Prepa Nº 1 (Superficies Parametrizadas)
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1
Matemticas VI (MA-2113)
Universidad Simn Bolvar.
Matemticas VI (MA-2113).
Preparadura n 1.
[email protected] ; @ChristianLaya
Superficies parametrizadas
Superficies parametrizadas:
Una superficie parametrizada es una funcin donde D es algn dominio en . La
superficie , que corresponde a es su imagen . Podemos escribir:
Las cuales, son ecuaciones paramtricas de en forma vectorial.
rea de una superficie:
Sea una superficie suave definida por una parametrizacin , donde D es un dominio
regular, es de clase y uno a uno. En este caso, el rea de la superficie se define por:
Siendo:
As, la longitud del vector normal vendr dado por:
Si la superficie est dada de forma explcita, por ejemplo, (f es de clase y consideramos x e y como funciones de u y v), el vector normal vendr dado por:
El rea de la superficie ser:
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Matemticas VI (MA-2113)
Siendo .
1. Calcule el rea de la superficie dada por .
Solucin:
La superficie dada es una esfera de radio r centrada en el origen:
Tenemos que:
Consideramos slo la parte superior de la esfera para luego multiplicarla por dos y tener el rea total.
Mtodo 1: coordenadas cartesianas.
Entonces:
Buscamos el vector normal:
Teniendo:
Teniendo as:
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Matemticas VI (MA-2113)
Siendo . Graficamos:
Tomamos coordenadas polares:
Vemos que:
Entonces:
Mtodo 2: coordenadas esfricas.
Sin embargo, recordemos que representa la distancia desde el origen hasta cualquier punto de la esfera. En este caso:
La parametrizacin nos queda como:
Tales que:
Tenemos entonces:
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Matemticas VI (MA-2113)
Teniendo entonces:
Determinamos la longitud:
Entonces:
2. Dados , a y b constantes reales cualesquiera. Sea S la superficie que se obtiene al
intersectar el cono con . Halle el rea de S.
Solucin:
Graficamos la regin:
Tenemos que:
Parametrizamos la superficie:
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Matemticas VI (MA-2113)
Tenemos entonces:
Ahora bien:
As pues:
rea )
3. Calcule el rea total de la superficie del slido acotado por sus intersecciones con las superficies cuyas
ecuaciones son: lateralmente ; inferiormente ; superiormente .
Solucin:
Graficamos la regin:
Tenemos que:
Siendo cada superficie:
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Matemticas VI (MA-2113)
Primera superficie:
Parametrizamos mediante coordenadas cilndricas:
Sin embargo, slo nos interesan los puntos que estn sobre el borde (frontera) de la superficie:
Entonces:
Tal que:
Teniendo:
El rea ser:
Segunda superficie:
Parametrizamos:
Teniendo que:
As pues:
rea
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Matemticas VI (MA-2113)
Tercera superficie:
Parametrizamos:
Teniendo:
El rea ser:
rea
Finalmente:
4. Halle el rea del plano dentro del cilindro .
Solucin:
Tenemos que:
Graficamos la regin:
Parametrizamos:
As pues:
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Matemticas VI (MA-2113)
El rea ser:
rea
5. Halle el rea de la porcin del cilindro , cuyos puntos satisfacen la condicin:
Solucin:
Graficamos la regin:
Utilizamos coordenadas cilndricas para parametrizar:
Tenemos que:
La parametrizacin nos queda:
Tal que:
Pero como se tiene que:
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Matemticas VI (MA-2113)
Buscamos el vector normal:
La longitud del vector vendr dada por:
El rea ser:
6. Considere una esfera de radio a y centro en el origen, inscrita en el cilindro circular recto paralelo al
eje z definido por , con Calcule el rea de S, definida como la porcin obtenida por la interseccin de la esfera con el cilindro.
Solucin:
Tenemos que:
Graficamos la regin:
Parametrizamos la regin mediante el uso de coordenadas cartesianas:
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Matemticas VI (MA-2113)
Tenemos entonces:
Buscamos el vector normal:
Teniendo:
Teniendo as:
Siendo D la regin descrita por:
Utilizamos coordenadas polares para resolver la integral:
Vemos que:
Ahora bien:
Teniendo que:
Entonces:
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Matemticas VI (MA-2113)
Por cuestiones de comodidad resolvemos la integral indefinida mediante un cambio de variable:
Teniendo:
Pero como se tiene que:
7. Sea S la superficie definida por:
Halle el rea de S.
Halle el plano tangente a S en el punto (2,0,2).
Solucin:
Tomamos una parametrizacin en coordenadas cartesianas:
Entonces:
Buscamos el vector normal:
Teniendo as:
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Matemticas VI (MA-2113)
El rea ser:
rea )
Siendo .
Queremos buscar el plano tangente a la superficie en el punto (2,0,2). Para ello, debemos buscar cul
punto corresponde al (2,0,2).
De (1) y (2) concluimos que el punto ser . El plano tangente vendr dado por:
Integrales de funciones escalares sobre superficies
Sea una superficie parametrizada por tal que:
Sea una funcin continua con valores reales, definida en los puntos de . En este caso la integral
de f extendida sobre se define:
8. Sea la superficie lateral del cono
tal que y . Calcule:
Solucin:
Tenemos que:
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Matemticas VI (MA-2113)
Procedemos a parametrizar. Para ello, tomamos coordenadas cilndricas:
Tenemos que:
La parametrizacin nos queda:
Teniendo as:
Buscamos ahora la interseccin entre el cono y el plano :
De lo que se puede ver que:
Entonces:
9. Sea la parte del paraboloide que se proyecta sobre el plano xz en el crculo
. Calcule:
Solucin:
Utilizamos una parametrizacin en coordenadas cilndricas:
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Matemticas VI (MA-2113)
Pero como se tiene que .
Teniendo as:
Finalmente:
Recordemos que la integral:
Puede ser resuelta mediante un cambio de variable:
Teniendo entonces:
Evaluando entre 0 y 1 se tiene que:
Se agradece la notificacin de errores
Christian Laya