Presencia de la matemática en el mundo actual El número. ¿Acaso es cierto que “todo es...
57
Presencia de la matemática en el mundo actual El número. ¿Acaso es cierto que “todo es número”, como decían los pitagóricos? Papel del ordenador
-
Upload
natividad-salinas-bustos -
Category
Documents
-
view
213 -
download
0
Transcript of Presencia de la matemática en el mundo actual El número. ¿Acaso es cierto que “todo es...
Presencia de la matemática en el mundo actual
El número. ¿Acaso es cierto que “todo es número”, como decían los pitagóricos? Papel del ordenador
Las matemáticas constituyen un mundo maravilloso, y es pena que en muchos casos sean puestas como ejemplo de disciplina aburrida y de dificultades casi insuperables.
Cuando se piensa en la contraposi-ción Ciencias-Letras, las matemáticas emergen como una de las causas negativas que impulsan a muchos alumnos en edades tempranas a abandonar el estudio de las primeras para dirigirse al mundo de las humanidades.
¿Para qué sirven las matemáticas? En un blog que se llama MatesMates, de Miguel Ángel Díaz Martínez, se cuenta la siguiente historia, recogida de la “Autobiografía” de G.Gamow, físico y astrónomo nacido en Odesa:
He aquí una historia de uno de mis amigos que en 1919 era un joven profesor de física en Odesa. Su nombre era Igor Tamm (Premio Nobel de Física 1958).
¿Para qué sirven las matemáticas?
¿Para qué sirven las matemáticas?
En algún momento de 1919, después de llegar a un pueblo cercano, mientras Odesa fue ocupada por los rojos, Tamm estaba negociando con un aldeano cuántos pollos podía conseguir por una docena de cucharas de plata.
¿Para qué sirven las matemáticas?
Fue capturado entonces por una de las bandas de Makhno que estaban vagando por el país, hostigando a los rojos.
¿Para qué sirven las matemáticas?
Al ver sus ropas de ciudad, sus captores lo llevaron al Ataman, un barbudo con un gorro de piel negro y alto, con el pecho cruzado por cintas de cartuchos de ametralladora y un par de granadas de mano colgando de su cinturón.
¿Para qué sirven las matemáticas?
“Usted es un agitador comunista que está minando nuestra madre Ucrania! El castigo es la muerte! ”“No, no”, respondió Tamm. “Yo no soy más que un profesor de la Universidad de Odesa , y he venido aquí a comprar algo de comida.”
“Basura”, dijo el Ataman . “¿Qué tipo de profesor es usted?”“Enseño matemáticas”, respondió mansamente Tamm.“¿Matemáticas?”, se burló el Ataman. “Entonces usted debe ser capaz de dar una estimación del error que se comete al truncar una serie de McLaurin en el n-ésimo término.
Si usted no puede contestar, le dispararé.”Tamm se quedó sin aliento al oír esta pregunta de matemáticas superiores salir de la boca del líder guerrero. Con mano temblorosa, y bajo el cañón del arma de fuego, Tamm fue capaz de presentar una respuesta al Ataman.
“Correcto”, bramó el Ataman. “Dejadlo en libertad.”Este relato está especialmente dedicado a cualquier profesor que ha enseñado matemáticas y ha tenido que responder a esa pregunta tan recurrente en las aulas: “¿Para qué sirve esto?”. Una buena respuesta podría ser que podría salvar tu vida.”
La matemática nace con un fin utilitario. El comercio requiere cuantificar – contar y medir – y el resultado es un número.
Para contar, bastan los números naturales
1, 2, 3, 4,…
El medir una magnitud continua, por ejemplo una longitud, ya requiere el uso de otra clase de números. Volveremos a ello más tarde.
No fue fácil aprender a manejar los números naturales.
El primer problema fue representarlos, crear el sistema de numeración.
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos.
Existieron muchos sistemas de nume-ración antes de los actuales; estos últimos son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.
Nuestro sistema actual es decimal, o de base 10, pero existen otros con el mismo fundamento de bases 2, 8 o 16, de aplicación en informática.
El principio es siempre el mismo: agrupar de 10 en 10 y formar así decenas, centenas, millares,.. etc.
En el caso de base 2 (sistema binario) agrupamos de 2 en 2.
La ventaja de este sistema es que bastan 2 símbolos – 0 y 1 – para representar todos los números. En el sistema decimal necesitamos 10.
Desde el momento en que se crea el número, y con él las operaciones básicas, empiezan a estudiarse propiedades que distinguen a unos de otros y permiten agruparlos en clases. Una de las más obvias es la de números pares e impares.
Pares e impares
Pares e impares
Y la simple consideración de la paridad o la imparidad de un número nos puede valer para dar solución a problemas que de entrada no son numéricos.
Pares e impares
Este es un rompecabezas antiguo…
Pares e impares
Pares e impares
Pongamos una puerta en cada muro que hay que atravesar, y llamemos A, B, C, D y E a las habitaciones, y Ext. al exterior. Cada puerta conduce a otra habitación o al exterior.
Pares e impares
Pares e impares
Podemos resumir la configuración en un gráfico como el siguiente:
Pares e impares
Ahora las puertas vienen represen-tadas por las líneas de unión de los puntos que representan las habitaciones o el exterior.
De cada punto – vértice del grafo – sale un determinado número de caminos. Los contamos:
Pares e impares
Vértice Num. de caminos
Euler y los puentes de Königsberg
Números primos, perfectos, amigos
Un número es primo cuando no tiene más divisores que él mismo y el 1.
Un número que no es primo se llama compuesto, y se puede poner como producto de números primos de una sola forma (no se tiene en cuenta el orden en que aparecen)
Números primos, perfectos, amigos
Ya Euclides demostró que existen infinitos números primos.
Dos números primos consecutivos, como el 7 y el 11, o el 17 y el 19, se llaman primos gemelos.
No se sabe si hay infinitas parejas de primos gemelos.
Números primos, perfectos, amigos
Un número es perfecto cuando la suma de todos sus divisores propios es igual al número.
Se suelen llamar divisores propios a los que son menores que el número considerado
Números primos, perfectos, amigos
Dos números son amigos cuando la suma de los divisores propios de cada uno de ellos es igual al otro.
(220, 284), (1184, 1210), (6232, 6368) (17.296, 18.416) y (9.363.584, 9.437.056) son parejas de números amigos.
Números primos, perfectos, amigos
Los tres primeros números perfectos son 6, 28 y 496, ya que: 6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 +7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
¿Existen más?
Números primos, perfectos, amigos
La respuesta es afirmativa.
El siguiente número perfecto es 8128, pero no se sabe si existen infinitos, ni si existen números perfectos impares.
Números primos, perfectos, amigos
)12(2 1 pp
Un número par es perfecto si y solo si es de la forma:
12 1 pcon primo.
Números primos, perfectos, amigos
Por tanto, si existen infinitos primos de la forma
existirán infinitos números perfectos.
12 1 p
Números primos, perfectos, amigos
No se sabe si existen números per-fectos impares.
En la teoría de números existen muchos problemas fáciles de enunciar pero cuya resolución es difícil o se desconoce como resolverlos.
Conjeturas
Ya hemos citado dos de ellos. Añadamos algunos más.
¿Existe siempre un número primo situado entre los cuadrados de dos números consecutivos?
Conjeturas
¿Es cierto que todo número par es suma de dos números primos?
Esta pregunta fue planteada por Goldbach en el siglo XVIII y sigue sin respuesta.
Conjeturas
Tomemos un número natural cualquiera.
Si el número es impar, lo multiplicamos por 3 y al resultado le sumamos 1.
Si el número es par, lo dividimos por 2.
Y repetimos la acción con el resultado.
Conjeturas
Si partimos de 17, por ejemplo, obtenemos la siguiente sucesión:
17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1,…Y terminamos en el bucle 4,2,1.Pues bien, no se sabe si esto ocurre siempre.
Una conjetura célebre
Una conjetura célebre
Como él afirmó que tenía una demos-tración “verdaderamente maravillo-sa”, aunque no la reveló, la proposi-ción fue conocida desde entonces como el último teorema de Fermat. Pero todos los matemáticos que intentaron demostrarlo durante los siguientes 300 años no lo lograron.
Una conjetura célebre
Finalmente, a mediados de la década de los 90 del siglo pasado, un matemático inglés, Andrew Wiles, logró demostrarlo.
Por similitud con la formulación de Fermat, Euler, 100 años después, lanzó la siguiente conjetura:
Conjetura que resultó ser falsa
No existen n-1 números enteros posi-tivos tales que sus potencias n-ésimas sumen otra potencia n-ésima. He aquí un contraejemplo para n=4:26824404+153656394+187967604=206156734
Y este otro para n=5:275+845+1105+1335=1445
Demostraciones/refutaciones
El ejemplo anterior pone de manifiesto como se trabaja en matemáticas. Una proposición verdadera debe ser demos-trada, pero una falsa queda invalidada por un contraejemplo. En último térmi-no, todo reposa en el hecho de que en muchos casos hay infinitas posibilida-des que considerar.
¿Cómo medir cantidades más pequeñas que la unidad elegida?
Con nuestro sistema decimal de numeración para representar los números naturales, la cosa es fácil.
Dividimos la unidad en 10 partes iguales. Cada una de ellas es una décima.
Dividimos cada décima en 10 partes iguales. Cada una de ellas es una centésima… y continuamos así.
El resultado de la medida de una magnitud – longitud, masa, etc. , será un número entero seguido del número de décimas, centésimas, etc.
Las fracciones
La agricultura exige ser capaz de medir y reconstruir parcelas si es que se destruyeron – por ejemplo por inundaciones. Es el caso del antiguo Egipto, con las crecidas del Nilo.
Nacimiento de la geometría
La arquitectura
El desarrollo de la Geometría se debe a esas exigencias prácticas.
La geometría
Pero independientemente de ese carácter práctico, la geometría clásica de los griegos nos dejó mucho más, fundamentalmente el nacimiento del método axiomático -deductivo, cuyo paradigma son los “Elementos” de Euclides.
Los tres problemas clásicos
¿Quién no ha oído esta frase: “esto es tan imposible como la cuadratura del círculo”?
¿Qué se quiere decir cuando se invoca esta imposibilidad?
Los tres problemas clásicos
La cuadratura del círculo es, junto a la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, los tres problemas que tuvieron que esperar más de veinte siglos hasta que se demostró la imposibilidad de su resolución empleando únicamente regla y compás.
Los tres problemas clásicos
Los tres problemas tienen solución – y los griegos la hallaron – por diversos métodos en los que se utilizan otros instrumentos.
El empecinamiento, si puede calificarse así, de resolverlos utilizando solamente regla y compás, pudo deberse a que es posible cuadrar algunas “lúnulas”, duplicar un cuadrado o bisecar un ángulo.
Medida de distancias y de ángulos.
Los triángulos son rígidos.
¿Cómo trazar perpendiculares?
Gracias, Pitágoras.
