Presentación de PowerPoint - JRVARGAS · PDF file•La asignación de...

Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua

UNAN-Managua

Curso de Investigación de Operaciones

Unidad IV

Dualidad y Análisis de SensibilidadEstudiantes:

FAREM-Carazo

Profesor:MSc. Julio Rito

Vargas Avilés.

II Semestre 2010

Año

Académico:

Análisis de Sensibilidad y Dualidad

IV Unidad

http://www.tusgifsanimados.com/aviones/f9/gif-animado_7718.html

http://www.tusgifsanimados.com/vehiculos-terrestres/autobuses/gif-animado_6561.html

Objetivos:Los participantes al finalizar la unidad serán capaces de:

Analizar la importancia del problema Dual y su relación con el

Primal.

Comprender el principio de solución del Método Simplex Dual.

Resolver problemas de Programación Lineal mediante el Simplex

Dual.

Efectuar Análisis de Sensibilidad a una solución dada de un PPL.

Hacer valoraciones cuando los recursos de un PPL cambian, ya

sea que disminuyen o aumenten. Que ocurre con la función

Introducción.• La asignación de probabilidades a los eventos es una tarea

difícil que muchos gerentes pueden mostrarse difícil a hacer,

por lo menos con cierto grado de exactitud. En algunos casos

prefieren decir “creo que la probabilidad de que este evento

ocurra está entre 0.5 y 0.7”.

• Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de

decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad

para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de

probabilidades.

Dualidad y análisis de sensibilidad


Introducción.

• El análisis de sensibilidad concierne al estudio de

posibles cambios en la solución óptima disponible

como resultado de hacer cambios en el modelo

original.

Variaciones que podemos realizar en el modelo general:

Mediante el análisis de sensibilidad pueden existir diferentes

tipos de cambios en el modelo original como:

1. Cambios en los coeficientes de la función objetivo, Cij

2. Cambios en los recursos, bi

3. Cambios en los coeficientes tecnológicos, aij

4. Adición de una nueva variable y Xi

5. Adición de una nueva restricción. aij >= bi

WinQSB


Teoría de dualidad:

• La teoría de dualidad parte de que asociado a todo

problema de PL, existe otro problema lineal llamado Dual.

• Las relaciones entre el problema dual y el problema

original o (primal) son en extremos útiles en una gran

variedad de situaciones.

• Uno de los aspectos más importantes de la teoría de

dualidad es la interpretación y realización del análisis de

sensibilidad.


Esencia de la teoría de dualidad:

Dada la forma estándar para el problema primal (izquierda), su

problema dual tiene la forma que se muestra a la derecha.

Max Min

0

:

1

1

j

i

n

j

jij

n

j

jj

x

bxa

asujeto

xcZ

0

:

1

1

i

j

n

j

iij

m

i

ii

y

cya

asujeto

ybW

El problema dual usa exactamente los mismos parámetros que el

problema primal, pero en diferentes lugares.


Esencia de la teoría de dualidad:

Dada la forma matricial del problema primal (izquierda), y

del problema dual.

Max Min

0

:

x

bAx

asujeto

cZ x

0

:

y

cyA

asujeto

ybW

Donde C y Y son vectores fila y b y x son vectores columna.


La Wyndor lass Co. Produce artículos de vidrio de alta

calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres.

Plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la

planta 1, los de madera en la planta 2; la planta 3 produce el

vidrio y ensambla los productos.

Debido a una reducción de las ganancias, la alta gerencia ha

decidido reorganizar la línea de producción de la compañía.

Se descontinuarán varios productos no rentables y se dejará

libre una parte de la capacidad de producción para

emprender la fabricación de dos productos nuevos que tienen

ventas potenciales grandes:


Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de

aluminio.

Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4

pies x 6.

El producto 1 requiere capacidad de producción en las plantas

1 y 3 y nada en la planta 2. El producto 2, solo necesita trabaja

en las plantas 2 y 3. La división de comercialización ha

concluido que la compañía pede vender todos los productos

que se puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como

ambos productos competirán por la misma capacidad de

producción en la planta 3, no se está claro cual es la mezcla de

productos que sería mas rentable.


Se conoce que el número de horas disponible en la

semana para las plantas 1,2 y 3, para los nuevos

productos son las siguientes:

Planta 1: 4 horas; planta 2: 12 horas y planta 3: 18

horas.

Cada producto se fabricará en lotes de 20 unidades

totales.

En la tabla siguiente se detalla el tiempo requerido en

horas en cada planta para producir un lote de cada

producto.


Tiempo de producción

por lote en hrs

Tiempo

disponible

semanal

Planta Producto 1 Producto 2 (horas)

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

Ganancia x lote $3000 $5000


X1: número de lotes del producto 1 ( puertas de vidrios)

X2: número de lotes del producto 2 (ventas corredizas)

Z= ganancia semanal total (miles de dólares) al producir

puertas y ventas de vidrio.

Es un problema típico de mezcla de programación lineal

de maximización.

Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.

0

0

1823

122

4

:

53

2

1

21

2

1

21

x

x

xx

x

x

asujeta

xxZMax

0

0

0

522

33

:

18124

3

2

1

32

31

321

y

y

y

yy

yy

asujeta

yyyWMin

A la izquierda se muestra el problema primal en forma algebraica

y a la derecha el problema dual en forma algebraica.

Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.

0

0

18

12

4

23

20

01

:

53

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

asujeta

x

xZMax

000

53

23

20

01

:

18

12

4

321

321

321

yyy

yyy

asujeta

yyyWMin

A la izquierda se muestra el problema primal en forma matricial y

a la derecha el problema dual en forma matricial.

Solución del P. dual, para el ejemplo Wyndor Glass Co.

La solución óptima es: Y1=0 , Y2=1.5, Y3=1 para z= 36

Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co.

La solución óptima es: x1=2 y x2=6 para z= 36

Esto es, se debe producir 40 puertas(dos lotes) y 120( 6 lotes)

ventanas para una utilidad máxima de U$36,000 .

Precio

sombra

Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co.

El costo reducido identifica el costo que genera incrementar una

unidad para cada variable no básica.

La columna Déficit o Superávit muestra los valores de las

variables de holgura.

La columna precio sombra: esto es, cuanto se estaría dispuesto a

pagar por una hora extra para producir mas puertas y/o ventanas.

Inte

rpre

taci

ón e

con

óm

ica

del

D

ual

Pro

ble

ma

pri

mal

Pro

ble

ma

Dual

Ejemplo 2:La empresa KZ se dedica a la fabricación detres producto; A, B y C. El procedimiento deproducción involucra tres operaciones:formación, acabado e inspección. Eldepartamento de ingeniería industrial, haestablecido los siguientes estándares deproducción en cada operación.

Datos de producción para la compañía (minutos por producto)

El departamento de contabilidad por su parte,pronostica los siguientes costos e ingresos para lacompañía.

Datos de costo e ingreso para la compañía

Se desea saber el número de cada tipo de productoque deberán producirse de tal manera que seoptimice el beneficio por las 8 horas de trabajo deldía. Considerando la información, se planteó elmodelo de programación lineal:

acabadoxxx

inspecciónxxx

formaciónxxx

asujeto

xxxZ

480422

480223

480262

:

453520

321

321

321

321

Dual del Problema

Min W= 480Y1 + 480Y2 + 480y3

Sujeto a:

2y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 20

6y1 + 2y2 + 2y3 ≥ 35

2y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 45

y1 ≥ 0

y2 ≥ 0

y3 ≥0

Ejemplo

1. Determine los rangos de variación de las variables básicas endonde la base actual permanece

2. ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actualpermanece?

3. ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratartiempo extra y por que?

4. ¿Que pasaría si se programaran 20 minutos extras en el

departamento de inspección, cambiaría la función objetivo?

5. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se

programan 50 minutos en el departamento de formado?

6. ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran

30 minutos de mantenimiento en el departamento de

acabado?


6. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un

25%, ¿cómo se afecta la base actual y el objetivo?

7. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de

$5/minuto, ¿recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en

que departamento y cuanto tiempo extra puede programarse sin

cambiar la mezcla actual?

8. ¿Que pasearía si se programara la producción de 10 unidades del

producto A ?

9. ¿Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos el producto A

cambiara sus tiempos de fabricación en

10. a. a1= (2,3,2)

11. b. a1 = (1,2,2)T

12. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes características C4=60, a4 = (2,1,3)T, ¿Qué recomendaría?

Solución Inicial del modelo (winqsb)

29

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad

3. Ken & Larry Inc. surte su helado a los expendios encuatro sabores: chocolate, vainilla, chicle y banano. Debidoal calor extremo y la alta demanda, la compañía tiene undéficit en el abastecimiento de los ingredientes: leche,azúcar y crema .Esto no le permite satisfacer todas las órdenes recibidasde sus expendios. Por estas circunstancias, la compañía adecidido seleccionar la cantidad que debe producir de cadasabor para maximizar la ganancia total, dadas lasrestricciones en las cantidades de ingredientes básicos.

http://images.google.com/imgres?imgurl=http://www.menorquina.com/uploads/imagenes/detalle/post_sorbetes.jpg&imgrefurl=http://www.menorquina.com/es/nuestros_helados.php?pr=7&fm=1&h=187&w=160&sz=8&hl=en&start=8&tbnid=2fXS23VX48uesM:&tbnh=102&tbnw=87&prev=/images?q=sorbetes&gbv=2&svnum=10&hl=en

30


Sujeto a:

• La compañía tiene solo 220 galones de leche, 170libras de azúcar y 70 galones de crema. (por mes)

• Un galón de helado de chocolate consume: 0.45 galónde leche, 0.5 libra de azúcar y 0.10 galón de crema.

• Un galón de helado de Vainilla consume: 0.5 galónde leche, 0.4 libra de azúcar y 0.15 galón de crema.

• Un galón de helado de banano consume: 0.4 galón deleche, 0.4 libra de azúcar y 0.2 galón de crema.

• Un galón de helado de chicle consume: 0.4 galón deleche, 0.4 libra de azúcar y 0.3 galón de crema.

31


Sujeto a:

• La compañía para mantener su mercado cautivo desabores a decidido también producir al menos 30galones de helados de cada uno de los cuatro sabores.

• Los sabores de chocolate, vainilla, banano y chiclegeneran ganancias respectivas de $1.10, $1.0, $0.9,y $.95 por galón.

220 gls 170 lbs 70 gls

http://images.google.com/imgres?imgurl=http://mysite.verizon.net/resp8rqz/sitebuildercontent/sitebuilderpictures/.pond/leche.jpg.w300h520.jpg&imgrefurl=http://mysite.verizon.net/resp8rqz/tiendamibarriollc/id13.html&h=520&w=300&sz=26&hl=en&start=8&tbnid=3k-Oax6I-2W2yM:&tbnh=131&tbnw=76&prev=/images?q=leche&gbv=2&svnum=10&hl=en

http://export-sudamerica.com/c/catalogo/images/azucar1.jpg

http://images.google.com/imgres?imgurl=http://laruso.ca/images/crema & aroma Marrone.jpg&imgrefurl=http://laruso.ca/index.php?main_page=index&cPath=2&h=400&w=400&sz=19&hl=en&start=16&tbnid=2eQCrLXIk83-TM:&tbnh=124&tbnw=124&prev=/images?q=crema&gbv=2&svnum=10&hl=en

32

Variables de decisión

X1 = Números de Galones de helados de chocolate

X2 = Números de Galones de helados de vainilla

X3 = Números de Galones de helados de plátano


X4= Números de Galones de helados de chicle

http://images.google.com/imgres?imgurl=http://sitios.seccionamarilla.com.mx/hielati/recursos/imghelado.jpg&imgrefurl=http://sitios.seccionamarilla.com.mx/hielati/pagina.asp?pw_id=9012&h=392&w=250&sz=36&hl=en&start=12&tbnid=dn9y5aIVNvGTfM:&tbnh=123&tbnw=78&prev=/images?q=helados&gbv=2&svnum=10&hl=en

33

Función objetivo

Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4

$ = ($/galón de chocolate) x (Número galones chocolate)+ ($/galón de vainilla) x (Número galones vainilla) + ($/galón de plátano) x (Número galones plátano)+ ($/galón de chicle) x (Número galones chicle)


34

Restricción de producción(leche)

0.45X1 es el total de galones de leche que se requieren para producir X1 galones de chocolates

0.5X2 es el total de galones de leche que se requieren para producir X2 galones de vainilla

0.4X3es el total de galones de leche que se requieren para producir X3 galones de banano

0.4X4 es el total de galones de leche que se requieren para producir X4 galones de chicle

0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4 220


http://www.businesschile.cl/img_contenido/237-leche_2.jpg

35

Restricción de producción(azúcar)

0.5X1 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X1 galones de chocolates

0.4X2 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X2 galones de vainilla

0.4X3es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X3 galones de banano

0.4X4 es el total de libras de azúcar que se requieren para producir X4 galones de chicle

0.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4 170


http://clubderebajar.files.wordpress.com/2007/02/azucar.jpg

36

Restricción de producción(crema)

0.1X1 es el total de galones de crema que se requieren para producir X1 galones de chocolates

0.15X2 es el total de galones de crema que se requieren para producir X2 galones de vainilla

0.2X3es el total de galones de crema que se requieren para producir X3 galones de banano

0.3X4 es el total de galones de crema que se requieren para producir X4 galones de chicle

0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4 70


http://images.google.com/imgres?imgurl=http://laruso.ca/images/crema & aroma Marrone.jpg&imgrefurl=http://laruso.ca/index.php?main_page=index&cPath=2&h=400&w=400&sz=19&hl=en&start=16&tbnid=2eQCrLXIk83-TM:&tbnh=124&tbnw=124&prev=/images?q=crema&gbv=2&svnum=10&hl=en

37

Compromisos de demanda

X1 galones de chocolate 30 galones

X2 galones de vainilla 30 galones

X3 galones de Banano 30 galones

X4 galones de chicles 30 galones


http://images.google.com/imgres?imgurl=http://www.porcadiz.com/GelatiFamosi/helados.jpg&imgrefurl=http://www.porcadiz.com/gelatifamosi.html&h=480&w=484&sz=33&hl=en&start=5&tbnid=hz8xcpyKAQAoxM:&tbnh=128&tbnw=129&prev=/images?q=helados&gbv=2&svnum=10&hl=en

38

Sujeto a:

No se necesitan las condiciones de no negatividad puesto que existen restricciones de demanda mayores que cero para todas las variables de decisión.

Max. Z = 1.1 X1 + 1.0 X2 + 0.90X3 + 0.95X4

0.45X1 + 0.5X2 + 0.4X3 + 0.4X4 2200.5X1 + 0.4X2 + 0.4X3 + 0.4X4 170

0.1X1 + 0.15X2 + 0.2X3 + 0.3X4 70X1 30

X2 30

X3 30

X4 30


39SIGUE


Coeficientes del modelo matemático

40

Solución

SIGUE


41

PREGUNTAS ADICIONALES

• Suponga que la ganancia por galón de banano

es $1.00 ¿cambia la solución óptima y que se

puede decir de la ganancia total?

-Cambia la ganancia

total

Cambia la solución

óptima.


42

PREGUNTAS ADICIONALES

• Suponga que la ganancia por galón de banano

es $0.92 ¿cambia la solución óptima y que se

puede decir de la ganancia total?-Cambia levemente la

ganancia total

No cambia la solución

óptima

Se podría decir que no

hay cambios relevantes

en la optimización.


43

PREGUNTAS ADICIONALES• Suponga que descubren tres galones de crema

agrio que tienen que tirarse ¿cambia la solución

óptima y que se puede decir de la ganancia total?

Se podría decir que no hay

cambios en la optimización

ni en la ganancia, eran

sobrantes.


44

PREGUNTAS ADICIONALES• Suponga que tienen la oportunidad de comprar

15 libras adicionales de azúcar por un costo total

de $15.00¿Deben comprarlas ? explique

Con 15 libras de azúcar adicionales


45

4. Constructora. ¿Qué cantidad de grava enviarde cada distribuidor(tres) a cada proyecto(tres)con el objeto de minimizar los costos totales?

Sujeto a:• No enviar más de; 150 tons. del distribuidor 1;

175 tons. del distribuidor 2 y 275 tons. deldistribuidor 3.

• Enviar 200 tons. al proyecto 1; 100 tons. alproyecto 2 y 300 tons. al proyecto 3.


46


• Los costos de envío del distribuidor i al proyecto j son los siguientes:• Costo del distribuidor 1 al proyecto 1, C11=$6

• Costo del distribuidor 1 al proyecto 2, C12=$8• Costo del distribuidor 1 al proyecto 3, C13=$10

• Costo del distribuidor 2 al proyecto 1, C21 =$7• Costo del distribuidor 2 al proyecto 2, C22=$11• Costo del distribuidor 2 al proyecto 3, C23=$11• Costo del distribuidor 3 al proyecto 1, C31 =$4• Costo del distribuidor 3 al proyecto 2, C32=$5• Costo del distribuidor 3 al proyecto 3, C33=$12

47

Costos de Envío (por tonelada)

Costos de Envío

Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3

Distribuidor 1 6 8 10




Distribuidor 1 X11 X12 X13



Cuánto enviar a cada proyecto?

48


XIJ = Número de toneladas a enviar deldistribuidor “I” al proyecto “J”.

Función objetivo

Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22

+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33

Formulación de la Función Objetivo

X11 = Número de toneladas a enviar deldistribuidor “1” al proyecto “1”.

49

Restricciones de disponibilidad

X11 + X12 + X13 150

X21 + X22 + X23 175

X31 + X32 + X33 275

Restricciones de requerimientos

X11 + X21 + X31 = 200

X12 + X22 + X32 = 100

X13 + X23 + X33 = 300


50

Min. Z = 6X11 + 8X12 + 10X13 + 7X21 + 11X22

+ 11X23 + 4X31 + 5X32 + 12X33

X11 + X12 + X13 150

X21 + X22 + X23 175

X31 + X32 + X33 275

X11 + X21 + X31 = 200

X12 + X22 + X32 = 100

X13 + X23 + X33 = 300

X11, X12, X13 .... X33 0

Sujeto a:


51

INGRESO DE LOS COEFICIENTES DEL MODELO

MATEMATICO EN EL WINDQSB

52

Solución

53

Solución

54

Red de Distribución

55

Cuánto se envió a cada proyecto y de que distribuidor?

Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Oferta

Distribuidor 1 0 0 150 150



Demanda 200 100 300 600





56

5. Mezcla de minerales. ¿Qué porcentaje de lacomposición del nuevo producto provendrá decada una de las cuatro minas conel objeto de minimizar su costo.

Sujeto a:

• El contenido del elemento básico “A” en el nuevoproducto no sea menor de 5 lb’s/ton.

• El contenido del elemento básico “B” en el nuevoproducto no sea menor de 100 lb’s/ton.

• El contenido del elemento básico “C” en el nuevoproducto no sea menor de 30 lb’s/ton.


57


X1 = porcentaje que provendrá de la mina 1





58

Función objetivo

Min. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3 + C4 X4

$ = ($/ton. mina 1) x (% de la mina 1)+ ($/ton. mina 2) x (% de la mina 2)+ ($/ton. mina 3) x (% de la mina 3)+ ($/ton. mina 4) x (% de la mina 4)

Min. Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4


59

Restricción de elemento básico A

10X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4 5

Restricción de elemento básico B

90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4 100

Restricción de elemento básico C

45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4 30


60

Min. Z = 800X1 + 400X2 + 600X3 + 500X4

10X1 + 3X2 + 8X3 + 2X4 5

90X1 + 150X2 + 75X3 + 175X4 100

45X1 + 25X2 + 20X3 + 37X4 30

X1 + X2 + X3 + X4 = 1

X1, X2, X3, X4 0

Sujeto a:


61

INGRESO DE COEFICIENTES EN WINQSB

62

SOLUCIÓN DEL MODELO LINEAL (EN WINQSB)

63

6. Orsini. Fabrica tres tipos de zapatos. ¿Qué cantidad de cada estilo debe fabricar

durante el mes con el objeto de maximizar las utilidades?

Sujeto a:• No deben asignarse más de 1,200 horas de

tiempo de producción.• Todos los costos de producción, de materiales

y costos fijos deben cubrirse con el efectivodisponible durante el mes que es de $16,560.

• Satisfacer ciertos compromisos de demanda:30 estilo 1, 55 estilo 2 y 32 estilo 3.


64


X1 = Número de pares de zapatos estilo 1 que debenfabricarse durante el mes.




65

Cálculo de C1

(3.5 horas/par) x ($10/hora) = $35/par

(3.25 U. piel/par) x ($4/U. piel) = $13/par$48/par

Función objetivo

Max. Z = C1 X1 + C2 X2 + C3 X3

$ = ($/par de zap. estilo 1) x (pares de zap. estilo 1)+ ($/par de zap. estilo 2) x (pares de zap. estilo 2)+ ($/par de zap. estilo 3) x (pares de zap. estilo 3)


66

de forma similar,

C2 = $64/par - $43/par = $21/par de zap. estilo 2


Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3



67

Restricción de producción

3.5X1 es el total de horas que se requieren parafabricar el estilo 1



3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3 1,200


68

Restricción de efectivo

Costo fijo = $3,000Existen disponibles $16,560 - $3,000 = $13,560para cubrir los costos variables.

48X1 + 43X2 + 28X3 13,560

Compromisos de demanda

X1 pares de zap. estilo 1 30 pares de zap. estilo 1X2 pares de zap. estilo 2 55 pares de zap. estilo 2X3 pares de zap. estilo 3 32 pares de zap. estilo 3


69

Max. Z = 12X1 + 21X2 +22X3

Sujeto a: 3.5X1 + 2.5X2 + 2.0X3 1,200

48X1 + 43X2 + 28X3 13,560

X1 30

X2 55

X3 32

No se necesitan las condiciones de no negatividadpuesto que existen restricciones de demanda para todas las variables.


70

Solución

71

7. CSL es una cadena de tiendas de servicios para computadoras.

La cantidad de horas de tiempo de reparación calificada que CSL

requiere durante los cincos meses siguientes es como sigue:

Mes 1 (enero) : 6,000 horas

Mes 2 (febrero) : 7,000 horas

Mes 3 (marzo) : 8,000 horas

Mes 4 (abril) : 9,500 horas

Mes 5 (mayo) : 11,000 horas

A principios de enero 50 técnicos calificados trabajan para CSL.

Cada técnico calificado puede trabajar hasta 160 horas por mes.

Para cumplir con las demandas en el futuro, es necesario capacitar

a nuevos técnicos. Toma un mes capacitar un nuevo técnico.


72

Durante el mes de capacitación, un técnico experimentado debe

supervisar al aprendiz durante 50 horas. Cada técnico

experimentado gana U$2,000 al mes (incluso si no trabaja las 160

horas completas). Además durante el mes de entretenimiento, el

aprendiz recibe U$1,000. Al final de cada mes, 5% de los técnicos

experimentados de CSL abandonan el trabajo para unirse a otra

empresa de la competencia. Formule un PL con cuya solución

CSL minimiza el costo de mano de obra en el que incurre para

cumplir con el servicio de reparación en los cinco meses

siguientes:


73

Solución:

-CSL debe determinar la cantidad de técnicos durante el mes t.

(t=1,2,3,4,5). Por tanto se define.

Xt : cantidad de técnicos capacitados durante un mes t (t=1,2,3,4,5)

CSL desea minimizar el costo total de la mano de obra durante los cinco

meses siguientes. Obsérvese que:

Costo total de mano de obra=costo por pagar a los aprendices + costo

por pagar a los técnicos experimentados.

Para expresar el costo por pagar a los técnicos experimentados es

necesario definir para t=1,2,3,4,5.

Yt : cantidad de técnicos experimentados al inicio del mes t


74

Solución: Entonces

Costo total de mano de obra=(1000x1 +1000x2 +1000x3 +1000x4

+ 1000x5 ) + (2000y1 + 2000y2 + 2000y3 + 2000y4 + 2000y5 )

Por tanto la función objetivo de CSL es:Min z= 1000x1 +1000x2 +1000x3 +1000x4 + 1000x5 + 2000y1 + 2000y2 +

2000y3 + 2000y4 + 2000y5

Cuales son las restricciones de CSL?

Nótese que y1 =50, y que para t=1,2,3,4,5 CSL debe tener la

certeza de que.Número de horas-técnicos disponibles durante el mes t ≥ 160y1 - 50x1

Entonces:

160y1 - 50x1 ≥6000

160y2 - 50x2 ≥7000


75

160y3 - 50x3 ≥8000

160y4 - 50x4 ≥9500

160y5 - 50x5 ≥11000

Técnicos experimentados al principio del mes t: recordemos que

el 5% de los técnicos experimentados al final de mes abandonan

la empresa.

y1 =50

y2 = y1 + x1 - 0.05 y1=0.95 y1+x1

y3 = =0.95 y2+x2

y4 = 0.95 y3+x3

y5 = 0.95 y4+x4


76

Min z= 1000x1 +1000x2 +1000x3 +1000x4 + 1000x5 + 2000y1 +

2000y2 + 2000y3 + 2000y4 + 2000y5

s.a: 160y1 - 50x1 ≥6000

160y2 - 50x2 ≥7000

160y3 - 50x3 ≥8000

160y4 - 50x4 ≥9500

160y5 - 50x5 ≥11000

y1 =50

y2 = y1 + x1 - 0.05 y1=0.95 y1+x1

y3 = =0.95 y2+x2

y4 = 0.95 y3+x3

y5 = 0.95 y4+x4 ; xi ≥0; yi≥0; i=1,2,3,4,5


77

Solución:


78

8. Una compañía fabrica escritorios, mesas y sillas. Para la

manufactura de cada tipo de muebles se requiere madera y dos

tipos de mano de obra calificada: acabado y carpintería. La

cantidad de recursos necesarios para elaborar cada tipo de

muebles se proporciona en la siguiente tabla.


Recurso Escritorio Mesa Silla

Madera(pie tablón) 8 6 1

Horas de acabado 4 2 1.5

Horas de carpintería 2 1.5 0.

79

Se cuenta en la actualidad con 48 pie de tablón de madera, 20

horas de acabado y 8 horas de carpintería. La cantidad de recursos

necesarios. Un escritorio se vende a U$60, una mesa en U$30 y

una silla en U$20. La compañía sabe que la demanda de

escritorios y silla es ilimitada, pero cuando mucho se pueden

vender 5 mesas. Puesto que los recursos disponibles ya se

compraron, la compañía quiere maximizar el ingreso total. Si se

definen las variables de decisión como:

X1: cantidad de escritorios fabricados

X2: cantidad de mesas fabricados

X3: cantidad de sillas fabricados


80

Ahora formulamos el modelo matemático del PPL

Max z=60x1 + 30x2 + 20x3

S.a:

8x1 + 6x2 + x3 ≤ 48

4x1 + 2x2 + 1.5x3 ≤ 20

2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 ≤ 8

x2 ≤ 5x1 ,x2 , x3 ≥ 0


81

P. Lineal: Análisis de Sensibilidad S

olu

ción

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