Técnicas contra el aburrimiento en la clase de Composición ...
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SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Y CULTURA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL UNIDAD -25 B “RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD EN LAS ALUMNOS DE SEXTO GRADO DE PRIMARIA” TESINA PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN Presenta Francisco De Jesús Galindo Cruz MAZATLÁN, SINALOA, MÉXICO NOVIEMBRE DEL 2006
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SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Y CULTURA UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
UNIDAD -25 B
“RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS DE PROPORCIONALIDAD EN LAS ALUMNOS DE
SEXTO GRADO DE PRIMARIA”
TESINA PARA OBTENER EL TÍTULO DE LICENCIADO EN EDUCACIÓN
Presenta
Francisco De Jesús Galindo Cruz
MAZATLÁN, SINALOA, MÉXICO NOVIEMBRE DEL 2006
ÍNDICE INTRODUCCIÓN ........................................................................ 1 OBJETIVOS ................................................................................. 4 I. ANÁLISIS DEL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS EN EDUCACIÓN PRIMARIA.......................................................... 5 1.1 Imagen de las matemáticas .......................................... 5
1.2 Construcción de las matemáticas mediante la confrontación ............................................................ 9 1.3 Las dificultades de las matemáticas .............................. 10
1.3.1 El papel de los problemas en la construcción de conocimientos. ........................... 16
1.3.2 Cambios de las matemáticas ............................... 19
II. ELEMENTOS EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS ………………………………………………… 24
2.1 El alumno de sexto grado y las matemáticas ............. 24
2.2 El papel del maestro de sexto grado en matemáticas .......................................................... 33
2.2.1 Trabajo del maestro .......................................... 42
2.2.2 Pedagogía tradicionalista ................................. 44
2.2.3 Pedagogía constructivista ................................ 46
3
III. EL PROBLEMA DE LA ENSEÑANZA DE PROPORCIONALIDAD EN LOS ALUMNOS DE SEXTO GRADO DE PRIMARIA………………………….. 49
3.1 ¿Qué es un problema? ................................................. 49
3.2 La enseñanza del razonamiento proporcional ............ 51
3.3 La construcción de la proporcionalidad ...................... 53
3.4 Enfoques de la proporcionalidad ................................. 55
CONCLUSIONES ...................................................................... 67
BIBLIOGRAFÍA ....................................................................... 69
INTRODUCCIÓN
El trabajo que realizo analiza la materia de matemáticas para
los niños de sexto grado, enfocándome en los problemas que tienen
para resolver problemas de proporcionalidad, lo que pretendo es
que los niños hagan matemáticas, esto es mediante diferente
situaciones de la vida real generen sus propios recursos y tomen los
que poseen para complementarlos, lo que pretendemos es que el
mismo niño construya el conocimiento que el mismo esta
construyendo y lo retome para posteriores problemas.
De por sí, hablar de matemáticas es sinónimo de aburrimiento,
lo que queremos es quitar esta idea en los niños y hacerles saber la
importancia de conocer los problemas de proporcionalidad ya que
los ve a todo momento.
Se necesita empezar planteando situaciones para ver cual es
algún método que pudieran usar nuestros niños al plantearles el
problema, mi trabajo como docente es complementar algunas de las
estrategias que se pudieran usar, como en este asignatura se puede
llegar a resolver un problema de varias formas, debo comprobar y
además aceptar las formas y aquellas soluciones que el niño
desarrolle.
2
No deseamos empezar dando clase, sino comentando como
poder solucionar un problema que les planteamos a los alumnos,
para ello podemos usar algunas herramientas, por ejemplo la
confrontación, el dialogo, la interacción, entre otros. Para despertar
más el interés de nuestros alumnos.
Analizamos diferentes cuestiones que dificulta la resolución de
los problemas, tales como la lectura, la memoria, la multiplicidad de
tareas y la maduración. En este nivel el niño se encuentra en un
proceso de desarrollo niño-adolescente, según Piaget en el periodo
de operaciones formales, es acertado el que se utilice en esta
periodo las problemas de proporcionalidad ya que ayuda a los niños
a razonar en una etapa inicial, para su desenvolvimiento en los
siguientes grados del nivel secundaria y no como algunos libros que
se oponen a que se enseñe en las escuela por que es muy
temprano para el alumno.
Como docente debemos diseñar actividades que sean amenas
para el niño, ya que como se comenta es sinónimo de aburrimiento,
actividades adecuadas a su nivel y conocimiento del medio,
debemos motivar, orientar, ser guías en esta fascinante materia.
Al final del trabajo planteamos cuatro posibles soluciones a los
problemas de proporcionalidad, de los cuales es el mismo niño que
retomara cual de ellos va a usar en la solución de su problema,
nosotros como maestros, nuestro papel será el de señalarle cual de
3
estos es el mas viable para cada tipo de planteamiento efectivo a la
hora de la solución, pero es al final el que él alumno va usar y
debemos aceptarlo como tal.
OBJETIVOS
El presente trabajo tiene como fin tres objetivos a alcanzar en
la materia de matemáticas básicamente en los problemas de
proporcionalidad.
• Conocer la importancia de las matemáticas para la resolución
de problemas en la vida cotidiana.
• Determinar los papeles que deben jugar los sujetos que
intervienen en la enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas.
• Proponer algunas estrategias idóneas para la resolución de
problemas de proporcionalidad en los alumnos de sexto grado
de primaria.
CAPITULO I
ANÁLISIS DEL ESTUDIO DE LAS MATEMÁTICAS EN LA EDUCACIÓN PRIMARIA
1.1 Imagen de las matemáticas
Matemáticas, ciencia que quita la paciencia, debido a su
innegable dificultad, la ciencia de los números y las medidas ha sido
considerado el “coco” de los estudiantes, triste es decirlo pero este
concepto viene directamente de la sociedad, una sociedad
analfabeta en matemáticas y además, se conforma y esta orgullosa
de serlo.
Las matemáticas son un producto del quehacer humano y su
proceso de construcción está sustentado en abstracciones
sucesivas.
“Para aprender matemáticas se necesita hacer matemáticas, esto es, precisa numerosas situaciones que les presente un problema, un reto, y generen sus propios recursos para resolverlas, tomando
6
los que posee.”1
En la construcción de los conocimientos matemáticos, los
niños parten de la experiencia concreta, el dialogo, la interacción y
la confrontación de puntos de vistas ayudan al aprendizaje y a la
construcción de conocimientos, el éxito del aprendizaje de esta
disciplina depende del diseño de actividades que promuevan la
construcción de conceptos a partir de experiencias concretas, las
matemáticas deben ser para el niño herramientas funcionales y
flexibles que le permitirán resolver las situaciones problemáticas que
se le planteen, además le permitirán resolver problemas en
diferentes ámbitos, tales como el científico, el técnico, el artístico y
la vida cotidiana.
No se trata de aprender matemáticas para después aplicarlas
a la resolución de problemas, sino de aprender matemáticas al
resolver problemas. Es por ello que es importante señalar que las
situaciones deben brindar a los alumnos experiencias
conceptualmente ricas que le permitan involucrarse con el
contenido, por lo tanto las actividades deben estar relacionadas con
sus vivenciase interés para lograr un mayor éxito.
“Una de las funciones de la escuela es brindar situaciones en las que los niños utilicen los conocimientos que ya tiene
1 SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA. La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria primera parte. p. 9.
7
para resolver ciertos problemas y que parte de solución inicial, comparen sus resultados y sus formas de solución para hacerlos evolucionar hacia los procedimientos y las conceptualizaciones propias de las matemáticas”.2
Para elevar la calidad del aprendizaje es indispensable que los
alumnos se interesen y encuentren significado y funcionalidad en el
conocimiento de las matemáticas que lo valoren y que hagan de él
un instrumento para reconocer, plantear y resolver problemas en
diferentes contextos.
El objetivo de las matemáticas es precisar que lo que se ha
enseñado esté cargado de significado y tenga sentido para el
alumno.
“G. Brousseau define al sentido de las matemáticas no solo la colección de conocimientos o de situaciones donde el sujeto encuentra una solución, sino también es el conjunto de concepciones que rechaza, de errores que evita, de economías que procura, de formulaciones que retoma, etc.”3
En construcción del conocimientos matemático, los niños
parten de experiencias concretas. El diálogo, la interacción y la
2 SECRETARIA DE EDUCACION PÚBLICA. Matemáticas. Plan y programas de estudio, Estudio Básica Primaria. p. 51. 3 CHARNAY, Roland. “Aprendiendo (por medio de) la resolución de problemas”. En Antología Básica UPN: Construcción del conocimiento matemático en la escuela. p 15.
8
confrontación de puntos de vistas ayudan al aprendizaje y a la
construcción de conocimientos.
El éxito depende de las medidas de diseños de actividades
que va a promover la construcción de conceptos a partir de las
mismas experiencias del niño, el niño debe sentir a las matemáticas
como una herramienta funcional y flexible para que resuelva los
problemas que se le presente.
Necesitamos elevar la calidad del aprendizaje para ello es
indispensable que los alumnos primero se interesen, segundo
encuentren significado y tercero vean la funcionalidad de las
matemáticas.
Las matemáticas tienen ante la sociedad una mala imagen:
son difíciles, oscuras y de escasa utilidad práctica. Esto se debe, en
parte a los malos usos que se les llegan a dar por parte de algunos
maestros irresponsables, ya que las utilizan como un arma para
tener en la raya –intelectualmente hablando- a los alumnos. Además
a los que imparten esta materia no todos son licenciados en
matemáticas, por lo tanto no están capacitados para transmitir los
mecanismos mentales de esta ciencia, y menos el interés de estas.
9
1.2 Construcción de las matemáticas mediante la confrontación
Actualmente, en todos los materiales de apoyo para la
enseñanza de las matemáticas se habla sobre la importancia de la
confrontación de procedimientos y resultados que se producen en la
clase. Pero ¿qué mes la confrontación?
Si bien confrontar significa contrastar, comparar, enfrentar; a la
luz de la didáctica de las matemáticas y bajo el enfoque actual para
su enseñanza, estudio y aprendizaje, la confrontación va más allá
de la sola comparación de resultados y procedimientos.
La confrontación es un momento clave en el desarrollo de
cada sesión de clase. Es el espacio dedicado para que los alumnos
reflexionen sobre lo que hicieron al realizar alguna actividad o
resolver algún problema, para que hagan consciente lo que saben,
lo que no saben, las dificultades que encontraron; para que aclaren
dudas, compartan puntos de vista y argumenten su validez o
invalidez.
Este es el espacio que el maestro puede aprovechar para
lograr el propósito de la clase; el que le permite visualizar los
propósitos futuros, y el que le da una idea del tipo de situaciones
problemáticas que planteará en sesiones subsiguientes, para ayudar
a sus alumnos a avanzar en la construcción de sus conocimientos.
10
Dada la importancia didáctica de la confrontación, ésta debe
ser lo más ágil y breve posible para mantener la atención de los
alumnos sin cansarlos. Por lo anterior es importante que antes de
llevarla a cabo, el maestro tenga claro cuál de los siguientes
propósitos persigue en cada sesión de clase.
Que los alumnos:
• Observen que un problema puede resolverse de
diferentes maneras.
• Observen que algunos problemas pueden tener más de
una respuesta correcta.
• Corrijan errores frecuentes.
• Analicen las ventajas de utilizar unos procedimientos en
vez de otros, es decir, privilegiar el uso de cierto
procedimiento que se aproxime más al formal.
• Aprendan los conocimientos formales.
1.3 Las dificultades de las matemáticas
La resolución de problemas es un obstáculo grave para los
alumnos de primaria. Recordemos que uno de los objetivos
fundamentales de la escuela primaria es enseñar a los niños a
resolver los problemas, pero son diferentes los factores que
contribuyen a la dificultad para que los alumnos puedan encontrar
11
una solución.
Analicemos factores que contribuyen a la dificultad de las
matemáticas.
a) La lectura. Los problemas son principalmente textos escritos
y las dificultades varían según el orden elegido para presentar
los datos, la sintaxis, los términos empleados, la longitud del
texto, etc. “La mayoría de los malos en matemáticas está
formado por alumnos que no aprendieron nunca a desarrollar
un comportamiento de lectura pertinente frente a un escrito
de ese tipo.”4
La dificultad de la lectura y la dificultad del tratamiento estarían
íntimamente relacionado y la capacidad de lectura de u
enunciado de problema sería indisociable de la capacidad de
tratamiento. Así, el que lea bien será el que sepa tratar el
problema. Entonces la lectura del texto vendría a ser una parte
integrante de la resolución del problema.
Cuando a los alumnos se les dificulta la lectura de los
enunciados no puede obtener la información necesaria para
abordar el problema. Por ello es importante que el maestro
reflexione sobre la claridad del enunciado, propicie el tiempo
4 ERMEL del Inrp. “Los problemas en la escuela primaria”. En Antología Básica UPN: los problemas matemáticos en la escuela. p.15.
12
suficiente para que lea y por medio de preguntas, los ayude a
comprender el problema.
b) La resistencia de los alumnos a buscar por su cuenta la
manera de resolver los problemas que se les plantean.
Aunque habrá desconcierto al principio, tanto de los alumnos
como del maestro, vale la pena insistir en que sean ellos
quienes encuentren las soluciones. Pronto se empezará a
notar un ambiente distinto en el salón de clases, los niños
compartirán sus ideas, habrá acuerdos y desacuerdos, se
expresarán con libertad y no habrá duda de que reflexionarán
en torno al problema que tratan de resolver.
c) La memoria y la multiplicidad de tareas. La realización de
una resolución de problema es muy compleja ya que requiere
la afectación mental y simultaneidad de un gran número de
tareas: depósito, selección, organización de información,
búsqueda y aplicación de procedimiento, cálculo, etc. Y es
aquí donde se observa si una u otra de las tareas
demandadas requiere mucha atención haciendo para el niño
una gran dificultad. Basta con solo alargar un texto de un
problema, multiplicar los datos, aumentar el tamaño de los
números, cambiar la secuencia, agregar una pregunta o
reemplazar números naturales por números decimales.
“Las modificaciones que hacemos conduce a los niños aun campo menos familiar, así
13
el trabajo suplementario que se obliga al alumno a hacer es muy costos mentalmente y puede perturbar sus posibilidades de memorización.”5
d) La resistencia de los alumnos a buscar por su cuenta la
manera de resolver los problemas que se les plantean.
Aunque habrá desconcierto al principio, tanto de los alumnos
como del maestro, vale la pena insistir en que sean ellos
quienes encuentren las soluciones. Pronto se empezará a
notar un ambiente distinto en el salón de clases, los niños
compartirán sus ideas, habrá acuerdos y desacuerdos, se
expresarán con libertad y no habrá duda de que reflexionarán
en torno al problema que tratan de resolver.
e) El desinterés por trabajar en equipo. El trabajo en equipo es
importante por que ofrece a los niños la posibilidad de
expresar sus ideas y de enriquecerlas con las opiniones de
los demás, por que desarrollan la actitud de colaboración y la
habilidad para argumentar, y por que de esta manera se
facilita la puesta en común de los procedimientos que
encuentran. Sin embargo, la actitud para trabajar en equipo
debe ser fomentada por el maestro, insistiendo sobre todo en
que cada integrante asuma la responsabilidad de la tarea que
se trata de resolver, no de manera individual, sino como
equipo. Por ejemplo, si la tarea consiste en resolver un
5 Ibid. p.16.
14
problema, cualquier miembro debe estar en posibilidad de
explicar el procedimiento que utilizaron.
f) La falta de apoyo de los padres de familia. La responsabilidad
de que los alumnos logren aprendizajes de calidad es de
cada profesor o profesora de grupo y de la escuela en su
conjunto; sin embargo, no se puede negar que la ayuda de
los padres es fundamental en el proceso de estudio puesto
que puede darse en distintos niveles, en función de la
disponibilidad de tiempo y el nivel de estudios que tengan.
Habrá padres que sólo puedan estar al pendiente de que los
niños cumplan adecuadamente con las tareas para la casa y
otros que puedan ayudarlos a reflexionar cuando tienen
dudas. En cualquier caso, es necesario que estén enterados
sobre el tipo de trabajo que se realiza en el aula y de qué
manera pueden apoyarlo.
g) La falta de tiempo para concluir las actividades. Muchos
maestros comentan que si llevan a cabo el enfoque didáctico
en el que se propone que los niños resuelvan problemas con
sus propios medios, discutan y analicen los procedimientos y
resultados que encuentran, no les dará tiempo para concluir
el programa. Con este argumento, algunos optan por regresar
al esquema tradicional en el que el maestro da la clase
mientras los alumnos escuchan aunque no comprendan. La
sugerencia que hemos reiterado va en el sentido de que más
15
vale dedicar el tiempo necesario para que los alumnos
adquieran conocimientos con significado y desarrollen
habilidades que les permitan resolver diversos problemas y
seguir aprendiendo, que enseñar conocimientos que pronto
serán olvidados por los alumnos. Si los alumnos comprenden
los contenidos, los maestros no tendrán que repetir año con
año las mismas explicaciones y esto se traduce en mayores
niveles de logro educativo.
h) Espacios insuficientes para compartir experiencias. Al mismo
tiempo que los profesores asumen su responsabilidad de
manera individual, es necesario que la escuela en su conjunto
asuma la de brindar una educación de calidad a todos los
niños. Esto significa que no basta con que el maestro o
maestra de sexto grado proponga a sus alumnos problemas
interesantes para que reflexionen, sino que antes y después
de este grado tengan las mismas oportunidades de aprender
significativamente. Para ello es necesario que los profesores
compartan experiencias, sean exitosas o no, que les permitan
mejorar permanentemente en su trabajo docente. Esto
implica destinar periódicamente algún tiempo para el trabajo
académico debidamente planeado, establecer metas y estar
pendientes de su cumplimiento a lo largo del año escolar.
i) La relación de las matemáticas con otras asignaturas. No se
puede pasar por alto que los profesores de educación
16
primaria tienen la responsabilidad de ayudar a sus alumnos a
estudiar todas las asignaturas del plan de estudios y no sólo
Matemáticas, aunque, ciertamente, ésta es en muchos casos
la que ofrece mayor dificultad. La sugerencia general es tratar
de vincular, siempre que sea posible, los contenidos de
diferentes asignaturas, y claramente los de Matemáticas
tienen muchos puntos en común con los de Ciencias
Naturales y Geografía, sobre todo en lo referente a la
elaboración e interpretación de gráficas, al uso de los
números y a la medición.
1.3.1 El papel de los problemas en la construcción de conocimientos
Tradicionalmente la resolución de problemas de matemáticas
es vista como la actividad en la cual se aplican los conocimientos
previos enseñados, es decir, se ha separado el momento dedicado
a adquirir conocimientos del momento dedicado a resolver
problemas. Sin embargo, es al resolver problemas cuando los
alumnos pueden construir sus conocimientos matemáticos de
manera que éstos tengan significación para ellos.
La resolución de un problema nuevo inicia casi siempre con
procedimientos de ensayo y error: se prueban hipótesis, ideas,
resultados particulares. Al resolver otros problemas similares, poco
17
a poco se van construyendo ciertas relaciones que permiten
elaborar procedimientos más sistemáticos. En el proceso de
búsqueda es muy difícil determinar de antemano qué operación o
fórmula se va a usar. A veces no es sino después de resolver varios
problemas que pueden identificarse la pertinencia de una
herramienta ya conocida.
“Por supuesto, si antes de plantearse el problema a una persona, se le enseña la formula que lo resuelve de manera sistemática, se le quita la oportunidad de hacer matemáticas, es decir, de construir por si misma herramientas para resolver problemas, y éste es, sin embargo, uno de los principales propósitos de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria.”6
Bajo esta concepción del aprendizaje, los problemas juegan
un nuevo papel: construyen la principal fuente de los conocimientos.
En el enfoque sobre el aprendizaje de las matemáticas en la
escuela primaria del nuevo “plan y programa de estudio”, se plantea
un cambio importante en la relación entre conocimiento y problema.
“No se trata ya de adquirir conocimiento para aplicarlos a los
problemas, sino de adquirir conocimiento al resolver problemas.”7
La resolución de problemas constituye no solo un área de
6 SECERTARIA DE EDUCACION PÚBLICA. Op. cit. p. 19 7 Ibid. p. 23.
18
estudio en si misma sino también un procedimiento de enseñanza y
aprendizaje aplicable a todas las áreas por lo tanto debemos
trabajar en dos sentidos, esto es, para aprender matemáticas a
partir de la investigación y para aplicar y conectar las matemáticas
que se conocen.
El objetivo es aprender a resolver y reconocer si la solución o
soluciones obtenidas son correctas sin la ayuda del profesor.
Los problemas se han de extraer de la realidad cotidiana, pero
hay que recordar que el hecho de que se traten de problemas
cotidianos no los hace reales. Los problemas han de ser variados en
la presentación, el número de soluciones, los métodos posibles de
resolución y el tipo de conceptos matemáticos que intervienen. Al
fin de esta etapa los niños deben conocer los pasos necesarios para
resolver cualquier tipo de problema.
Si el enunciado se presenta de forma escrita es necesario
leerlo clarificando el significado de cada término y explicar oralmente
el lenguaje coloquial la situación que se describe. También es
importante organizar la información del problema distinguiendo entre
la información conocida y la desconocida. Habrá que determinarse
la información que se precisa y donde se ha de buscar. Después
hay que buscar relaciones o condiciones entre los valores conocidos
y los desconocidos lo que se facilita prediciendo y tanteando el
resultado. A continuación se ha de elaborar un plan, resolver y
19
comprobar si los resultados son soluciones apropiadas a la situación
planteada y en caso de que la comprobación sea negativa, revisar el
proceso. “Las matemáticas son un conjunto de conocimientos en
evoluciona continua, esta estrechamente relacionado con otros
conocimientos y con un importante carácter aplicado.”8
Así por ejemplo, muchos aspectos de la geometría responden
a la necesidad de resolver problemas arquitectónicos o de
agricultura, los diferentes sistemas de numeración evolucionan
paralelamente a la necesidad de buscar formas de notación que
permitan agilizar los cálculos. Las estadísticas, por su parte, tienen
su origen e la elaboración de los primeros censos demográficos. Las
variaciones proporcionales se presentan en numerosas situaciones
de la vida cotidiana y de las ciencias donde se dan situaciones en
las que la magnitud varía en función de otra. De lo anterior seria un
error presentar a los niños las matemáticas de una forma
descontextualizada, sin tener en cuenta que el origen y fin de las
matemáticas no es otro que responder a las demandas de
situaciones problemáticas de la vida diaria.
1.3.2 Cambios de las matemáticas
Las matemáticas, al igual que otras disciplinas, han estado
cambiando constantemente debido en gran parte al desarrollo de los
8 FARNHAM Diggory, Silvia. Dificultades del Aprendizaje de las matemáticas. p. 35.
20
medios tecnológicos por ejemplo, una calculadora puede ser útil al
estudiante no solo para realizar grandes operaciones aritméticas,
sino también para representar gráficamente ciertos fenómenos y
explorar con más detalle el comportamiento de éstos.
“Así, en nuestro mundo cambiante, el ser flexible y el desarrollo habilidades que permitan entender y valorar los avances son aspectos fundamentales que el estudiante debe considerar no solo en su aprendizaje escolar, sino también para interactuar en el medio donde vive.”9
Lo que se pretende es que el estudiante desarrolle diversas
estrategias que le permita resolver problemas que requieran cierto
grado de independencia y creatividad.
Una de las grandes implicaciones pedagógicas del trabajo
cooperativo es que el salón de clase debe ser una comunidad donde
el estudiante discuta y defienda sus ideas matemáticas.
Así cuando los estudiantes encuentran un ambiente en el
salón de clase que les permita pensar y razonar acerca de las
matemáticas y comunicar sus resultados a otros en base a
argumentos, se enfrentan a la necesidad de organizar y presentar
sus ideas en forma convincente, por ejemplo trabajando en parejas
o en pequeños grupos, los estudiantes tiene oportunidades de
9 SANTOS Trigo, Luz Manuel. Didáctica Lectura: Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. p. 76.
21
validar sus razonamientos y sus conjeturas. Pueden discutir sus
puntos de desacuerdo y argumentar el sentido de sus soluciones.
“Los estudiantes aprenden matemáticas solo cuando ellos mismos
construyen sus propias ideas matemáticas. Además, las ideas
matemáticas se aprenden por medio de un proceso de
comunicación”.10
Los estudiantes necesitan oportunidades no solo para
escuchar sino para comunicar sus ideas matemáticas. Es decir,
necesitan discutir lo que observan, explicar por que ciertos
procedimientos funcionan y por que piensan que la solución a un
problema es correcta. Cuando el aprendizaje es visto como una
construcción y reorganización de conocimiento, entonces el maestro
puede identificar las diferentes formas en que cada estudiante
aprende. Es importante que el profesor reconozca los diversos
estilos de aprender entre sus estudiantes y así promueva
actividades de aprendizaje compatibles con tales formas de
aprender o interactuar con el contenido matemático.
La historia de las matemáticas nos muestra que la
comunicación y la interacción social juegan un papel fundamental en
el desarrollo de las ideas matemáticas.
Las matemáticas no son solamente actividades que el
estudiante aprenden dentro del salón de clases: los recursos
10 Ibid. p. 76.
22
matemáticos deben convertirse en comunidades donde la gente
toma acuerdos, se comporte de cierta forma y donde exista un gran
dialogo para construir argumentos que sustenten algunas ideas o
planteen contraejemplos para refutar algún resultado.
Las matemáticas tendrán más éxito si se organizan de tal
manera que los estudiantes tengan un papel mas activo y si las
matemáticas que se estudian se sitúan en un contexto sensible para
los estudiantes.
“Polya, afirma que las ideas en matemáticas se originan a partir de algunas conjeturas. Es necesario discutir y desarrollar un argumento que sostenga y posteriormente ayude a probar la validez de tal conjetura. Caracteriza el enseñar como el darle la oportunidad al estudiante para que descubra relaciones matemáticos, e indica que muchas de las actividades en matemática parten de situaciones en donde en primera instancia hay que conjetura para posteriormente buscar un argumento donde se pruebe la conjetura o un contraejemplo que la refute.”11
Al estudiante se le debe dar la oportunidad de que él resuelva
problemas. La importancia de dar tal oportunidad la señala George
Polya en su libro Mahematical Discovery, asegura que la resolución
de problema es una habilidad practica, como la natación, o esquiar,
11 TRILLAS. Temas de matemática 17. Sugerencias para resolver problemas. p. 42.
23
o tocar el piano; no solo se puede aprender mediante la imitación y
la practica, pues no hay ninguna “llave mágica” que abra todas las
puertas y resuelva toda los problemas. Si deseamos aprender a
nadar, tenemos que meternos en el agua; analógicamente, si
deseamos llegar a ser hábiles en la solución de problemas, tenemos
que resolver problemas.
CAPITULO II ELEMENTOS EN LA ENSEÑANZA DE LA
MATEMÁTICAS
2.1 El alumno de sexto grado y las matemáticas
Jean Piaget, (1896-1980) nació en Suiza, este personaje hizo
varios estudios a los niños, para llegar a una fundamentación lógica
de cómo se produce el conocimiento científico.
Piaget pensaba que la inteligencia jugaba el papel central
dentro de los procesos psíquicos.
Aseguraba que “tanto la inteligencia, como la vida eran una
continua creación de formas que se prolongan unas a otras” pero
hacía una aclaración, que está creación no se encuentra dentro del
aspecto estructural en los contenidos del conocimiento, sino en el
aspecto funcional.
El ser humano nace con una herencia, independientemente de
que sea específica o general, debería de ser herencia funcional la
cual nos establece una unión entre la inteligencia y la actividad
25
biológica.
“Esta herencia funcional nos acarrea un desarrollo intelectual del sujeto, que se divide en estadios, los cuales abarcan desde el nacimiento el final de la adolescencia, cada uno de los cuales se caracteriza por una estructura de conjuntos, que puede expresarse de forma lógica-matemática”.12
Los períodos, que Piaget reconoce son tres: el período
sensorio-motor, el período de operaciones completas y el periodo de
operaciones formales.
Piaget ha tratado de explicar mas concretamente el proceso
de desarrollo, refiriéndose específicamente a la elaboración de
conocimientos. La teoría Piagetana consta de cuatro rasgos en su
estructura, el primero aclara que el desarrollo es un proceso
constructivo, el segundo sostiene que hay una interacción continua
entre organismo y medio, el tercero afirma que el propio sujeto
elabora sus propias estructuras y por último la teoría está basada en
estadios.
Piaget aclara que para poder impulsar un buen desarrollo
intelectual, no juega como papel principal el lenguaje sino que pasa
a un segundo término, siendo la cooperación de los mismos sujetos
el instrumento primordial. 12 DEIVAL Juan. El desarrollo humano. p.54.
26
Como se mencionó anteriormente Piaget ha dividido el
desarrollo del niño en tres períodos que son:
1º Período sensorio-motor que abarca de los 0 a los 24 meses.
2º Período de preparación y organización de las operaciones
concretas que consta de 1 ½ años a los 11/12 años.
De acuerdo a Piaget, los niños entre los 11 a 12 corresponden
a la etapa o estadio de las operaciones concretas. Según esta
clasificación, el pensamiento que expresan estos niños, en términos
generales es el siguiente:
• Adquieren una evolución del razonamiento y del
lenguaje, comprendiendo la mayoría de los conceptos.
• Razonan y se percatan que los objetos tiene
características similares pero que también tienen
diferencias, permitiéndoles realizar clasificaciones,
tomando en cuanta las características de los eres
humano.
• Reconoce los hechos y fenómenos reales que sucede a
su alrededor, respecto a los que son producto de la
fantasías.
• Tiene la capacidad de comprender secuencias llegando
a conclusiones que les facilitan un gran numero de
habilidades, las cuales les permiten tener un mejor
27
desenvolvimiento dentro del contexto escolar y fuera de
él; a su vez, comprende mejor los textos que leen, éstos
les proporciona conocimientos que les ayudan a
entender los sucesos anteriores y posteriores a los
mismos.
• Comienzan a entender el curso del tiempo en lo que
respecta al presente, el pasado y el futuro; son capaces
de dar ciertas explicaciones y planear soluciones a
diferentes situaciones problemáticas, escogiendo la que
mejor les parezca; además, comprende que ciertas
palabras tiene diferentes significados.
“Los niños parten de experiencias concretas: poco a poco y en la medida que van realizando abstracciones, pueden prescindir de los objetos físicos. La interacción, el dialogo y la confrontación de puntos de vistas favorecen al aprendizaje y a la construcción de conocimientos, por lo que al proceso es reforzado por la interacción con los compañeros y con los maestros.”13
En esta etapa el niño es capaz de expresar totalmente el
ánimo en que se encuentra, a través de diferentes lenguajes
como son: simbólico, mímico, lógico-matemático, oral y escrito,
incrementando su léxico y no limitándose a contestar nada más
cuando se pregunte, sino que lo hace por voluntad propia.
13 SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Y CULTURA DEL ESTADO DE SINALOA. Estrategia Didácticas contenidos matemáticos complejos. p.17.
28
“No se limita al cúmulo de información, sino que las relaciona entre sí, y mediante la confrontación de los enunciados verbales de las diferentes personas, adquiere conciencia de su propio pensamiento con respecto a los otros.”14
Es necesario que al niño de esta edad se le planteen
diferentes situaciones problemáticas para que realice análisis,
síntesis y generalice propuestas y posibles soluciones, logrando así
desarrollar el aspecto cognitivo adecuadamente.
3º Período de las operaciones formales que comprende de los
11/12-15/16 años.
Desarrollaremos el tercer estadio, que es el de las operaciones
formales de 11/12 años. En este período el niño obtiene las
operaciones básicas que es lo que necesita para formular un
pensamiento científico. En esta etapa es capaz de razonar no sólo
sobre lo real sino también sobre lo posible.
Será capaz de expresar los sucesos, de examinar algunas
consecuencias y de comprender hechos alejados del espacio y el
tiempo. Ha adquirido cierta capacidad para razonar sobre distintas
alternativas, para resolver un problema. Para Piaget cada uno de los
diferentes estadios está diferenciado por una estructura de
14 AJURIAGUERRA, J. “Estadios del desarrollo según J. Piaget”. En: antología básica UPN: El niño: Desarrollo y proceso de construcción del conocimiento. p.55.
29
conjuntos que no pueden expresarse de manera lógica-matemática.
Durante el período de las operaciones formales comienza el sujeto a
ser competente, respecto a resolución de problemas, aunque sólo
sea en determinados problemas, de manera hipotético-deductivo, en
este período el lenguaje es el factor trascendental, ya que éste es el
intermediario entre el pensamiento y lo posible que el niño pueda
ejecutar.
En el transcurso del tiempo podemos observar como se van
produciendo cambios en todo lo que nos rodea y específicamente
en los niños, los cuales resultan muy tangibles como lo son: su
estatura, peso, el apreciar que ya aprendieron a caminar,
comunicarse y de alguna manera son independientes, pero hay
otros cambios que cuesta más trabajo identificarlos.
Entre estos cambios se encuentra la capacidad de percepción,
la habilidad de representación, el desarrollo de la memoria,
amplificar el razonamiento y propagar la conducta social.
Dentro de los tres períodos en que se fundamenta la teoría de
Piaget, se subdivide en seis estadios que son:
Estadio I (de 0-1 años)
Estadio II (de 1-4 años)
Estadio III (de 4-8 años)
Estadio IV (de 8-12 años)
30
Estadio V (12-15 años)
Estadio VI (15-18 años)
Al que nos estamos refiriendo con más precisión es el estadio
IV (de 8-12 años ) en este estadio el sujeto tiene una característica
muy notoria, que si busca el objeto en el lugar A, lo encuentra, y
luego se esconde en B lo buscará en A.
Lo propio de este período se refiere directamente a los
objetos, sus relaciones y su denominación; la forma lógica de juicios
y razonamientos comprobados y representaciones verdaderas
consideradas así, por los niños.
Una de las cuestiones que menos se conocían antes de las
investigaciones acerca del desarrollo en la lógica del niño fue el
grupo de proporcionalidad como estructura interproposicional. Esto
se debía a que el niño tenía una gran complejidad lógica, porque
requería de una intervención de factores reales y aparentes.
El niño-adolescente en esta etapa no se limita a su forma de
pensar, si no que es capaz de coordinar lo que piensan los demás,
pero es aún más importante por deducir conclusiones, al igual que
se integran a un sistema de conjunto que J. Piaget lo refiere a
modelos matemáticos.
J. Piaget asegura que los avances de la lógica en el niño-
31
adolescente van de igual manera con otros cambios del
pensamiento, y esto en consecuencia las transformaciones de esta
época.
“En Matemáticas y ciencias exactas, en el período de las
operaciones formales, el método de probar y descubrir permite que
el alumno llegue por sí mismo al proceso de aprendizaje”.15 En esta
etapa lo que más le significa es el grupo de amigos, el equipo en el
cual está integrado para realizar cualquier actividad. Dentro de esta
etapa el niño-adolescente, se desenvuelve egoísta, solitario, de
carácter cambiante, es la etapa donde es demasiado voluble.
Es momento de darle confianza, comprensión, respeto, ayuda
todo esto le permite recuperar, aclarar y fortalecer su autoestima, ya
que este sentimiento es la clave para triunfar en la vida.
En esta etapa se desarrolla el razonamiento, que por sí sólo es
primeramente un análisis lógico de varias afirmaciones o
conocimientos con el fin de unirlos y llegar a una conclusión
razonable y aceptable.
Conviene señalar ante todo que la noción de operación se
aplica a realidades muy diversas, aunque perfectamente definidas.
Hay operaciones lógicas, operaciones aritméticas, operaciones
geométricas, temporales, físicas, etc. Una operación es pues en
15 ARUJO, B Joao y CHADWICK, B. Clifton. La Teoría de Jean Piaget, p. 65.
32
primer lugar, psicológicamente, una acción cualquiera, cuya fuente
es siempre motriz, perceptiva o intuitiva.
Por ejemplo un concepto o una clase lógica, no se constituye
aisladamente, sino necesariamente de una clasificación de conjunto
de la que representa una parte.
Para Piaget la inteligencia se divide en tres componentes que
son: el primero la adaptación, el segundo la estructura y el tercero el
contenido.
De estos tres componentes el más importante es la estructura
de la inteligencia, que abarca las propiedades de las operaciones y
de los esquemas responsables de comportamientos.
Las estructuras son operaciones interiorizadas en la mente, a
su vez reversibles, que tienen, de acuerdo con Piaget, una
naturaleza lógica y matemática.
Es así por medio de esta teoría pedagógica que nos ayudará a
comprender mejor el pensamiento del alumno e igualmente
desarrollar el razonamiento lógico, para el funcionamiento de su
persona en contacto con su medio.
La enseñanza de las matemáticas se propone a partir de
situaciones prácticas, se pone énfasis en la formación de
33
habilidades que facilita la resolución de problemas y el desarrollo del
razonamiento lógico, es por eso que podemos considerar a las
matemáticas como el resultado del quehacer humano, un proceso
de construcciones sustentado en abstracciones sucesivas.
Recordemos que mucha de las disciplina han partido de la
necesidad de resolver problemas concretos, propios de los grupos
sociales. “Los niños crean sus propios procedimientos para resolver
un problema, aun antes de conocer el algoritmo apropiado que le
ayude a resolverlo”.16
Estos procedimientos, son las bases a partir del cual los niños
pueden comprender las operaciones y desarrollar simplificaciones
mas adecuadas.
2.2 El papel del maestro de sexto grado y las matemáticas
Las actividades que el maestro diseñe deberán estar
enfocadas a la comprensión y asimilación de los conceptos.
“Deberán partir de la manipulación que el niño haga de las materiales recordados en todo momento que los materiales son recursos didácticos que sirven para asimilar un concepto y alcanzar un proceso más acabado, y nunca un fin en si
16 SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA Y CULTURA DEL ESTADO DE SINALOA. Op.Cit. p.16.
34
mismo.”17
Para que el alumno construya sus conocimientos matemáticos
es necesario que el maestro elija y diseñe problemas con los que el
niño desarrolle nociones y procedimientos a través de las
interrogantes que ellos se planteen.
Esto no debe responder solo al esquema tradicional que
consiste en una sola interrogante. Construir un cuerpo geométrico,
saber si los datos de un problema son suficientes para encontrar la
solución o si es necesario buscar información adicional, encontrar la
respuesta de un acertijo, buscar las estrategias para ganar
sistemáticamente en un juego matemático, entre otros, son
problemas que ayudan a pensar y poner en juego algunos
conocimientos matemáticos.
El papel del maestro en esta perspectiva didáctica es
fundamental. Su función no es solo transmitir información, sino,
sobre todo, diseñar actividades a través de las cuales los alumnos
se apropien de los conceptos matemáticos. Coordinar las
discusiones en las que los alumnos participan e interactúan con sus
compañeros para explicar sus procedimientos y validar sus
estrategias, así como presentar ejemplos y contraejemplos, con el
fin de cuestionar sus hipótesis y reflexionar sobre los problemas
para replantear sus procedimientos iniciales, son también tarea
17 Ibid. p. 17.
35
indispensables para el buen logro de los objetivos del aprendizaje.
En otras palabras, el profesor debe propiciar las actividades
que ayuden a los niños a:
• Establecer relaciones entro lo que ya conoce y lo
que tiene que aprender
• Reflexionar sobre determinado contenido
matemático
• Discutir y escribir sus ideas
• Confrontar las ideas principales
• Propiciar la modificación de sus puntos de vista
• Coordinar sus intereses
• Tomar decisiones colectivas
• Ayudar a superar dificultades
• Superar conflictos mediante el dialogo y la
cooperación
Es importante que el maestro diferencie cuando una actividad
consiste en la resolución de un problema, debe tener presente los
datos del problema y quiere obtener una información que no es
consecuencia inmediata de estos.
La información puede propiciarse a través de enunciados,
documentos, situaciones y experiencias, o de la construcción de
algún objeto o juego matemático. Se pretende llevar a los niños a
36
descubrimientos propios y no sólo a aquellos que queremos que
aprendan. Necesitamos como maestros estimular en él un espíritu
de búsquedas que lo ayuden a desarrollar la intuición matemática.
Al planear un problema en la escuela primaria deben
considerarse tres funciones fundamentales.
Un problema puede plantearse con el propósito de motivar
nuevos aprendizajes y habilidades, el maestro debe promover que
los alumnos busquen y desarrollen diferentes estrategias de
solución, así como representar la respuesta y los procedimientos
utilizados.
El maestro podrá plantear problemas con los que pueda
conocer y evaluar cómo aplican las nociones o procedimientos
aprendidos, mientras que el alumno comprobara los conocimientos
adquiridos.
El maestro deberá plantear problemas abiertos, en los cuales
el alumno, por iniciativa propia u orientados por el maestro,
identifique las situaciones que se derivan del problema original e
indaguen todo lo que sea posible con los datos que éste ofrece.
Mediante este planteamiento el alumno se darán a la tarea de
identificar el problema, los datos necesarios y la forma de resolverlo.
Con este tipo de situaciones los niños infieren los conocimientos
adquiridos en la escuela al matematizar situaciones de la vida diaria.
37
Al presentar un problema a los alumnos el maestro debe tener
claro el propósito que persigue y que se cumplan con las siguientes
condiciones:
• Que responda a una necesidad o interés del niño.
• Que despierte el interés de búsquedas para
resolverlo.
• Que utilice conceptos matemáticos para resolverlo.
• Que pueda expresarse en algún tipo de lenguaje (en
este caso el aritmético).
• Que su grado de dificultad no sea tan grande como
para desanimar a los alumnos.
• Que permita al niño tener la libertad de elegir distintos
caminos.
Factores que intervienen en el proceso de aprendizaje.
Los factores que intervienen en el proceso de aprendizaje son:
a) La maduración.
b) La experiencia.
c) La transmisión social.
d) El equilibrio.
Estos factores se encuentran interrelacionados y funcionan en
interacción constante durante el aprendizaje y de cada uno de ellos
depende que se adquiera o no un conocimiento.
38
La maduración. Para asimilar y estructurar la información
proporcionada por el ambiente, el sujeto requiere de algunas
condiciones fisiológicas que se denominan factores de maduración.
La maduración es el desarrollo que resulta de los cambios orgánicos
y biológicos en el niño. Entre más edad tenga un individuo, es
probable que tenga un mayor número de estructuras mentales que
actúan en forma organizada. “La maduración del sistema nervioso
se considera terminada aproximadamente a los 15 ó 16 años de
edad y tiene una importancia innegable en el proceso de
desarrollo.”18
Aunque esa importancia se ha exagerado, porque si bien es
cierto que algunas condiciones fisiológicas son necesarias para que
el individuo, pueda ejecutar una determinada acción o adquirir un
conocimiento, éstas no son por sí mismas suficientes para lograrlo.
La maduración del sistema nervioso se limita a abrir
posibilidades excluidas hasta ciertos niveles de edad, pero falta
actualizarlas y eso supone tres condiciones, la más inmediata de las
cuales es el ejercicio funcional ligado a las acciones. Resumiendo,
podemos decir que la maduración no es la causa de la adquisición
de un conocimiento, sino únicamente permite que se desarrolle.
La experiencia. Este factor se refiere a las experiencias que el
individuo adquiere al interactuar en su medio. Al explorar y
18 PIAGET, Jean. Psicología y pedagogía. p.48.
39
manipular objetos y aplicar sobre ellos diferentes acciones, obtiene
dos tipos de experiencia:
- La experiencia física
- La experiencia lógica-matemática.
La transmisión social. Además de los factores de maduración y
experiencia, la adquisición de conocimientos depende de las
transmisiones educativas o sociales, que consiste en la información
que recibe el sujeto proveniente de las personas con quien convive.
Cuando se trata de la transmisión, a través de la palabra o de
la enseñanza verbal de los padres o maestros, se considera que
esta transmisión educativa, proporciona al niño los instrumentos
para asimilar un conocimiento, sin considerar que estos
instrumentos, sólo pueden adquirirse a través de una actividad
interna. El lenguaje no es suficiente para transmitir una lógica, que
se adquiere con la interacción con el medio.
El equilibrio. El equilibrio proporciona, la autorregulación que
permite que la inteligencia se desarrolle, adaptándose a los cambios
internos y externo.
“El equilibrio coordina continuamente los factores de maduración, experiencia física y transmisión social, para solucionar problemas o desequilibrios, mediante una constante elaboración de estas estructuras
40
nuevas, dichos estados de equilibrio no son permanentes pues la constante estimulación del ambiente plantea al sujeto cada vez nuevos conflictos a los que ha de encontrar solución.”19
Los niños adquieren los conceptos y las operaciones
numéricas construyéndolos internamente, no interiorizándolos a
partir del ambiente. Piaget define tres tipos de conocimiento: físico,
social y lógico-matemático, enfatizando que las operaciones
numéricas sólo se adquieren a través del conocimiento lógico
matemático.
El conocimiento físico es el conocimiento de los objetos de la
realidad externa y se adquiere al accionar sobre los objetos y
descubrir sus propiedades físicas por abstracción de experiencias o
a partir de los mismos objetos. El objeto mismo le da información y
así le descubre distintas características ante las acciones que él les
aplica. Por ejemplo: al aventar un vaso de vidrio se rompe, al botar
una pelota rebota.
El conocimiento lógico matemático consiste en la relación
creada por cada individuo ya que sus fuentes están en la mente de
los individuos, cada individuo debe crear esta relación, puesto que
las relaciones no existen en el mundo exterior y observable, se
requiere de accionar sobre los objetos, pero descubriendo
propiedades por abstracción a partir no de los objetos como tales 19 SECETARIA DE EDUCCION PÚBLICA. Propuesta para el aprendizaje de la lengua escrita. p. 34.
41
sino de las acciones que se ejercen sobre estos.
El individuo construye relaciones lógicas, este tipo de
relaciones no están dadas por los objetos en sí mismos; son
resultados de las actividades intelectuales del individuo. Por
ejemplo: Este lápiz es más grande que el tuyo.
El conocimiento social son las convenciones establecidas por
las personas, su naturaleza es eminentemente arbitraria, para que el
niño lo adquiera el conocimiento social es indispensable que reciba
información de los demás (transmisión social) aunque el lenguaje no
es suficiente para transmitir una lógica, que se adquiera con la
interacción con el medio.
Con un enfoque tradicionalista, los profesores han
considerado que las operaciones numéricas pueden enseñarse
como si se trataran de conocimientos físicos o sociales, sin tomar en
cuenta que se trata de un conocimiento lógico matemático.
Los conocimientos no se apilan, no se acumulan, sino que
pasan de estados de equilibrio a estados de desequilibrio, en el
transcurso de los cuales los conocimientos son cuestionados, una
nueva fase de equilibrio pasa a estados de desequilibrio, en el
transcurso de los cuales los conocimientos anteriores son
cuestionados. Una nueva fase de equilibrio corresponde a una fase
de reorganización de los conocimientos, donde los nuevos
42
conocimientos son integrados al saber antiguo, a veces modificado
(Piaget).
En el marco de las teorías constructivistas que vienen
desarrollándose desde hace alrededor de quince años se asigna un
papel primordial a la interacción social.
“Los conocimientos infantiles responden a un doble origen, determinados por las informaciones específicos provistas del medio. Podemos hacer la hipótesis de que, en un contexto de socialización ambos factores se ven favorecidos. Por la posibilidad de confrontar con los otros las propias conceptualizaciones, y en el segundo, porque los mismos niños pueden jugar el papel de informantes sobre los aspectos convencionales. Esta interacción constituye una fuente de conflictos, puesto que los niños utilizan sus propias hipótesis para asimilar la información del medio y las ponen a prueba al confrontarlas con las hipótesis de otros, no siempre idénticas a las suyas”.
20
2.2.1 Trabajo del maestro
La obligación del maestro consiste en asegurar que el máximo
número de estudiantes de su aula aprendan el contenido
instruccional básico. Pero este objetivo es muy difícil de alcanzar 20 KOHL De Oliveira Martha. Pensar en la educación: las contribuciones de Vigotski. p. 80
43
cuando el grupo es heterogéneo, de manera que los profesores
deben escoger entre cubrir el máximo de programación o dedicar el
tiempo instruccional suficiente como para garantizar que los
aspectos fundamentales del programa sean dominados incluso por
los estudiantes más lentos. Desgraciadamente muchos profesores
optan por avanzar cuando lo que deberían hacer es atender a la
diversidad de competencias matemáticas que presentan sus
alumnos. Esta opción puede acarrear consecuencias negativas, ya
que las matemáticas son jerárquicas, los estudiantes que se ven
transportados a través del curriculum sin comprender el sentido de
las habilidades básicas probablemente seguirán experimentando
fracaso.
El profesor/a se considera como agente mediador entre, los
contenidos del curriculum escolar por una parte, y el alumno/a que
construye el conocimiento relativo a dichos contenidos por otra.
La tarea del docente debe consistir en programar las
actividades y situaciones de aprendizaje adecuadas, que permitan
conectar activamente la estructura conceptual de la disciplina con
las estructuras cognoscitivas previas del alumno/a.
La actuación del profesor/a debe orientarse al desarrollo de
patrones motivacionales relacionados de modo fundamental con dos
tipos de metas: el incremento de la propia competencia y la
experiencia de autonomía y responsabilidad personal, dado que los
datos empíricos demuestran que el desarrollo de estos patrones
44
redunda en una mejor adaptación escolar y personal de los
alumnos/as.
Una de las finalidades del profesor/a es la de promover el
desarrollo de los alumnos/as mediante la realización de
aprendizajes específicos, para lo cual ha de moverse
simultáneamente en dos planos: el de la construcción de
significados compartidos a través de la interacción social conjunta
sobre el contenido del aprendizaje, y el de la construcción personal
de significados a través de la interacción directa de los alumnos/as
con dicho contenido. En ambos planos, ya sea implicándose
directamente en la interacción, ya sea organizando materiales y
actividades, su papel es decisivo y su influencia determinante.
2.2.2 La pedagogía tradicional
Comúnmente hablar de Pedagogía Tradicional dentro del
campo de las matemáticas es hacer referencia a unos alumnos
atentos, calmados, que se concretan a escuchar, a un maestro
autoritario que hace uso del verbalismo y la exposición como
metodología de enseñanza.
Margarita Panza, coincide con Justa Espeleta al señalar que
"en la Escuela Tradicional el niño no es un agente activo, sino más bien pasivo,
45
quedando la figura del maestro en primer plano, ya que es él quien transmite su sabiduría y llena los "vasos vacíos", que son los alumnos, los cuales llegan a la escuela como "tabla rasa”21
Por consecuencia en esta didáctica el aprendizaje se concibe
como recepción de conocimientos, capacidad para retener y repetir
la información, donde solo se memorizan las definiciones, los
conceptos, procedimientos, etc. y la misma autora recalca
“La Escuela Tradicional es la escuela de los modelos intelectuales y morales. Para alcanzarlos hay que regular la inteligencia y encarnar la disciplina; la memoria, la repetición y el ejercicio son los mecanismos que lo posibilitan”.2
De esta manera el enfoque que se manifiesta es el
enciclopedismo porque lo importante es depositar el mayor número
posible de conocimientos en los alumnos, con ello se les limita toda
posibilidad de análisis y reflexión, ya que lo enseñado por el
maestro, jamás es enjuiciado, negándose así la actividad del sujeto
como parte indispensable para la adquisición del conocimiento.
“Bajo este tipo de didáctica, la resolución de problemas es vista como la aplicación de los procedimientos y procesos que el maestro enseñó en clase primero se
21 PANZA, G. Margarita et. Al. “Instrumentación didáctica Conceptos generales”. En Antología Básica UPN: Planeación comunicación y evaluación en el proceso enseñanza-aprendizaje. p. 12 2 Ibíd. p. 12
46
enseñan los conceptos y luego se ve que tipo de problemas son resueltos por éstos”.23
Los maestros, por ejemplo, enseñan primero los pasos para
resolver la multiplicación y una vez que los niños tienen dominio
sobre ella se les "muestra" como se utiliza la multiplicación en la
resolución de problemas que implica esta operación, y algo
interesante de resaltar es que mientras el maestro no dé por
enseñado el tema, los problemas que se plantean en la clase son
parecidos, a fin de que los alumnos memoricen el procedimiento.
Así, a los alumnos no se les permite experimentar
procedimientos, solo seguir de manera mecánica los pasos
pormenorizados que el maestro dio a conocer.
2.2.3 La pedagogía constructivista
El constructivismo en nuestro país es un movimiento educativo
que se acaba de adaptar, aunque en países de Europa se viene
manejando desde hace muchos años.
“Sostiene que el niño construye su peculiar forma de pensar, de conocer, de un modo activo, como resultado de la interacción,
23 FUENLABRADA, Irma. “La didáctica, los maestros y el conocimiento matemático”. en: Documento DIE, p. 1.
47
entre sus capacidades innatas y la exploración ambiental que realiza mediante el tratamiento de la información que recibe del entorno.”3
Lo anterior indica que el conocimiento va a ser construido por
el propio alumno cuando éste estructure y transforme sus marcos
conceptuales.
Este tipo de pedagogía, considera que la enseñanza se va a
dar a partir de la actividad espontánea del niño ya través de la
enseñanza indirecta. De lo anterior se puede deducir que el maestro
no enseña directamente sino que únicamente va a propiciar
situaciones a fin de que el niño descubra o construya los nuevos
conocimientos. El rol que asume va a ser únicamente de guía para
el desarrollo y autonomía de los educandos. El no va a enseñar;
sino que va a guiar el proceso a fin de que el alumno vaya
construyendo su conocimiento. Con lo anterior se pretende que el
alumno sea analítico, critico, creativo y propositivo.
Desde esta perspectiva el planteamiento y la resolución de
problemas se dan a partir de experiencias relevantes, partiendo de
lo que el niño conoce, de su situación inmediata, haciendo
adecuaciones al currículum de acuerdo a los intereses y al medio en
el que se desenvuelven los niños. Se les da libertad de experimentar
y de hacer uso de sus propias estrategias, de confrontar sus
3 Ibíd. p. 78.
48
procedimientos y de elegir la forma más viable de solucionar un
problema, por la que el conocimiento puede construirse entre todos
a través de la interacción cognitiva. Bajo este tipo de pedagogía el
alumno si puede hacer uso de todas sus habilidades ya que no esta
sujeto a receta o procedimientos preestablecidos.
“Si consideramos que cada uno de los niños tiene conocimientos previos bajo situaciones diferentes, entonces cada uno hará uso de un procedimiento de acuerdo a lo que su experiencia previa le indique porque el contexto influye en la construcción de los conocimientos y capacidades dando sentido a la experiencia.”4
De lo analizado anteriormente es posible percibir que han
existido dos corrientes encontradas entre quienes se ocupan de la
enseñanza de las matemáticas: la tradicional, que bajo una
perspectiva pragmática y utilitarista ve en la matemática una sola
función, su uso mecánico en la vida diaria por lo tanto no le importan
los porqué, sino solo los cómo y la segunda, la constructivista, que
busca el dominio de los conceptos, a través de las situaciones
creativas en vez de convertir a los alumnos en meros receptores y
conformistas, lo que trae como consecuencia que lo construido en la
clase, sea aplicado en la vida real.
4 ORTEGA Rosario. et. al. “Constructivismo y práctica educativa escolar”, en: Revista Cero en Conducta, p. 18.
CAPITULO III
LA ENSEÑANZA DE PROPORCIONALIDAD EN ALUMNOS DE SEXTO GRADO DE PRIMARIA
3.1 ¿Qué es un problema? La dificultad de definir el término problema esta ligada con la
relatividad del esfuerzo de un individuo cuando este intenta resolver
un “problema”. Es decir, mientras que para algunos estudiantes
pueden representar un gran esfuerzo el intentar resolver un
problema, para otros puede ser un simple ejercicio rutinario. Así el
que exista un problema no es una propiedad inherente de la tarea
matemática: la palabra esta ligada a la relación o interacción entre el
individuo y esa tarea. “Schoenfeld 1985 usa el término problema
para referirse a una tarea que es difícil para el individuo que esta
tratando de hacerla.”26
Un problema en término general, es una tarea o situación en el
cual aparecen los siguientes componentes:
a) La existencia de un interés; es decir, una persona o 26 SANTOS Trigo, Luz Manuel. Didáctica Lectura: Principios y métodos de la resolución de problemas en el aprendizaje de las matemáticas. p. 87.
50
un grupo de individuos quiere o necesita encontrar
una solución.
b) La no existencia de una solución inmediata. Es decir
no hay un procedimiento o regla que garantice la
solución completa de la tarea.
c) La presencia de diversos caminos o métodos de
solución. Aquí también se considera la posibilidad de
que el problema pueda tener más de una solución.
d) La atención de parte de una persona o un grupo de
individuos para llevar acabo un conjunto de acciones
tendiente a resolver esa tarea. Es decir, un problema
es tal hasta que existe un interés y se emprenden
acciones especificas par intentar resolverlo.
La idea fundamental en la concepción de lo que es un
problema es que el alumno se enfrente a una variedad de
situaciones en donde sea necesario analizar y evaluar diversas
estrategias en las diferentes fases de solución. Es decir en el
entendimiento del problema, el diseño e implantación de algún plan
de solución, y en la verificación de la solución y la búsqueda de
conexiones el estudiante usara diagrama, tablas ejemplos y
contraejemplos necesarios para avanzar.
“El objetivo fundamental en la enseñanza de las matemáticas es que el alumno en algún momento se responsabilice de su propio aprendizaje. Es decir desarrolle una autonomía en cuanto a su relación directa
51
con el instructor.”27
Shoenfeld, afirma que lo importante en el estudio de las
matemáticas es que el alumno actúe como un experto en si
interacción con las ideas matemáticas. Se espera que si un
estudiante cotidianamente reflexiona abiertamente acerca de las
estrategias cognitivas y metacognitiva vinculadas a las ideas
matemáticas y a la resolución de problemas, entonces estará en el
camino de desarrollar un pensamiento matemático consistente con
las actividades asociadas al quehacer en esta disciplina y su
desarrollo. Es recomendable que el estudiante interactúe con una
variedad de problemas en donde pueda analizar la calidad de los
diversos métodos de resolución. Muchas veces no solo es
importante resolver un problema sino ser eficiente en la forma de
resolverlo.
3.2 La enseñanza de la proporcionalidad
La enseñanza del razonamiento proporcional, es el nivel mas
elevado de la aritmética que se enseña en las escuelas, Piaget
(Piaget e Inhelder, 1975), señala que la característica esencial del
razonamiento proporcional es que implica una relación simple entre
dos objetos concretos (o dos cantidades directamente perceptibles).
Por ejemplo, los piagetanos han considerado la tarea de
27 Ibid. p. 88
52
razonamiento proporcional la que se entiendo por A x B = C x D. De
hecho los piagetanos sostienen que las fases tempranas de las
capacidades de razonamiento proporcional de los niños es
frecuente el razonamiento aditivo de la forma A – B = C – D. Y que
sirve para apoyo para construir la noción de razón, debe estar
encaminada a la distinción de dos tipos de comparaciones. Por
ejemplo, si Juan tiene 4 años y su hermano tiene 12, podemos decir
que Juan es 8 años menor que su hermano, esta es una
comparación aditiva.
El razonamiento proporcional es una forma de razonamiento
matemática que incluye el reconocimiento de la covariacion y de las
comparaciones múltiples, así como la capacidad de guardar y
procesar mentalmente información diversa. “La proporcionalidad es
considerada como la piedra angular de las matemáticas y de la
física”28
La mayor parte de las aplicaciones de las matemáticas están
basadas en la proporcionalidad, por ejemplo los precios de
productos, el cambio de monedas, porcentajes, cantidades de
ingredientes en recetas de cocina, etc., sin embargo son mal
entendidas por su complejidad al ponerlas en la practica o para
entenderlas se usa un método mecánico como lo es la regla de tres.
28 SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA. Guía para el maestro, sexto grado. Educación primaria contenido de matemática. p.13.
53
“Las situaciones de proporcionalidad son un ambiente que ayudan al niño ampliar y aplicar conceptualmente sus ideas sobre las fracciones. Ayudan a practicar las operaciones de la multiplicación y división, mediante la resolución de problemas con textos reales.” 29
Primero tenga nociones de la proporcionalidad, tales como las
nociones de la razón y de variación.
Segundo que aplique ideas de proporcionalidad a problemas
reales.
Tercero desarrolle una primera base conceptual de
proporcionalidad, aplicarlos a su vida cotidiana y pueda entender los
planteamientos mas formales que se presentan en el próximo nivel.
3.3 La construcción de la proporcionalidad
Son dos las ideas que construyen la proporcionalidad una de
ellas es la comparación. Podemos hacer una comparación
cuantitativa de cantidades, de dos maneras distintas. Una aditiva,
por medio de ver su diferencia y la otra multiplicativa, por medio de
un cociente
29 Ibid. p 14.
54
Un ejemplo de ese tipo de comparaciones lo podemos ver por
ejemplo, si Juan tiene 4 años y su hermano tiene 12 años, podemos
decir que Juan es 8 años menor que su hermano, esta es la
comparación aditiva o que su hermano tiene el triple de edad de
Juan, esta es la comparación multiplicativa.
En ambos ejemplos las comparaciones son correctas y se
usara la apropiada dependiendo del contexto y el propósito del
problema, pero debemos tener en consideración que en la
comparación aditiva no implica el uso de la razón.
El uso de la razón es la comparación multiplicativa entre dos
cantidades, por lo tanto no debe darse a los niños desde un principio
hasta que haya descubierto por si solo su definición.
Las aplicaciones cotidianas del uso de la razón son las escalas
y los porcentajes, en las primeras se pueden visualizarse
geométricamente, en cambio los porcentajes, tienen la ventaja de
que pueden utilizarse en contextos reales conocidos por el niño.
La otra idea de la proporcionalidad es la variación de una
cantidad relativa a otra, aquí una cantidad puede depender de otra.
Una variación es la que se utiliza en situaciones de compra y venta
entre el precio y la cantidad comprada, ejemplo; una pluma cuesta
$1,500 pesos, sabemos cuanto cuesta 2 constará $3,000 pesos y
que 3 constará $4,500 pesos, como podemos ver una cantidad se
55
duplica l a otra también, si triplicamos una cantidad, la otra también
se triplica. “Una proporción es una suposición sobre la equivalencia
entre dos razones o la igualdad entre fracciones que la
representan.”30
3.4 Enfoque de la proporción
Para resolver un problema de proporcionalidad se puede usar
varios enfoques, principalmente cuatro de los cuales puede haber
ventajas o desventajas dependiendo del problema.
Enfoque uno: Uso de tablas y razonamiento pre-proporcinal.
En este enfoque se utiliza una tabla, la cual se extiende al ir
efectuando dobles, triples, mitades, cuartos, etc. Este es el enfoque
más fácil y natural ya que se apoya en las propiedades más
intuitivas de la proporcionalidad. Se sugiere usar en la primera fase
de la enseñanza de la proporcionalidad.
Enfoque dos: Razonamiento Proporcional.
Se hace uso de la constancia de la razón en forma de cociente
que se tiene para cada pareja de datos de una variación
proporcional.
30 Ibid. p 18.
56
Enfoque tres: Unitario
En este enfoque se pasa a la razón unitaria por medio de una
división y después se multiplica por las cantidades deseadas, la
desventaja de este enfoque es que puede ser innecesario pesado,
además de que no siempre la razón unitaria en un contexto puede
interpretarse fácilmente.
Enfoque cuatro: Algorítmico.
Aquí se usa la regla de tres y de los productos cruzados para
resolver la incógnita, no es recomendable en primaria, ya que se
necesita un conocimiento y manejo de algunas nociones de álgebra
y de forma mecánica.
A continuación presentamos algunos ejercicios que se
desarrollan en el libro del alumno de sexto grado aplicando algunas
de las estrategias antes mencionadas.
TALLER DE COLLARES
En esta actividad se pretende usar el criterio del valor unitario
para resolver problemas de proporcionalidad y determinar si hay o
no proporcionalidad en algunas situaciones.
Primero, organice al grupo en equipos de cuatro integrantes
57
para resolver las actividades 1 y 3. Pida que la primera parte de la
actividad 2 la resuelvan en parejas y la segunda parte
colectivamente. La confrontación colectiva se llevará a cabo al final
de cada actividad.
Primera actividad
Probablemente a los alumnos se les facilite obtener el número
de cuentas de cada color que se necesitan para hacer seis collares,
ya que representan la mitad de las requeridas para hacer 12
collares. En cambio, para calcular cuántas se requieren para 13
collares, es necesario calcular primero el número de cuentas
necesarias para un solo collar.
Para saberlo, tal vez algunos alumnos partan de las cuentas
necesarias para seis collares y calculen la mitad, esto es, las
cuentas que corresponden a tres collares y, enseguida, calculen la
tercera parte de las cuentas necesarias para tres collares, con lo
que se obtiene el número de cuentas para un solo collar.
Tal vez otros usen la información del primer renglón de la tabla
que aparece en el libro y dividan entre 12 el número de cuentas de
58
cada color para saber el número de las que se necesitan para armar
un collar.
En cualquiera de los dos procedimientos descritos, los
alumnos podrán comprobar sus resultados al colorear el collar de la
página 58.
Segunda actividad
En esta situación el número de cuentas por pulsera no es fijo,
pues varía de una a otra pulsera. Los alumnos no lo saben, pero lo
irán descubriendo cuando analicen la tabla y traten de hallar el
número de cuentas necesario para hacer 40 pulseras. Les ayudará
también la serie de preguntas planteadas. Es probable que
obtengan resultados distintos:
• Si toman como base los datos del lunes, su razonamiento
podría ser como el siguiente: si por 8 pulseras se usaron 40
cuentas, entonces, por una pulsera se usan 5 cuentas (40 ÷
8). Si el jueves se hacen 40 pulseras, se requerirán 200
cuentas (40 x 5).
• Si usan los datos del martes, encontrarán que cada pulsera
lleva 6 cuentas y que por lo tanto para las 40 pulseras del
jueves se necesitan 240 cuentas.
• Si utilizan los datos del miércoles, hallarán que cada
pulsera lleva 4 cuentas y por lo tanto para las 40 pulseras
59
del jueves se necesitan 160 cuentas.
• Otro procedimiento que pueden utilizar deriva de observar
que 40 pulseras es igual a 16 (las del martes) más 24 (las
del miércoles) y que, por lo tanto, para 40 pulseras se
requieren 96 + 96 = 192 cuentas. Aunque en este caso los
alumnos quizá no acepten el resultado (192 ÷ 40 = 4.8)
pues no se pueden poner 8 décimos de cuenta.
En caso de que todo el grupo use los datos de un mismo día, y
consecuentemente no se perciba la ausencia de proporcionalidad en
las cantidades de la tabla, usted puede proponer una segunda
solución que considere los datos de otro día, para poner en
evidencia que, en este caso, puede haber distintos resultados para
las 40 pulseras del jueves. Al hacerlo, probablemente los alumnos
se desconcierten. La participación de usted en este punto es
importante para ayudarlos a encontrar la causa del problema. En la
confrontación puede preguntarles: ¿a qué se debe que el martes y
el miércoles se tenga el mismo número de cuentas (96), si se
hicieron distintas cantidades de pulseras (16 y 24,
respectivamente)? Finalmente, si les pide que calculen el número de
cuentas por pulsera, a partir de los datos de cada día, concluirán
que el tamaño de las pulseras que se hicieron un día no es el mismo
que el de cualquier otro. De este modo los niños se darán cuenta de
que si no hay un número fijo de cuentas por cada collar, no hay una
relación de proporcionalidad entre las cantidades que aparecen en
la tabla y, por lo tanto, no es posible determinar el número de
60
cuentas necesarias para hacer los 40 collares del jueves.
Finalmente, pídales que lean el texto con letras anaranjadas
en donde se plantean las conclusiones de los problemas que
resolvieron. A medida que las vayan leyendo, pueden confrontarlas
con la primera tabla de la lección. Conforme avanza el año escolar
se espera que los alumnos desarrollen su capacidad de
razonamiento proporcional.
Tercera actividad
Antes de que los alumnos empiecen a resolver esta actividad,
plantéeles preguntas como las siguientes: ¿creen que los 5 collares
de 60 perlas son del mismo tamaño que los 6 de 120 perlas? ¿Por
qué? ¿Creen que los 5 collares de 60 perlas son más grandes o
más chicos que los 3 collares de 60 perlas? ¿Por qué? ¿Creen que
los 5 collares de 60 perlas son del mismo tamaño que los 10 de 200
perlas? ¿Por qué?
Después de hacer sus cálculos seguramente advertirán que
hay tres tamaños de collares: chicos, medianos y grandes. Pídales
que los clasifiquen anotando en la tabla los números
correspondientes. Es posible que para hacer esta clasificación los
alumnos apliquen la idea de valor unitario que empezaron a
construir desde cuarto grado al resolver situaciones de
proporcionalidad directa.
61
Una vez que han clasificado los collares en chicos, medianos y
grandes, pueden verificar si, en cada grupo de collares del mismo
tamaño, se cumplen las propiedades de las cantidades que varían
proporcionalmente.
El peso de un clavo
En estas actividades determinaremos cuándo unas cantidades
son proporcionales a otras mediante diferentes procedimientos, en
particular con el uso del valor unitario. Reflexionar sobre el
significado del cociente de una división. Esta lección se encuentra
en la página 68, lección 29, libro del alumno.
Para organizarse se sugiere que el grupo se organice en
equipos de cuatro niños y que se realice una confrontación al
término de cada actividad. Es necesario que se tenga calculadoras
porque en uno de los problemas se pide que las usen.
Primera actividad
Pida a los alumnos que lean la actividad 1 y en cada equipo
hagan una propuesta sobre "cómo se podría averiguar el peso de un
clavo pequeño". Conceda unos cinco minutos para que reflexionen y
después anote en el pizarrón la propuesta de cada equipo. Entre
todos, elijan la que les parezca más conveniente y pida que la
anoten en el espacio de su libro. Seguramente usted estará de
62
acuerdo en que una manera eficaz de resolver este problema es
poner en la báscula varios clavos y luego dividir el peso total entre el
número de clavos. Sugiéralo usted, si a los alumnos no se les ocurre
Segunda actividad
Con esta actividad queremos que los alumnos analicen por
qué los pesos de distintos clavos no son proporcionales a las
longitudes de dichos clavos. Es muy probable que en la primera
pregunta muchos alumnos razonen de la siguiente manera: "Si 100
clavos de una pulgada pesan 50 gramos, 100 clavos de 2 pulgadas
deben pesar 100 gramos". Si esto sucede no los corrija, pues
enseguida el propio texto señala que el peso es 200 gramos y no
100, pero lo más importante es que los alumnos busquen alguna
explicación a este hecho y una vez que quede claro por qué las
longitudes de distintos clavos no son proporcionales a sus pesos;
reflexionen sobre otros dos aspectos derivados de esta situación:
• El peso por pulgada de un clavo de dos pulgadas,
cuestión en la que algunos alumnos dirán que es la
mitad del peso total y tal vez otros niños más agudos
digan que pesa más la parte donde está la cabeza del
clavo. En todo caso lo más importante es que los
alumnos expresen sus razones.
• La relación entre la cantidad de clavos de una misma
medida y su peso, la cual es claramente proporcional,
63
desde el supuesto de que todos los clavos de una misma
medida pesan igual.
En resumen, en esta actividad se espera que los alumnos
pongan en claro tres asuntos: que la longitud de los clavos no es
proporcional a su peso (un clavo de dos pulgadas no pesa el doble
que el de una pulgada); que tramos iguales de un mismo clavo
pesan igual; y que la cantidad de clavos de una misma longitud es
proporcional al peso.
Cuando los alumnos obtengan el peso de un clavo de una
pulgada y dos pulgadas, probablemente se equivoquen y en lugar
de dividir 50 ÷ 100 = 0.50, dividan 100 ÷ 50 = 2, en el caso de los
clavos de una pulgada, y en el caso de dos pulgadas en lugar de
dividir 200 ÷ 100 = 2, dividan 100 ÷ 200 = 0.5.
Si sucede esto confronte los resultados y trate de que sean los
alumnos quienes justifiquen sus respuestas y se convenzan unos a
otros.
Tercera actividad
En esta actividad, donde aparece otro tipo de cantidad, el
precio de los clavos, se trata de que los alumnos la relacionen con la
longitud (dejando fija la cantidad de clavos) para que decidan si son
proporcionales o no. Anime a los niños a expresar sus opiniones así
como sus acuerdos y desacuerdos con otros niños.
64
En la tabla se puede ver que mientras el precio aumenta el
doble (de 10 a 20 pesos), no sucede lo mismo con la longitud (de 1
a 1 1/2 pulgadas); o bien que mientras la longitud aumenta el doble
(de 1 a 2 pulgadas), no sucede lo mismo con el precio (de 10 a 24
pesos); por lo tanto, estos dos tipos de cantidades no son
proporcionales.
Es muy probable que en las dos últimas preguntas de esta
actividad los alumnos contesten que se pueden comprar 100 clavos,
lo cual es incorrecto. Los alumnos que respondan así no están
interpretando correctamente la tabla, ya que 1 kilogramo de clavos
de una pulgada cuesta 10 pesos, pero 100 clavos de esta longitud
(1 pulgada) pesan 50 gramos. Lo mismo para los clavos de dos
pulgadas, 1 kilogramo (1000 gramos) cuesta 24 pesos y 100 clavos
pesan 200 gramos. Si esta respuesta incorrecta es general no le
queda más que aclarar que los 100 clavos corresponden en el
primer caso a 50 gramos, de manera que en 100 gramos serían 200
clavos y en 1000 gramos, que son los que forman 1 kilogramo,
serían 10 veces 200 clavos, o sea 2000. Con esta aclaración deje
que rectifiquen la otra respuesta.
En caso de que hubiera respuestas diferentes, la aclaración
anterior no será necesaria; sólo confronte entonces las respuestas
para que sean los alumnos quienes descubran cuáles son correctas
y cuáles incorrectas.
65
Cuarta actividad
Los problemas de esta actividad se siguen refiriendo a la
relación entre las magnitudes longitud y peso, pero ya no de los
clavos sino de diferentes tipos de manguera. Tampoco se trata en
esta actividad de determinar si las cantidades son proporcionales o
no, sino de averiguar los valores unitarios; dichos de manera muy
simple, cuánto pesa 1 metro de manguera y cuánto mide 1
kilogramo de la misma. Antes de que los alumnos empiecen a
resolver esta actividad y para ubicarlos en ella, conviene que usted
pregunte: a partir de los datos de la tabla, ¿cuál tipo de manguera
es más pesado? ¿Cuál es menos pesado? Pídales que argumenten
sus respuestas. Por ejemplo, podrán ver que en el caso de la
manguera "Resistente" la cantidad de kilogramos casi es igual al
número de metros, mientras que en la "Ultraflexible" la diferencia
entre estas dos cantidades es muy grande. Después de hacer esta
reflexión pídales que resuelvan la actividad.
Es probable que muchos alumnos tengan dificultad para
entender el significado de las divisiones que aparecen en color rojo.
Si esto sucede ayúdelos a ver que en el primer caso se dividen
kilogramos entre metros, por lo que el resultado es la cantidad de
kilogramos que le tocan a cada metro, es decir, cuántos kilogramos
pesa cada metro. En cambio, en el segundo caso se dividen metros
entre kilogramos, por lo que el resultado indica los metros que le
66
tocan a cada kilogramo, es decir cuántos metros mide 1 kilogramo
de manguera.
Habiendo quedado claro lo anterior será más fácil resolver los
problemas que siguen. Por ejemplo, para calcular la longitud de 6 kg
de manguera "Ultraflexible", un procedimiento posible es calcular
cuánto mide 1 kg de dicha manguera, sabiendo que 1.2 kg mide 10
metros. Esto es, 10 entre 1.2, y el resultado por 6, lo que da como
resultado 50 metros.
CONCLUSIONES
Una frase muy común es que “para todas las cosas ocupamos
de las matemáticas” usada principalmente por nuestros maestros,
eso es precisamente lo que pretendo con este trabajo, pero no solo
decirlo, se requiere acción en las palabras, necesitamos enseñar a
nuestros alumnos que las matemáticas son necesarias y que nos
son cosas extrañas, sino que las vivimos en cada momento, cuando
nos levantamos al ver el reloj, cuando pedimos dinero para comprar
alguna cosa o simplemente cuando realizamos cualquier actividad.
Es aquí donde se presentan diferentes tipos de problemas, lo que se
pretende es aplicar los conocimientos que los alumnos han
adquirido para aplicarlos en si vida cotidiana, así podríamos
desarrollar en ellos el interés que no existe cuando hablamos de las
matemáticas.
Se pretende que los alumnos aprendan matemáticas al
resolver problemas, que tenga significado y sentido para el alumno.
Se dificulta la enseñanza de las matemáticas por el hecho de que
existen diferentes factores, desde la lectura pasando por el apoyo
de los padres hasta el mismo maestro, que no prenden esperar a
los niños atrasados o a las misma falta de experiencias de ellos.
Los niños de sexto grado se encuentran en una etapa muy
68
importan de su desarrollo, ya que como lo señala Piaget se
encuentra en la etapa de operaciones concretas, ya razona,
comprende los hechos y fenómenos y no se limitan en la búsqueda
de respuestas a sus preguntas. Un papel importante es el del
maestro ya que debe diseñar problemas que los alumnos se
apropien de los conceptos matemáticos, además de saber que es lo
que esta persiguiendo el maestro al plantear un problema, no se
pretende enseñar para que resuelva problemas mecánicamente, por
pasos o etapas.
El profesor de sexto grado debe ser un maestro altamente
capacitado y calificado en la asignación de matemáticas ya que uno
de los problemas que además requieres de la razón, son los
problemas de proporcionalidad, debe de desarrollarlo y explicarlo a
la vez que se plantean problemas, debe tener conocimiento de que
es un problema como plantearlo y saber las diferentes formas de
solución a los problemas de proporcionalidad conociendo así las
ventajas y desventajas de las soluciones.
Es importante que se sigua enseñando las los niños de sexto
grado los problemas de proporcionalidad ya que estamos
desarrollando en ellos diferentes capacidades como los cambios, la
comprensión y la razón que los ayudaran en las siguientes etapas
de su enseñanza.
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