Pres capacidad de canal unidad6

Tema: Capacidad de CanalAdriana Dapena Janeiro ([email protected])

Facultad de Informatica

Universidade da Coruna

Campus de Elvina s/n

15071. A Coruna

Teorıa de la comunicacion para redes moviles.- Adriana Dapena – p. 1

Objetivos

Presentar el concepto de capacidad del canal.

Estudiar el caso de canales SISO:Canales AWGN.Canales con desvanecimiento plano.

CSI en recepción.CSI en recepción y en transmisión.

Canales con desvanecimiento selectivo en frecuencia.


Bibliografía recomendada

A. Goldsmith, Wireless Communications, Cambridge UniversityPress, 2005.http://wsl.stanford.edu/andrea/Wireless/

C. E. Shannon, “A mathematical theory of communication,” BellSystem Technical Journal, vol. 27, pp. 379-423 and 623-656, Julyand October, 1948.http://cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/paper.html

A. Goldsmith, P. P., Varaiya, “Capacity of fading channels withChannel Side Information,” IEEE Trans. on Information Theory,vol. 43, no. 6, pp. 1986-1992, November, 1997.


Conceptos básicos

Cantidad de información

Entropía

Entropía conjunta

Información mutua

Capacidad de canales discretos sin

memoria


Cantidad de información

Sea x una variable aleatoria que toma valores discretos xk en unalfabeto X con probabilidad p(xk),

∑

p(xk) = 1.

El valor de p(xk) expresa la probabilidad de que ocurra undeterminado valor xk pero también nos está indicando lacantidad de información que se adquiere cuando ese valor esobservado.

Si p(x2) > p(x1), entonces es mayor la incertidumbre sobre elevento x = x1 que sobre x = x2 y, por ello, también es mayor lainformación que se adquiere cuando éste ocurre.


Cantidad de información (cont.)

La cantidad de información adquirida al observar xk estárelacionada con la inversa de su probabilidad y se define comosigue:

I(xk) = log

(

1

p(xk)

)

= − log(p(xk))

donde la base del logaritmo es arbitraria.


Entropía

La cantidad media de información de x recibe el nombre deentropía: H(x) = E[I(xk)] = −

∑

x∈X p(x) log(p(x)) = −E[log p(x)]

H(x) = 0 si la variable aleatoria x describe un procesodeterminista.

H(x) es máxima cuando la variable aleatoria es uniforme,H(x) = − log(|X |) donde |X | es el tamaño del alfabeto de x.


Entropía conjunta

Consideremos que tenemos un sistema cuya entrada x tomavalores en un alfabeto X y su salida y es una versión perturbada dex que toma valores en otro alfabeto Y.

Entropía conjunta:

H(x, y) = −∑

x∈X

∑

y∈Y

p(x, y) log(p(x, y)) = −E [log(p(x, y))]

donde p(x, y) es la probabilidad conjunta de ambas variablesaleatorias.


Información mutua

Incertidumbre sobre la entrada que permanece sin resolverdespués de observar la salida H(x|y) = H(x, y) − H(y)

Incertidumbre sobre la salida que no es resuelta al observar laentrada (perturbación) H(y|x) = H(x, y) − H(x)

Información mutua I(x; y) =∑

x∈X

∑

y∈Y p(x, y) log(

p(x,y)p(x)p(y)

)

H(x,y)

H(x)H(y)

H(y|x)I(x,y)H(x|y)


Resumen

Entropía

H(x) = −∑

x∈Xp(x) log(p(x))

Entropía conjunta

H(x, y) = −∑

x∈X

∑

y∈Yp(x, y) log(p(x, y))

Entropía condicionada

H(x|y) = −∑

x∈X

∑

y∈Yp(x, y) log(p(y|x))

Información mutua

I(x; y) =∑

x∈X

∑

y∈Yp(x, y) log

(

p(x,y)p(x)p(y)

)


Capacidad de un canal CDM

Un Canal Discreto sin Memoria (CDM) es un sistema queconsiste en un alfabeto de entrada X y un alfabeto de salida Yque son conjuntos finitos numerables y cuyos elementos estánrelacionados por una colección de funciones de masa deprobabilidad (ff.m.p.) condicionales, p(y|x) ≥ 0, que expresan laprobabilidad de que se observe la señal y ∈ Y a la salida delsistema cuando la entrada es x ∈ X .

La capacidad de información del canal (X , p(y|x),Y) se definecomo

C = maxp(x)

I(x; y)

donde el máximo se toma sobre todas las posibles ff.m.p. p(x).


Canal binario sin ruido

1

1x = 0

x = 1 y = 1

y = 0

p(y = 0|x = 0) = 1, p(y = 1|x = 0) = 0,p(y = 0|x = 1) = 0, p(y = 1|x = 1) = 1

Al no haber errores tampoco hay incertidumbre H(x|y) = 0.

C = maxp(x)

I(x; y) = maxp(x)

H(x) − H(x|y) = maxp(x)

H(x)

El valor máximo se alcanza para una distribución uniforme y esC = log2 2 = 1bit. Se puede transmitir la máxima informaciónposible de la fuente.


Canal binario simétrico

1−p

p

1−p

p

x = 0

x = 1 y = 1

y = 0

Supongamos que la fuente produce símbolos equiprobables a unavelocidad de 1000 bits/seg. Si durante la transmisión el canalintroduce errores de forma que (en media) la mitad de los bitsrecibidos son incorrectos (p = 1/2)¿Cuál es la velocidad de transmisión? ¿500 bits/seg?


Canal binario simétrico .....

1−p

p

1−p

p

x = 0

x = 1 y = 1

y = 0

p(y = 0|x = 0) = 1 − p, p(y = 1|x = 0) = p,p(y = 0|x = 1) = p, p(y = 1|x = 1) = 1 − p.

La capacidad es C = maxp(x)(H(y) − H(y|x)) = 1 − H(p) conH(p) = −(1 − p) log(1 − p) − p log p.

H(p) resta bits de información: cuanto más impredecible sea elerror menor será la capacidad.

Para p = 0 (o p = 1) estamos en el caso sin ruido: C = 1bit.

Para p = 1/2, la salida es completamente aleatoria C = 0bit.Teorıa de la comunicacion para redes moviles.- Adriana Dapena – p. 14

Canal híbrido (ejercicio)

1−p

p

1−p

p

1x = 0

x = 1

y = 0

y = 1

x = 2 y = 2

Suponemos p(x = 0) = P , p(x = 1) = p(x = 2) = Q tal queP + 2Q = 1.

H(x) = −P log P − 2Q log Q.

H(x|y) = 2Qα con α = H(p) = −(1 − p) log(1 − p) − p log p.


Canal híbrido (cont.)

Calcular P y Q que maximice C = H(x) − H(x|y) esequivalente a calcular los máximos del Lagrangiano:

L = −P log P − 2Q log Q − 2Qα − λ(P + 2Q − 1)

Los valores obtenidos son:

P = βQ = β/(2 + β), Q = 1/(2 + β)

con β = eα (para una base e cualquiera).

Para p = 0 (o p = 1), la capacidad del canal es máximaC = log 3.

Par p = 1/2, la capacidad es C = log 2.


Capacidad de un canal AWGN

Modelo del canal

Cálculo de la capacidad


Modelo de un canal AWGN

Vamos a considerar el siguiente modelo de un canal AWGN(Additive White Gaussian Noise):

x[i] es la señal transmitida en el instante i.

n[i] es un ruido blanco gaussiano: media cero, densidadespectral de potencia Sn(f) = N0

2 , función de autocorrelaciónRN (τ) = N0

2 δ(τ).

y[i] = x[i] + n[i] es la señal recibida en el instante i.


Capacidad de un canalAWGN....

Sean Pr, Pn y Pt + Pn, respectivamente, la potencia de recibida dela señal transmitida, potencia del ruido y la potencia total recibida.Si el canal es de banda limitada a B Hz (ancho de banda 2B), lasentropías en bits/seg vienen dadas por:

H(y) = B log(4π(Pr + Pn))

H(n) = B log(4πPn)

Por tanto, la capacidad es

C = H(y) − H(y|x) = H(y) − H(n) = B log(1 + Pr/Pn)


Capacidad de un canal AWGN(cont.)

Definiendo la relación señal a ruido (SNR) como γ = Pr/Pn

obtenemos:C = B log(1 + γ)

Como el ruido tiene densidad espectral de potencia N0/2, lapotencia total en un ancho de banda 2B esPn = 2B × (N0/2) = N0B.Por tanto, γ = Pr/(N0B).


Ejemplo.....

Supongamos que la potencia recibida de la señal viene dada porPr(d) = Pt(d0/d)3 donde d0 = 10m y d es la distancia entretransmisor y receptor, N0 = 10−9W/Hz y B = 30kHz. La figuramuestra la relación señal a ruido γ = Pt(d)/Pn (dB) y la capacidaddel canal para distancias entre 100m y 1Km y Pt = 1W (potencia entransmisión).

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000−15

−10

−5

0

5

10

15

20

distancia d

SN

R (

dB)

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

20

40

60

80

100

120

140

160

distancia d

Cap

acid

ad (

kbps

)


Canales con desvanecimientoplano

Modelo de canal

Capacidad con CSI en recepción.

Capacidad con CSI en recepción y en

transmisión.


Modelo de canal

El término√

g[i] ≥ 0 es una ganancia que modelaremos con unproceso estacionario ergódico con distribución p(g).

S es la potencia media de la señal transmitida.

N0/2 es la densidad espectral de potencia del ruido.

B es el ancho de banda del canal.


Modelo de canal (cont.)

Valor instantáneo de la SNR en recepción:

γi =Sg[i]

N0B

Valor medio de la SNR en recepción:

γ =Sg

N0B

Consideraremos dos casos:CSI en recepción.CSI en recepción y en transmisión.


CSI en recepción

Suponemos que el receptor conoce g[i] para cada instante i.

Capacidad de Shannon (ergódica)

C =

∫ ∞

0

B log(1 + γ)p(γ)dγ

Se cumple C ≤ CAWGN = B log(1 + γ).


CSI en recepción (cont.)

Capacidad con outageMáxima velocidad a la que se puede transmitir sobre el canaladmitiendo que puede decodificarse incorrectamente con unacierta probabilidad pout.

Suponemos que la SNR en recepción, γ, es constante duranteun intervalo de tiempo.

El transmisor fija un valor de SNR mínimo (en recepción), γmin,y transmite a una velocidad cercana a la capacidad para esevalor

C = B log(1 + γmin)

Los datos serán correctamente recibidos si γ > γmin.



Capacidad con outageSe define la probabilidad de outage como

pout = p(γ < γmin) =

∫ γmin

0

p(γ) = P (γmin)

La capacidad promedio es

Co = (1 − pout)B log(1 + γmin)



Capacidad con outageCurva de Capacidad/B en función de la probabilidad de outage.


Ejemplo....

Vamos a calcular la capacidad de un canal con desvanecimientoplano que introduce las siguientes ganancias:

g[i] g[1] = 0.025 g[2] = 0.25 g[3] = 10

p(g[i]) 0.1 0.5 0.4Supongamos

Pt = 10mW , N0 = 10−9W/Hz y B = 30kHz.

SNR en recepción:

γ1 = 0.833(−0.79dB) γ2 = 83.333(19.2dB) γ3 = 333.33(25dB)

Su capacidad es: C =∑3

k=1 B log(1 + γk)p(γk) = 151.58kbps

Capacidad de un canal AWGN con γ = 137.58 (21.80dB):

CAWGN = B log(1 + 137.58) = 213.43kbps


Ejemplo (cont.)

Probabilidades de las SNR en recepción::γi γ1 = 0.833 γ2 = 83.333 γ3 = 333.33

p(γ) 0.1 0.5 0.4pout = P (γ) 0.1 0.6 1

Capacidades C = B log(1 + γi) para γi:γi γ1 = 0.833 γ2 = 83.333 γ3 = 333.33

C 26.23 kbps 191.94 kbps 251.55 kbps

Para pout = P (γ1 = 0.1), podemos transmitir a velocidadescercanas a C = 191.94kbps pero solamente decodificaremoscorrectamente cuando la SNR sea γ2 o γ3. La capacidad reales Co = (1 − 0.1)191.94kbps = 172.75kbps.

Para pout = 0.6 la capacidad real es C = 125.78kbps


CSI en ambos lados

Asumiremos que g[i] es perfectamente conocido tanto entransmisión como en recepción.

La capacidad promedio es C =∫ ∞

0B log(1 + γ)p(γ)dγ.

El transmisor adapta su potencia S(γ) en función de la SNR enrecepción γ tal que

∫ ∞

0

S(γ)p(γ)dγ ≤ S


CSI en ambos lados (cont.)....

La capacidad de un canal variante en tiempo es

C =

∫ ∞

0

B log

(

1 + γS(γ)

S

)

p(γ)dγ

El objetivo es maximizarla sujeto a la restricción∫ ∞

0S(γ)p(γ)dγ ≤ S.

Se obtiene:

S(γ)

S=

{

1γ0

− 1γ

γ ≥ γ0

0 γ < γ0

Solamente se transmite en los intervalos donde se cumple lacondición.


CSI en ambos lados (cont.)

Asignación de potencia óptima: Watter-Filling


CSI en ambos lados (cont.)

La capacidad resultante es

C =

∫ ∞

0

B log

(

γ

γ0

)

p(γ)dγ

El valor de corte debe satisfacer∫ ∞

γ0

S(γ)

Sp(γ)dγ =

∫ ∞

γ0

(

1

γ0−

1

γ

)

p(γ)dγ = 1


Ejemplo .....

Vamos a continuar con el ejemplo anterior...

Consideremos que las probabilidades de las SNR en recepción

son:γi γ1 = 0.833 γ2 = 83.333 γ3 = 333.33

p(γ) 0.1 0.5 0.4

Calculemos el umbral γ0 de forma que

∑

γi>γ0

(

1

γ0−

1

γ

)

p(γi) = 1

3∑

i=1

p(γi)

γ0−

3∑

i=1

p(γi)

γi

= 1

En nuestro caso γ0 = 11.13 = 0.8 < γ1 y, por tanto, la SNR más

débil nunca se utilizará.Teorıa de la comunicacion para redes moviles.- Adriana Dapena – p. 35

Ejemplo (cont.)

Calcularemos el umbral γ0 eliminando γ1,

2∑

i=1

p(γi)

γ0−

2∑

i=1

p(γi)

γi

= 1

En nuestro caso resulta, γ0 = 0.89.

La capacidad resultante es

C =3

∑

i=2

B log2(γi

γ0)p(γi) = 200.82kbps

La capacidad es mayor que la obtenida con CSI en recepción yse aproxima a la de un canal AWGN.


Canales con desvanecimientoselectivo en frecuencia

Modelo de canal (canales invariantes

en tiempo)

Capacidad


Modelo de canal

Supondremos un canal invariante en tiempo.

Canal con respuesta en frecuencia H(f) conocida tanto el eltransmisor como en recepción.

Se transmite una potencia total S.


Canal con desvanecimientoselectivo en frecuencia (cont.)

H(f) puede dividirse en subcanales de ancho de banda B.

La SNR en cada canal es |Hj |2Sj

N0Bdonde Sj es la potencia

localizada en el j-ésimo canal,∑

j Sj ≤ S. La capacidad delj-ésimo canal es

Cj = B log2

(

1 +|Hj |

2Sj

N0B

)

.



Como tenemos varios canales en paralelo, nos planteamosmaximizar la capacidad (ejercicio)

max C =∑

j

B log2

(

1 +|Hj |

2Sj

N0B

)

s.a.∑

k

Sj ≤ S

Se obtieneSj

S=

{

1γ0

− 1γj

γj ≥ γ0

0 γ < γ0

donde γj =|Hj |

2S

NoB.

El parámetros γ0 debe ser elegido de forma que∑

j(1γ0

− 1γj

) = 1. La capacidad resultante es

C =∑

γj>γ0B log2

(

γj

γ0

)



Watter-filling para canales con desvanecimiento selectivo enfrecuencia.


Ejemplo....

Vamos a calcular la capacidad de un canal selectivo en frecuenciaconsiderando que se puede aproximar por tres canales deB = 1MHz y con H1 = 1, H2 = 2 y H3 = 3. Consideraremos que larestricción en potencia es S = 10mW y que N0 = 10−9W/Hz.

SNR en recepción: γj =|Hj |

2S

NoB: γ1 = 10, γ2 = 40, γ3 = 90.

Utilizando∑3

j=1(1γ0

− 1γj

) = 1, obtenemos γ0 = 2.64 < γ1.

C =∑3

j=1 B log2

(

γj

γ0

)

=

1000000 (log2(10/2.64) + log2(40/2.64) + log2(90/2.64)) =10.93Mbps


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