Kharla Mérida

Matemática de 4to Año con Tu Profesor Virtual Vectores

Este objetivo nos reencuentra con este valioso recurso matemático, de ilimitadas

aplicaciones, los Vectores. Ahora debemos fortalecer lo aprendido y agregar otros elementos valiosos para operar con los vectores.

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Decidí darle mi atención a lo que enciende mi mente, y darle mi voz a lo que inspire mi alma… Porque cada gema de tiempo que otorgamos es irrecuperable, así que mas vale hacer que cada momento valga.

6.1 Definiciones y Representación Grafica y

Operaciones

Descripción

6 6ta Unidad

Vectores

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Operaciones y Propiedades de los Números Reales, Plano Cartesiano, Proyecciones Ortogonales.

Definiciones y Elementos de Vectores, Vectores Notable y Operaciones, Suma de Vectores y Multiplicación Escalar de Vectores, Suma de Vectores Método de

triangulo y Método del Paralelogramo, Componente de un Vector, Cómo se Calculan y cómo se Grafican, Operaciones con Vectores.

VECTORES. Definición y Elementos

VECTORES. Vectores Notables y Operaciones

VECTORES. Suma de Vectores y Multiplicación Escalar de Vectores. Ejemplos

VECTORES. Suma de Vectores Gráficamente. Método del Triángulo y Método del

Paralelogramo

VECTORES. Suma de Vectores Gráficamente. Ejemplos 1 y 2

VECTORES. Suma de Vectores Gráficamente. Ejemplos 3 y 4

VECTORES. Componentes de un Vector. Cómo se Calculan, Cómo se Grafican

VECTORES. Graficar en el Plano. Ejercicios 1, 2, 3 y 4

VECTORES. Suma de Vectores. Ejercicios 1, 2, 3 y 4

VECTORES. Multiplicación Escalar de Vectores. Ejemplos

VECTORES. Operaciones con Vectores. Problema 1

VECTORES. Operaciones con Vectores. Problema 2

Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones.

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Videos Disponibles

Conocimientos Previos Requeridos

Contenido

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VECTORES. Definición y Elementos.

Vectores. Son segmentos que poseen modulo, dirección y sentido.

Recordemos:

Sentido. se entiende la orientación que indique la punta de flecha o saeta. Un elemento importante de los vectores son las líneas de acción.

Línea de acción de un vector es una recta imaginaria que contiene al vector. El efecto del vector actuando en cualquier punto de esa recta es el mismo.

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Guiones Didácticos

Aclaremos qué es segmento, módulo, dirección y sentido, para comprender mejor la definición de vector

Módulo. Es la medida o longitud de un segmento dado.

Ver 7.1 Conceptos Primitivos, Línea, Recta, Plano, Medida, Tipos de Ángulos.

Segmento. es una porción de recta comprendida entre dos puntos.

Dirección. Es el ángulo que forma una recta o segmento con respecto a la parte positiva del eje x.

Nota: El efecto del vector actuando en cualquier punto de esa recta es el mismo.

La Representación Gráfica de un vector es una flecha. Su Representación Simbólica o Notación esta dada por una letra mayúscula o minúscula con una pequeña flecha en su parte superior. Hay libros en los que, por razones tipográficas, se les representa con letras en negrita.

A aur

Representación Simbólica:

a

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Otra manera de representar simbólicamente un vector es con dos letras, correspondientes a los puntos origen y extremo, y una la flechita en la parte superior.

ABuuur

A

B

La Representación Algebraica esta dada por un par de valores escritos entre paréntesis angulares, , y separados por una coma.

Nota: Debemos estar pendientes del contexto en el que se esta trabajando para saber si una expresión como (a1 , a2) se trata de un vector o un punto.

1 2a , a

4

a a1 2,

Aunque esa es la representación con la que se definen los vectores, por razones de comodidad, olvido, u otras, se adquirió la costumbre de escribirlo con paréntesis redondos, ( ), igual que los puntos. Lo que es aceptado de forma universal.

Es bueno tener presente que cuando se trata de puntos se escribe una letra, que los representa, junto a los paréntesis y a los dos valores dentro del paréntesis se les denomina coordenadas.

Punto

Vector

Componentes

Coordenadas

Conociendo los puntos origen y extremo del vector: Se ubica en el plano las coordenadas del punto origen (punto de aplicación), A, y las del punto extremo, B, del vector. El vector se traza uniendo ambos puntos, con la punta de flecha en el punto extremo. Esto permite graficar con precisión el vector estudiado.

1 2a , aA

1 2a , a

A

Mientras que cuando se trata de un vector, se escribe la representación simbólica separada de los paréntesis por un igual, y los valores dentro del paréntesis se llaman componentes.

Conociendo las componentes del vector: Se ubican las componentes del vector en el plano y se

traza el vector desde el origen de coordenadas hasta la ubicación de las componentes

Para graficar un vector en el plano tenemos dos opciones:

Gráfica de un vector en el plano

A

B

AB

a , a1 2

aur

a a , aur

1 2

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En la 1ra opción, las componentes del vector se hallan restando las coordenadas del punto extremo, B, menos las coordenadas del punto de origen, A, del vector.

Al hacer esto las componentes que se obtienen, se corresponden con un vector, , equivalente al vector inicial pero anclado en el origen.

a , a1 2

aur

a a , aur

1 2

A

B

ABuuur

A aB b , b a uuur

11 2 2

El origen de coordenadas, O(0 ,0) es el origen o punto de aplicación del vector, y las componentes del vector coinciden con las coordenadas del punto extremo del vector, es decir, las coordenadas del punto extremo y las componentes del vector son iguales.

O

hemos conocido la definición de vector y sus elementos

A

B

ABuuur

ABuuur

'

ABuuur

'

hemos conocido la definición de vector y sus elementos. Acompáñanos a la siguiente lección para conocer los tipos de vectores y formas de presentar sus componentes.

VECTORES. Vectores Notables y Operaciones.

Vectores Notables Por su Medida.

Vector Nulo. Vector de módulo cero Vector Unitario. Vector de módulo uno

Vectores Notables Por su Ubicación.

Vector Fijo. es todo vector ubicado en el plano cartesiano, y que tiene punto de origen y punto extremo dados.

A

B

ABuuur

Equipolentes (Equivalentes). Son vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, pero distintos puntos de aplicación u origen

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Libres. Es un conjunto de vectores equipolentes.

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Anclados en el origen son vectores cuyo punto de

aplicación está en el origen de coordenadas.

Vectores Paralelos. son vectores que tienen la misma dirección y sentido.

Vectores Notables Por su Posición Respecto a Otros Vectores.

Vectores Opuestos. son vectores que tienen el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario.

Vectores perpendiculares. son vectores cuyas líneas de acción se cortan perpendicularmente

Operaciones entre vectores en el plano

Suma

Para sumar algebraicamente dos vectores, y , conociendo sus componentes, se suma 1ra componente de con 1ra componente de , y 2da componente de con 2da componente de . El resultado es el vector suma.

1 2A = a , a 1 2

B = b , b 1 2 2 2A+B = a +b , a +b

A BAur

B ABr

Ejemplos

A = 3 , - 7 B = 2 , 5 A+B = 3 + 2 , - 7 + 5

A+B = 5 , - 2

c = -1 , 0

d = 4 , 7 c + d = -1+ 4 , 0 +7

c + d = 3 , 7

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Nota: Para obtener el opuesto de un vector, se cambian los signos de ambas componentes.

1 2A = a , a 1 2B = b , b A B = A B

Resta

Para restar vectores hacemos un procedimiento igual al de resta de números enteros. Se transforma la resta en una suma cambiando el vector sustraendo por su opuesto.

1 2 2 2-A+ B = a + b b-, a +

Para multiplicar un escalar por un vector, se multiplica el escalar por cada componente del vector.

La multiplicación escalar de vectores es un número que resulta de multiplicar componente con componente y sumar estos productos.

1 1A B = a b a b 2 2

Acompáñanos a la siguiente lección para conocer mas sobre vectores.

Multiplicación de un Escalar por un vector

1 2A = a , a k k k

Multiplicación Escalar de vectores

Nota: el producto escalar de dos vectores perpendiculares es cero, lo cual es de gran valor cundo se quiere comprobar si dos vectores son perpendiculares.

7

1 2B = b b- , -

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VECTORES. Componente de un Vector. Cómo se Calculan. Cómo se Grafican .

Componentes de un Vector. Son un par de números que representan las proyecciones de un vector sobre los ejes coordenados. Este par de números está

dado entre paréntesis y separados por una coma.

1ro. Representamos las componentes del vector, como se representan las coordenadas de un punto. 2do. El origen del vector se ubica en el origen de

coordenadas, y el punto con el que ubicamos las componentes del vector es el extremo del vector.

8

¿Cómo hallamos las componentes de un vector?

1ro. Debemos conocer las coordenadas de los puntos origen y extremo.

2do. Restamos las coordenadas del punto extremo menos las coordenadas del punto origen. El par ordenado que se obtiene se corresponde con las componentes del vector.

¿Cómo graficamos un vector conociendo sus componentes?

Nota: éste es un vector equipolente al vector AB, pero anclado en el origen de coordenadas.

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Dados los puntos A y B, hallar los vectores indicados, y graficar con sus puntos origen y extremo, y por sus componentes

A -3,1 B 0,- 5 a = AB1.uurr

b = BA2.r uur

9

Punto origen: A(-3 , 1)

Punto extremo: B(0 , -5)

a = AB1.uurr

El vector , es un vector anclado en el origen (su origen está en el origen de coordenadas), y cuyo extremo está en el punto donde ubicamos las componentes del vector.

ar a 3 ,-6

r

Componentes del vector AB:

1 2 1 2AB = B b ,b A a ,a

AB = B 0 ,-5 A -3 , 1

AB = 0 (-3) ,-5 1

AB = 3 ,-6

El vector , es un vector cuyo origen está en el punto A, y cuyo extremo está en el punto B.

AB

como a AB

r

b = BA2.

Punto origen: B(0 , -5)

Punto extremo: A(-3 , 1)

El vector , es un vector cuyo origen está en el punto B, y cuyo extremo está en el punto A.

BA

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VECTORES. Graficar en el Plano. Ejercicios 1, 2, 3 y 4

Con los puntos dados, graficar los vectores indicados, y hallar sus componentes:

A -3,1 B 0,- 5 C 4,-7 D -5,3 F 0,-7 E -3,- 5

2. CAuuur

3. BFuur

4. EAuur

5. EBuur

6. CFuur

1. DBuur

El vector , es un vector anclado en el origen (su origen está en el origen de coordenadas), y cuyo extremo está en el punto donde ubicamos las componentes del vector.

br

b -3 ,6r

Componentes del vector AB:

1 2 1 2BA = B b ,b A a ,a

BA = B 0 ,-5 A -3 , 1

BA = 0 (-3) ,-5 1

BA = 3 ,-6

como b BA

r

Notas: las componentes de los vectores y son opuestas, porque son vectores opuestos.

BA

AB

Primero ubicaremos los puntos

A(-3 , 1)

B(0 , -5)

C(4 , -7)

D(-5 , 3)

E(-3 , -5)

F(0 , -7)

1ro. Ubicamos los puntos en el plano

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El primer vector, tiene como origen el punto D, y como extremo el punto B. Para hallar las componentes del vector , restamos las coordenadas del punto extremo menos las coordenadas del punto origen.

2do. Trazamos los vectores

1. DBuur

El par ordenado obtenido es el punto extremo del vector equipolente a , anclado en el origen.

DBuur

DBuur

DBuurr

r 5 ,-8rr

DB = B 0 ,-5 D -5 , 3

DB = 5 ,-8

El primer vector, tiene como origen el punto C, y como extremo el punto A. Para hallar las componentes del vector , restamos las coordenadas

del punto extremo menos las coordenadas del punto origen.

El par ordenado obtenido es el punto extremo del vector equipolente a , anclado en el origen.

CAuuur

CAuuur

CAuuurr

u -7,8ru

CA = A -3 ,1 C 4 , - 7

CA = -7 , 8

2. CAuuur

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El tercer vector, tiene como origen el punto B, y como extremo el punto F. Para hallar las componentes del vector , restamos las coordenadas del punto extremo menos las coordenadas del punto origen.

El par ordenado obtenido es el punto extremo del vector equipolente a , anclado en el origen.

BFuur

BFuur

BFuurr

v 0 ,-2rv

BF = F 0 ,-7 B 0 , - 5uur

BF = 0 ,-2uur

3. BFuur

4. EAuur

El cuarto vector, tiene como origen el punto E, y como extremo el punto A. Para hallar las componentes del vector , restamos las coordenadas

del punto extremo menos las coordenadas del punto origen.

El par ordenado obtenido es el punto extremo del vector equipolente a , anclado en el origen.

EAuur

BFuur

EAuurr

z 0 ,6rz

EA = A -3 ,1 E -3 , - 5uur

EA = 0 ,6uur

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El quinto vector, tiene como origen el punto E, y como extremo el punto B. Para hallar las componentes del vector , restamos las coordenadas del punto extremo menos las coordenadas del punto origen.

El par ordenado obtenido es el punto extremo del vector equipolente a , anclado en el origen.

EBuur

EBuur

EBuurr

w 3 ,0r

w

EB = B 0 ,-5 E -3 , - 5uur

EB = 3 ,0uur

5. EBuur

El sexto vector, tiene como origen el punto C, y como extremo el punto F. Para hallar las componentes del vector , restamos las coordenadas del punto extremo menos las coordenadas del punto origen.

El par ordenado obtenido es el punto extremo del vector equipolente a , anclado en el origen.

CFuur

EBuur

EBuurr

w 3 ,0r

w

CF = F 0 ,-5 C 4 , - 5uur

CF = -4 ,0uur

6. CFuur

VECTORES. Suma de Vectores. Ejercicios 1, 2, 3 y 4

Hallar las sumas indicadas de los vectores dados, operando sus componentes y gráficamente:

a = 5,-8r

b = -7,8r

c = 0,-2r

d = 0,6r

e = 3,0r

f = -4,0r

1. a+ drr

2. c +brr

3. f + er r

4. a+ frr

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Gráfica de vectores dados

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Recordemos. Para graficar un vector conociendo sus componentes, trazamos el vector partiendo del origen de coordenadas hasta el punto cuyas coordenadas

son las componentes del vector.

a = 5,-8r

b = -7,8r

c = 0,-2r

d = 0,6r

e = 3,0r

f = -4,0r

1ro. Ubicamos el vector , y en el extremo ubicamos el vector . El vector suma va desde el origen de hasta el extremo de .

Suma gráfica de vectores dados

1. a+ drr

ar

dr

ar

dr

Sumamos cada componente con su correspondiente.

Suma por sus componentes

1ra componente + 1ra componente y

2da componente + 2da componente.

a = 5,-8r

a+ d = 5,-8 0,6rr

a+ d = 5 0,-8 6 rr

a+ d = 5 ,-2rr

d = 0,6r

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2. c+brr

1ro. Ubicamos el vector , y en el extremo ubicamos el vector . El vector suma va desde el origen

de hasta el extremo de .

Suma gráfica de vectores dados

Sumamos cada componente con su correspondiente.

Suma por sus componentes

1ra componente + 1ra componente y

2da componente + 2da componente.

c +b = 0,-2 -7,8rr

c +b = 0 -7 ,-2 8 rr

a+ d = -7 ,6rr

cr

br

cr

br

c = 0,-2r

b = -7,8r

VECTORES. Multiplicación Escalar de Vectores. Ejemplos.

Ejemplos

Tenemos el producto del vector con el doble del vector .

Dados los vectores , efectuar las operaciones indicadas

a = -2,7 ; b = 8,-12 ; c = -6 , 5rr r

a , b y crr r

i. a 2b ; ii. a b c r rr r r

i. a 2brr

Sustituimos la notación de cada vector por el

vector dado en su forma de componentes.

ar

br a 2b

rr

a 2b = 2 , - 7 2 8 , -12 rr

Multiplicación del escalar por el vector: El 2 multiplica cada componente del vector.

a 2b = -2 , 27 8 , -12 rr

2= -2 , 7 8 , - 22 1

-2 167 4= , , - 2Multiplicación escalar de vectores:

¿Qué hacemos ahora?

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La Multiplicación Escalar de Vectores es un número que resulta de la suma de los productos de las 1ras componentes y las 2das componentes.

a 2b = - 200rr

Efectuamos los productos y luego la suma

Tenemos el producto escalar de los vectores , multiplicado por el vector .

Sustituimos la notación de cada vector por el vector dado en su forma de componentes.

ii. a b c rr r

a byrr

cr a b c

rr r

a b c = -2,7 8,-12 -6,5 rr r

Multiplicación Escalar de Vectores - 7a b c = , , -6,2 1 5- 8 - 2 rr r

-7= --2 8+ 6,12 - 5

-84-1= + 56 -6,

= -100 -6,5

Multiplicación de Escalar por un Vector -100= -6,5

= -6-100 -, 5100

a b c = 600, 500 rr r

Hemos visto ejemplos de suma de vectores, multiplicación de un escalar por un vector y de producto escalar de vectores. Aprendamos a sumar vectores gráficamente acompáñanos a la siguiente lección.

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VECTORES. Operaciones con Vectores. Problema 1.

Tenemos una igualdad.

Hallar el valor de x en el vector para que se satisfaga la ecuación , con , y . a = 5,-8

r d = 0,6

r e = 3,0

r u = x , 3r

a u = d e rr rr

a u = d e rr rr

Sustituimos las notaciones de los vectores por los vectores dados con sus componentes.

En ambos lados de la igualdad producto escalar de vectores.

5,-8 x , 3 = 0,6 3,0

, , = 0,-8 35 ,x 6 03

-8 3 05 x 3 6+ = 0+

-24+5x = 0 + 0

Ahora tenemos una ecuación lineal, de incógnita x.

5x - 24 = 0

5x = 24

24x =

5 El vector tiene por componentes u

r

Nota: El producto escalar de los vectores y es cero, esto es porque sus líneas de acción son perpendiculares entre sí. También el producto de los vectores y es cero.

ur

ar

er

dr

VECTORES. Operaciones con Vectores. Problema 2.

Hallar el valor de k para que se cumpla

a = 7,-42r

b = -2,10r

c = 1,-4r

d = 3,6r

Lo primero que haremos es sustituir las notaciones de vectores por los vectores dados en componentes.

k 7,-42 + 3,6 1,-4 -2,10 = 35,-168

Si el Producto Escalar de dos Vectores es cero

Los Vectores son Perpendiculares

24, 3

5

k a+ d c b = 35,-168 r rr r

Podemos observar en el primer término el producto de un escalar por un vector y en el segundo término un producto escalar de vectores. Vamos a efectuarlos.

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El escalar, k, multiplica cada componente del vector, El producto escalar es la suma de los productos de las 1ras componentes y las 2das componentes.

6 -47,-42 + , , -2,10 = 35, 683k 1 -1

6k 7, -42 + + -2,10 = 35,-168-43 1k

Efectuando las operaciones

7 ,-42 + -21 -2,10 = 3k k 5,-168

Ahora -21 es un escalar que multiplica al vector (-2 , 10).

7 ,-42 + -2 , 1-2 0 =k k 351 - 21 ,-168

7 ,-42 + 42, 210 = 35,-168k k

7 + 42 -42 210 = 35 -168,k k,

Efectuamos la suma de vectores.

Si dos vectores son iguales, sus componentes son iguales. Entonces: 7k + 42 = 35 y -42k -210 = -168 Para que esta igualdad de vectores tenga solución, es necesario que el valor de k resulte el mismo para la 1ra y para la 2da ecuación

7k + 42 = 35 -42k - 210 = -168

Resolvemos ambas ecuaciones:

7k = 35 42

7k = -7

k7

= -7

k = -1

-42 = -1k 68 + 210

-42k = 42

k42

=-42

k = -1

k = -1 Solución:

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Emparejando el Lenguaje

Vectores. Son segmentos que poseen modulo, dirección y sentido aclaremos que es segmento, modulo, dirección y sentido, para comprender mejor la definición de vector .

Segmento. es una porción de recta comprendida entre dos puntos. Módulo. Es la medida o longitud de un segmento dado. Dirección. Es el ángulo que forma una recta o segmento con respecto a la parte positiva del eje x. Sentido. se entiende la orientación que indique la punta de flecha o saeta. Un elemento importante de los vectores son las líneas de acción. Línea de acción de un vector es una recta imaginaria que contiene al vector. El efecto del vector actuando en cualquier punto de esa recta es el mismo. Vector Nulo. Vector de módulo cero. Vector Unitario. Vector de módulo uno. Vector Fijo. es todo vector ubicado en el plano cartesiano, y que tiene punto de

origen y punto extremo dados. Equipolentes. Son vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, pero distintos puntos de aplicación u origen. Libres. Es un conjunto de vectores equipolentes. Anclados en el Origen. Son vectores cuyo punto de aplicación está en el origen de coordenadas. Vectores Paralelos. Son vectores que tienen la misma dirección y sentido. Vectores Opuesto. Son vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido contrario. Vectores Perpendiculares. Son vectores cuyas líneas de acción se cortan perpendicularmente.

Suma de Vectores. Es un vector cuyas componentes son las sumas de las primeras componentes entre sí y las segundas componentes entre sí. Resta de Vectores. Es un vector que resulta de sumar el vector minuendo con el opuesto del vector sustraendo. Multiplicación de un Escalar por un Vector. Es un vector cuyas componentes son el producto del escalar con cada componente del vector. Multiplicación Escalar de Vectores. Es un escalar (número) que resulta de la suma de los productos de las primeras componentes entre sí y las segundas componentes entre sí.

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A Practicar

1. Representar gráficamente los siguientes vectores :

a = -2,1 ; b = 4,7 ; c = 1, 0 ; d = -3 , - 4 ; e = 5 , - 2r rr r r

2. Para los vectores del ejercicio anterior hallar el vector resultante de cada una de las siguientes operaciones:

2. ba a 5rr

3. db c 5rr

4. c b dc 7 3 r rr

3e. a brr

b. cf -6r r

c b dg. r rr

4. Identifique los vectores equipolentes del siguiente grupo de vectores:

5. Dados los vectores: efectuar las operaciones

indicadas.

- 2a bd. 6d r rr

3. Hallar las componentes de los vectores cuyos origen y extremo son:

a. (-2 , 8) , (0 , 5) b. (-6 , 2) , (-1 , 3) c. (6 , -5) , (3 , 7)

d. (3 , -8) , (-4 , -4) e. (8 , -3) , (8 , 4) f. (-4 , -1) , (-9 , 1)

a (-1, 3) a. (7 , 2)de ar

:

b (-2 , - 9) (1, - 8)b. de ar

:

c (0 , - 7) (8 , - 8)c. de ar

:

d (5 , - 5) (d. -3 , - 2)de ar

:

e (-8 , 9) e. (0 , 8)de ar

:

f (-8 , 9) f. (0 , 8)de ar:

a = 3,-1 ; b = -5,8 ; c = 4 , 0rr r

c(aa. +b)rr r

c a+ c bb. rr r r

(c ac. ) b rr r

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Lo Hicimos Bien?

1. Representar gráficamente los siguientes vectores :

a = -2,1 ; b = 4,7 ; c = 1, 0 ; d = -3 , - 4 ; e = 5 , - 2r rr r r

2. Para los vectores del ejercicio anterior hallar el vector resultante de cada una de las siguientes operaciones:

2. ba a 5rr

3. db c 5rr

4. c b dc 7 3 r rr

3e. a brr

b. cf -6r r

r rr

c b d = (-12 g. , -16)

- 2a bd. 6d r rr

a = -2,1 ; b = 4,7 ; c = 1, 0 ; d = -3 , - 4 ; e = 5 , - 2r rr r r

(-2 , 37)

18 , 20

(-33 , - 61)

= 26 , 29

= -3

= -24

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3. Hallar las componentes de los vectores cuyos origen y extremo son:

a. (2 , -3) d. (-7 , 4) b. (5 , 1) c. (-3 , 12) e. (0 , 7) f. (-5 , 2)

4. Identifique los vectores equipolentes del siguiente grupo de vectores:

r

a a (. 8 , -1)

r

bb. (3 , 1)

r

c c (. 8 , -1)

r

d d (. -8 , 3)

r

e e (. 8 , -1)

r

ff. (1, 2)

5. Dados los vectores: efectuar las operaciones indicadas.

a = 3,-1 ; b = -5,8 ; c = 4 , 0rr r

rr r c(a+a. b)= -8

rr r r c a+ cb. b = -8

rr r (c a) b =(-60c. , 96)