Algunas distribuciones discretas empíricas y

teóricas. Herramientas de control de

Calidad: Gráficos de control np y p

Clases Nº 6 Mg. Stella Figueroa

1er C.2019

Variable estadística y su relación con su

Variable Aleatoria asociada

Resultados de una

muestra de tamaño 153

(Variable

estadística )

xi P(Xi)

1 1/6= 0,1667

2 1/6= 0,1667

3 1/6= 0,1667

4 1/6= 0,1667

5 1/6= 0,1667

6 1/6= 0,1667

Resultados de todas las muestras posibles

del mismo tamaño extraídas de la población

(Variable aleatoria)

Variable aleatoria

Es toda función X que asigna a c/u de los elementos del espacio

muestral, un número Real.

SRx

s X(s)Si el recorrido o

Imagen de la variable

es discreto, la variable

es discreta.

Si la Imagen de la

variable es un

continuo, la variable

es continua

Rx es el recorrido o Imagen

de la variable. Son los

posibles valores de X

Definición de Variable Aleatoria Discreta

i

1

a) p (x ) 0 i

b) p(x ) 1

i

i

Una variable aleatoria X es discreta, si a cada valor posible xi

que toma la variable se le puede asociar un número real p(xi )=

P (X=xi) llamado probabilidad de xi, que satisface las siguientes

condiciones:

La función p definida se llama función de probabilidad de X

El conjunto de pares (xi , p(xi)) es la distribución de

probabilidades de X.

Función de distribución acumulativa

FDA

Dada una variable aleatoria discreta X se llama

función de distribución a la función F definida como:

]1,0[: F

x a

F(a) ( ) j

jP x a p x

Representación gráfica de F(x)

• Si X está definida como: “Puntos obtenidos en la cara de un dado”

x F(x)

0

[1;2) 1/6

[2;3) 2/6

[3;4) 3/6

[4;5) 4/6

[5;6) 5/6

1

Ejemplo de la ingeniería

En el contexto de las telecomunicaciones, cualquier señal debe

considerarse aleatoria, ya que por muchas razones, no existen

garantías de que la señal enviada sea exactamente igual a la señal

recibida.

1. De acuerdo a esta información. ¿Cuál/es podría/n ser el/los

experimento/s aleatorio/s ?

2. Considerar un solo experimento aleatorio y determinar sus

resultados posibles.

Variable de Bernoulli

Xi P(xi)

1 0.4

0 0.6

• Toma dos valores posibles :

• X1 = 1 Es el éxito (resultado esperado del experimento)

X2 = 0 Fracaso (resultado no esperado)

Se transmite una señal y se observa si se recibe erróneamente.

La probabilidad de que se reciba errónea es p = 0.4.

Escriba la distribución de probabilidades de la variable aleatoria

asociada a este experimento.

Experimentos aleatorios independientes o pruebas repetidas independientes

Se transmiten 3 señales y se observa el estado de su llegada.

¿Cuál es el espacio muestral asociado?

Se define la variable aleatoria X: “ número de señales

erróneas recibidas en las tres transmisiones”

1. Determine Rx (conjunto de valores que toma la variable)

2. Analice si las pruebas repetidas son independientes.

3. ¿Son mutuamente excluyentes los sucesos (c, e, e) y

(e,e,c)?

Actividades

a) Calcule la probabilidad de que se reciban exactamente 2

señales erróneas recibidas en tres transmisiones.

b) Encuentre la distribución de probabilidades de la

variable X: “ nº de señales erróneas recibidas en tres

transmisiones”.

c) Represente gráficamente.

El modelo Binomial

• Una variable binomial puede considerarse como la suma de n variables

independientes de Bernoulli.

• El resultado de cada prueba es una variable de Bernoulli; es decir, puede

resultar un éxito o un fracaso, con probabilidades p y 1-p respectivamente.

Definición : X es una variable

aleatoria binomial con parámetros n

y p si su distribución de

probabilidades está dada por:

X b(n,p)

P(x=k)= . 1n kk

np p

k

Demostrar que la variable aleatoria binomial es una legítima distribución de probabilidad

0 0

P(x=k) . . 1n n

n kk

k k

np p

k

Para identificar el modelo binomial:

• Se efectúan n pruebas repetidas independientes y se

cuenta el número de éxitos obtenidos.

• El resultado de cada prueba es dicotómico: un suceso

éxito o su contrario.

•La probabilidad de éxito es p, constante en cada prueba.

Características numéricas

En Estadística En Probabilidad

𝒙= 𝑖=1𝑛 𝑥𝑖.𝑓𝑖

𝑛

Si x toma un nº finito de valores

𝑬 𝒙 = 𝒊=𝟏𝒏 𝑥𝑖 p(𝑥𝑖)

Si las p(𝑥𝑖) son iguales,

𝜎 2 = 𝑖=1𝑛 𝑥𝑖 − 𝑥 2. 𝑓𝑖

1

𝑛V(x) = 𝑖=1

𝑛 (𝑥𝑖−𝐸(𝑥))2 . 𝑝 𝑥𝑖

i

1

1E(X) = x

n

in

Para

casos

infinitos

i i

1

E(X) = xp xi

Momento k-ésimo para variables

aleatorias discretas

𝑬 𝒙𝒌 = 𝒊=𝟏𝒏 𝑥𝑖

𝒌 p(𝑥𝑖)

También se definen momentos alrededor de cualquier punto fijo, en

particular, alrededor de E(X)

Expresar el momento de :

a) 1er orden centrado en el origen.

b) 2do orden centrado en la esperanza.

¿Cómo se llaman

cada una de estas

medidas?

E x−E(x) 𝟐V(x) = 𝝈𝟐(x) =

Propiedades de la Esperanza Matemática

1. Si X = C entonces E(X) = C

2. E(C.X)= C.E(X)

3. E (X+Y) = E (X) + E(Y)

4. E (X-Y) = E (X) - E(Y)

5. E (X.Y) = E (X) . E(Y) si X e Y son

Variables aleatorias independientes

Propiedades de la varianza

1. Si x = C entonces V(x) = 0

2. V (x+c) = V (x)

3. V(cx) = 𝒄𝟐V(x)

4. V (x+y) =V(x) + V(y) si x e y son variables independientes

5. V (x-y) = V (x) + V (y) si x e y son variables independientes

6. V(x) = E (𝒙𝟐) – 𝑬𝟐(x)

Esperanza y varianza de una

variable de Bernoulli y binomial

a) Calcular la Esperanza y la Varianza de la variable

de Bernoulli

b) Demostrar que si x es binomial entonces

E(x)= np y V(x) = n.p.(1-p)

c) ¿Cuál es el número esperado de transmisiones

erróneas de las 3 enviadas?

El supervisor de un centro de comunicaciones desea evaluar

el proceso de envío de señales a sus clientes.

Para eso registra el número total de transmisiones y el número

de señales erróneas transmitidas durante 25 días.

Evaluar si el proceso cumple con los requerimientos. Es decir,

si el proceso está bajo control.

Aplicación en control de calidad:

Gráficos de control por atributos

Problema

La resolución del problema requiere de Gráficos de control np ó p

• Un gráfico np ( np es una variable x) que permite

monitorear, en este caso, el número de señales

erróneas transmitidas. ¿Qué distribución de

probabilidades corresponde a esta variable ?

• Un gráfico P permite monitorear, en este caso, la

proporción de señales erróneas transmitidas. ¿Cómo se

expresa esta proporción p en términos de la variable x ?

Dia n np1 100 4

2 100 2

3 100 0

4 100 5

5 100 3

6 100 2

7 100 4

8 100 3

9 100 2

10 100 6

11 100 1

12 100 4

Se registran el número de señales erróneas en 100 transmisiones diarias durante 25 días

13 100 1

14 100 0

15 100 2

16 100 3

17 100 1

18 100 6

19 100 1

20 100 3

21 100 3

22 100 2

23 100 0

24 100 7

25 100 3

𝑛𝑝 = 2,72 → 𝑝 = 0,0272 y

1- p = 0,9728

V(x) = 100.0,0272.0,9728 =2,64601

𝑉(𝑥) ≅ 1,62665

3 1 7,59LSC np np p

E(X) = np V(X) = np(1-p)

3 1LIC np np p <0

Gráfico

npn

constante

Con los límites de control, construimos el Gráfico np

para muestras del mismo tamaño

LIC = 0

porque LIC< 0

LSC= 7,59

LC= 2,72

¿El

proceso

está

bajo

control?

Gráficop

Día ni ei Pi LIC LC LSC17 575 20 0,035 0,0106 0,033 0,055318 610 16 0,026 0,0113 0,033 0,054619 596 15 0,025 0,0110 0,033 0,054920 630 24 0,038 0,0116 0,033 0,054321 625 25 0,04 0,0115 0,033 0,054422 615 21 0,034 0,0113 0,033 0,054623 575 23 0,04 0,0106 0,033 0,0553

24 572 20 0,035 0,0105 0,033 0,055425 645 24 0,037 0,0118 0,033 0,054126 651 25 0,038 0,0119 0,033 0,054027 660 21 0,032 0,0121 0,033 0,053828 685 19 0,028 0,0125 0,033 0,053429 671 17 0,025 0,0123 0,033 0,053630 660 22 0,033 0,0121 0,033 0,053831 595 24 0,04 0,0110 0,033 0,054932 600 16 0,027 0,0111 0,033 0,0548

Día ni ei Pi LIC LC LSC1 690 21 0,03 0,0125 0,033 0,05342 580 22 0,038 0,0107 0,033 0,05523 685 20 0,029 0,01252 0,033 0,05344 595 21 0,035 0,0110 0,033 0,05495 665 23 0,035 0,0122 0,033 0,05376 596 19 0,032 0,0110 0,033 0,05497 600 18 0,03 0,0111 0,033 0,05488 620 24 0,039 0,0114 0,033 0,05459 610 20 0,033 0,0113 0,033 0,0546

10 595 22 0,037 0,0110 0,033 0,054911 645 19 0,029 0,0118 0,033 0,054112 675 23 0,034 0,0123 0,033 0,053613 670 22 0,033 0,0122 0,033 0,053714 590 26 0,044 0,0109 0,033 0,055015 585 17 0,029 0,0108 0,033 0,055116 560 16 0,029 0,01035 0,033 0,0556

Si se registra distinta cantidad de señales durante 32 días. Analizar la calidad

del proceso para la proporción de señales erróneas:

Explicar

las

fórmulas

GRÁFICO P(Muestras

de

distintos

tamaños)

Si los tamaños

ni son

parecidos, los

ni de LSC Y LIC

se pueden

aproximar con

¿El proceso

está bajo

control?

Cuestionario

1. Encuentra la relación entre una variable estadística y su variable

aleatoria asociada.

2. ¿Cuáles son las propiedades de la Esperanza y de la Varianza de una

variable aleatoria?

3. ¿Cuál es el momento de orden uno centrado en el origen? ¿ Y el de orden

2 centrado en la esperanza?

4. Enuncia las características que permiten reconocer a la variables de

Bernoulli y Binomial.

5. Deduce la esperanza y la varianza de cada una.

6. Identifica los gráficos de control np y p con su variable asociada.

7. ¿Cómo se construyen los gráficos np y p? ¿Cómo determinar si el

proceso está bajo control?