Premio Sahuaro Luminoso

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III Reto

Seno y Coseno Circular

• Consideremos la circunferencia centrada en el origen y de radio 1:


• Para cada consideremos el punto (x, y) sobre la circunferencia cuyo ángulo medido desde el eje x sea igual a :


• Definimos como la coordenada x del punto así obtenido.

• Definimos como la coordenada y del mismo punto.

Seno y Coseno Circular• Es fácil ver de la

definición que , son funciones acotadas.

• Además, es fácil ver que dichas funciones son periódicas.

Seno y Coseno Circular• Probar (usando argumentos geométricos):– cos(-t) = cos(t)– sen(-t) = -sen(t)– cos(p/2 - t) = sen(t)– sen(p/2 - t) = cos(t)– cos(p/2 + t) = -sen(t)– sen(p/2 + t) = cos(t)– cos(p - t) = -cos(t)– sen(p - t) = sen(t)


• Probar (usando argumentos geométricos):– cos(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b)– sen(a+b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a)– cos(2t) = 2cos2(t) – 1– sen(2t) = 2cos(t)sen(t)


• Observemos que el área dirigida al doble del sector circular de ángulo t también es igual a t:

• Por área dirigida nos referimos a que si el punto se toma debajo del eje x, consideraremos el área como negativa.


• Por ello, pudimos haber definido el seno y el coseno como función del área, en vez de usar al ángulo como parámetro.

Seno y Coseno Hiperbólico

• Consideremos la Hipérbola Equilátera unitaria centrada en el origen:

• Para cada consideremos un punto de la hipérbola; sus coordenadas son (cosh t, senh t)

Seno y Coseno Hiperbólico

• Pregunta:• ¿Cómo definir el parámetro t para que se

cumplan las siguientes dos condiciones al mismo tiempo?

• La definición del parámetro sea una generalización natural del caso del seno y coseno circular.

• El parámetro t esté bien definido para todo número real.

Seno y Coseno Hiperbólico• Probar que:– cosh(-t) = cosh(t)– senh(-t) = -senh(t)

• Probar, partiendo de la definición geométrica, que:

• Probar* que:

• Probar que:

Parámetros

• Observemos que la longitud de arco del sector circular de ángulo t también es igual a t:

• De nuevo, si el ángulo es negativo, consideraremos la longitud de arco como negativa.

Parámetros

Ángulo Área

Longitud de Arco

Seno y Coseno Lemniscático

• La “Lemniscata de Bernoulli” es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de las distancias de dicho punto a los “focos” (-½ , -½) y (½, ½) es constante e igual a ½.


• Problema: Hallar la ecuación de la Lemniscata de Bernoulli– En coordenadas cartesianas.– En coordenadas polares.

• ¿En qué sentido se puede definir el seno lemniscático y el coseno lemniscático?

• ¿Qué propiedades tendría?

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