Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Continua: puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo

(o unión de intervalos) PESO DE LAS NARANJAS DE UN ÁRBOL

Variables estadísticas unidimensionales

Variable estadística: característica objeto de estudio.

Población: conjunto de individuos sobre el que se realizará el estudio.

Muestra: subconjunto de la población.

Variable estadística

Cualitativa: característica no numérica COLOR DE OJOS

Cuantitativa: característica numérica

Discreta: toma valores enteros NÚMERO DE HERMANOS

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Frecuencia absoluta de 𝑥𝑖: nº de veces que se repite ese dato. 𝑛𝑖

Frecuencia relativa de 𝑥𝑖: frecuencia absoluta divida por el nº total de datos 𝑓𝑖 =𝑛𝑖

𝑛

Frecuencia absoluta acumulada de 𝑥𝑖: suma de las frecuencias absolutas de los datos inferiores o iguales a 𝑥𝑖, una vez ordenados los datos en forma creciente. 𝑁𝑖

Frecuencia relativa acumulada de 𝑥𝑖: suma de las frecuencias relativas de los datos inferiores o iguales a 𝑥𝑖, una vez ordenados los datos en forma creciente. 𝐹𝑖

𝑋 ≡ variable estadística que toma valores 𝑥1, … , 𝑥𝑘 (distintos) Muestra de 𝑛 datos

Variables estadísticas unidimensionales

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

𝑋 ≡ Número de personas que habitan en viviendas de un barrio de Sevilla

1 5 2 2 3 6 2 2 4 3 4 4 3 2 2 4 1 2 5 4 𝑋 toma valores distintos 1,2,3,4,5,6 𝑛 ≡ 20

Datos 𝑛𝑖 𝑓𝑖 % 𝑁𝑖 𝐹𝑖

𝑥1 = 1 2 2

20=0,1 10% 2 0,1

𝑥2 = 2 7 7

20=0,35 35% 9 0,45

𝑥3 = 3 3 3

20=0,15 15% 12 0,6

𝑥4 = 4 5 5

20=0,25 25% 17 0,85

𝑥5 = 5 2 2

20=0,1 10% 19 0,95

𝑥6 = 6 1 1

20=0,05 5% n=20 1

Σ n=20 1 100%

TABLA DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES DISCRETAS: Variables estadísticas unidimensionales

[

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

𝑋 ≡ altura de los alumnos de una clase en cm.

183 164 159 176 173 168 155 168 162 161 172 174 178 184 160 181 165 167 163 172 178 161 158 170 179

𝑋 toma MUCHOS valores distintos 𝑛 ≡ 25

TABLA DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CONTINUAS (O DISCRETAS CON UN ALTO NÚMERO DE DATOS DIFERENTES):

185

[ [) ) )Dato más pequeño 155 184 Dato más grande

175165160 170 180

Intervalos Datos (marca de

clase)

𝑛𝑖 𝑓𝑖 % 𝑁𝑖 𝐹𝑖

[155,165) 𝑥1 = 160 9 9

25=0,36 36% 9 0,36

[165,175) 𝑥2 = 170 9 9

25=0,36 36% 18 0,72

[175,185) 𝑥3 = 180 7 7

25=0,28 28% 25 1

Σ n=25 1 100%

161

AGRUPACIÓN DE DATOS EN INTERVALOS

Se elige un intervalo semiabierto quecontenga a todos los datos del conjuntoinicial: [155,185)

Se divide el intervalo en subintervalossemiabiertos de la misma amplitud:[155,165), [165,175), [175,185)

Se toman como nuevos datos las MARCASDE CLASE (puntos medios de los subintervalos):𝑥1 = 160, 𝑥2 = 170, 𝑥3 = 180

Se toman como frecuencias absolutas elnúmero de datos iniciales que han caídoen los correspondientes subintervalos.

Variables estadísticas unidimensionales

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionales

Ejercicio 1.3

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-interactivos-de-tablas-estadisticas.html

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-de-frecuencias.html

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística DescriptivaREPRESENTACIONES GRÁFICAS : VARIABLES CUALITATIVAS

PICTOGRAMAS

Preferencias deportivas de 300 alumnos

DeporteNúmeroAlumnos

(𝑛𝑖)

𝑓𝑖 en porcentajes

Grados

Fútbol 65 21,6% 77,76º

Atletismo 58 19,3% 69,48º

Baloncesto 39 13% 46,8º

Natación 36 12% 43,2º

Gimnasia 33 11% 39,6º

Tenis 19 6,3% 22,68º

Voley 19 6,3% 22,68º

Rugby 10 3,3% 11,88º

Otros 21 7% 25,2º

Σ 300

Fútbol

AtletismoNatación

Baloncesto

Voley

Gimnasia

Otros

Tenis

Rugby

Variables estadísticas unidimensionales

Pictograma de repetición

Pictograma de amplificación

0-19 años(Jóvenes)

34.1%

20-64 años

(Adultos)59%

+ 64 años(Mayores)

6.9%

DIAGRAMA DE SECTORES

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionalesREPRESENTACIONES GRÁFICAS : VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS

Nº Hermanos 0 1 2 3 4 5 6 Más de 6

Frecuencia 72 155 97 81 30 27 20 18

Distribución del número de hermanos de una muestra de 500 alumnos de la ETSIA

POLÍGONO DE FRECUENCIASDIAGRAMA DE BARRAS

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionalesREPRESENTACIONES GRÁFICAS : VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS

HISTOGRAMA

Distribución del peso de una muestra de 500 personas

Peso en Kg

Frecuencia

<45 1

[45,50) 3

[50,55) 12

[55,60) 75

[60,65) 103

[65,70) 155

[70,75) 101

[75,80) 29

[80,85) 11

[85,90) 8

>90 2

POLÍGONO DE FRECUENCIAS

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionales

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-interactivos-de-diagramas-de-barras-y-poligonos-de-frecuencias.html

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-interactivos-de-diagramas-de-sectores.html

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionales1.) MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL DE UNA MUESTRA:Nos dan una idea del valor en torno al cual se agrupan los datos.

Muestra de tamaño 𝑛 con 𝑘 valores distintos {𝑥1, … , 𝑥𝑘} Frecuencias absolutas 𝑛1, … , 𝑛𝑘 siendo Σ𝑛𝑖 = 𝑛

Media aritmética ҧ𝑥

ҧ𝑥 =𝑥1𝑛1 +⋯+ 𝑥𝑘𝑛𝑘

𝑛=σ𝑖=1𝑘 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑛

Mediana 𝑀Valor que ocupa la posición central (o mediade los dos valores centrales si 𝑛 es par) unavez que los datos se han ordenado de formacreciente y repetidos tantas veces comoindique su frecuencia.

Moda 𝑀𝑜Dato con mayor frecuencia absoluta (el quemás se repite). Puede haber varias modas.

1 5 2 2 3 6 2 2 4 3 4 4 3 2 2 4 1 2 5 4

Muestra de tamaño 𝑛 = 20 (personas que habitan enviviendas de un barrio de Sevilla) con 𝑘 = 6 valoresdistintos 1,2,3,4,5,6 .

Datos 𝑥1 = 1 𝑥2 = 2 𝑥3 = 3 𝑥4 = 4 𝑥5 = 5 𝑥6 = 6

𝑛𝑖 2 7 3 5 2 1

𝑁𝑖 2 9 12 17 19 20

ҧ𝑥 =1 ∙ 2 + 2 ∙ 7 + 3 ∙ 3 + 4 ∙ 5 + 5 ∙ 2 + 6 ∙ 1

20= 3,05

1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 6

𝑀 =3 + 3

2= 3

𝑀𝑜 = 2

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionales

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-interactivos-de-la-media-aritmetica.html

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-interactivos-de-la-mediana.html

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-interactivos-de-la-moda.html

Ejercicios sobre media, mediana y moda

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionales

2.) MEDIDAS DE DISPERSIÓN DE UNA MUESTRA:Nos dan una idea de la diseminación de los datos con respecto a los valores centrales.

La media aritmética, por sí sola, puede dar una idea errónea de la distribución de los datos, como podemos ver en este ejemplo:

Muestra de tamaño 𝑛 = 100 con 𝑘 = 2 valores distintos {𝑥1 = 1, 𝑥2 = 106} Frecuencias absolutas 𝑛1 = 99, 𝑛2 = 1

1

1061ҧ𝑥 =

1 ∙ 99 + 106 ∙ 1

100= 10.000,99 ~ 104

ҧ𝑥~104

Muestra de tamaño 𝑛 con 𝑘 valores distintos {𝑥1, … , 𝑥𝑘} Frecuencias absolutas 𝑛1, … , 𝑛𝑘 siendo Σ𝑛𝑖 = 𝑛

Rango: Diferencia entre el mayor y el menor valor de la muestra.

𝑠2 =(𝑥1− ҧ𝑥)2𝑛1 +⋯+ (𝑥𝑘− ҧ𝑥)2𝑛𝑘

𝑛=σ𝑖=1𝑘 (𝑥𝑖− ҧ𝑥)2𝑛𝑖

𝑛= ⋯ =

σ𝑖=1𝑘 𝑥𝑖

2𝑛𝑖𝑛

− ҧ𝑥2

Varianza: 𝑠2 Desviación típica: 𝑠

𝑠 = 𝑠2

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionalesCuasi varianza: Ƹ𝑠2

Ƹ𝑠2 =(𝑥1− ҧ𝑥)2𝑛1 +⋯+ (𝑥𝑘− ҧ𝑥)2𝑛𝑘

𝑛 − 1=σ𝑖=1𝑘 (𝑥𝑖− ҧ𝑥)2𝑛𝑖

𝑛 − 1Ƹ𝑠2 =

𝑛

𝑛 − 1𝑠2

Cuasi desviación típica: Ƹ𝑠

Ƹ𝑠 = Ƹ𝑠2

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionalesDatos 𝒙𝒊

𝒏𝒊 𝒇𝒊 𝑵𝒊 𝑭𝒊 𝒙𝒊𝒏𝒊 𝒙𝒊𝟐 𝒙𝒊

𝟐𝒏𝒊

1 2 0,08 2 0,08 2 1 2

2 12 0,48 14 0,56 24 4 48

3 8 0,32 22 0,88 24 9 72

4 3 0,12 25 1 12 16 48

Σ 25 1 62 170

ҧ𝑥 =σ𝑖=1𝑘 𝑥𝑖𝑛𝑖𝑛

=62

25= 2,48

Mediana: hay un número impar de datos, 25, por lo que la mediana es el datoque ocupa el lugar central: 𝑀 = 2

Moda: 𝑀𝑜 = 2

𝑠2 =σ𝑖=1𝑘 𝑥𝑖

2𝑛𝑖𝑛

− ҧ𝑥2 =170

25− 2,48 2 = 0,6496

Varianza:

Media:

Desviación típica:

𝑠 = 𝑠2 = 0,6496 = 0,8059

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicio-interactivo-de-estadistica.html

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionales

Ejercicios sobre varianza y desviación típica

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-interactivos-de-la-varianza.html

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-interactivos-de-la-desviacion-tipica.html

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-y-problemas-de-la-varianza.html

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/descriptiva/ejercicios-de-desviacion-tipica.html

Sólo varianza

Sólo desviación típica

Varianza y desviación típica

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionales

TRANSFORMACIONES LINEALES DE DATOS:

Si a partir de una muestra 𝑥1, … , 𝑥𝑘 se construye otra 𝑦1, … , 𝑦𝑘, siendo 𝑦𝑖 = 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏 con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, entonces:

ത𝑦 = 𝑎 ҧ𝑥 + 𝑏

𝑠𝑦2 = 𝑎2𝑠𝑥

2, donde 𝑠𝑦2 (resp. 𝑠𝑥

2) es la varianza de los 𝑦𝑖 (resp. de los 𝑥𝑖).

3.) PERCENTILES (Y CUARTILES):

El percentil 𝛼, 𝑃𝛼, de un conjunto ordenado de datos y repetidos tantas veces como indique su frecuencia, es el valor que

es mayor o igual que el 𝛼% de los datos.

• Los percentiles 25, 50 y 75 (𝑃25, 𝑃50 𝑦𝑃75) se denominan, respectivamente, primer, segundo y tercer cuartil y se les

denota por 𝑄1 = 𝑃25, 𝑄2 = 𝑃50 y 𝑄3 = 𝑃75.

• Los cuartiles dividen al conjunto total de datos en cuatro subconjuntos, cada de los cuales conteniendo al 25% de los

datos.

• Observar que 𝑄2 = 𝑃50 = 𝑀𝑒.

[ ]𝑄1 = 𝑃25 𝑀𝑒 = 𝑄2 = 𝑃50 𝑄3 = 𝑃75

42%

25% 25% 25%

𝑃42

25%

58%

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionalesCÁLCULO DEL PERCENTIL 𝜶:

Muestra de tamaño 𝑛 ordenados de forma creciente y repetidos tantas veces como indique su frecuencia.

1) Hallar el 𝛼% de los datos: 𝛼𝑛

100= 𝐸 + 𝐷, siendo E ≡ parte entera y 𝐷 ≡ parte decimal.

2) Si 𝐷 ≠ 0, entonces 𝑃𝛼 es el dato que ocupa el lugar 𝐸 + 1.

3) Si 𝐷 = 0, entonces 𝑃𝛼 es la media aritmética de los datos que ocupan los lugares 𝐸 y 𝐸 + 1.

Datos 𝒙𝒊

𝒏𝒊 𝑵𝒊

1 2 2

2 12 14

3 8 22

4 3 25

Σ 25

𝑃23 23% de los datos: 23∙25

100= 5,75 = 5 + 0,75 ⟹ 𝑃23 es el dato que ocupa

el lugar 6º (5+1) ⟹ 𝑃23 = 2

𝑃56 56% de los datos:56∙25

100= 14 ⟹ 𝑃56 es la media aritmética de los datos

que ocupan los lugares 14 y 15 ⟹ 𝑃56 =2+3

2= 2,5 (observar que en este

caso el percentil no es un dato de la muestra).

Ejercicios 1.6, 1.7

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionales

4.) MEDIDAS DE COMPARACIÓN: UNIDADES TIPIFICADAS

Sirven para comparar datos de diferentes muestras.

Dada una variable estadística 𝑋 y 𝑥1, … , 𝑥𝑘 una muestra, se define la variable tipificada de 𝑋 como 𝑍 =𝑋− ҧ𝑥

𝑠, siendo ҧ𝑥 y 𝑠 la

media y la desviación típica de dicha muestra.

𝑍 toma valores 𝑧1 =𝑥1− ҧ𝑥

𝑠, … , 𝑧𝑘 =

𝑥𝑘− ҧ𝑥

𝑠.

A 𝑧1, … , 𝑧𝑘 se les llama valores tipificados de la muestra 𝑥1, … , 𝑥𝑘.

El valor tipificado 𝑧𝑖 indica cuántas desviaciones típicas se desvía (por encima o por debajo) el dato 𝑥𝑖 de la media ҧ𝑥.

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionales

Un alumno saca un 5,5 en el examen de Matemáticas I y un 7 en el de Matemáticas II. Sabiendo que en el examen de

Matemáticas I la media de la clase ha sido de 4,5 con una desviación típica de 0,5 y que en Matemáticas II la media

ha sido de 5 con una desviación típica de 2,25, ¿en que examen sacó mejor nota, en comparación con el resto de

alumnos de la clase?

Matemáticas I Matemáticas II

Nota alumno 5,5 7

Media examen 4,5 5

Desviación típica examen 0,5 2,25

Notas tipificadas 5,5 − 4,5

0,5= 2

7 − 5

2,25= 0,8

ҧ𝑥

1

2

𝑠

𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠 𝐼

𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠 𝐼𝐼

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionales

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas unidimensionales

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas bidimensionalesESTUDIO CONJUNTO DE DOS VARIABLES

𝑋 ≡ 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒s 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3…

𝑌 ≡ 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒s 𝑦1, 𝑦2, 𝑦3…

𝑋, 𝑌 ≡ 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑏𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒s (𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2), (𝑥3, 𝑦3)…

Peso (Kg)

Altura (cm)

𝑋 ≡ 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

𝑌 ≡ 𝑃𝑒𝑠𝑜

(𝑋, 𝑌) ≡ (𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎, 𝑃𝑒𝑠𝑜)

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN: representación gráfica de los pares de datos

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas bidimensionales

𝑠𝑥𝑦 =(𝑥1 − ҧ𝑥)(𝑦1 − ത𝑦)𝑛1+⋯+ (𝑥𝑘 − ҧ𝑥)(𝑦𝑘 − ത𝑦)𝑛𝑘

𝑛=σ𝑖=1𝑘 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)(𝑦𝑖 − ത𝑦)𝑛𝑖

𝑛= ⋯ =

σ𝑖=1𝑘 𝑥𝑖𝑦𝑖𝑛𝑖

𝑛− ҧ𝑥 ത𝑦

Covarianza: 𝑠𝑥𝑦

Muestra de tamaño 𝑛 de una variable bidimensional (𝑋, 𝑌) con 𝑘 valores distintos {(𝑥1, 𝑦1), … , (𝑥𝑘 , 𝑦𝑘)}

Frecuencias absolutas 𝑛1, … , 𝑛𝑘 siendo Σ𝑛𝑖 = 𝑛 (𝑛𝑖 es la frecuencia absoluta del dato (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖))

𝑠𝑥𝑦 =(𝑥1 − ҧ𝑥)(𝑦1 − ത𝑦)𝑛1+⋯+ (𝑥𝑘 − ҧ𝑥)(𝑦𝑘 − ത𝑦)𝑛𝑘

𝑛 − 1=σ𝑖=1𝑘 (𝑥𝑖 − ҧ𝑥)(𝑦𝑖 − ത𝑦)𝑛𝑖

𝑛 − 1

Cuasi Covarianza: Ƹ𝑠𝑥𝑦

Coeficiente de correlación lineal o de Pearson: 𝑟

𝑟 =𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥𝑠𝑦mide la posible relación lineal entre las variables 𝑋 e 𝑌

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas bidimensionalesPROPIEDADES DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN:

1) 𝑟 está comprendido entre −1 y 1.

2) Los valores −1 y 1 se dan cuando los puntos están alineados.

3) Si 𝑟 está cercano a −1 ó 1, existe una fuerte relación lineal entre las variables.

4) Si 𝑟 está cercano a 0, existe una débil relación lineal entre las variables.

5) 𝑟 y 𝑠𝑥𝑦 tienen el mismo signo.

• Si 𝑟 > 0 (equiv. 𝑠𝑥𝑦 > 0), 𝑋 e 𝑌 tienen una relación directa o creciente (en general, al aumentar los valores de 𝑋,

también aumentan los de 𝑌).

• Si 𝑟 < 0 (equiv. 𝑠𝑥𝑦 < 0), 𝑋 e 𝑌 tienen una relación indirecta o decreciente (en general, al aumentar los valores

de 𝑋, disminuyen los de 𝑌).

RECTAS DE REGRESIÓN:

De 𝑌 sobre 𝑋: se utiliza cuando conocemosun valor de 𝑋 y queremos predecir 𝑌.

De 𝑌 sobre 𝑋: se utiliza cuando conocemosun valor de 𝑌 y queremos predecir 𝑋.

𝑦 − ത𝑦 =𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥2 (𝑥 − ҧ𝑥) 𝑥 − ҧ𝑥 =

𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑦2 (𝑦 − ത𝑦)

PROPIEDADES:

1) El punto ( ҧ𝑥,ത𝑦) está en ambas rectas de regresión.

2)𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥2 es la pendiente de la recta de regresión de 𝑌 sobre 𝑋.

3)𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑦2 es la inversa de la pendiente de la recta de regresión de 𝑋 sobre Y.

4)𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥2 ∙

𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑦2 =

𝑠𝑥𝑦2

𝑠𝑥2𝑠𝑦

2 =𝑠𝑥𝑦

𝑠𝑥∙𝑠𝑦

2

= 𝑟2

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/disbidimension/ejercicios-de-correlacion-y-regresion.html

Carmen Cortés Parejo

Tema 1: Estadística Descriptiva

Variables estadísticas bidimensionales

https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/estadistica/disbidimension/ejercicios-de-regresion-y-correlacion.html

Ejercicios 1.30, 1.22, 1.21