PREGUNTA Nº 1

0,7 0,83

0,50,69

0,7 = 7

10 0,83 =

5

6

0,69 = 7

10 0,5 =

1

2

LUEGO

5 5 2 10 16 81 1 1 2,6

6 6 1 6 6 3

1

2

ALTERNATIVA: A

PREGUNTA Nº 2

0,125

I) Por redondeo queda expresado 0,13 VERDADERO

II) Por exceso 0,13 = 13

100 210 13 VERDADERO

III) Por defecto queda expresado 0,12 FALSO

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 3

Total

5

12X +

4 1x x 168 x

9 10

X = 4320 cm

X = 43,20 m

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 4

ab aba bm t mb at3 3 3 3

ab mb at

ab mb at

3 3

3

ALTERNATIVA: B

PREGUNTA Nº 5

m = 18 1 ; entonces 3 < 18 1 < 4

p 2 5 2 ; entonces 2 2 5 2 3

q 15 3 ; entonces 6 15 3 7

Luego : m < p < q

II y III son verdaderas

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 6

a + bi = 2

2 5i

a + bi = 4 – 20i + 25i2

a + bi = 4 – 20i – 25

a + bi = –21 – 20i

Luego a = – 21 y b = – 20

Entonces a + b = – 41

ALTERNATIVA: A

PREGUNTA Nº 7

Si a = b, con a y b números reales distintos de cero.

a b

a b

no definida

Si a = b , entonces a – b = 0

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 8

1

21 1 1

2 2 2

4 4 44

72

872 :8 9 9 30,0003

10000 10000101 1160 160

16 16

ALTERNATIVA: B

PREGUNTA Nº 9

Si “n” es un número irracional.

I) n 2 . No siempre es irraccional, por ejemplo si n 2 entonces 2 2 = 2 y es

Racional.

II) 2n . No siempre es irracional por ejemplo 2

2 = 2 es Racional.

III) n 3 no siempre es irracional por ejemplo sin n = 3 , entonces 3 3 = 0 es Racional

Por lo tanto es ninguna.

ALTERNATIVA: E

PREGUNTA Nº 10

5 4 2

log a log b log 2c

4 5 4 2 4log a log a log b log (2c) log (2c)

Luego a > b > c

ALTERNATIVA: A

PREGUNTA Nº 11

4 x 2 x 2

2

2

4 x 2

4x 8

ALTERNATIVA: B

PREGUNTA Nº 12

Entre 2

5 y

3

5 se dividió en 4 partes iguales, entonces

2

5 se transforma en

8

20

3

5 se transforma en

12

20

Entonces x = 11

20

ALTERNATIVA: B

PREGUNTA Nº 13

Si x e y son dos números reales tal que x < y, entonces son siempre negativos.

I) xy2 NO siempre, ya que depende de los valores que se le asigna a “x” e “y”, por ejemplo

x = 2 e y = 3 (2)(3)2 = positivo FALSO

II) x – y Si x < y siempre x – y < 0. VERDADERO

III) xy – y2 = y (x – y). NO siempre es negativo ya que (x – y) es negativo pero “x” también

puede ser negativo.

x (x – y)

puede ser negativo siempre negativo FALSO

ALTERNATIVA: B

PREGUNTA Nº 14

Si log 1000 a , b

16log 2

25

y

1

2

log c 3 . ¿Cuál es el valor de a b c ?

log 1000 a

3log 10 a

3

2log10 a

Entonces 10a = 3

210 a = 3

2

b

16log 2

25

Luego 2 216 25 5b b b

25 16 4

1

2

log c 3

Luego

31

c 8 c2

,

entonces a b c = 3 5

8 152 4

ALTERNATIVA: A

PREGUNTA Nº 15

Si z 1 i 2 , entonces despejando “z” obtenemos z = 2

1 i , luego 1 1 i

z2

Entonces 1 1 1z i

2 2

ALTERNATIVA: B

PREGUNTA Nº 16

Sean r = x √2 y s = x + √2 . Los números r y s son racionales si:

(1) x es un número irracional negativo FALSO

Ya que “x” podría ser 3 y r = 3 2 y s = 3 + 2

Seguirían siendo irracionales.

(2) x es el inverso aditivo de √2 VERDADERO

Entonces x = 2

Así r = 2 2 y s = 2 + 2

ALTERNATIVA: B

PREGUNTA Nº 17

Si los números “p” y “q” son Racionales positivos tal que p < 1 < q

I) p2 – 1 > 0 FALSO

Siendo “p” un racional positivo, entonces p2 – 1 < 0

II) p q puede valer 1 VERDADERO

Si p = 1

2 y q = 2

III) p

q es siempre mayor que 1 FALSO

Por ejemplo p = 1

2 y q = 2

Entonces

112

2 4

ALTERNATIVA: B

PREGUNTA Nº 18

Formula de interés compuesto

Capital final = capital inicial (1 + i%)t(tiempo)

Luego:

Cf:= 348.000(1 + 1,2%)36

Cf= 348.00(1,012)36

ALTERNATIVA: B

PREGUNTA Nº 19

I) p q pq

a a VERDADERA

II) pqp q q pa b a b VERDADERA

III)

pp q qa a FALSA

q

pa

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 20

22 2

x 23 7

, luego 2 2 3

x 27 2

=

2 3

x 2 /7

3 x 2

7

3 x 2

7

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 21

2p 2 x 3x p 2 0

El valor de “p” para que las raíces sean reales o iguales se debe cumplir que:

b2 – 4ac = 0

(3)2 – 4(p – 2)(p + 2) =0

9 – 4(p2 – 4) = 0

9 – 4p2 + 16 = 0

25 = 4p2

225p

4

25

p4

5

p2

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 22

2x 2y a

3x 3y b

, entonces x2 – y2

Primero se factoriza por 2, queda 2(x – y) a

Luego (x – y) = a/2

Después se factoriza por 3

3(x + y) = b

Luego (x + y) = b/3

Como x2 – y2 = (x + y)(x – y)

Entonces a b ab

2 3 6

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 23

(x+1)(x-1) ≤ 0

Los valores anteriores de la inecuación son 1 y – 1, con lo cual la inecuación se hace cero.

Luego:

-

-1 1 +

(x + 1) - + +

(x – 1) - - +

En este intervalo (x +1)(x -1) es negativo, luego [-1 , 1] son las soluciones de la inecuación.

ALTERNATIVA: B

PREGUNTA Nº 24

2

3x 9 6 2x

x 3 x 9

=

3x 9 2(3 x) 3x 9 2 3x 7

x 3 (x 3)(x 3) x 3 x 3 x 3

ALTERNATIVA: A

PREGUNTA Nº 25

200y2x

15y1,0x2,0

-0,2

0,2x 0,1y 15

-0,2x 4y 40

0,5y = - 25

y = - 50

Luego se reemplaza y = - 50

En x – 2y = 200

x + 100 = 200

x = 100

Entonces x 100

2y 50

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 26

Se puede determinar el valor de A + B si:

R S

4 A

0,5 40

B 100

(1) R y S son inversamente proporcional VERDADERO

Se cumple que 4 A = 0,5 40 = B 100

(2) A B = 1 FALSO

Hay muchos valores que cumplen que A B sea 1

ALTERNATIVA: A

PREGUNTA Nº 27

f(x) = 2x + 5 y g(x)= 1

x 14

1g f

2

1g 2 5

2

g 1 5 g 4

Luego 1

g 4 4 1 1 1 04

ALTERNATIVA: A

PREGUNTA Nº 28

f(x)= x 1 2

RECORRIDO

La función es inyectiva, para ser epiyectiva su recorrido debe estar copado (sobreyectiva), en este

caso el recorrido (y) debe ser mayor o igual a 2.

2,

ALTERNATIVA: B

PREGUNTA Nº 29

f(t) = – 10 t2 + 40 t

Al calcular el vértice se obtiene en que momento alcanza la altura máxima y la altura máxima.

b b 40

V , f V , f 22a 2a 20

Reemplazando

V 2,40 - 10(2)2 + 40(2)

-40 + 80 = 40

I) VERDADERA A los 2 segundos alcanzó su altura máxima.

II) VERDADERA La altura máxima que alcanzó la pelota fue de 40 metros.

III) VERDADERA Se reemplaza por 4 en la función original.

-10(4)2 + 40(4) = - 160 + 160 = 0

La función es cero.

ALTERNATIVA: E

y

2

x 1

PREGUNTA Nº 30

(f(x) =

x1

3

I) f(x) es una función decreciente VERDADERA

Basta con darle valor x = 1

11 1

3 3

X = 2

21 1

3 9

disminuye

II) El recorrido de f(x) = VERDADERA

III) VERDADERA

=

13 10

10 3

1 11 1 1 10

33 3 3 3

ALTERNATIVA: E

PREGUNTA Nº 31

La primera parte es mayor que 6 de 3

La segunda parte menor que 10 de 5

Luego juntamos las 2 partes, se intersectan en ] –5 , –3[ ]9 , 15[

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 32

I) a – b = 3 FALSA

a = 1 b = 4

a – b = - 3

II) f(x) es creciente. VERDADERA

f(x) es la función raíz, es creciente.

III) g(x) es función lineal. FALSA

(no pasa por el origen)

ALTERNATIVA: E

1

f 1 f 1 0,3

1

f 1 f 1 0,3

-3 9 3

-5 5 15

PREGUNTA Nº 33

f(x) = x + 1 y g(x) = 1

x (g o f) (x)

g(f(x)) ) G (X + 1) = 1

x 1 luego el denominador no puede ser cero, entonces x debe ser x ≠ - 1

Luego el dominador es – {-1}

ALTERNATIVA: E

PREGUNTA Nº 34

g: [1 , +[ para g(x) = 2(x – 1)2 + 2

para que sea sobreyectiva

[2, +[

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 35

h(x) = 1

3

log (x – 3)

para graficarla se le da valores a “x”, por ejemplo si x = 4 1 1

3 3

log 4 3 log 1 0

entonces para por el punto (4, 0)

Si x = 6 entonces 1 1

3 3

log 6 3 log 3 1

Entonces pasa por el punto (6, -1)

ALTERNATIVA: E

PREGUNTA Nº 36

Si f(x) = x2 – 2px , entonces se puede determinar el valor de p si:

(1) f(2) = 0 VERDADERO

Se reemplaza por 2 el valor de “x”

(2) p > 0 y f(p) = - 1 VERDADERO

Se remplaza por “p” el valor de “x”

ALTERNATIVA: D

2

1

recorrido

PREGUNTA Nº37

Mediatriz es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de (1,6) y (-3,2)

Punto medio 1 3 6 2

, 1,42 2

Además debe tener pendiente m = - 1

Ya que la pendiente de la recta (1,6) (-3, 2) es 2 6 4

m 13 1 4

Luego la recta es 2 1

1 2

y yy 41 m

x 1 x x

y – 4 = - x – 1

y + x – 3 = 0

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº38

La pendiente de L1 es 2 1

2 1

y y 0 4 42

x x 0 2 2

ya que pasa por el origen y (2,4)

Luego la pendiente de L2 para ser perpendicular debe ser 1

2

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº39

El ∆ BOP es isósceles de base PB̅̅̅̅ con ∡BOP = 120°, entonces ∡0PB = 30°.

El ∆ AQP queda formado por los ángulos QPA = 30°, PAQ = 60° y AQP = 90°. Estos ángulos transforman el ∆ AQP en

un triángulo rectángulo escaleno, equivalente a la mitad de un triángulo equilátero.

Como OQ̅̅ ̅̅ = 3 cm radio del círculo, PQ̅̅ ̅̅ es diámetro, entonces PQ̅̅ ̅̅ = 6 cm.

Por la relación antes mencionada del triángulo equilátero AP̅̅̅̅ representa la longitud de uno de los lados de un triángulo

equilátero, PQ̅̅ ̅̅ la altura de dicho triángulo y AQ̅̅ ̅̅ la mitad de uno de sus lados.

Como PQ̅̅ ̅̅ = 6 cm, que es equivalente a la mitad de uno de los lados del triángulo equilátero multiplicado por √3, entonces

AQ̅̅ ̅̅ = 2√3 y AB̅̅ ̅̅ = 4√3

Por lo tanto 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ = 𝟒√𝟑 = √𝟏𝟔 ∙ 𝟑 = √𝟒𝟖 , entonces la alternativa correcta es B)

ALTERNATIVA: B

𝑂

3

3

𝑃

𝑄 𝐴

𝐵

30°

60°

(1,6) (-3,2)

PREGUNTA Nº 40

Como 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ // 𝑭𝑫̅̅ ̅̅ y se sabe que 𝑬𝑭̅̅ ̅̅ // 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ entonces se forma el paralelogramo 𝑮𝑷𝑫𝑭, entonces 𝑮𝑷̅̅ ̅̅ ≅ 𝑭𝑫̅̅ ̅̅ , por lo tanto I

es verdadera.

El arco 𝑪�̂� ≅ 𝑨�̂� y 𝑪𝑫̅̅ ̅̅ // 𝑬𝑭̅̅ ̅̅ entonces los arcos 𝑪�̂� ≅ 𝑭�̂� y 𝑬�̂� ≅ 𝑨�̂�.

También de lo anterior se deduce que 𝑮𝑭𝑫𝑷 es paralelogramo, por lo tanto II es falso.

𝑮𝑭𝑫𝑷 paralelogramo por lo cual el ∡𝑷𝑮𝑭 ≅ ∡𝑭𝑫𝑷 y ∡𝑮𝑭𝑷 ≅ ∡𝑫𝑷𝑮.

Luego ∡𝑭𝑮𝑷 + ∡𝑫𝑷𝑮 = 𝟏𝟖𝟎° (son suplementarios) y ∡𝑨𝑮𝑬 ≅ ∡𝑷𝑮𝑭 por ser opuestos por el vértice.

Como ∡𝑩𝑷𝑫 + ∡𝑫𝑷𝑮 = 𝟏𝟖𝟎° son suplementarios, entonces ∡𝑩𝑷𝑫 ≅ ∡𝑭𝑮𝑷

Por lo tanto ∡𝑨𝑮𝑬 ≅ ∡𝑩𝑷𝑫, entonces III verdadera.

La respuesta correcta es D).

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 41

El ∡𝑫𝑨𝑩 y ∡𝑩𝑪𝑫 son suplementarios, entonces:

𝒙 + 𝟐𝒙 = 𝟏𝟖𝟎°

𝟑𝒙 = 𝟏𝟖𝟎°

𝒙 = 𝟔𝟎°

Luego el 𝑩�̂� = 𝟏𝟐𝟎°, lo que determina que se debe calcular 𝟏

𝟑 de la longitud de la circunferencia. Como el radio es

𝟏𝟖 cm, se tiene que:

𝟏

𝟑𝟐𝝅𝒓 =

𝟏

𝟑2𝝅 ∙ 𝟏𝟖 = 𝟏𝟐𝝅

El perímetro del sector circular comprende la longitud del arco 𝑩�̂� = 𝟏𝟐𝝅 cm, el radio 𝑶𝑩̅̅̅̅̅ = 𝟏𝟖 cm y el radio

𝑶𝑫̅̅̅̅̅ = 𝟏𝟖 cm.

Por lo tanto el perímetro del sector circular es:

𝟏𝟐𝝅 + 𝟏𝟖 + 𝟏𝟖 = (𝟏𝟐𝝅 + 𝟑𝟔) cm

Luego D) es correcto.

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 42

si DE es mediana, se forman 4 triángulos equiláteros congruentes de lado 4 cms.

23 4 3 3 16 3

4 4

3● 4 3 = 12 3 cm

ALTERNATIVA: C

4 4

4

4 4

4 4

PREGUNTA Nº43

P′Q′R′S′ es el homotético del polígono PQRS, por lo tanto son semejantes en la razón RQ̅̅ ̅̅

R′Q′̅̅ ̅̅ ̅̅ =12

4=

3

1, es decir, la razón de

homotecia es r = 1: 3, por lo tanto I es falso.

Al encontrar el homotético de una figura con respecto a un centro cada trazo con su correspondiente, son paralelos, por

lo tanto PQ̅̅ ̅̅ // P′Q′̅̅ ̅̅ ̅̅ entonces II es verdadero.

Como la razón de semejanza es 3: 1 y el trazo RS̅̅̅̅ = 8 entonces RS̅̅̅̅ : R′S′̅̅ ̅̅ ̅ = 3: 1

LUEGO RS̅̅ ̅̅

R′S′̅̅ ̅̅ ̅̅ =3

1 entonces

8

R′S′̅̅ ̅̅ ̅̅ =3

1

3R′S′̅̅ ̅̅ ̅ = 8

R′S′̅̅ ̅̅ ̅ =8

3

Por lo tanto III es verdadera.

Entonces la respuesta correcta es II y III. Alternativa D)

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 44

Se tiene que (𝒙, 𝒚) = (𝟐, −𝟏) + 𝒕(𝟏, 𝟓)

escrita de forma continua 𝒙 − 𝟐 =𝒚+𝟏

𝟓

Luego 𝟓𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝒚 + 𝟏 𝟓𝒙 − 𝟏𝟏 = 𝒚

Por lo tanto la alternativa A) es verdadera. El punto (𝟒, 𝟗) se genera cuando 𝒕 = 𝟐 entonces de ser cierto se debe cumplir

(𝟒, 𝟗) = (𝟐, −𝟏) + 𝟐 ∙ (𝟏, 𝟓) (𝟒, 𝟗) = (𝟐 + 𝟐 ∙ 𝟏, −𝟏 + 𝟐 ∙ 𝟓)

(𝟒, 𝟗) = (𝟒, 𝟗) Por lo tanto B) verdadero. Si 𝒕 = 𝟎 entonces

(𝒙, 𝒚) = (𝟐, −𝟏) + 𝟎 ∙ (𝟏, 𝟓) (𝒙, 𝒚) = (𝟐 + 𝟎 ∙ 𝟏, −𝟏 + 𝟎 ∙ 𝟓)

(𝒙, 𝒚) = (2, −𝟏) Entonces 𝒙 = 𝟐 e 𝒚 = −𝟏

Por lo tanto C) es falsa.

La gráfica cruza al eje X en un punto cuya coordenada Y debe ser cero, por lo cual La expresión (𝒙, 𝒚) = (𝟐, −𝟏) + 𝒕(𝟏, 𝟓) se puede escribir como:

𝒙 − 𝟐

𝟏=

𝒚 + 𝟏

𝟓

Reemplazamos 𝒚 = 𝟎 y obtenemos 𝒙 𝒙 − 𝟐

𝟏=

𝟎 + 𝟏

𝟓

𝒙 − 𝟐 =𝟏

𝟓

𝒙 =𝟏

𝟓+ 𝟐

𝒙 =𝟏𝟏

𝟓

Lo que significa que D) es verdadera. Por último para que el (𝟐, −𝟏) pertenezca a 𝑹 se debe reemplazar y encontrar la igualdad.

Se tiene

𝒙 − 𝟐

𝟏=

𝒚 + 𝟏

𝟓

𝑃

𝑆

𝑅

𝑄

𝑄′

𝑃′ 𝑆′

𝑅′

12

8

4

Entonces 𝟐 − 𝟐

𝟏=

−𝟏 + 𝟏

𝟓

𝟎 = 𝟎

Entonces (𝟐, −𝟏) si pertenece a 𝑹, luego E) es verdadera.

Entonces la única afirmación falsa es C)

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 45

Los puntos A(6,2,3) y B(5, 0, −1) se debe calcular sus distancias al origen (0,0,0) y la distancia entre ellos,

Luego dAB̅̅ ̅̅ = √(6 − 5)2 + (2 − 0)2 + (3 − −1)2

dAB̅̅ ̅̅ = √12 + 22 + 42

dAB̅̅ ̅̅ = √1 + 4 + 16

dAB̅̅ ̅̅ = √21

Por lo tanto I es verdadera.

Si O es el origen O(0,0,0) entonces la distancia AO̅̅ ̅̅ será:

dAO̅̅ ̅̅ = √(6 − 0)2 + (2 − 0)2 + (3 − 0)2

dAO̅̅ ̅̅ = √62 + 22 + 32

dAO̅̅ ̅̅ = √36 + 4 + 9

dAO̅̅ ̅̅ = √49

dAO̅̅ ̅̅ = 7

Por lo tanto la afirmación II también es verdadera.

Por último la distancia BO̅̅ ̅̅ es:

dBO̅̅ ̅̅ = √(5 − 0)2 + (0 − 0)2 + (−1 − 0)2

dBO̅̅ ̅̅ = √52 + 02 + (−1)2

dBO̅̅ ̅̅ = √25 + 0 + 1

dBO̅̅ ̅̅ = √26

Luego la afirmación III es falsa.

Por lo tanto la alternativa correcta es B)

ALTERNATIVA: B

PREGUNTA Nº 46

Dos cuadrados siempre son semejantes

R. Semejanza = 𝟐

𝟑

R. de Área = 𝟒

𝟗

Si el lado del cuadrado más pequeño es 𝟐/𝟑 del lado del mayor, se puede decir que la razón de semejanza de estos dos

cuadrados es 𝟐: 𝟑 por lo tanto su razón de área será 𝟒: 𝟗, con lo cual podemos hacer una proporción para encontrar el

área del cuadrado mayor 𝟒

𝟗=

𝟔𝟎

𝒙 ⇒

𝟗 ∙ 𝟔𝟎

𝟒= 𝟏𝟑𝟓

Donde x es la incógnita que representa el área del cuadrado mayor, por lo tanto:

Área del cuadrado menor 60 cm2 Área del cuadrado mayor 135 cm2 Entonces la diferencia entre sus áreas es: 𝟏𝟑𝟓 − 𝟔𝟎 = 𝟕𝟓 cm2

Luego la alternativa correcta es B)

ALTERNATIVA: B

𝑥 2𝑥

3

PREGUNTA Nº 47

Teorema de Thales

5 12

x 5

25x

12

ALTERNATIVA: A

PREGUNTA Nº 48

Al hacer girar el rectángulo 𝑨𝑩𝑪𝑬 y el triángulo 𝑬𝑪𝑫 se forma un cilindro y un cono respectivamente como se muestra

en la figura. El volumen del cilindro es 𝝅𝒓𝟐𝒉 donde 𝒓 mide 3 y 𝒉 = 𝟏𝟐 entonces 𝟏𝟎𝟖𝝅 cm3 es su volumen. Y el volumen

del cono es 𝟏

𝟑𝝅𝒓𝟐𝒉 donde 𝒓 = 𝟑 y 𝒉 = 𝟔, luego

𝟏

𝟑𝝅𝟑𝟐 ∙ 𝟔 = 𝟏𝟖𝝅 cm3 por lo tanto el volumen total que se genera con esta

rotación es 𝟏𝟎𝟖𝝅 + 𝟏𝟖𝝅 = 𝟏𝟐𝟔𝝅 cm3. Alternativa D)

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 49

El punto medio de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ se obtiene mediante la semisuma de sus respectivas coordenadas:

Punto medio de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = (𝟏+𝟓

𝟐,

𝟐+𝟐

𝟐) = (𝟑, 𝟐)

Luego al punto (𝟑, 𝟐) se le aplica una traslación mediante el vector (−𝟑, −𝟓), lo que significa que el punto (𝟑, 𝟐) se

desplaza 3 unidades hacia la izquierda y cinco hacia abajo quedando ubicado en el punto (𝟎, −𝟑), dicho proceso se

representa algebraicamente con la suma del punto medio y el vector de traslación (𝟑, 𝟐) + (−𝟑, −𝟓) = (𝟎, −𝟑)

Luego el nuevo punto es (0, −3) Por lo tanto es correcta letra E)

ALTERNATIVA: E

𝐵 𝐴

𝐶

𝐷

𝐸

6

12

𝑟= 3

12

PREGUNTA Nº 50

Como α: β: γ = 1: 2: 3 y α + β + γ = 180° entonces se puede decir que:

x + 2x + 3x = 180

6x = 180

x = 30

Por lo tanto α = 30°, β = 60° y γ = 90°

Luego

Al trazar la bisectriz desde el ∡β se forman dos triángulos uno de los cuales es escaleno que es equivalente a la mitad

de un triángulo equilátero en cuyo caso la bisectriz representa el lado del triángulo equilátero de medida 10 cm, el lado

opuesto al ángulo de 30° en este nuevo triángulo mide la mitad, es decir 5 cm y el lado que está frente a 60° mide 5√3,

pues representa la altura de un triángulo equilátero de lado 10 cm.

En el otro triángulo (en la parte inferior del original) los ángulos quedaron de 30°, 120° y 30° por lo cual se generó un

triángulo isósceles cuya base es el lado opuesto a 120°, en tal caso los dos lados de este nuevo triángulo que están

opuestos a los ángulos de 30° miden 10 cm cada uno.

Por lo cual se tiene que:

Lo que falta es determinar la hipotenusa del triángulo original, lo que se hará mediante el teorema de Pitágoras.

Luego:

Hipotenusa = √152 + (5√3)2

Hipotenusa = √225 + 75

Hipotenusa = √300

Hipotenusa = 10√3

Ahora se determina el perímetro del triángulo original de ángulos α, β ˄ γ entonces:

15 + 5√3 + 10√3 = (15 + 15√3)cm

Por lo tanto la alternativa correcta es D)

ALTERNATIVA: D

30° 𝛼 = 30°

𝛾 = 90°

60°

120°

30° 𝛽

Bisectri

z

10 10

30° 30°

60°

30°

5

5√3

Pregunta 51

Si el Per = 100 cm ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 52

Para determinar que los triángulos son semejantes se necesita de uno de los criterios de semejanza: A) LLL (lado, lado,

lado) donde los tres lados correspondientes deben ser proporcionales; B) LAL (lado, ángulo, lado) donde los lados

correspondientes deben ser proporcionales y el ángulo entre esos lados debe ser congruente; C) AA (ángulo, ángulo)

donde se tienen dos ángulos correspondientes congruentes.

Si el triángulo exterior de TUV es 140°, entonces ∡TUV = 40° pues estos son suplementarios de los cual se puede

determinar el ∡UTV = 80°. Entonces el ∡RPQ ≅ ∡VTU y ∡QRP ≅ ∡UVT.

Por lo tanto por criterio de AA los triángulos son semejantes.

I Verdadera

Si bien se puede determinar que los lados PR̅̅ ̅̅

TV̅̅ ̅̅=

RQ̅̅ ̅̅

VU son proporcionales, falta el ángulo entre ellos. Por lo tanto no se

puede asegurar la semejanza.

Luego, II es falsa.

80°

60°

𝑅

𝑃 𝑄 140°

60°

𝑉

𝑇

𝑈

~

40°

10 8

𝑅

𝑃 𝑄

15 12

𝑉

𝑇 𝑈

18

20

12 12

36

40

76

100

76

24 : 2 12

Luego CF 12

Si PQ̅̅ ̅̅ // TU̅̅ ̅̅ , RP̅̅̅̅ // VT̅̅ ̅̅ yRQ̅̅ ̅̅ // VU̅̅ ̅̅ , entonces podemos determinar que los ∡RPQ ≅ ∡VTU y ∡VUT ≅ ∡RQP, por lo tanto los

triángulo son semejantes por criterio AA.

III Verdadera

Por lo tanto la alternativa correcta es D)

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 53

Al conocer la abscisas de P, como el triángulo es isósceles también se conoce la ordenada de Q. Luego

se tiene OQ OP . Catetos del triángulo OPQ, por lo tanto el área es OQ OP

2

entonces con la (1) si se

puede determinar el área.

Si conocemos la pendiente, solo tenemos la relación entre los catetos y no los valores de ellos, por lo

tanto no se puede calcular su área.

Entonces con la (2) no se puede solucionar.

ALTERNATIVA: A

PREGUNTA Nº 54

Como 𝑨𝑫̅̅ ̅̅ ≅ 𝑫𝑭̅̅ ̅̅ ≅ 𝑭𝑬̅̅ ̅̅ ≅ 𝑬𝑪̅̅ ̅̅ se tiene que el ∆ 𝑨𝑫𝑭, ∆ 𝑫𝑭𝑬 y ∆ 𝑭𝑬𝑪 son isósceles de bases 𝑨𝑭̅̅ ̅̅ , 𝑫𝑬̅̅ ̅̅ y 𝑭𝑪̅̅ ̅̅ respectivamente

y ∆ 𝑨𝑪𝑬 es rectángulo en 𝑬, luego el ∡𝑬𝑨𝑪 y ∡𝑨𝑪𝑬 son complementarios.

Como ∡𝑬𝑨𝑪 ≅ ∡𝑨𝑭𝑫 y ∡𝑨𝑪𝑬 ≅ ∡𝑪𝑭𝑬 entonces ∡𝑨𝑭𝑫 + ∡𝑪𝑭𝑬 son complementarios, es decir suman 𝟗𝟎° y ∡𝑨𝑭𝑪 es

un ángulo extendido, por lo tanto ∡𝑫𝑭𝑬 = 𝟗𝟎°, luego ∆ 𝑫𝑭𝑬 es isósceles de base 𝑫𝑬̅̅ ̅̅ , de lo anterior

∡𝑭𝑫𝑬 ≅ ∡𝑭𝑬𝑫 = 𝟒𝟓°.

Luego ∡𝑨𝑫𝑭 = 𝟏𝟑𝟓°, ángulo del vértice del ∆ 𝑨𝑫𝑭, por lo cual ∡𝑫𝑨𝑭 y ∡𝑨𝑭𝑫 son ángulos basales de dicho triángulo y

miden 𝟐𝟐, 𝟓°.Cada uno , entre los ángulos EAC = 22,5º

Por lo tanto B) es la respuesta correcta.

ALTERNATIVA: B

𝛽 𝛼

𝑅

𝑃 𝑄

𝑉

𝑇 𝑈 𝛼 𝛽

PREGUNTA Nº 55

ABCD trapecio isósceles de bases AB̅̅ ̅̅ = 40 cm y DC̅̅ ̅̅ , donde MN̅̅̅̅ ̅ es mediana y mide 32 cm. Luego podemos decir que:

DC̅̅ ̅̅ + 40

2= 32

DC̅̅ ̅̅ = 24

Se trazan las alturas desde C y D hasta la base AB̅̅ ̅̅ quedando ubicados en los puntos F y G respectivamente, formando

el rectángulo FGCD.

De ello podemos concluir que AF̅̅̅̅ y GB̅̅ ̅̅ son congruentes e iguales a 8 cm cada uno.

Por lo tanto se forma el ∆ CGB rectángulo de cateto GB̅̅ ̅̅ = 8 cm e hipotenusa BC̅̅̅̅ = 10 cm, entonces CG̅̅̅̅ cateto igual a 6

cm por teorema de Pitágoras.

El cateto CG̅̅̅̅ es igual a la altura del trapecio, luego la altura del triángulo sombreado es 3 cm y la mitad de la altura del

trapecio .

Como ∆ DCE es isósceles de base DC̅̅ ̅̅ = 24 cm y la base del triángulo achurado es paralela a la base del triángulo antes

mencionado, estos dos triángulos son semejantes y como sus alturas son una el doble de la otra respectivamente,

entonces las bases deben cumplir con la misma semejanza, por lo tanto la base del triángulo achurado es 12 cm.

Con lo que podemos concluir que el triángulo achurado tiene base 12 cm y altura 3 cm, por lo tanto su área será:

Area =12 ∙ 3

2= 18 cm2

ALTERNATIVA: D

Pregunta 56

r = a 2

A = r2

A = 2a2 ALTERNATIVA: D

𝐹 8

6 12

8

24

𝑀

𝐷

𝐴 𝐸

10

𝑁

𝐶

𝐵

40

3

𝐺

a

a

a 2

PREGUNTA Nº 57

Al trasladar la circunferencia basal de radio 𝑩𝑪̅̅ ̅̅ verticalmente hacia arriba hasta 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ se genera el cilindro en cuyo caso

su altura será la longitud de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ por lo tanto I es verdadera.

Al girar el rectángulo ABCD sobre el lado 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ se genera un cilindro de radio basal AD y altura AB, por lo tanto II es

verdadera. Una traslación del rectángulo ABCD se convierte en un prisma, pero no en un cilindro por lo tanto III es falsa.

De lo anterior podemas decir que solo I y II son correctas por lo tanto la respuesta correcta es C

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 58

(1) r = 5 diámetro 2 5 = hipotenusa, faltan los catetos.

(2) AB = 2BC. No se puede, pues falta la hipotenusa y los catetos.

Hip = 2 5 = x 5

2 = x

Por ambas Juntas. AB = 4 BC = 2

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 59

Se da la función acumulada de la variable aleatoria “x”, luego se debe encontrar la función de

probabilidad.

X

0

1

2

P(X = x) 1

4

5

12

4

12

P(X ≤ x)

1

4

2

3 1

E(x) = x1 P(x1) + x2 P(x2) + x3 P(x3)

E(x) = 1 5 4 13

0 1 24 12 12 12

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 60

Son FALSAS

I) P(A B) = P(A) P(B) VERDADERA

Ya que los eventos de A y B son independientes.

II) P(P/Q) = 0 VERDADERA

Ya que P y Q son mutuamente excluyentes, entonces P(PQ)= 0

Luego P(P/Q) = P(P Q) 0

0P(Q) P(Q)

III) P(Q/P) = P(Q) FALSA

Por lo anterior es cero su valor

ALTERNATIVA: C

r

2x

x

2x

x

x 5

PREGUNTA Nº 61

Triangulo de pascal

4

a b 1a4 4a3b 6a2b2 4ab3 1b4

Teóricamente para que salga 3 caras y 1 sello la probabilidad es 4

16

Entonces 4

16 de 160.000 = 40.000

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 62

X

1

2

3

4

P(X = x) 0,2 0,1 0,4

0,3

I) E(x) = 1 0,2 + 2 0,1 + 3 0,4 + 4 0,3 = 2,8 VERDADERA

II) P(x ≤ 2) = P(x = 4)

0,3 = 0,3 VERDADERA

III) P(x ≤ 3) = 1 – P(x ≤ 2)

0,7 = 1 – 0,3 VERDAADERA

ALTERNATIVA: E

PREGUNTA Nº 63

Triangulo de pascal

3

a b 1a3 3a2b 3ab2 1b3

Si los P(c) = 3

4 P(s) =

1

4

Entonces siendo “x” número de caras

I) P(x = 2)=

23 1 27

34 4 64

VERDADERA

II) P(0 x < 2) = P(0) P(1)

3 21 3 1

1 34 4 4

1 9 10 5

64 64 64 32 VERDADERA

III) P(1) +P(0) = 1 – P(2) FALSO Ya que: P(0) P(1) P(2) P(3) 1

ALTERNATIVA: A

PREGUNTA Nº 64

Q1 , Q2 , Q3 son los cuartiles respectivos, es decir el 25, 50 y 75 % de los datos.

I) El valor de la mediana es 4,7

Verdadero

Cuartil (2) = 50% = 4,7

II) Los datos están menos dispersos entre el 50% y 75% de los datos

VERDADERO

Entre 4,7 y 5,1 la distancia es menor que el resto.

III) El 25% de las peores notas están más concentradas que el 25% de las mejores notas.

VERDADERO

Entre 2,1 y 3,9 la distancia es menos que entre 5,1 y 5,9.

ALTERNATIVA: E

PREGUNTA Nº 65

Si mala probabilidad de un artículo defectuoso es 0,02, entonces la probabilidad de un artículo bueno es

0,98 y “n” es el total de los artículos, luego la desviación típica es

(x) = n p q

Total éxito fracaso

(x)= 98 2

10.000 196 14100 100

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 66

10 R

20 B

La probabilidad de Rojas es 20 2

30 3

La probabilidad de NO Rojas es 1

3

Luego en 20 casos que 8 sean Rojas es:

8 1220 1 2

3 38

ALTERNATIVA: D

2,1 2,9 4,7 5,1 6,9

Q1 Q2 Q3

PREGUNTA Nº 67

40 total

Paseo (26) Regalos (14)

Piscina Otro lugar

(12) (14)

Luego NO Piscina y si desea ir de paseo 14 7

26 13

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 68

{A , B, C, D, E} tamaño 2

I) 25V 5 25

2 VERDADERA

II) 5 2 1

2

5 6C C C 15

2 2

VERDADERA

III) 5

C 102 VERDADERA

ALTERNATIVA: E

PREGUNTA Nº 69

ERROR

z 24n

1,25 h = 75 minutos

n = 16

75z 24

16

75 96z 24 z 1,28

4 75

Luego 1,28 es la tabla 0,90

Entonces el nivel de confianza es el 80%

ALTERNATIVA: B

10%

80%

90% = 1,28

PREGUNTA Nº 70

= 25

113 55P z

25

= P z 2,32

Ver Tabla Z = 2,32 0,99

Luego mayor a 113 segundos es 1%

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 71

4 , 5 6 = 3 (individuales)

3 2 = 6 (de 2 términos)

3 2 1 = 6 ( de 3 términos)

15 formas

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 72

I) Aproximadamente, el 68,3% de los alumnos tiene promedio entre 4,2 y 5,8.

VERDADERO

Entre 4,2 y 5,8 (µ - < x < µ + ) = 68,3%

II) Aproximadamente, el 2,25% de los alumnos tiene promedio menor a 3,4.

VERDADERO

(µ - 2 < x < µ + 2) = 95,5%

Luego el menor a 3,4 es 2,25%

III) Un 13,6%, aproximadamente, tiene promedio entre 5,8 y 6,6.

VERDADERO

(µ + < x < µ + 2) = 13,6%

ALTERNATIVA: E

5,0

55 113

1% 99%

PREGUNTA Nº 73

La moda es el dato con mayor frecuencia, en este caso 40 NORMALES

ALTERNATIVA: C

PREGUNTA Nº 74

A B

5 R 4 R

6 A 5 A

I) P (R) en A = 5

11 P (R) en B =

4

9 FALSA

II) P (A) en A = 6

11 P (NO Azul) en B =

4

9 FALSA

6 4 1

11 9 2

III) 9 R P(A) = 11

50%20

VERDADERA

11 A

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 75

I) La amplitud o rango de la muestra es 11 años. VERDADERA II) La moda es 8. FALSA

Está en el intervalo 16 a 18 años

III) La media es aproximadamente 14 años. FALSA

La media es 15,56

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 76

CURSO Números de alumnos

D 600 puntos 3x

A 700 puntos x

Entonces 600(3x) 700(x) 1800x 700x

6253x x 4x

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 77

30

Mujeres Hombres

16 14

Lentes no usan lentes no usan

6 10 8 6

Respuesta: 6 1

30 5

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 78

En una población formada por 7 números enteros consecutivos positivos, se puede conocer la media de

la población si:

(1) Se conoce el valor de la media de todas las media de Tamaño 3, Coincide con la media de la

población

VERDADERA

(2) Si se conoce el promedio entre el menor y mayor de los términos, se obtiene el promedio de la

población por ser consecutivos

VERDADERAS

ALTERNATIVA: D

PREGUNTA Nº 79

Edad en años frecuencia

[1 , 2[ 6

[2 , 3[ 5

[3 , 4[ 7

[4 , 5] 6

Las alternativas A, B, C y D son verdaderas, la alternativa E es falsa porque el promedio es 3,04 años, es

decir

1,5 6 2,5 5 3,5 7 4,5 63,04

24

años

ALTERNATIVA: E

PREGUNTA Nº 80

28 34

Total 28 + 34 = 62

RESPUESTA 10

62

ALTERNATIVA: C

Actividad Mujeres Hombres

Pintura 10 8

Música 6 10

Computación 4 14

Fotografía 8 2