer y ultimo dato de la serie. Si esa distancia no es la misma, lavarianza no es constate. Se dice que una serie es homocedastica cuando suvariabilidad (volatilidad) es constante a lo largo del tiempo. Cuando la volati-lidad varıa a lo largo del tiempo, la serie es heterocedastica. La variabilidadse refiere al “grosor” de la serie y una serie puede tener varianza constanteaunque sea muy “gruesa”.

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6.3 Analisis y prediccion de series temporales uni-variantes. Metodologıa Box-Jenkins

A diferencia de lo que ocurre con los modelos de regresion, los modelos deseries temporales no tienen una teorıa economica que los respalde, sino que seproponen y se ajustan segun las exigencias de la propia serie, por lo cual se de-nominan modelos ateoricos. Existen tres modelos fundamentales definidos paraprocesos estacionarios y, a partir de ellos, se obtienen modelos mas elaboradosy que se ajustan mejor a la realidad. Estos son los modelos AutorregresivosIntegrados de Media Movil (ARIMA) que se utilizan para describir aquellosprocesos no estacionarios pero que pueden serlo tras su diferenciacion.

6.3.1 Modelos para procesos estacionarios

Se trata de modelos lineales cuyos componentes son la variable que se pre-tende estudiar y sus valores anteriores, ası como una perturbacion y sus valoresanteriores. Los modelos propuestos son Autorregresivo (AR), Media Movil(MA) y la combinacion de ambos, Autorregresivo de Media Movil (ARMA).

Procesos Autorregresivos (AR)

Se supone que el valor actual de una variable Zt esta relacionado de formalineal con su valor anterior Zt−1, o con un cierto numero de valores anterioresal actual, mas el efecto de una variable aleatoria. Esta forma de dependenciase relaciona como se muestra en (6.8):

Zt = α+ φ1Zt−1 + εt, (6.8)

donde α y φ1 son constantes a determinar, |φ| < 1 y εt es un proceso de ruidoblanco. A este proceso se le denomina proceso autorregresivo de primer ordenAR(1).

Generalizando el modelo, de forma que no incluya solo el valor en el instantede tiempo anterior, sino que, de forma general, incluya ρ instantes anteriores,se obtiene la ecuacion (6.9)

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◦Zt= φ1

◦Zt−1 +...+ φρ

◦Zt−ρ +εt, (6.9)

donde

• φ1, φ2, ..., φρ, son constantes a determinar.

• εt es un proceso de ruido blanco independiente de◦Zt−1 ∀h ≥ 1.

•◦Zt es una variable centrada, la variable menos su media,

◦Zt= Zt − µ.

Determinar el orden de un proceso autorregresivo a partir de su FAS esdifıcil, ya que no presenta rasgos facilmente identificables con el orden delproceso. Es por ello que un proceso AR se debe identificar con su FAP.

Si se considera un AR(1), el efecto de Zt−2 sobre Zt es a traves de Zt−1, yconocido el valor de Zt−1 es irrelevante conocer el valor de Zt−2 para obtenerel de Zt, como se observa en la figura 6.9

Figura 6.9: Relacion entre valores de un AR (1)


En un AR(2), figura 6.10, el efecto de Zt−2 se transmite a Zt directamentey a traves de Zt−1, por lo que es necesario conocer ambos para obtener el valorde Zt. En este caso, la FAS indica que la pareja de valores Zt y Zt−2 estanrelacionados en ambos procesos AR(1) y AR(2), pero si se mide la relaciondirecta entre Zt y Zt−2 (eliminando la relacion existente a traves Zt−1), resultaque para un AR(1) esta relacion no existe, mientras que para un AR(2) sı.

En general, para un AR(ρ), las observaciones separadas por 1, 2, ..., ρ re-tardos presentan relacion directa con el valor actual y para el resto de retardos(ρ+ 1, ρ+ 2,...) no existe relacion.

El coeficiente de autocorrelacion parcial de orden k es una medida de larelacion lineal directa entre observaciones separadas k periodos, y se denomina

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Figura 6.10: Relacion entre valores de un AR (2)


Funcion de Autocorrelacion Parcial (FAP) al conjunto de los coeficientes deautocorrelacion αij. De esta definicion se deduce que un proceso autorregre-sivo de orden ρ tendra los ρ primeros coeficientes de autocorrelacion parcialdistintos de cero, y por lo tanto el numero de coeficientes distintos de cero enla FAP indica el orden del proceso AR.

Procesos de Media Movil (MA)

El modelo autorregresivo no describe correctamente algunas series tem-porales por la razon de que esas series no parecen depender de sus valoresanteriores. En algunos procesos el valor de la variable parece depender de ungran numero de variables de poca importancia individual y sin relacion entresı, que constituirıan el “entorno” de la variable y de los valores anteriores dedicho entorno.

Se denomina proceso de media movil de orden q, MA(q), a un proceso enel que el valor actual de la variable depende del valor actual de otra variable,εt y de sus q valores pasados. Esta forma de dependencia se expresa en (6.10):

◦Zt= εt − θ1εt−1 − θ2εt−2 − ...− θqεt−q. (6.10)

La FAP de un proceso MA(q) tiene todos los coeficientes no nulos quedecrecen con el retardo de forma exponencial y senoidal, por lo que para iden-tificar su grado se debe recurrir a la FAS, donde el numero de los coeficientesno nulos indica el grado del proceso MA.

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Procesos Autorregresivos de Media Movil (ARMA)

Algunas series temporales presentan un comportamiento mas complejo quelos AR o MA. El modelo que surge para describirlas es una mezcla entre ambos,esto es, el valor presente de la variable depende tanto de sus propios valorescomo del “entorno” de la variable en el momento actual y pasado. A estosprocesos se les denomina ARMA.

En un proceso ARMA, se puede observar en la FAP que los primeros coe-ficientes dependen de la parte AR y que luego se produce un decrecimiento enlos valores que dependen de la parte MA. Por su parte, en la FAS se observaque los primeros coeficientes dependen de la parte MA y posteriormente seproduce un decrecimiento de los valores que dependen de la parte AR.

Un ARMA(p,q) se expresa como se muestra en (6.11):

◦Zt= φ1

◦Zt−1 +...+ φρ

◦Zt−ρ= εt − θ1εt−1 − ...− θqεt−q. (6.11)

En la tabla 6.1 se muestran las diferencias entre la FAS y la FAP de los tresprocesos descritos hasta el momento, a saber, AR(p), MA(q) y ARMA(p,q).

Tabla 6.1: Similitudes y diferencias en la FAS y la FAP de los modelos AR(p),MA(q) y ARMA(p,q)

Proceso FAS FAP

AR(p)

Muchos coeficientes no nulosque decrecen con el retardode forma exponencial y sinu-soidal

ρ primeros coeficientes no nu-los y el resto nulos

MA(q)q primeros coeficientes no nu-los y el resto nulos

Muchos coeficientes no nulosque decrecen con el retardode forma exponencial y sinu-soidal

ARMA(p,q) Decrecimiento a cero Decrecimiento a cero


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6.3.2 Modelos para procesos integrados

Al igual que se pueden formular modelos para procesos estacionarios, comose ha visto anteriormente, tambien existen modelos para procesos no esta-cionarios, pero que mediante diferenciacion pueden llegar a serlo. A estos pro-cesos se les denomina Autorregresivos Integrados de Medias Moviles (ARIMA),los cuales se dividen en regulares y estacionales.

Los procesos ARIMA regulares explican aquellas series que tienen tenden-cia. Los procesos ARIMA son procesos tipo ARMA aplicados a la serie dife-renciada para eliminar su tendencia. Su notacion es ARIMA (p,d,q), siendo dlas diferencias regulares tomadas, p el orden del proceso autorregresivo y q elorden del proceso de media movil.

Por su parte, los procesos ARIMA estacionales explican las series que pre-sentan estacionalidad. Se tiene con esto un proceso Autorregresivo Integradode Media Movil Estacional (SARIMA). Si el proceso seguido es un ARMA (elcaso mas general), el modelo se denomina ARIMA (P ,D,Q) debido al numerode diferencias estacionales tomadas (D), y a los ordenes de la parte autorre-gresiva (P ) y de media movil (Q).

6.3.3 Metodologıa de Box-Jenkins

El modelo ARIMA es lo bastante flexible y potente como para poder ajus-tarse a casi cualquier serie temporal, pero precisamente a esa flexibilidad ypotencia se debe que la FAS y la FAP sean realmente complejas y los procesoscontenidos sean de todo punto irreconocibles. La metodologıa Box-Jenkins esla utilizada para solucionar el problema de la identificacion de las funcionesde autocorrelacion, la cual permite identificar los modelos que describen deforma mas o menos adecuada el comportamiento de la serie temporal objetode estudio. Esta metodologıa consta de los siguientes pasos:

• Estacionariedad: se aplican las transformaciones a la serie de formaque se consiga que sea estacionaria en caso de no serlo, lo cual es habitual.

• Identificacion: se determina el orden de diferenciacion para conseguir

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la estacionariedad de la serie y los ordenes correspondientes a las partesautorregresiva y media movil, tanto para el proceso estacional como parael regular. A partir de este paso se determina el modelo ARIMA (p, d, q)×(P,D,Q)s, cuyos valores se explican al final de 6.3.2.

• Estimacion: se estiman los valores de los parametros ϕ de las partesautorregresivas y φ de las partes de media movil para el modelo ARIMA(p, d, q)× (P,D,Q)s identificado.

• Validacion: mediante las hipotesis adecuadas se comprueban todas lashipotesis relativas al error y se comprueba que son significativas las es-timaciones de los parametros. De esta forma se acepta o se rechaza elmodelo estimado. Si los resultados conducen al rechazo del modelo, estese debe reformular. Si el modelo resulta adecuado, se pueden realizarpredicciones con el mismo.

• Reformulacion: si el modelo no es adecuado, hay que plantearse queerrores se han cometido en la fase de identificacion. Se debe entoncesidentificar un modelo complementario que sea capaz de explicar lo queel primero no ha conseguido.

• Explotacion: cuando se ha formulado un modelo adecuado se efectuanpredicciones, que pueden ser puntuales o por medio de intervalos de con-fianza, como corresponde a un modelo de tipo estocastico. Los valores deambas partes del modelo (autorregresiva y de medias moviles) ayudarana entender el proceso y cual es el peso de la “historia” en sus valoresfuturos.

6.4 Identificacion y prediccion del modelo ARIMA

La identificacion del modelo ARIMA requiere, en primer lugar, decidir lastransformaciones que se deben aplicar a la serie para que esta sea estacionaria(numero de diferencias d y D) y, en segundo lugar, determinar los ordenes p yq del ARMA (p,q) de la parte regular y, si el proceso es estacional, los ordenesP y Q de la estructura ARMA (P,Q)s estacional.

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6.4.1 Identificacion de la estructura no estacionaria

La identificacion de la estructura no estacionaria consiste en llevar a cabolos siguientes pasos:

• Determinar si es necesario transformar la serie para que tenga varianzaconstante (la denominada transformacion de Box-Cox).

• Determinar el numero d de diferencias regulares. Si la serie estudiadatiene tendencia es necesario diferenciarla para transformarla en esta-cionaria. Una vez diferenciada debe observarse la ausencia de tendenciay, en caso de no ser ası, volver a diferenciar. Si la serie se ha diferenciadoen d ocasiones, se dice que el orden de diferenciacion regular es d.

• Determinar el numero D de diferencias estacionales. La diferenciacionestacional elimina la componente determinista de estacionalidad presenteen la serie. Si se ha diferenciado en D ocasiones, entonces el orden dediferenciacion estacional es D.

6.4.2 Identificacion de la estructura ARMA

La identificacion de la estructura ARMA, es decir, las partes autorregresivay de media movil, los ordenes p y q de la parte regular del modelo ARMA (p,q),y los ordenes P y Q de la parte estacional del modelo ARMA (P,Q)s, quejuntos forman el modelo ARIMA (p, d, q) × (P,D,Q)s, se realiza presentandola FAS y la FAP muestrales del proceso estudiado y observando determinadoscoeficientes de autocorrelacion en las funciones. Una vez obtenidos los modelos(ordenes) de la parte regular y estacional por separado, el modelo ARIMA finalse obtiene combinando los modelos propuestos para ambas partes.

Estudio de la parte regular

Para identificar la parte regular de la serie hay que fijarse unicamente enlos 6-8 primeros coeficientes de autocorrelacion, tanto simples como parcialesde la FAS y FAP originales. Para identificar el orden del proceso se utilizaranunicamente aquellos coeficientes que sean significativos, y para confirmar el

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modelo se tendran en cuenta los 4-6 primeros coeficientes, sean o no significa-tivos.

Estudio de la parte estacional

Para identificar la parte estacional, hay que fijarse unicamente en los coe-ficientes de autocorrelacion estacionales, tanto los simples como los parciales.Para identificar el orden del proceso se utilizaran aquellos coeficientes esta-cionales que sean significativos. Para confirmar el modelo propuesto se tienenen cuenta los primeros coeficientes de autocorrelacion estacionales sean o nosignificativos.

6.4.3 Estimacion del modelo ARIMA

Para la estimacion de los parametros del modelo ARIMA se obtiene lafuncion de verosimilitud, que es funcion de los parametros que deben estimarsey de los valores observados de la serie. Derivando la funcion de verosimilitudcon respecto a cada parametro a estimar, se obtiene un sistema de ecuacionescuya solucion, por metodos de optimizacion no lineal, permite obtener lasestimaciones de los parametros.

Los estimadores obtenidos mediante estos procedimientos son maximo vero-sımiles, lo cual significa que son insesgados uniformemente de mınima varianzay que su varianza disminuye al aumentar el numero de datos.

Mediante este metodo se obtienen las estimaciones de los parametros parael modelo o los modelos ARIMA propuestos, ası como la estimacion de ladesviacion tıpica del error del modelo. En el caso de proponer mas de unmodelo, el que tenga menor varianza y estimaciones de los parametros massignificativas sera el modelo elegido, a falta de comprobar su validez.

6.4.4 Prediccion automatica. El paquete de prediccion para R

Las predicciones automaticas de largas series temporales univariantes seutilizan en el mundo financiero y en muchos otros ambitos. Las empresas

75


poseen cientos de lıneas de productos y necesitan predicciones de almacenaje,ventas, etc. Incluso cuando se trata de series mas pequenas tambien se re-quiere la realizacion de predicciones. No muchas personas estan capacitadaspara usar series temporales y predecir valores, por cuanto que se pueden come-ter numerosos errores de apreciacion o de calculo. En estas circunstancias, unpaquete de prediccion algorıtmico, como es el paquete de prediccion para R,se configura como una herramienta esencial. El paquete de prediccion paraR forecast (Hyndman y otros, 2005) determina el modelo mas adecuado parauna serie temporal concreta, estimando los parametros y calculando las predic-ciones. La popular prediccion algorıtmica automatica se basa en cualquiersuavizado exponencial o modelos ARIMA.

Para la parte aleatoria del modelo del Ibex 35 se ha empleado el moduloforecast, el cual no esta contenido en el programa basico y que abre las posibili-dades para ajustar el modelo ARIMA (Hyndman y otros, 2005). La prediccionautomatica sigue los pasos que a continuacion se describen:

• Para cada serie, se aplican los modelos que se consideran apropiados,optimizando los parametros del modelo para cada caso.

• Se selecciona el mejor modelo de acuerdo al AIC (Akaike’s InformationCriterion, o criterio de verificacion de Akaike, en castellano).

El AIC proporciona un metodo de seleccion entre el error del modelo aditivoy multiplicativo. Las predicciones puntuales de ambos modelos son identicasa la prediccion estandar medida con exactitud como en el MSE o el MAPE.El AIC es capaz de seleccionar ambos tipos de errores porque esta basado enpredicciones en mas de un solo paso.

La principal tarea de prediccion automatica del modelo ARIMA es selec-cionar el orden apropiado del modelo, que son los valores de p, q, P , Q, d, Dmediante un criterio de seleccion como es el AIC, calculandose este como semuestra en (6.12)

AIC = −2 log(L) + 2(p + q + P +Q+ k), (6.12)

donde k=1 si c 6= 0, (p + q + P + Q + k) es el numero de parametros en elmodelo ARIMA y L es el maximo valor de la funcion de log-verosimilitud parael modelo ARIMA estimado.

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De esta forma:

• Se producen predicciones puntuales al utilizar el mejor modelo (con losparametros optimizados).

• Se obtienen predicciones mediante intervalos de confianza del mejor mo-delo utilizando la funcion de ajuste automatico del modelo ARIMA, elcomando auto.arima (Hyndman y otros, 2005) o mediante simulacion defuturas muestras {yn+1, ..., yn+h} y localizando los percentiles α

2 y 1−α2 de

los datos de la simulacion para cada horizonte de prediccion. Si se utilizala simulacion, el camino de muestras pueden ser generadas utilizando ladistribucion Normal para los errores (bootstrap parametrico) o usando elremuestreo de errores (bootstrap ordinario).

Para muchos investigadores resulta un obstaculo el utilizar el modelo ARI-MA para realizar predicciones debido al difıcil proceso de seleccion del orden(estructura ARMA), ya que se considera subjetivo y complejo en su aplicacion.Aunque no tiene porque ser ası, porque los modelos ARIMA se han automa-tizado hasta tal nivel que la utilizacion de algoritmos garantiza la eleccion deun modelo valido dentro de un numero infinito de modelos y, como mınimo,uno de los modelos se aceptara.

Para la ejecucion del modelo se utilizan los siguientes comandos de la li-brerıa forecast :

• La funcion auto.arima ajusta de forma automatica el mejor modelo.

• La funcion forecast, para realizar las predicciones.

• La funcion plot, para obtener los graficos.

La salida de pantalla de la funcion auto.arima proporciona el valor esti-mado, el error estandar cometido y el t-valor para la prueba de contraste decada parametro. Pero ademas, la funcion calcula las medidas de bondad delajuste que se detallan en la tabla 6.2, y que sirven para comprobar la idoneidaddel modelo a partir de distintas medidas del error.

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Tabla 6.2: Medidas de bondad del ajuste obtenidas con el modelo ARIMA

Medida Descripcion Formula

ME Media del residuo1

T

T∑

i=1

ǫi

RMSERaız del error cuadraticomedio

√√√√ 1

T

T∑

i=1

(ǫt − ǫ)2

MAE Error absoluto medio1

T

T∑

i=1

|ǫi|

MPE Error porcentual medio1

T

T∑

i=1

ft − atat

MAPEError porcentual absolutomedio

1

T

T∑

i=1

∣∣∣∣ft − at

at

∣∣∣∣


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6.5 Validacion del modelo ARIMA

Para comprobar la validez del modelo propuesto se emplean diversos es-tadısticos de contrastes. La idea general es comprobar que se han elegido deforma correcta los ordenes d y D de la transformacion estacionaria de la serie ylos ordenes p, q, P y Q de la estructura ARMA del modelo, es decir, comprobarque se ha identificado correctamente el modelo ARIMA.

6.5.1 Contrastes sobre los parametros

En primer lugar debe comprobarse la significatividad de los parametros.El metodo analıtico para realizarlo es la prueba t. Mediante el software R, lasignificacion de los parametros se realiza con la siguiente prueba.

Si p − valor > α, siendo α = 0, 05, se acepta H0 (Ψi = 0), donde Ψi

representa a cada uno de los parametros del modelo, es decir, si se aceptala hipotesis nula de que cada parametro es no significativamente diferente decero. En caso contrato, si p − valor < α se rechaza la hipotesis nula y, por lotanto, se puede suponer que los parametros son significativamente distintos decero.

El estadıstico de contraste es el que se muestra en (6.13):

tcalc =Ψi

sΨi

≡ tgdlr. (6.13)

donde se divide la estimacion del parametro por su desviacion tıpica, expresionsimilar a (5.18) pero calculada para un modelo ARIMA.

6.5.2 Contrastes sobre el error

La diagnosis del modelo requiere comprobar que las hipotesis basicas reali-zadas con respecto al error son aceptables, esto es:

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Media cero: E(εt) = 0

Los residuos estimados de un modelo ARIMA no estan sujetos a esta res-triccion debido a la parte autorregresiva. El contraste para aceptar que el valormedio del error es cero es el que se expresa en (6.14):

H0 : E(εt) = 0,H1 : E(εt) 6= 0,

Si ε ∈[−zα/2 σε√

T, zα/2 σε√

T

],

(6.14)

donde T es un numero de datos empleados en el ajuste (T = n− d− sD, es elnumero de observaciones de la serie estacionaria), y el promedio y la varianzade los residuos se calculan mediante las expresiones (6.15) y (6.16):

ǫ =

∑ǫi

T, (6.15)

σ2ǫ =

∑(ǫt − ǫ)2

T − p− q − P −Q. (6.16)

Varianza constante: Var(εt) = cte

La homocedasticidad del error se comprueba estudiando el grafico de losresiduos frente al tiempo o frente a la propia variable estudiada. De formanumerica, se pueden tomar los residuos del ajuste, elevarlos al cuadrado yrealizar el ajuste por MCO de los modelos, segun las expresiones (6.17) y(6.18):

e2t = ϑ0 + ϑ1t+ U, (6.17)

si se postula que la varianza depende del tiempo.

e2t = ϑ0 + ϑ1Zt + U, (6.18)

si se postula que la varianza depende del valor de la variable.

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La hipotesis nula ϑ1 = 0 indica que no existe heterocedasticidad en losresiduos y la prueba t correspondiente permitira aceptarla o rechazarla.

Incorrelacion para cualquier retardo: Cov(εt, εt−k) = 0

Mediante la observacion de la FAS y la FAP, anadiendo los lımites designificacion ±2/

√T y comprobando que para valores altos del retardo los co-

eficientes se encuentran dentro de los lımites de confianza (95%), se compruebasi el modelo es correcto segun esta ultima hipotesis. La herramienta que seemplea para verificar esta hipotesis es el comando tsdiag de R descrito en elapartado 5.2 Diagnosis y validacion del modelo de regresion.

Normalidad

La normalidad de los residuos se comprueba con el papel probabilısticonormal, descrito en el apartado 5.2 Diagnosis y validacion del modelo de re-gresion.

6.5.3 Contrastes sobre el modelo. Reformulacion y sobrea-juste

El modelo ajustado tambien debe ser contrastado ya que no hay ningunateorıa economica que respalde el modelo seleccionado.

La prueba de reformulacion consiste en modificar el modelo original. Laforma de hacerlo es considerar que los residuos son una serie temporal y a-nalizando su estructura. En el caso de que existiera una nueva estructura,se producirıa una reformulacion del modelo incluyendo en el mismo la nuevaestructura.

La tecnica del sobreajuste consiste en estimar un modelo de orden mayor alobtenido y comprobar si se obtienen coeficientes negativos. Si se ha ajustadoun modelo ARIMA (p,d,q) el sobreajuste se aplica estimando los modelos conun orden superior de p o q, pero no de los dos a la vez, ya que se podrıancompensar sus efectos. Los modelos a estudiar serıan ARIMA (p + 1,d,q)y ARIMA (p,d,q + 1), comprobando en ambos casos si los parametros sonsignificativos.

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Capıtulo 7

Prediccion del Ibex 35 con unmodelo estocastico de salto dePoisson compuesto

En este capıtulo se elabora el modelo del Ibex 35. En primer lugar, serealiza un analisis descriptivo de la serie historica del Ibex 35, con el obje-tivo de comprender mejor su comportamiento. En segundo lugar, se hace ladescomposicion de la serie siguiendo el modelo clasico de descripcion de se-ries temporales, que servira como base para proponer un modelo adecuado.Este esta compuesto por los cuatro elementos, tendencia, ciclo, estacionalidady componente irregular, habiendose modelizado las tres primeras con tecnicasanalıticas para obtener una parte determinista y la ultima con tecnicas ARIMAy procesos estocasticos de tipo Poisson compuesto para completar el modelocon una componente aleatoria. Por ultimo, se lleva a cabo la validacion delmodelo para comprobar su adecuacion a la serie historica y medir su capacidadpredictiva.

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7.1 Introduccion. Seleccion y correcciones sobre laserie de datos

El mercado bursatil es un elemento fundamental en la economıa moderna.Se trata de un mercado que evoluciona y madura conforme se desarrollan lasempresas negociantes y los sistemas financieros. A su vez, determina el futurode companıas y paıses, mediante el valor de las acciones, futuros y demasderivados financieros. Estos valores reflejan las expectativas que los inversorestienen sobre el activo subyacente en el que invierten.

En el caso de los ındices bursatiles como el Ibex 35, que nos ocupa en elpresente trabajo, reflejan las expectativas economicas de las principales em-presas del paıs, y por tanto, de la economıa de dicho paıs en su conjunto. Losgrandes fondos de inversion invierten en los 35 valores que componen el Ibex 35o bien en el propio ındice, mediante derivados financieros. Por estos motivosy los ya explicados anteriormente se hace necesario conocer las caracterısticasde este mercado y tener una herramienta que apoye a la decision a la hora deinvertir, en este caso una herramienta basada en el analisis de series tempo-rales. Y como suele ser habitual en este tipo de analisis, se debe seleccionarla parte de la serie mas adecuada para elaborar un modelo y sobre dicha serieseleccionada es necesario realizar determinadas correcciones con el objeto deeliminar las posibles distorsiones por observaciones extremas que perjudiquena la estimacion de los parametros del modelo.

7.1.1 La serie de datos

Los valores que componen el Ibex 35 se negocian todos los dıas habiles dela Comunidad de Madrid de 9h de la manana a 17:30h de la tarde. Duranteeste horario los valores se negocian segun los principios basicos de la ofertay la demanda. Existe ademas una subasta de apertura media hora previa alhorario de mercado abierto, ası como una subasta de cierre 5 minutos despues.En estos intervalos los valores se negocian sin traslado efectivo en la cotizacionreal. La variacion real del dato se plasma en el momento de apertura a las 9hde la manana.

Los datos mas importantes desde el punto de vista de analisis tecnico

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bursatil son los datos de apertura y cierre. El dato de cierre es mas signi-ficativo pues es el que define como ha finalizado la “batalla” del dıa entre losalcistas y bajistas, es decir, los compradores y los vendedores. En toda biblio-grafıa de analisis tecnico podemos encontrar esta afirmacion. Si bien, tambientienen importancia los valores del maximo y mınimo del dıa y el precio de aper-tura, el precio de cierre es el que cierra el grafico y marca el punto de partidadel dıa siguiente. Por poner un ejemplo, si un valor abre a 99, durante el dıaalcanza 104 sin descender de 99 pero en la ultima hora de negociacion cierra en98, es una clara senal de debilidad. A partir de 100 los inversores consideranque el precio esta sobrevalorado y venden para obtener beneficios, motivo porel cual cierra en 98 al finalizar el dıa. Aunque el rango diario es importante, elprecio de cierre es el mas significativo y marca la tendencia del dıa siguiente.Ası sucede en multiples ejemplos. El tipo de grafico mas habitual es el de velasjaponesas, que representa graficamente los cuatro valores indicados (maximo,mınimo, apertura y cierre).

En cuanto al dato utilizado para la elaboracion de los graficos, en el analisistecnico se utilizan rangos de todas las amplitudes: minutos, horas, dıas, se-manas, etc. Para el analisis a medio plazo se utiliza normalmente el periodosemanal, pues tiene un movimiento mas suave y con una representacion dellargo plazo mucho mas apropiada que los datos diarios. Por este motivo se hanutilizado en el presente trabajo los datos de cierre semanal. El dato de cierresemanal es el que se utiliza normalmente en el analisis tecnico para realizar lasproyecciones a medio y largo plazo.

Se han tomado los datos de cierre del ultimo dıa habil de la semana delos ultimos 15 anos naturales disponibles, es decir, de 1998 a 2012, con unafrecuencia de 52 semanas cada uno. Se han utilizado 15 anos porque antes de1998 los datos no serıan validos para la realizacion del modelo, pues se produ-jeron oscilaciones incongruentes y una volatilidad casi nula caracterısticos delinicio de cotizacion de cualquier ındice o valor bursatil. Ası pues, el total dedatos historicos disponibles son 780. Cabe senalar, no obstante, que tambiense recogieron los datos de los primeros 9 meses de 2013 para contrastar laspredicciones que se realizaban con el modelo, pero estas no se incluyen en laserie objeto de modelizacion.

Respecto al numero de semanas, en caso de que por circunstancias un anotuviera 53 ultimos dıas habiles de semana, se han promediado los dos ultimospara mantener la frecuencia constante.

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Por otro lado, la serie presenta variaciones de tipo cıclico, es decir, conduracion mayor al ano. En la figura 7.1 se observa una subida desde el puntoinicial en 1998 junto a una bajada en 2003. Posteriormente otra subida cuyopico esta en 2008 que vuelve a bajar a mınimos a mediados de 2012, pararecuperarse en la segunda mitad de este mismo ano. Este ciclo que se repitees caracterıstico de la economıa y actualmente sufre de importantes saltos ymayor volatilidad, de ahı que se produzcan picos importantes dentro del mismociclo.

Figura 7.1: Evolucion del Ibex 35 desde el 1 de enero de 1998 al 31 dediciembre de 2012

Tiempo (semanas)

Loga

ritmo d

el Ibe

x

2000 2005 2010

4000

6000

8000

1000

012

000

1400

0

Fuente: Elaboracion propia a partir de datos de cierre diarios del Ibex 35

Sin embargo, para precisar en la descripcion de la serie de datos semanalesdel Ibex 35, se ha realizado una descomposicion de la misma siguiendo elesquema clasico de descripcion de series temporales descrito en el apartado6.2.1, el cual servira como base para la construccion del modelo.

Siguiendo el esquema indicado, se van a describir las caracterısticas dela serie de estudio. En cuanto a la presencia de tendencia, T (t), se puedeobservar en la figura 7.1 que no existe una tendencia clara a simple vista. Sepodrıa decir que se observa una ligera tendencia creciente porque se puededetectar que el mınimo de 2012 es mayor que el de 2003, ası como el maximode 2008 es superior al del ano 2000. Mas adelante se corroborara si existe o

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no tendencia.

Por lo que se refiere a los ciclos, C(t), observados en la serie objeto deestudio, se puede considerar la existencia ciclos de 8-9 anos. Siguiendo la seriede datos analizada de 15 anos puede observarse que el ciclo para que el Ibex35 retorne al momento inicial es de aproximadamente esta cantidad de anos, locual se demostrara posteriormente usando tecnicas estadısticas. Por ejemplo,partiendo de 2001 el Ibex se encuentra en torno a 10.000 puntos y en 2010-2011retorna a la misma cifra.

Por lo que respecta a las variaciones estacionales, E(t), numerosos au-tores coinciden la existencia de estacionalidad en los mercados bursatiles endeterminados meses del ano. Segun datos historicos, durante los ultimos 50anos la bolsa subio en los periodos de marzo-abril y octubre-enero, bajandonotablemente en junio y septiembre. Esto ha dado lugar a citas conocidascomo “sell in May and go away”, pues el periodo mayo-septiembre suele sermuy volatil y negativo. Ademas, dado que los mercados se guıan por el de-nominado “sentimiento del mercado” o “psicologıa de masas” y la repeticionhistorica, es algo a tener en cuenta. Por ejemplo, es conocido que el verano esun periodo volatil porque los responsables de las grandes firmas de inversionse van de vacaciones y dejan a cargo a trabajadores sin poder para tomardecisiones importantes, que desestabilizan el mercado pero no toman posi-ciones claras en una direccion u otra. O por ejemplo la semana de Navidad eshistoricamente alcista. Otro ejemplo claro y comunmente conocido es que loslunes son negativos y los viernes positivos. En la figura 7.2 se puede observarla rentabilidad promedio de estos dıas en el periodo analizado que demuestraesta estacionalidad.

Es importante recalcar de nuevo que el analisis tecnico se basa en la psi-cologıa de masas, por lo que los patrones que se identifican repetidas vecesse asume que se repetiran en el futuro. De aquı que estos datos historicos derentabilidad promedio haya que tenerlos en cuenta.

Por ultimo, las variaciones irregulares, I(t), se pueden observar a lolargo de toda la serie, siendo esta componente de especial relevancia parala modelizacion del comportamiento actual del Ibex 35. Las variaciones i-rregulares se observan principalmente por incrementos y descensos bruscos yrepentinos del ındice.

Ası pues, las conclusiones que se pueden extraer del presente apartado son

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Figura 7.2: Rentabilidad promedio historica de los dıas de la semana

Fuente: Elaboracion propia a partir de los datos diarios de la serie historica

la presencia de una serie de componentes en el comportamiento del ındice Ibex35, que deben ser recogidos en la elaboracion del modelo y que son: la presenciade tendencia, la existencia de ciclos y la existencia de una estacionalidad anualen los datos del Ibex 35, ademas de la presencia de una componente irregularen el comportamiento de los mismos.

7.1.2 Ajustes realizados sobre la serie de datos

Otro de los pasos habituales en la modelizacion matematica de series tem-porales es la realizacion de una serie de correcciones sobre los datos observados.La motivacion de este hecho no es mas que la eliminacion y/o sustitucion dedatos que pueden no ser representativos de la serie general, es decir, son datosanomalos, y que pueden interferir en la estimacion de los parametros del mo-delo, produciendo en consecuencia distorsiones en el modelo construido.

La primera de las correcciones consiste en considerar anos con 52 cie-rres semanales. Las razones que justifican esta decision se deben a los cri-terios del analisis tecnico bursatil ya comentados anteriormente. Se han selec-

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cionado los cierres semanales, independientemente del numero de dıas habileso el dıa natural en el que se produzca el cierre semanal (por ejemplo si elviernes es festivo, se toma el jueves). Por otra parte, esto supone que en varioscasos los anos tengan 53 cierres semanales. En estos casos se han promediadolos dos ultimos datos disponibles a fin de contar con unicamente 52 datos enun ano. Esto se realiza para facilitar la modelizacion.

La segunda correccion que se ha realizado ha sido la de tomar logarit-mos naturales. Esto es bastante usual al trabajar con series temporalespuesto que, entre otros problemas, se elimina la heterocedasticidad (varianzano constante) y se aproxima la distribucion de los datos a una distribucionNormal, lo cual facilita en gran medida el proceso de modelizacion posterior.Multiple bibliografıa refuerza la decision de la toma de logaritmos (Benth ySaltyte Benth, 2013).

La ultima correccion se ocupa de eliminar la presencia de los deno-minados outliers, o datos extremos. Los outliers estan representados porfuertes spikes (picos en la terminologıa anglosajona) hacia arriba y hacia abajo.Estos picos pueden influir de manera determinante en el analisis de la tendenciay de la estacionalidad de las series temporales que definen los datos y quese desea modelizar. Por ello, es conveniente eliminar estos outliers antes deproceder a estimar los parametros del modelo.

Las explicaciones que se dan sobre la existencia de outliers son muy varia-das, pero normalmente se deben a noticias economicas que afectan gravementea los mercados bursatiles. Por ejemplo, recientemente las noticias de la quiebrade la banca o los rescates a los paıses en crisis de la eurozona, son motivos degraves descensos, o bien las medidas de fuerte estımulo de la FED (EE.UU.) odatos macroeconomicos muy buenos de determinadas economıas, son motivosde importantes ascensos.

Para detectar los outliers se calculan el cuartil inferior y superior y el rangointercuartılico para la serie de datos transformados logarıtmicamente. Estosconceptos se definen de la siguiente manera:

• Cuartil inferior (Q1): ordenados todos los datos de mayor a menor,Q1 es el valor a partir del cual se situa el 75% de los datos mayores queel mismo y por debajo del que esta el 25% de los datos. El valor de laserie utilizada es 9, 0084.

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• Cuartil superior (Q3): de nuevo considerando los datos ordenados, Q3

es el valor a partir del cual se situa el 25% de los datos mayores que elmismo y por debajo del que esta el 75% de los datos. El valor que seobtiene en la serie empleada es 9, 3118.

• Rango intercuartılico, IRQ (Q3 − Q1): diferencia entre el cuartilsuperior y el cuartil inferior. El valor obtenido para el caso de la serieutilizada es 0, 3034.

El criterio que se utiliza de forma usual para determinar la existencia deoutliers es considerar que una observacion es un outlier si se queda fuera delintervalo determinado por [Q1−1.5×IRQ;Q3+1.5×IRQ]. En el caso concretode la serie empleada, el rango resultante es [8, 5532; 9, 7670], no obteniendoseningun outlier.

Figura 7.3: Grafico Box-Whisker del logaritmo de los datos


La serie definitiva, una vez realizados estos ajustes, queda tal y como se

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representa en la figura 7.4, que es la que servira para ajustar el modelo pro-puesto. Con todas las correcciones, el numero de datos que tiene la serie es de780 datos de cierre semanales.

Figura 7.4: Logaritmo de los datos semanales corregidos desde el 1 de enerode 1998 hasta el 31 de diciembre de 2012

Fuente: Elaboracion propia a partir de los datos diarios de la serie historica

De la observacion de la serie corregida se pueden extraer cuatro compo-nentes principales, ya descritas en el apartado del modelo clasico de descripcionde series temporales:

• Tendencia. En el tramo de datos seleccionado no se observa una ten-dencia clara en sentido creciente o decreciente, desde el 1 de enero de1998 hasta el 31 de diciembre de 2012. Si bien, como se ha comentado,el mınimo de 2012 es mayor que el de 2003 y el maximo de 2008 mayoral del 2000, lo que indica una tendencia ligeramente creciente.

• Evolucion cıclica. La duracion del ciclo es de unos 8-9 anos aproxi-madamente. Como se puede observar en la figura 7.1, el ciclo de estaduracion se modelizara con una funcion trigonometrica apropiada, comomas adelante se mostrara, y encaja con los ciclos economicos reflejadosen el ındice bursatil.

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• Estacionalidad anual. Como mas adelante se detalla, tras descontarlas dos componentes anteriores de la serie, se observa con claridad laestacionalidad anual existente.

• Componente irregular. Esta componente sigue un comportamientopara cuya modelizacion se utilizaran tecnicas de procesos estocasticos.

Estas cuatro componentes son los elementos basicos del modelo, correspon-diendo las tres primeras (tendencia, ciclo y estacionalidad) a la parte deter-minista, y la ultima (componente irregular), a la parte aleatoria del modelo.A lo largo del apartado 7.2 se explica en detalle la forma de modelizar cadauna de estas componentes.

7.1.3 Descripcion estadıstica de la serie de datos corregida

Para realizar un analisis descriptivo de la serie de datos se ha recurrido alas herramientas habituales en estadıstica descriptiva, esto es, el calculo de losparametros que caracterizan a los datos y a sus transformados logarıtmicamente,los de posicion (media y mediana), dispersion (desviacion tıpica), y los de cur-tosis y asimetrıa, junto con la representacion grafica del histograma y el graficode caja y bigotes (Box-Whisker en terminologıa anglosajona).

En la tabla 7.1 se puede observar el resultado obtenido para el calculo de losparametros anteriormente senalados. De los datos calculados se deben realizaralgunos comentarios. Primero en lo que respecta a los logaritmos, la media y lamediana estan bastante proximas, como ocurre en las distribuciones proximasa la Normal, pero no son iguales. En efecto, la mediana es ligeramente mayorque la media. Por otro lado, los valores de la curtosis y del coeficiente deasimetrıa se situan en el intervalo [−2; 2], que es el que se admite como usualpara dichos valores en una distribucion Normal. De todo lo anterior pareceque a primera vista la distribucion del logaritmo de los datos es similar a unaNormal.

En las figuras 7.5 y 7.6 se representan los histogramas del Ibex 35 antes ydespues de tomar los logaritmos, respectivamente. La lınea discontinua de colornegro representa la densidad de la distribucion del Ibex 35 y, como claramentese observa, se aproxima a la Normal.

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Tabla 7.1: Parametros principales de la serie de datos corregida

Parametro Valor sin logaritmos Valor con logaritmos

No de datos 780 780Media 9.830 9, 167Mediana 9.680 9, 178Varianza 5.108.883 0, 052Desviacion tıpica 2.260 0, 228Curtosis −0, 075 −0, 418Asimetrıa 0, 0565 0, 026


Figura 7.5: Histograma de los datos del Ibex 35


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Figura 7.6: Histograma del logaritmo de los datos del Ibex 35


El objetivo que se perseguıa con la toma de logaritmos era aproximar ladistribucion de los datos a una Normal y hacer la serie homocedastica. Esto seconsigue en cierta medida, aunque para asegurar este extremo, se ha realizadoel test de Kolmogorov-Smirnov. El test de Kolmogorov-Smirnov se emplea paracontrastar si la distribucion de probabilidad de los datos corregidos provienede una Normal. El contraste de hipotesis es el siguiente, tomando los valoresde media y desviacion tıpica de la tabla 7.1:

H0 : La distribucion de probabilidad es Normal(9, 1672; 0, 2278)H1 : La distribucion de probabilidad no es Normal(9, 1672; 0, 2278)

El estadıstico del contraste de Kolmogorov-Smirnov (Dn) es la maxima dis-tancia vertical entre la funcion de distribucion formada por los datos corregidos(Fn(x)) y la funcion de distribucion teorica con la que se quieren contrastarlos datos (F (x)), como se expresa a continuacion:

Dn = max−∞<x<∞

|Fn(x)− F (x)|.

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El numero de datos se denota por n. Cuando n > 30, el valor crıtico delestadıstico para un nivel de significacion del 5% es el siguiente (Dcrit):

Dcrit =Dn√n.

Siempre que se obtenga un valor para Dn menor que Dcrit, no se podrarechazar la hipotesis nula. En terminos de p-valor, si este toma un valor mayorque el nivel de significacion (5%), la hipotesis nula igualmente no se rechaza.

El programa R permite hacer el test con el comando ks.test, siguiendo elrazonamiento anteriormente descrito y utilizando como argumentos las propiasseries de datos (original y corregida) y sus medias y desviaciones tıpicas. Elresultado se expresa en terminos de p-valor, tomando este en la serie de datosoriginal un valor de 0, 01843, por lo que se rechaza la hipotesis nula a un 5% designificacion, es decir, la distribucion de los datos no puede considerarse unadistribucion Normal con la media y la desviacion tıpica especificadas. Si bien,tras la toma de logaritmos, el test ofrece un p-valor de 0, 4097, por lo que seacepta la hipotesis nula con un 5% de significacion, en este caso, la distribucionde los datos se puede considerar una distribucion Normal.

7.1.4 Descomposicion detallada de la serie de datos corregida

Como base para proponer un modelo del Ibex 35 se va a descomponer laserie corregida en sus componentes, pero de una forma mas detallada, ya quehasta este punto solo se ha hecho una descripcion general de las mismas. Parapoder hacer una descomposicion completa, se ha recurrido al comando stl delprograma estadıstico R, el cual ha permitido generar la figura 7.7. Esta sedivide en cuatro graficas que se describen a continuacion.

La grafica superior (data) representa la serie de datos corregida, es decir,se muestran los mismos datos que se han podido observar en la figura 7.4.

En cuanto a la segunda grafica (seasonal), muestra la estacionalidad de-tectada en cada uno de los anos observados. En el extremo derecho de estagrafica se pueden ver valores entre −0, 03 y 0, 03, que pueden ser interpreta-dos como los ındices de estacionalidad. Un ındice estacional es la variacionrelativa que sufre el dato de una semana concreta con respecto a la media

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de toda la serie de datos. Por ejemplo, si el ındice de estacionalidad de laprimera semana de enero es 0, 03 significa que, de media, el dato del Ibex 35de esa semana (sea el ano que sea) es un 3% superior al dato medio del ano.La estacionalidad observada consiste en niveles maximos del Ibex 35 en abrilde todos los anos, caıda de los mismos hasta el mınimo en septiembre parauna posterior subida progresiva hasta abril. Esta estacionalidad encaja con laindicada anteriormente segun los datos historicos que se utilizan en el analisistecnico.

En la tercera grafica (trend) se representa la tendencia de la serie corre-gida de datos. En esta grafica tambien se pueden ver las variaciones cıclicasque experimenta la serie, observandose un ciclo de alrededor de 8-9 anos deduracion.

Finalmente, la grafica inferior (remainder), representa los coeficientes decorrelacion de los residuos de la serie. Se deberıa observar comportamientoaleatorio en los residuos y por tanto que no existe regularidad en los coefi-cientes. Sin embargo esto no es ası en este caso, ya que se ven oscilacionesde grupos de coeficientes positivos y negativos, de lo que se deduce que existeregularidad.

Del analisis de la serie corregida se deduce la presencia de cuatro compo-nentes, cuyo comportamiento es el objeto de la modelizacion posterior: tenden-cia, ciclo, estacionalidad y la componente irregular. Como se ha senalado, lastres primeras componentes son deterministas y se modelizan combinando fun-ciones lineales y trigonometricas, y la ultima se modeliza con tecnicas ARIMAy procesos estocasticos.

7.2 Elaboracion del modelo del Ibex 35

Los pasos seguidos en la elaboracion del modelo del Ibex 35 semanal sehan basado, con las adaptaciones pertinentes que recogen las caracterısticasintrınsecas de dicho mercado (Benth y Saltyte Benth, 2013). Despues derealizar todas las correcciones descritas en los apartados precedentes, ya sedispone de los datos adecuados para poder ajustar un modelo que, a priori,puede reflejar de forma fiel el comportamiento del logaritmo de los datos delIbex 35. El modelo propuesto es aditivo, y cada una de las componentes se

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Figura 7.7: Descomposicion de la serie completa del Ibex 35 (1998-2012)


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ajusta una vez ha sido obtenida y descontada (restada) la anterior, comen-zando por la componente tendencia-ciclo y acabando con la estacionalidad,que completa la parte determinista del modelo. Con los residuos de la partedeterminista, se ajustara un modelo ARIMA, ya que se supone que la com-ponente irregular es aleatoria. Con estos pasos se combinan las dos tecnicasdescritas en los capıtulos 5 y 6, respectivamente.

7.2.1 Ajuste del modelo del Ibex 35. Parte determinista

El modelo completo se puede observar en (7.1), en la cual se incluyen lasdiferentes componentes que se deben modelizar. La modelizacion, no obstante,se realizara por partes, recogiendose en primer lugar el comportamiento a largoplazo (ciclo y tendencia) y posteriormente el comportamiento en el corto plazo(estacionalidad e irregularidad),

P (t) = PTC(t) + PEA(t) + I(t), (7.1)

donde P (t) = log(p(t)), siendo p(t) el valor de cierre del Ibex 35 en la semanat.

Se ha partido de un modelo para la tendencia T (t) y el ciclo C(t), deno-tado como PTC(t), basado en una funcion lineal y una curva trigonometrica(mediante la funcion coseno), respectivamente. Las razones que justifican estadecision son la sencillez de la funcion coseno, su comportamiento periodico ysu facil interpretacion, ademas de que la tendencia se modeliza de forma ade-cuada con una funcion lineal. La frecuencia seleccionada para el coseno hasido de 468 semanas (9 anos), ya que el ciclo observado en el perıodo conside-rado tiene una duracion entre 8 y 9 anos y se ha comprobado como la funcioncoseno se adapta mejor al ciclo de 9 anos. Por todo ello, el modelo del Ibex35 basado en el modelo de Fourier con un armonico y una componente linealy del cual se parte como primera propuesta, es el que se muestra en (7.4),agregando las dos componentes detalladas en (7.2) y (7.3), correspondientes alas componente tendencia y ciclo, respectivamente.

T (t) = b0 + b1 · t, (7.2)

98


C(t) = b2 · cos[2 · π · (t− b3)

468

], (7.3)

PTC(t) = T (t) + C(t). (7.4)

Los parametros del modelo tendencia-ciclo son los siguientes:

• PTC(t) denota el logaritmo del dato del Ibex 35 en la semana t.

• t representa las semanas transcurridas desde el 1 de enero de 1998.

• b0 representa la parte fija o autonoma del logaritmo del dato del Ibex 35.

• b1 puede interpretarse como la tendencia o drift del logaritmo del datodel Ibex 35.

• b2 representa la amplitud del coseno. Proporciona una medida de lasoscilaciones cıclicas de los datos.

• b3 denota el desfase del coseno con respecto al 1 de enero de 1998 ensemanas.

Para determinar el modelo tendencia-ciclo, los parametros que se debencalcular son b0, b1, b2 y b3. Todos los parametros se calculan mediante elajuste no lineal que se va a realizar.

El primer ajuste se realiza con el programa R empleando la funcion nls,que sirve, en este caso, para ajustar la funcion trigonometrica propuesta a laserie de datos. En primer lugar, se introducen todos los datos observados ycorregidos (anos de 52 semanas y eliminacion de outliers). En este punto sedebe recordar el problema que presentan los algoritmos de ajuste de funcionesno lineales, y es que los resultados dependen del punto inicial de partida y, enocasiones, los optimos obtenidos no son optimos globales.

Por ello, el siguiente paso consiste en buscar un punto inicial para el ajustedel modelo dado en (7.2)–(7.4) a las observaciones de los datos corregidos.Los valores iniciales de b0 y b1 se obtienen a partir de la regresion lineal deP (t) sobre t. Posteriormente se ajusta el modelo partiendo de una semilla conb0 = 1 para encontrar el valor inicial de b2. A partir de este ultimo punto se

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calcula el valor inicial para b3. Finalmente se toma este punto como inicial delajuste definitivo del modelo (7.2)–(7.4) completo. El punto inicial obtenido esb0 = 9, 011, b1 = 0, 0004, b2 = 0, 259 y b3 = 43, 24.

Los valores de los parametros obtenidos de este ajuste son los que se mues-tran en la tabla 7.2. En ella se observa que todos los parametros son sig-nificativamente distintos de 0, a un nivel de confianza del 95%, dado que elp-valor correspondiente a cada parametro es menor que 5%1. Como comentarioadicional, cabe senalar que se observa la existencia de tendencia ligeramentecreciente con el valor positivo del parametro b1, tal y como se adelantabaanteriormente.

Tabla 7.2: Resultados del ajuste del modelo tendencia-ciclo

Parametro Estimado Error estandar t-valor p-valor

b0 9, 011 0, 01002 899, 23 0b1 0, 0003943 0, 00002232 17, 67 0b2 0, 2586 0, 006832 37, 85 0b3 43, 24 2, 103 20, 56 0


Si se representa el modelo tendencia-ciclo se obtienen los resultados de lafigura 7.8.

Con el modelo cıclico se recogen las oscilaciones regulares en los datos quese producen a lo largo de mas de un ano ademas de la tendencia, por lo quedescontando estas componentes se obtiene una nueva serie de datos que no tieneni ciclo ni tendencia, permitiendo de esta manera ajustar un modelo que recojalas variaciones interanuales o estacionales. Esta serie de datos obtenida comola diferencia entre los datos observados y el modelo tendencia-ciclo ajustadode puede observar en la figura 7.9.

En un primer analisis descriptivo de la serie descontada se pueden observaroscilaciones anuales. Esto se ha comprobado en la figura 7.7, en la que seobservaban los picos en abril y los valles en septiembre. Las razones de estasoscilaciones no se conocen con exactitud, si bien es lo que se produce segun

1Realmente, los parametros son significativamente distintos de cero para cualquier nivelde significacion, puesto que los p-valores toman valores muy cercanos a cero, como ocurre enlos ajustes realizados posteriormente.

100


Figura 7.8: Ajuste del modelo tendencia-ciclo a los datos corregidos


Figura 7.9: Serie de datos corregidos sin tendencia ni ciclo


101


muestran los datos historicos. Dado que la bolsa se mueve por los sentimientosde los inversores y se trata de un “movimiento de masas”, es probable quedeterminados factores psicologicos influyan en los motivos que provocan estasoscilaciones.

De esta forma, primero se ajusta el modelo estacional anual denotado porPEA(t) en la ecuacion (7.5), para el cual se ha tomado una frecuencia de 52semanas para el coseno. En la ecuacion (7.6) se expresa la operacion que serealiza en este segundo paso, ajustandose el modelo estacional anual sobre laserie de datos y descontando la componente tendencia-ciclo modelizada ante-riormente.

Antes de entrar en los detalles del calculo, cabe senalar que se realizo unacomprobacion de la inexistencia de tendencia lineal mediante la inclusion deun parametro que multiplicaba al tiempo, el cual, al realizar el ajuste lineal,resulto ser significativamente igual a cero.

PEA(t) = a1 · cos[2 · π · (t− a2)

52

], (7.5)

P (t)− PTC(t) = a1 · cos[2 · π · (t− a2)

52

]. (7.6)

Los parametros que se deben estimar son a1, que es el que determina laamplitud del coseno, y a2, que representa el desfase del coseno frente a laprimera semana de enero de 1998, siempre teniendo en cuenta que ahora setrabaja con los datos sin tendencia ni ciclo. Al igual que en el modelo anterior,se debe realizar una primera estimacion de los valores de a1 y a2. Para estimarlos dos parametros del modelo estacional anual se han fijado los valores a1 = 1y a2 = 0, obteniendo los resultados de la tabla 7.3, en la que se puede observarque ambos parametros son significativamente distintos de cero a un nivel designificacion del 5%.

Se ha representado el ajuste del modelo estacional anual en la figura 7.10,y la serie despues de haberle descontado las componentes tendencia, ciclo yestacionalidad anual en la figura 7.11.

Con el ajuste de las componentes tendencia-ciclo y estacionalidad anualfinaliza la parte determinista del modelo. El siguiente paso consiste en elajuste de un modelo ARIMA a la componente irregular, que constituira la

102


Figura 7.10: Ajuste del modelo estacional anual


Figura 7.11: Serie descontada de tendencia, ciclo y estacionalidad anual


103


Tabla 7.3: Resultados del ajuste del modelo estacional


a1 0, 018353 0, 006741 2, 723 0, 006621a2 10, 465435 3, 039692 3, 443 0, 000606


parte aleatoria del modelo del Ibex 35. El modelo determinıstico completo seexpresa en (7.7).

P (t) = 9, 011 + 0, 0004 · t

+ 0, 2586 · cos[2 · π · (t− 43, 24)

468

]

+ 0, 0184 · cos[2 · π · (t− 10, 4654)

52

].

(7.7)

7.2.2 Modelo ARIMA para la componente irregular. Partealeatoria

La ultima componente de la serie de datos, la componente irregular I(t),deberıa ser una serie estacionaria, es decir, sin tendencia ni estacionalidad, yaque, por definicion, la componente irregular no debe obedecer a ningun com-portamiento identificable. En caso de tener un comportamiento identificable,implicarıa que existe alguna componente que el modelo no recoge. Para com-probar la estacionariedad de la componente irregular, se representan la FAS yla FAP de la serie descontando tendencia, ciclo y estacionalidad en la figura7.12.

Como se puede ver, en la FAS se produce un descenso de los coeficientesde autocorrelacion, en el periodo objeto de estudio, de lo cual se deduce que seha eliminado la tendencia. Por su parte, en la FAP se observa un coeficienteclaramente significativo, el primero de ellos. A medida que se alarga el retardo,

104


hay ligeras oscilaciones de coeficientes positivos y negativos y dos coeficientessignificativos aunque en escasa medida. Todo esto implica la necesidad deconstruir otro modelo para la componente irregular.

Figura 7.12: FAS y FAP de la componente irregular


Con todo ello, se ha procedido a ajustar un modelo ARIMA (1, 0, 2) pararecoger el comportamiento que siguen los residuos. Este modelo se ha realizadocon el comando auto.arima del software R. En el siguiente apartado se procedea la validacion del modelo ARIMA obtenido.

7.3 Validacion del modelo del Ibex 35

La validacion del modelo es una parte esencial para comprobar la idoneidaddel mismo a los efectos de conseguir el proposito indicado al principio delpresente trabajo, esto es, recoger el comportamiento de los datos semanalesdel Ibex 35. Para realizar la validacion se han seguido los puntos indicados enel apartado 6.5.

105


7.3.1 Contrastes sobre los parametros

En primer lugar, se debe comprobar que todos los parametros son signi-ficativamente distintos de cero, para lo cual se emplea la prueba t-Student:

tcalc =Ψi

sΨi

≡ tgdlr. (7.8)

De la tabla 7.4 se obtiene el t-valor calculado de cada uno de los parametrosen el ajuste del modelo ARIMA, cumpliendose que son mayores en valor ab-soluto a 1, 96, salvo el correspondiente a MA(1), que aunque no lo es estamuy proximo, por lo que puede considerarse tambien significativo. Este valor1, 96 es el maximo para un intervalo de confianza del 95% en una distribucionN(0, 1), que es la aproximacion de la distribucion t-Student con elevado numerode grados de libertad en (7.8). Ası puedes, podemos suponer que todos losparametros estimados son significativamente distintos de cero.

Tabla 7.4: Resultados del ajuste del modelo ARIMA (1,0,2)

Parametro Parametro ParametroAR(1) MA(1) MA(2)

Estimado 0, 9693 −0, 0680 0, 0962Error estandar 0, 0095 0, 0366 0, 0375t-valor 102, 03 −1, 86 2, 57

ME = 0,0002036901


7.3.2 Contrastes sobre el error

Por su parte, del error, ǫt, se debe comprobar que se cumplen las siguienteshipotesis:

• Media cero, E(εt) = 0.

106


• Varianza constante, Var(εt) = cte.

• Incorrelacion para cualquier retardo, Cov(εt, εt−k) = 0.

• Distribucion Normal, εt ≡ N(0, σ).

Media cero.

El contraste para aceptar que el valor de la media del error es cero es elespecificado en (7.9), aceptandose la hipotesis nula si εt esta en el intervalodefinido, rechazandose en caso contrario:

[−zα/2

σε√T, zα/2

σε√T

]. (7.9)

Los parametros necesarios para hacer este test son ±zα/2 = ±1, 96, ladesviacion tıpica del error σε y T , que es el numero de datos (780). El valorde σε se obtiene calculando la desviacion tıpica de los residuos, resultando unvalor de σǫ = 0, 0332052. Con estos valores, se calcula el intervalo expresadoa continuacion:

[−0, 002330316; 0, 002330316].

Al comparar el valor de la media del error (ME en la tabla 7.4), 0, 0002036901,con el intervalo, se concluye que no se puede rechazar la hipotesis nula, puestoque la media del error esta dentro del intervalo, admitiendo entonces que notoma un valor significativamente distinto de cero.

Varianza constante.

La homocedasticidad del error (varianza constante) se debe comprobar es-tudiando el grafico de los residuos frente al tiempo o frente a la propia variableestudiada. No obstante, existe una prueba numerica, tambien descrita en elapartado 6.5 Validacion del modelo ARIMA, que puede aportar una mayorobjetividad y fiabilidad al contraste.

En primer lugar, se representa el grafico de los residuos frente al tiempoy frente a la variable estudiada (el logaritmo de los datos del Ibex 35) en la

107


figura 7.13. En las figuras no se aprecia a primera vista la existencia de hete-rocedasticidad, ya que la variabilidad de los residuos parece constante frentea la variable estudiada y a lo largo del tiempo. Debido a que las conclusionesa partir de los graficos parten de apreciaciones subjetivas, se recurre a loscontrastes que se muestran a continuacion.

Figura 7.13: Residuos frente a la variable (a) y frente al tiempo (b)


Para confirmar la apreciacion grafica de existencia de heterocedasticidad,se ha realizado la prueba numerica senalada anteriormente, que consiste enrealizar una regresion lineal entre el error al cuadrado y el tiempo, si se piensaque la varianza depende del tiempo, o bien realizar una regresion lineal entreel error al cuadrado y la variable estudiada, en caso de que se piense que lavarianza depende de esta, tal y como se define en las expresiones (7.10) y(7.11), respectivamente:

e2t = ϑ0 + ϑ1t+ U, (7.10)

e2t = ϑ0 + ϑ1Zt + U. (7.11)

108


Los resultados de ambas regresiones se muestran en las tablas 7.5 y 7.6.Como se puede ver, del primer ajuste resulta que el parametro que depende deltiempo (ϑ1), no es significativamente distinto de cero a un nivel de confianzadel 95%, puesto que su p-valor es mayor que 0, 05. En cuanto al segundoajuste, el parametro que depende de la variable estudiada (el logaritmo delIbex 35) sı es significativamente distinto de cero, ya que su p-valor es menorque 0, 05. Del analisis de estos ajustes se puede deducir que la varianza delresiduo depende de la variable pero no del tiempo, por lo que no es posibleadmitir la inexistencia de heterocedasticidad, incumpliendose ası una de lashipotesis del modelo.

Tabla 7.5: Ajuste del cuadrado de los residuos frente al tiempo


Constante 0, 0008418 0, 0002048 4, 111 0, 0000436Tiempo 6, 642e − 07 4, 543e − 07 1, 462 0, 144


Tabla 7.6: Ajuste del cuadrado de los residuos frente a la variable observada


Constante 0, 0159558 0, 0040923 3, 899 0, 000105Logdato −0, 0016204 0, 0004463 −3, 631 0, 000301


Incorrelacion para cualquier retardo.

Esta hipotesis se comprueba mediante la observacion de la FAS de losresiduos. Para ello, se ha representado la figura 7.14, en la que se muestra elanalisis realizado con el comando de R tsdiag.

En el primer grafico se representan los residuos estandarizados (los residuosdivididos por su desviacion tıpica) de la serie ARIMA. En la FAS debe obser-varse que los residuos no tienen autocorrelacion, como ası sucede, pues solo elprimero de los coeficientes de autocorrelacion es 1, mostrando la relacion delresiduo consigo mismo. Finalmente, el test de Box-Pierce contrasta la hipotesisnula de la distribucion aleatoria de los residuos. Esto proviene de la idea de

109


que unos residuos de un modelo correctamente especificado se distribuyen in-dependientemente. Como puede deducirse de la observacion del tercer grafico,el modelo puede admitirse como correctamente especificado pues los p-valorespor encima del nivel de significacion (5%) llevan a no poder rechazar estahipotesis.

Figura 7.14: Resultados del analisis tsdiag

Standardized Residuals

Time

0 200 400 600 800

−6

−2

2

0 5 10 15 20 25

0.0

0.6

Lag

AC

F

ACF of Residuals

2 4 6 8 10

0.0

0.4

0.8

p values for Ljung−Box statistic

lag

p va

lue


Distribucion Normal.

La ultima de las hipotesis que debe cumplir el modelo se comprueba me-diante el grafico Q-Q, que muestra el grado en que los residuos del modeloobtenido se ajustan a una distribucion Normal. La representacion del grafico

110


Q-Q de los residuos estandarizados2 se puede observar en la figura 7.15. Endicha figura la mayorıa de los residuos estan alineados, aunque en los extremosinferior y superior hay un ligero alejamiento de la diagonal. Se ha recurrido altest de Kolmogorov-Smirnov para comprobar numericamente la normalidad delos residuos y el p-valor obtenido en la prueba es de 0, 001746, lo cual significaque se rechaza la hipotesis nula y no se admite la normalidad de los residuos.

Figura 7.15: Grafico Q-Q de normalidad de los residuos estandarizados


Dado que se incumplen dos de las hipotesis que se establecen para la valida-cion del modelo, la normalidad de los residuos y la inexistencia de heterocedas-ticidad, se ha realizado un analisis separado de los residuos para profundizar enla comprension de su comportamiento y, por extension, tratar de modelizarlos.

2Se trata de los residuos divididos por su desviacion tıpica, gracias a lo cual su distribucionse puede comparar con una N(0, 1).

111


7.4 Modelo para los residuos

Para realizar un analisis y posterior modelizacion de los residuos, en primerlugar se debe comprender su comportamiento a lo largo del tiempo. Para ello,se ha representado en la figura 7.16 la serie de los residuos, definidos como ellogaritmo del Ibex 35 menos todas las componentes modelizadas en los aparta-dos anteriores (tendencia, ciclo, estacionalidad y componente irregular). Enesta figura se observa que los residuos tienen fluctuaciones de distinta intensi-dad alrededor del cero, pero cada cierto tiempo aparecen saltos relativamenteextremos. Este hecho motiva que se aıslen esos saltos extremos para modeli-zarlos por separado de los residuos.

Figura 7.16: Serie de residuos del modelo

Tiempo (semanas)

Resid

uos

0 200 400 600 800

−0.2

−0.1

0.00.1


Descriptivamente, los residuos no se aproximan a una distribucion Normal,dado que, como se puede ver en la figura 7.17, las observaciones de mayor fre-cuencia (alrededor de 250) son aquellas que estan en torno al cero, pero hay unpequeno numero de observaciones que toma valores extremos, principalmentevalores negativos.

Para aislar los saltos extremos se ha empleado una metodologıa (Benth y

112


Figura 7.17: Histograma de los residuos


Saltyte Benth, 2013) que se describe en detalle a continuacion. El primer pasoconsiste en calcular la media y la desviacion tıpica de los residuos con el objetode establecer unos lımites inferior y superior a partir de los cuales se considereque existe un salto. La media de los residuos es igual a µ = 0, 0002036901y su desviacion tıpica toma un valor de σ = 0, 0332052. El lımite que setoma habitualmente viene determinado por la media mas/menos dos veces ladesviacion tıpica. Este hecho tiene su explicacion en que para una distribucionNormal el 95% de los valores de la misma se situa entre dichos lımites. Con losvalores concretos para los residuos del modelo, el intervalo es el que se expresaa continuacion:

[−0, 0662067099; 0, 0666140901].

Cuando se han fijado los lımites, se realiza el primer “filtrado”, conside-rando que existe un salto cuando un residuo particular sobrepasa los lımitesfijados. Si esto sucede, se sustituye el residuo por el lımite correspondiente.Una vez se han localizado todos los saltos del primer filtrado y han sido sus-tituidos tal como se ha descrito, se cuenta el numero de saltos y se vuelve a

113


calcular la media y la desviacion tıpica de los residuos para formar unos nuevoslımites y volver a contar y sustituir los saltos. Este procedimiento se realizacuantas veces sea necesario hasta que el numero de saltos no aumente. Elresumen de este proceso se muestra en la tabla 7.7.

Tabla 7.7: Resumen del proceso de filtrado de los residuos

IteracionDesviacion Saltos Frecuencia de

tıpica acumulados saltos semanal

1 0, 0332 35 0, 044872 0, 0292 52 0, 066673 0, 0282 60 0, 076924 0, 0279 61 0, 078215 0, 0279 61 0, 07821


Cabe hacer una serie de comentarios respecto a la tabla 7.7. El numerototal de iteraciones necesarias para que no se detectaran mas saltos fue de 5.Notese como la desviacion tıpica disminuye con cada una de las iteraciones,algo logico por otra parte, dado que la mecanica de este filtrado consiste enla eliminacion de los saltos extremos. En la columna “Saltos acumulados” seha ido sumando el numero de saltos que se producıan en los pasos anterioresya que, si existıa un salto en un paso previo, tambien existira en un pasoposterior, en el que los lımites son mas estrechos por la disminucion progresivade la desviacion tıpica. Por ultimo, se ha calculado la frecuencia de saltossemanal como el cociente entre el numero de saltos acumulado y el numero dedatos totales, que son 780.

Tras realizar este procedimiento, se toman los residuos en los que se hanlocalizado saltos y se separan de la serie de residuos. A esta nueva serie sin lossaltos se le ha denominado “residuos filtrados”, cuyo histograma esta represen-tado en la figura 7.18. Se puede observar que los residuos filtrados presentanuna distribucion mucho mas similar a la Normal, extremo este que se confirmatras realizar el test de Kolmogorov-Smirnov, para el cual se obtiene un p-valorde 0, 2296, claramente superior al nivel de significacion del 5%. Asimismo,los valores de los coeficientes de curtosis y asimetrıa se encuentran entre losesperados para una distribucion Normal, siendo −0, 5070 y −0, 1621, respecti-vamente.

114


Figura 7.18: Histograma de los residuos filtrados


Por lo que respecta a los saltos se puede ver su histograma en la figura 7.19.Para comprobar que no siguen una distribucion Normal, se ha realizado el testKolmogorov-Smirnov obteniendose un p-valor de 0, 0002453, menor que el nivelde significacion del 5%, por lo que no se puede admitir que los saltos siganuna distribucion Normal. El tratamiento que se propone es el de dividir lossaltos en valores positivos y valores negativos y modelizarlos como se describeseguidamente, para los cuales se ha representado su histograma en la figura7.20.

A continuacion se muestra en la tabla 7.8 los datos descriptivos de los saltospositivos y negativos, ası como de los saltos conjuntos, entendiendo estos comolos saltos observados en valor absoluto y las observaciones sin saltos con valorcero.

Para modelizar los saltos, se ha propuesto un modelo S(t) definido median-te la suma de dos procesos de Poisson compuestos, los cuales describen porseparado los saltos positivos y negativos. Se define el proceso S(t) como seexpresa en (7.12):

115


Figura 7.19: Histograma de los saltos


Figura 7.20: Histograma de los saltos negativos (a) y positivos (b)

Residuos

Frecue

ncia a

bsoluta

−0.2 −0.1 0.0 0.1

050

100

150

200

250

300

Función de densidad de los residuosFunción de densidad de Normal (−0,0004; 0,0814)


116


Tabla 7.8: Datos descriptivos de los saltos

Saltos Saltos Saltospositivos negativos conjuntos

Numero datos 24 37 780Media 0, 0742 −0, 0835 0, 0062

Desv. tıpica 0, 0203 0, 0350 0, 0230


S(t) = S+(t) + S−(t), (7.12)

donde S±(t) se definen tal y como se muestra en (7.13):

S±(t) =

N±(t)∑

i=1

J±i , (7.13)

siendo N+(t) y N−(t) procesos de Poisson cuyas intensidades son λ+ y λ−,respectivamente. En (7.12), J±

i son dos secuencias de variables aleatoriasindependientes e identicamente distribuidas (i.i.d.) con las que se modeliza eltamano de los saltos. Los pasos que se han dado para simular el proceso S(t)se detallan a continuacion.

De los resultados del filtrado realizado sobre los residuos, se obtienen lasintensidades λ+ y λ−, las cuales se calculan como el numero de saltos positivos(24) y negativos (37), respectivamente, divididos entre el numero de datostotales. Los valores calculados son,

λ+ = 0, 03076923, λ− = 0, 0474359,

respectivamente. Como se puede ver, los saltos negativos (descensos repentinosdel Ibex 35) son ligeramente mas probables y mas homogeneos que los saltospositivos.

En primer lugar, se debe definir la funcion de distribucion mas adecuada

117


para los saltos. La observacion del histograma de los saltos negativos (veasefigura 7.20, grafico (a)) sugiere el empleo de una distribucion exponencialpara modelizar los tamanos de los saltos (obviamente utilizando la mismadistribucion para generar la longitud de saltos positivos). La longitud de am-bos saltos ha sido determinada por la media que se muestra en la tabla 7.8 enla columna de saltos conjuntos, cuya funcion de densidad de probabilidad esde la forma dada en (7.14):

fExp(z) =1

µJexp(−z/µJ ), (7.14)

donde el parametro µJ es el tamano medio del salto. La estimacion delparametro µJ para la distribucion de los saltos tanto positivos como nega-tivos se ha hecho utilizando el enfoque de maxima verosimilitud mediante lamuestra de saltos conjuntos, obteniendose el valor µJ = 0, 0062. A partir dela distribucion exponencial cuyo parametro ha sido estimado se genera la lon-gitud los saltos J+

i y J−i de la expresion (7.12), teniendo en cuenta que en el

caso de los negativos han de considerarse con dicho signo.

De esta forma se tiene una especificacion completa del proceso estocasticoque gobierna la dinamica de los datos semanales del Ibex 35 en el periodoconsiderado.

7.5 Validacion total del modelo del Ibex 35

Para realizar la validacion final del modelo propuesto se deben cumplir doscondiciones para corroborar la normalidad de los residuos. Antes de realizarlos contrastes necesarios, se muestra a continuacion en la figura 7.21 el ajustedel modelo completo descomponiendo la parte determinista y estocastica.

Como puede observarse, la parte determinista acompana la evolucion delIbex 35 de una forma mas suavizada. Si bien, la parte estocastica es la quesigue mas fielmente la evolucion real, aportando al modelo la aleatoriedad delındice bursatil.

A continuacion se muestra el ajuste del modelo con ambas partes sumadas,

118


Figura 7.21: Ajuste del modelo completo del Ibex 35 descompuesto en partedeterminista y la suma de la parte determinista y la estocastica

Tiempo (semanas)

Log(Ibe

x−35)

2000 2005 2010

8.68.8

9.09.2

9.49.6

Parte determinista

Parte determinista+Parte estocástica


en la figura 7.22.

En este caso puede observarse que el modelo recoge el comportamientocıclico pero no es capaz de predecir adecuadamente los picos mas pronunciados,como es el caso de las bajadas de los primeros anos, el brusco descenso de 2008y 2012 y los picos del ano 2000 y de 2007.

Ası pues, como se indicaba al inicio del apartado, es necesario que se cum-plan dos condiciones para la validacion final del modelo, en definitiva, parademostrar la normalidad de los residuos.

En primer lugar, se muestra a continuacion la distribucion de la diferenciade los datos reales frente a los datos del modelo en la figura 7.23. Visualmentese puede comprobar que sı se ajusta a una distribucion Normal, ya que lafuncion de densidad de los residuos se ajusta notablemente a la funcion dedensidad Normal.

En segundo lugar, el test de Kolmogorov-Smirnov, ya utilizado previamenteen el presente trabajo, ofrece un p-valor de 0, 0562, superior al 5% del nivel

119


Figura 7.22: Ajuste del modelo completo del Ibex 35

Tiempo (semanas)

Loga

ritmo d

el Ibe

x

2000 2005 2010

8.59.0

9.510

.0


Figura 7.23: Histograma de los residuos del modelo del Ibex 35


120


de significacion. Este resultado corrobora lo que se observaba visualmente, esdecir, que la distribucion puede considerarse una distribucion Normal. Poreste motivo, el modelo puede considerarse correcto.

Por ultimo, las medidas de bondad del ajuste, descritas en el apartado 6.4.4,calculadas para el modelo construido, se muestran en la tabla 7.9. A conti-nuacion se comentan los valores obtenidos de las distintas medidas senaladas.Cabe destacar que las medidas MPE y MAPE son las mas objetivas por cuantoque se expresan en valores relativos (porcentajes) y, por tanto, sirven paracomparar con otros modelos incluso aplicados a otros datos.

Tabla 7.9: Medidas de bondad del ajuste del modelo con logaritmos

Medida Valor

ME −0, 0818RMSE 0, 1744MAE 0, 1016MPE −0, 8938%MAPE 1, 1109%


Puede observarse que las pruebas de bondad de ajuste ofrecen resultadosmuy bajos, corroborando que el error del modelo es aceptable y el modelo ensı es estadısticamente correcto, tal y como se observa en las graficas.

7.6 Predicciones con el modelo. Aplicacion de tec-nica Monte Carlo

El ultimo apartado del presente capıtulo aborda el estudio grafico y analıticodel ajuste del modelo a los datos observados y la realizacion de prediccionescon el mismo mediante la tecnica Monte Carlo. El metodo Monte Carlo setrata de una herramienta no determinıstica usada para aproximar expresionesmatematicas complejas y costosas de evaluar con exactitud. Su aplicacionconsiste en la generacion del modelo una cantidad determinada de veces (ennuestro caso 1.000), cuyos resultados son promediados y, en principio, deberıa

121


aproximarse mas a la realidad que una prediccion puntual. Al anadirle unintervalo de confianza consistente en los percentiles que mantengan el 95% delas predicciones realizadas dentro del intervalo, tendremos el resultado finaldel modelo graficamente, es decir, si la prediccion se ajusta a lo acontecido enla realidad y, por lo tanto, es capaz de predecir el comportamiento del Ibex 35.

Para ello, se han agregado todas las partes del modelo, la determinista (7.7)y la aleatoria dividida en tres partes, un modelo ARIMA, un residuo filtradogenerado a partir de la N(0, 00204; 0, 00057) y el proceso descrito para los saltos(7.12). La parte determinista como su concepto indica es fija, mientras quelas tres partes aleatorias son generadas cada vez manteniendo constantes losparametros estimados originalmente. El modelo hasta las 819 semanas se hagenerado 1.000 veces de esta forma y se ha obtenido la media. A los datosse les ha aplicado un intervalo de confianza mediante los cuartiles 0, 025 y0, 975, para desestimar el 5% de datos extremos. El resultado grafico se puedeobservar la figura 7.24.

Figura 7.24: Ajuste del modelo completo al logaritmo del Ibex 35 y predicciona 9 meses mediante tecnica Monte Carlo


En el grafico anterior se muestra el resultado de la aplicacion de la tecnicaMonte Carlo anteriormente descrita, para el modelo sin saltos y con saltos.Como puede observarse, el modelo propuesto recoge adecuadamente el reco-

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rrido del Ibex 35 y logra captar en los intervalos la mayorıa de observaciones,a excepcion de los picos inferiores de 1999 y 2008.

Las diferencias principales entre el modelo con y sin saltos son dos:

• En primer lugar, el modelo con saltos reduce el valor de la estimacion,como puede observarse en el grafico que sigue aproximadamente la mismapauta pero ligeramente por debajo. Esto se debe a que existen massaltos negativos que positivos en el modelo planteado, por lo que estosse producen con mas frecuencia y reducen el valor del Ibex.

• En segundo lugar, los saltos son mas frecuentes conforme mas se prolongaen el tiempo la estimacion. Esto se debe al proceso de Poisson utilizado.Por este motivo la diferencia entre el intervalo sin saltos y el intervalocon saltos es mayor en los ultimos anos que en los iniciales.

Finalmente, y al igual que se ha realizado anteriormente para la validaciondel modelo, se han calculado las medidas de bondad del ajuste tanto conlos datos obtenidos de la simulacion Monte Carlo como de los datos de laprediccion a 9 meses mediante la simulacion Monte Carlo. Los resultadosobtenidos son los que se muestran en la tabla 7.10 y la tabla 7.1. Como puedecomprobarse, las pruebas de bondad de ajuste ofrecen resultados muy bajos,corroborando nuevamente que el error es aceptable estadısticamente con latecnica Monte Carlo tanto en el modelo en sı como en la prediccion realizada.

Tabla 7.10: Medidas de bondad del ajuste del modelo mediante tecnica MonteCarlo

Medida Valor

ME 0RMSE 0, 1330MAE 0, 1024MPE 0, 0210%MAPE 1, 1189%


Tras haber finalizado el presente Trabajo Fin de Master, habiendo desar-rollado a nivel teorico y practico el modelo estocastico de salto de Poisson

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Tabla 7.11: Medidas de bondad del ajuste de la prediccion a 9 meses mediantetecnica Monte Carlo

Medida Valor

ME −0, 1084RMSE 0, 0442MAE 0, 1084MPE 1, 2029%MAPE 1, 2029%


compuesto para la prediccion del Ibex 35 y validado el mismo, en el siguientecapıtulo se exponen las conclusiones finales y las propuestas de actuacion.

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Capıtulo 8

Conclusiones. Propuestas deactuacion

En el presente trabajo se ha realizado, en primer lugar, una descripcion delmercado bursatil espanol y, posteriormente, se ha propuesto un modelo basadoen tecnicas estadısticas para tratar de describir y estimar el comportamientodel Ibex 35 en dicho mercado. Segun los objetivos especificados en el capıtulo3, el trabajo se ha estructurado en dos partes, la primera de ellas dedicada almarco teorico y la segunda al modelo del Ibex 35.

En la primera parte del trabajo, se han descrito las principales caracte-rısticas del mercado bursatil espanol, ası como su funcionamiento y los agentesque participan en el mismo. Finalmente, esta primera parte se completa conuna revision de las tecnicas estadısticas empleadas en la elaboracion del mo-delo.

Existen diversos hechos que motivan la elaboracion de un modelo de pre-diccion del Ibex 35. El primero de ellos es el alto grado de volatilidad quese ha alcanzado en los mercados. El segundo, la propia adaptacion de lasherramientas cuantitativas al analisis economico tradicional, lo cual amplıaen gran medida el conocimiento sobre los fenomenos economicos y facilita laposibilidad de realizar predicciones sobre los mismos. El tercero y ultimo,

125


mucho mas generico, la creciente tendencia observada en las empresas a com-binar equipos multidisciplinares en los procesos directivos de analisis y tomade decisiones, siendo necesario que los integrantes de dichos equipos conozcanlos campos de conocimiento aplicados, en este caso finanzas, matematicas yestadıstica.

En la segunda parte, se ha analizado de forma empırica el compor-tamiento del Ibex 35 desde 1998 hasta 2012. Del analisis se han podido extraerlas principales caracterısticas del Ibex 35.

El modelo propuesto parte de la descripcion clasica de series temporalesagregando las cuatro componentes: tendencia, ciclo, estacionalidad y compo-nente irregular. Para las tres primeras se ha propuesto una combinacion deuna funcion lineal y funciones trigonometricas de distintas frecuencias. Laparte irregular se ha modelizado combinando un modelo ARIMA con tecnicasestadısticas basadas en procesos estocasticos.

Las principales conclusiones que se pueden extraer tras la elaboracion delmodelo y la obtencion de predicciones son las que se senalan a continuacion.

En primer lugar se ha determinado la existencia de cuatro fases enel comportamiento del Ibex 35: la primera desde 1998 hasta el 2000 con uncomportamiento de subida inicial; la segunda que muestra una bajada signi-ficativa hasta 2003; la tercera desde el 2003 hasta el 2008 siendo observable unincremento significativo del Ibex 35; y la ultima desde 2008 hasta mediados de2012, en el cual se produce un descenso a practicamente niveles de 2003 conun comportamiento altamente volatil. Siguiendo la metodologıa estadısticapropia para la elaboracion de modelos basados en series temporales, a estaserie se le han aplicado una correccion unicamente: toma de logaritmos na-turales. Se establecio un criterio para la eliminacion de outliers, pero no selocalizo ninguna observacion extrema en el periodo especificado.

En la parte determinista del modelo se ha establecido la presencia dedos componentes. La primera, una combinacion de tendencia y ciclo. Latendencia observada en la serie de datos modelizada es ligeramente creciente,y la duracion del ciclo observado es de 468 semanas (9 anos), como demuestrala estimacion de los parametros asociados a dichas componentes. La segunda esla estacionalidad anual, con una frecuencia de 52 semanas (un ano). Los testsde hipotesis sobre los parametros tuvieron como resultado la significatividadde los mismos.

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En cuanto a la parte aleatoria, se ha propuesto un modelo ARIMA sobrelos residuos de la parte determinista tras la identificacion de estacionariedad enlos mismos, obteniendose un ARIMA (1,0,2). Al proceder a la validacion delmismo se incumplieron las hipotesis de homocedasticidad y normalidad de losresiduos, por lo que ha sido necesario profundizar en el estudio de los residuos.

Los residuos del ARIMA fluctuan en torno al cero, pero con saltos extremoscada cierto tiempo. Para modelizar los residuos se ha recurrido a la realizacionde un filtrado para separar dichos saltos, siendo el resultado de ello que estosresiduos filtrados siguen una distribucion N(0, 0020; 0, 0239). Para reproducirel comportamiento de los saltos, se ha propuesto un proceso estocastico combi-nando dos procesos de Poisson compuestos, distribuidos simetricamente, paralos saltos positivos y negativos, respectivamente.

La volatilidad a la que se ha hecho referencia durante todo el trabajo y la di-ficultad para representarla con el modelo puede observarse graficamente dondeel modelo sobreestima el valor del Ibex 35 en los picos mas bajos y subestima enlos picos mas altos, junto con la dificultad de predecir los movimientos bruscosque sufre el Ibex 35 entre dichos picos, limitacion intrınseca a la modelizacionfinanciera.

Ası pues, por lo que se puede extraer de los graficos y datos resultantes, elmodelo elaborado ha sido validadado correctamente pero no alcanza a realizaruna prediccion puntual fiable del Ibex 35, ya que no logra recoger adecuada-mente los saltos ni los datos mas extremos del ciclo. Si bien, dado que los cicloseconomicos afectan tambien al mercado bursatil, podrıa utilizarse el modelopara detectar los puntos mınimos y maximos del Ibex 35, a fin de no confundirun movimiento brusco como un punto de inflexion del ciclo. De este modo, laaplicacion a priori del modelo estudiado es util para la inversion a largo plazo,con la premisa hasta ahora correcta de que el mercado bursatil sigue el patronciclıco.

Los estudios posteriores sobre el trabajo realizado deberıan contemplar unmodelo distinto que permita recoger mejor la parte aleatoria de saltos. Acontinuacion se senalan las propuestas de actuacion que, a la vista de losresultados del presente trabajo, pueden ser tenidas en consideracion para elfuturo.

La primera de ellas y mas evidente, es la continuacion en la toma de datosdel Ibex 35 con el objeto de actualizar la estimacion de los parametros y deter-

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minar, en su caso, posibles cambios en las distintas componentes observadas.

En segundo lugar, debido a la importancia de la parte aleatoria en el com-portamiento del Ibex 35, se podrıa recurrir a otros metodos de modelizacionpropuestos en distintos trabajos sobre la materia. Cabe senalar que la compo-nente determinista consigue recoger las componentes clasicas de la serie, peroes claramente insuficiente en la modelizacion de la parte irregular, para lo cual,siguiendo el modelo de Schwarz (Benth y Saltyte Benth, 2013), se propone laaplicacion de la distribucion Normal Inversa Gaussiana (NIG), que profundizaen el empleo de los procesos estocasticos de la componente irregular.

Como tercer punto, hay que senalar las subestimaciones y sobreestima-ciones que realiza el modelo en ciertos lapsos temporales, una de sus principalesdebilidades. Son tal vez debidas a los periodos de tiempo establecidos paralas componentes de tendencia, ciclo y estacionalidad. Por ello, si se quisieraestudiar con un mayor detalle el comportamiento del Ibex 35, se deberıanconsiderar diferentes periodos de tiempo.

El cuarto aspecto que se debe tener en cuenta es el calculo de unos interva-los de confianza para las predicciones que tengan en cuenta todas las fuentesde variabilidad e incertidumbre del modelo y no solo del ARIMA, como se harealizado en el presente trabajo. Estas fuentes son los errores estandar de la es-timacion de los parametros de la parte determinista y los procesos estocasticosde la componente irregular.

En quinto lugar, cabe destacar que la parte aleatoria de la prediccion me-diante la tecnica Monte Carlo del modelo se ha realizado manteniendo constan-tes los parametros estimados con los datos originales. Si se reestimaran estosparametros en cada simulacion de la tecnica Monte Carlo podrıa fortalecersela parte aleatoria y de este modo mejorarse el modelo.

En ultimo lugar y no por ello menos importante, no hay que dejar de ladoel caracter multidisciplinar que gobierna el espıritu del trabajo. Esta formade analizar los problemas cotidianos que se le pueden presentar a una empresaotorga distintos puntos de vista y diversas fuentes tanto de discusion de lospropios problemas como de busqueda de soluciones a partir de las disciplinasestudiadas, lo cual se configura como una poderosa herramienta que debe ten-erse en cuenta para ser aplicada, con todas sus ventajas e inconvenientes, a lagestion de empresas.

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Predicción del Ibex 35 con un modelo estocástico de salto de ...

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