SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON MAS DE DOS VARIABLES

Presentación 4

Sistemas con 3 variables

Podemos aplicar el método de sustitución

o el método de reducción a sistemas de

más de 2 variables.

La regla es que debemos tener, al menos,

la misma cantidad de ecuaciones que de

variables.

Por ejemplo, resolver 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔

𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟗−𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟔

Sistemas con 3 ecuaciones – método de reducción

Sugerencias:

Trate de mantener en la primera posición una

ecuación que tenga todas las variables y que la

primera variable tenga coeficiente igual a 1.

Trate de utilizar la primera ecuación para eliminar

la misma variable de las otras dos ecuaciones.

Una vez se ha reducido el sistema a dos ecuaciones

con dos variables, utilice estas dos ecuaciones

reducir el sistema a una ecuación con una variable.

Use sustitución invertida (backward substitution)

para determinar los valores de las demás variables.

Ejemplo – Resolver el sistema

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔

𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟗−𝟑𝒙 − 𝒛 = −𝟔

Ejemplo

Resolver:

𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟎𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟓

𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 = 𝟖

Ejemplo

Resolver: 𝒙 − 𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏𝟒𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔

−𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = −𝟒

Ejemplo de Aplicación 1

• John heredó $25,000 y decidió invertir parte del dinero en un cuenta en el mercado de dinero (money market), parte en bonos municipales y otra parte en fondos mútuos.

• Luego de un año, John recibió un total de $1,620 en interés simple de las tres inversiones.

• El mercado de dinero pagó 6% de interés simple anual, los bonos, 7% anual y los fondos mútos 8% anual.

• John había invertido $6000 más en bonos que en fondos mútuos.

• Determine la cantidad que John invirtió en cada categoría.

Ejemplo de aplicación (cont.)

Definir variables

Definir las ecuaciones

Resolver el sistema

Ejemplo de Aplicación 2

Un turista visita un supermercado en Madrid y paga un total de 156 € por 24 litros de leche, 6 kg de jamón a la plancha y 12 litros de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que 1 litro de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche.

Ejemplo de aplicación (cont.)

Definir variables

Definir las ecuaciones

Resolver el sistema

Ejemplo de Aplicación 3

La compañía LAWNCO produce 3 grados de fertilizantes comerciales que contienen nitrógeno, fosfato y potasio en cantidades diferentes (libras). Los nutrientes en un saco de 100 lbs de cada grado se muestran

Grado/nutriente Nitrógeno Fosfato Potasio

A 18 4 5

B 20 4 4

C 24 3 6

¿Cuántos sacos de 100 lb de cada grado se deben producir si se dispone: 26400 lb de nitrógeno, 4900 lb de fosfato y 6200 lb de potasio y se utilizan todos los ingredientes.

Ejemplo de aplicación 3 (cont.)

Definir variables

Definir las ecuaciones

Resolver el sistema