Curso de

Procesamiento Digital de Imágenes

http://pcic.iimas.unam.mx/~elena/Teaching/PDI-Mast.html

Impartido por: Elena Martínez

Departamento de Ciencias de la Computación IIMAS, UNAM, cubículo 408

elena.martinez@iimas.unam.mx

Programa del Curso

1. Introducción.

2. Fundamentos de la imagen digital.

3. Realce de la imagen en el dominio espacial.

4. Realce de la imagen en el dominio de la

frecuencia.

5. Restauración de la imagen.

6. Representación del color.

7. Compresión de imágenes.

3. Relace de la imagen en el

dominio espacial

a) Antecedentes.

b) Algunas transformaciones básicas de niveles

de gris.

c) Procesamiento del histograma.

d) Realce de la imagen utilizando operaciones

artméticas/lógicas.

e) Filtros espaciales básicos.

f) Filtros espaciales de suavizamiento (smooth).

g) Filtros espaciales de realce (sharp).

Procesamiento del Histograma

El histograma de una imagen digital con valores de gris

dentro del rango [0, L-1] es una función discreta h(rk)=nk,

donde rk es el k-ésimo nivel de gris y nk es el número de

pixeles de la imagen que tienen el nivel de gris rk.

Es práctica común normalizar el histograma dividiendo

cada uno de sus valores por el número total de pixeles en la

imagen, denotado como n, como sigue: p(rk)=nk/n .

En términos generales, p(rk) es un estimado de la

probabilidad de ocurrencias del nivel de gris rk. La suma de

todos los componentes de un histograma normalizado es = 1

Procesamiento del Histograma

El histograma es la base de numerosas técnicas de

procesamiento de la imagen en el dominio espacial. La

manipulación del histograma puede utilizarse eficazmente

para el realce de la imagen, como se mostrará aquí.

Además, veremos más adelante que la información

inherente en el histograma también puede ser utilizada en

otras aplicaciones útiles como compresión de imágenes y

segmentación. Los histogramas son muy fáciles de calcular

por lo que es una herramienta candidata a ser calculada en

tiempo-real.

Procesamiento del Histograma

Imagen de granos de polen 700x

Al lado derecho de cada imagen

se muestra su histograma. El eje

horizontal corresponde a los

valores de niveles de gris rk. El

eje vertical corresponde a los

valores de h(rk)=nk o bien,

p(rk)=nk/n si los valores están

normalizados.

Procesamiento del Histograma

Las imágenes cuyos pixeles tienden a ocupar el rango

dinámico entero de posibles valores de niveles de gris, y

además, tienden a estar distribuídos de manera uniforme,

tendrán una apariencia de mejor contraste y exhibirán una

gran variedad de tonos de gris.

Es posible desarrollar una función de transformación que

pueda automáticamente realizar este efecto, basado sólo en

la información disponible en el histograma de la imagen de

entrada. Para lo anterior existen 3 tipos de procesos:

Ecualización, Especificación y Realce local.

Ecualización del Histograma

Supongamos una función continua, y sea la variable r la

que representa los niveles de gris en la imagen a ser

realzada. r está normalizada en el intervalo [0,1] , con r=0

representando el negro y r=1 representando el blanco. Más

tarde consideraremos el caso discreto donde los valores de

los pixeles toman valores en el intervalo de [0,L-1].

Para cualquier r que satisface lo anterior, definimos la

transformación: s=T(r) , 0 r 1, que produce un nivel s

para cada pixel de valor r de la imagen original.

Ecualización del Histograma

La transformación s=T(r) , cumple con las siguientes

condiciones:

(a) T(r) es de valor único y monotónicamente

creciente en el intrevalo 0 r 1; y

(b) 0 T(r) 1 para 0 r 1.

La condición de valor único garantiza que la

transformación inversa exista y el que sea monotónicamente

creciente preserva el orden de los valores de salida de negro

a blanco. La condición (b) garantiza que los niveles de gris

de la imagen de salida estarán en el mismo rango que los de

la imagen de entrada.

Ecualización del Histograma

La siguiente figura muestra un ejemplo de transformación

que cumple con las dos condiciones mencionadas

anteriormente:

Ecualización del Histograma

Los niveles de gris de una imagen pueden ser vistos como una

variable aleatoria en el intervalo de [0,1]. Uno de los

descriptores fundamentales de las variables aleatorias es la

función de densidad de probabilidades (PDF).

Una función de transformación de varibles aleatorias de

particular importancia en el procesamiento de imágenes es la

función de distribución acumulada (CDF). Como las PDF son

siempre positivas, y recordando que la integral de la función es el

area bajo la curva, esta función de transformación es de valor

único y monotónicamente creciente, además que mantienen el

rango de [0,1]. Satisface las condiciones (a) y (b).

Ecualización del Histograma

Para valores discretos trabajamos con probabilidades y

sumatorias en lugar de funciones de densidad de

probabilidad e integrales. La probabilidad de la ocurrencia

de un nivel de gris rk en una imagen se aproxima como:

1 ..., ,2 ,1 ,0 )( Lkn

nrp k

kr

donde n es el número total de pixeles de la imagen, nk es el

número de pixeles que tienen el nivel de gris rk, y L es el

número total de posibles niveles de gris en la imagen.

Ecualización del Histograma

)()(0

j

k

j

rkk rprTs

La versión discreta de la función de transformación (es

decir, de la función de distribución acumulada) es:

La imagen procesada (salida) se obtiene mapeando cada pixel

con valor rk de la imagen de entrada a su correspondiente nivel

sk en la imagen de salida. A esta transformación se le llama

ecualización del histograma o linearización del histograma.

La cual satisface las condicionas (a) y (b).

k

j

j

k Lkn

ns

0

1 ..., ,2 ,1 ,0

Ecualización del Histograma

El resultado de la ecualización del histograma es similar

a la expansión del contraste pero ofrece la ventaja de ser

totalmente automático sin necesidad de dar ningún

parámetro adicional, ya que la ecualización del histograma

automáticamente determina una función de transformación

para producir una nueva imagen con un histograma siempre

uniforme (en la práctica cercano a ser uniforme), ps(s)

(imagen de salida), independientemente de la forma de pr(r)

(imagen de entrada).

Ecualización

del Histograma

La mejora se ve claramente en

las 3 primeras imágenes. La

cuarta no sufre casi cambios

debido a que su histograma

original ya estaba extendido a lo

largo del rango dinámico. Estos

ejemplos muestran el poder de la

ecualización de histograma como

una herramienta de realce

adaptativa.

Especificación del Histograma

La ecualización del histograma determina

automáticamente la función de transformación y busca

producir una imagen de salida que tenga un histograma

uniforme. El método es simple de implementar.

Sin embargo, existen aplicaciones en las que intentar

producir histogramas uniformes no siempre es la mejor

opción. En particular, es útil algunas veces tratar de

especificar la forma del histograma de la imagen de salida, a

esta técnica se le conoce como especificación del

histograma (histogram matching).

Especificación del Histograma

Suponga los niveles de gris continuos r y z (variables

aleatorias continuas), y sea pr(r)y pz(z) sus correspondientes

funciones de densidad de probabilidad. r y z denotan los

niveles de gris de la imagen de entrada y de salida

respectivamente.

Se puede estimar pr(r) de la imagen de entrada, y pz(z) es

la función de densidad de probabilidad especificada que

deseamos que tenga la imagen de salida.

Especificación del Histograma

(1) Sea s una variable aleatoria discreta que define una

transformación:

)()(0

j

k

j

rkk rprTs

k

j

j

k Lkn

ns

0

1 ..., ,2 ,1 ,0

donde n es el número total de pixeles de la imagen, nj es el

número de pixeles que tienen el nivel de gris rj, y L es el

número total de posibles niveles de gris en la imagen.

Reconocemos esta ecuación como la ecualización del

histograma.

PROCEDIMIENTO:

Especificación del Histograma

(2) Del histograma especificado pz(zi), i=0, 1, 2, …, L-1 se

obtiene la función de transformación G(z):

1..., ,2 ,1 ,0 )()(0

LkszpzGv ki

k

i

zkk

Estamos buscando valores de z que satisfagan esta ecuación.

De las dos últimas expresiones sigue que G(z)=T(r). La

variable vk se añadió por claridad con la discusión que sigue.

PROCEDIMIENTO:

Especificación del Histograma

(3) Obtener la función de transformación inversa G-1:

1..., ,2 ,1 ,0 )][T(rG k

-1 Lkz k

Estas dos últimas ecuaciones son el fundamento de la

especificación del histograma.

PROCEDIMIENTO:

1..., ,2 ,1 ,0 )(sG k

-1 Lkz k

La ecuación del paso (1) es el mapeo de los niveles de gris

de la imagen original a los correspondientes niveles sk

basados en el histograma de la imagen original. La ecuación

del paso (2) calcula la función de transformación G del

histograma especificado pz(z) dado. Y finalmente, las

ecuaciones del paso (3) nos dan una aproximación de los

niveles deseados de la imagen con ese histograma.

Los dos primeros pasos pueden ser calculados fácilmente

debido a que son datos conocidos, el tercero requiere

explicación adicional.

Especificación del Histograma

Especificación del Histograma

(1)Cada conjunto de niveles de gris {rj}, {sj} y {zj}, j=1, 2,

…, L-1, es un arreglo unidimensional de L x 1.

(2) Todos los mapeos de r a s y de s a z son simples tablas

lookup entre un valor de pixel dado y estos arreglos.

(3) Para cada uno de los elementos del arreglo, por ejemplo

sk, el subíndice k denota la localización del elemento

dentro del arreglo, y s denota el valor en esa localidad.

(4) Trabajaremos sólo con valores enteros. Esto implica que

los valores de los niveles de gris están en el intervalo [0,

L-1] en lugar de los valores normalizados de [0,1].

NOTAS PARA IMPLEMENTACION:

Especificación del Histograma

A. s=T(r) de

una imagen.

B. Función de

transformación

hipotética G(z)

C. vk=sk, para

cada z:

G(zk)=sk, o

(G(zk)-sk)=0

Especificación del Histograma

Como no tenemos las z (encontrarlas es justamente el

objetivo de la especificación del histograma) , debemos

realizar un esquema iterativo para encontrar z de s.

Para encontrar un valor de zk correspondiente a sk,

debemos iterar para valores de z que cumplan con la

ecuación G(zk)-sk=0, para k=1, 2, …, L-1. No tenemos que

encontrar la inversa de G porque vamos a iterar en z. Como

estamos trabajando con enteros, empezamos con el valor más

pequeño del intervalo zk= para cada k de manera que:

1..., ,2 ,1 ,0 0)s- )ˆ(( k LkzG

z

Especificación del Histograma

(1) Obtener el histograma de la imagen dada.

(2) Ecualizar el histograma para encontrar el mapeo del

nivel rk al nivel sk.

(3) Obtener la función de transformación G del histograma

dado pz(z).

(4) Precalcular zk para cada valor de sk utilizando el

esquema iterativo descrito.

(5) Para cada pixel de la imagen original, si el valor de un

pixel es rk, mapear ese valor a su correspondiente nivel

sk; y luego mapear el nivel sk al nivel final zk. Utilizar los

pasos (2) y (4) para estos mapeos.

RESUMEN PARA IMPLEMENTACION:

Especificación del Histograma

Imagen de la luna de Marte: Fobos tomada por la NASA.

Especificación del Histograma

A. s=T(r) de la

imagen (EH).

B. Imagen

ecualizada

(deslavada).

C. Histograma

de la imagen en

B.

Especificación del Histograma

El problema de la función de transformación (EH) de la

imagen anterior es causado por la gran concentración de

pixeles en niveles de gris cercanos a 0.

Una manera de resolverlo sería modificando el histograma

de la imagen de manera que no tenga esta propiedad. Se

necesita una función especificada manualmente que preserve

la forma general del histograma pero que tenga una

transición más suave de niveles en regiones oscuras de

niveles de gris.

Especificación

del

Histograma

Curva 1: función

G(z) obtenida del

histograma

especificado.

Curva 2: función

inversa G-1(s)

obtenida por el

método iterativo.

Especificación del Histograma

La especificación del histograma es una tarea que se realiza a

ensayo y error. Se pueden utilizar guías aprendidas del problema

en cuestión como el que se presentó anteriormente.

Podrían haber casos en que sea posible formular un especie de

histograma “promedio” de cómo debería ser el histograma de

una imagen, y utilizar éste como la especificación. En ese caso la

especificación del histograma resulta en un proceso sencillo.

Sin embargo, en general no existen reglas para especificar

histogramas y uno debe basarse en el análisis de caso por caso.

Realce Local

Los métodos de procesamiento del histograma discutidos

anteriormente son globales, en el sentido de que los pixeles

se modifican por funciones de transformación basadas en el

contenido de niveles de gris de la imagen entera. Aunque el

realce global es adecuado para una mejora general, existen

casos en los que es necesario realzar detalles sobre areas

pequeñas de una imagen.

Las técnicas vistas anteriormente son fácilmente adaptables

para hacer realce local.

Realce Local

El procedimiento consiste en definir una vecindad

cuadrada o rectangular y mover el centro de esta área pixel

por pixel. En cada posición, se calcula el histograma del área

en cuestión y se realiza la ecualización o la especificación

del histograma del vecindario. Esta función de mapeo

finalmente se aplica sólo al pixel central del vecindario. El

pixel central se mueve a la siguiente posición y el esquema

se repite.

Realce Local

(a) Imagen original que ha sido ligeramente suavizada para

reducir el ruido (veremos el suavizamiento después).

(b) Ecualización global del histograma.

(c) Ecualización local de vecindarios de tamaño 7 x 7.

Instituto de Investigaciones en

Matemáticas Aplicadas y en Sistemas

(IIMAS)

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