Llamamos solución de una Llamamos solución de una ecuación con dos incógnitas ecuación con dos incógnitas

a todo par de valores que a todo par de valores que hacen cierta la igualdad. hacen cierta la igualdad.

Las ecuaciones lineales se Las ecuaciones lineales se representan mediante rectas.representan mediante rectas.

Para obtener las soluciones Para obtener las soluciones de dos incógnitas se despeja de dos incógnitas se despeja

una de ellas y se le dan una de ellas y se le dan valores a la otra. valores a la otra.

Pueden escribirse en la Pueden escribirse en la forma canónica o normal. El forma canónica o normal. El

conjunto de todas las conjunto de todas las soluciones particulares se soluciones particulares se llama llama conjunto soluciónconjunto solución..

El punto donde se cortan dichas rectas es la solución al sistema.

bxaxaxa nn

2211

ai b

0b

Ejemplo:

La ecuación es lineal porque puede escribirse en la forma canónica o normal:

2164214321 xxxxxx

364243210 xxxx

xxx a 241, xx 31

, x4

C

on esto se llega a un elemento genérico del conjunto solución, al cual se le llama

solución general.

3923 zyx

2632

3432

zyx

zyx

Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales, por ejemplo:

xx n,,

1

bxaxaxa nn 11212111

bxaxaxa nn 22222121

bxaxaxa mnmnnm

2211

Un sistema lineal de m ecuaciones con n variables (o incógnita)

es un conjunto de m ecuaciones lineales de la forma:

Los números son los coeficientes del sistema, y de son dos términos constantes. Si todos los términos contantes son 0, el

sistema se llama homogéneo. Cuando esto último tiene los mismos coeficientes que el sistema anterior se dice que esta asociado con:

aaaaaaa mnmnn,,,,,,,,,

122111211

bnbb ,,,21

Considérese el sistema:

bxaxaxa nn 11212111

bxaxaxa nn 22222121

bxaxaxa mnmnnm

2211

9

10

3

6232

2

31

321

21

xxxxx

xx

Sus coeficientes son en orden, 1, 2, 0, 2, 3,-2,-1, 0,6. Los términos constantes son -3,-10,9. El sistema

asociado homogéneo es:

0

0

0

6232

2

31

321

21

xxxxx

xx

Se puede abreviar la escritura de un sistema lineal Se puede abreviar la escritura de un sistema lineal anotando solo sus coeficientes y términos constantes, anotando solo sus coeficientes y términos constantes,

siempre que estén especificando sus nombres y el orden siempre que estén especificando sus nombres y el orden de las variables. El arreglo rectangular de los de las variables. El arreglo rectangular de los

coeficientes y términos constantes de un sistema es su coeficientes y términos constantes de un sistema es su matriz aumentada. Por ejemplo, la matriz aumentada de matriz aumentada. Por ejemplo, la matriz aumentada de

las ecuaciones anteriores es:las ecuaciones anteriores es:

La segunda forma implica el uso de un separador para indicar La segunda forma implica el uso de un separador para indicar donde está, la columna de los términos constantes. En general donde está, la columna de los términos constantes. En general una matriz es un arreglo rectangular de números. La matriz una matriz es un arreglo rectangular de números. La matriz

de coeficientes esta formado por los coeficientes de un de coeficientes esta formado por los coeficientes de un sistema. La matriz de una columna que muestra los términos sistema. La matriz de una columna que muestra los términos

constantes es el vector constante la matriz de coeficientes y el constantes es el vector constante la matriz de coeficientes y el vector de constantes del sistema anterior son vector de constantes del sistema anterior son

respectivamente:respectivamente:

Como la matriz aumentada tiene 4 columnas, el sistema Como la matriz aumentada tiene 4 columnas, el sistema tiene tres variables . Si asignamos a tiene tres variables . Si asignamos a

las variables las variables xxx 321,,

entonces se forman 2 ecuaciones lineales que conforman el entonces se forman 2 ecuaciones lineales que conforman el sistema:sistema:

4221

xx123

32 xx

Los sistemas de ecuaciones se clasifican en 3

tipos:

Tienen soluciones infinitas cuando las rectas del

sistema de ecuaciones son paralelas.

Tienen una solución cuando las rectas del

sistema de ecuaciones se intersectan.

No tienen solución cuando están una sobre otra

en las rectas del sistema de ecuaciones.

bxaxaxa nn 11212111

bxaxaxa nn 22222121

bxaxaxa mnmnnm

2211

rxrx nn ,,

11

Una sucesión de escalares es una solución Una sucesión de escalares es una solución (particular) del sistema:(particular) del sistema:

Si todas las ecuaciones se satisfacen al sustituir Si todas las ecuaciones se satisfacen al sustituir . El conjunto de todas las soluciones posibles es el . El conjunto de todas las soluciones posibles es el conjunto solución. Cualquier elemento genérico del conjunto conjunto solución. Cualquier elemento genérico del conjunto solución se llama solución general.solución se llama solución general.

rrr n,,,

21

En términos geométricos es el estudio de las En términos geométricos es el estudio de las

posiciones relativas de dos planos, casos que posiciones relativas de dos planos, casos que

se presentan:se presentan:

Planos paralelos. Sin puntos comunes, cuando el

sistema sea incompatible.

Planos que se cortan en una recta. Si el sistema

es compatible pero indeterminado, con un grado de libertad.

Planos coincidentes. Ocurre este caso cuando las dos

ecuaciones son equivalentes y el sistema es compatible

indeterminado con dos grados de libertad.

cbyax

000 yx 000 cyx

• MÉTODO GAUSS-JORDAN

Cuando se elimina una incógnita, se elimina de todas las

ecuaciones restantes.

• MÉTODO DE INVERSIÓN DE MATRICES

Es muy útil cuando se desea resolver 20 conjuntos de 10

ecuaciones simultáneas que difieren únicamente en sus

términos independientes.

ELIMINACIÓN DE GAUSS

Para convertir cualquier matriz a la forma de escalón reducida, proceda con

los pasos siguientes:

Paso 1: Vaya a la columna no cero extrema izquierda.

Paso 2. Si el primer renglón tiene un cero en la columna del paso 1,

intercámbielo con uno que tenga un elemento no cero en la misma

columna.

Paso 3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero, sumando múltiplos

adecuados del renglón superior a los renglones debajo de él.

Paso 4. Cubra el renglón superior y repita el mismo proceso comenzando

con el paso 1, aplicando a la submatriz restante. Repita este proceso con el

resto de los renglones. (En este punto la matriz ya está en forma de

escalón.)

Paso 5. Comenzando con el último renglón no cero avance hacia arriba:

para cada renglón obtenga un 1 delantero e introduzca ceros arriba de él,

sumando múltiplos adecuados a los renglones correspondientes.RESOLUCIÓN DE EJEMPLOS EN LA PIZARRA

UNIDAD DE LA FORMA DE ESCALÓN REDUCIDA: PIVOTES

RESOLUCIÓN DE EJEMPLOS EN LA PIZARRA

S

OLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES:

E

l proceso se aplica a la matriz aumentada del sistema. Produce una

matriz en forma de escalón reducida, cuyo sistema correspondiente es

equivalente al sistema dado y además fácil de resolver: Primero se

separan las variables en delanteras y libres. Las variables delanteras

son las que corresponden a las posiciones pivote. Las variables restantes,

si las hay, son libres. A continuación se escriben las variables delanteras

en función de las variables libres, de las constantes o de ambas. Se

acostumbra a asignar nuevos nombres a las variables libres y llamarlas

parámetros. Los parámetros pueden asumir cualquier valor escalar.

ALGORITMO 2

(Solución de un sistema lineal)

PARA RESOLVER CUALQUIER SISTEMA LINEAL

Paso 1. Aplica la eliminación de Gauss a la matriz aumentada del

sistema 8 paso directo). Si durante cualquier etapa de este proceso

nota que la ultima columna es de pivote, deténgase. En este caso, el

sistema es inconsistente. En caso contrario, continúe con el caso 2.

Paso 2. Termine la eliminación de Gauss. Escriba el sistema que

corresponde a la forma de escalón reducida de la matriz aumentada,

sin tener en cuenta las ecuaciones con ceros.

Paso 3. Separe las variables del sistema reducido en delanteras y

libres (si las hay). Escriba las delanteras en función de las variables

libres o de constantes.

Ahora sacaremos algunas conclusiones importantes del estudio del

algoritmo 2.

Teorema 3

Un sistema lineal consistente tiene solamente una

solución siempre y cuando cada columna de la

matriz aumentada, excepto la ultima, sea de pivote, y

la ultima no sea columna pivote.

TEOREMA 4

T

EOREMA 4

P

ara cualquier sistema lineal, solo es valida una de las propiedades siguientes:

1

.- El sistema tiene solamente.

2

.- El sistema posee soluciones infinitas.

3

.- El sistema no tiene soluciones.

E

JEMPLO

D

emuestre que el sistema tiene soluciones no triviales

S

OLUCIÓN. Como es un sistema homogéneo con más

incógnitas que ecuaciones, entonces muestra soluciones

infinitas: por consiguiente, el sistema tiene un número

infinito de soluciones no triviales.

TEOREMA 5

U

n sistema lineal homogéneo tiene solo la solución

trivial, o bien un numero infinito de soluciones.

U

n sistema lineal homogéneo tiene una gran cantidad

de soluciones, siempre y cuando posea variables

libres.

2.5 Aplicaciones

E

n este tema se describen algunas aplicaciones de

sistemas lineales a problemas antiguos y modernos

E

jemplo: (Manufactura) R.S.C.L.S y asociados fabrica tres tipos de

computadora personal: ciclón, ciclope y cicloide. Para armar un ciclón se

necesita 10 horas, otras 2 para probar sus componentes y 2 horas más para

instalar sus programas. El tiempo requerido para la cíclope es de 12 horas

en su ensamble, 2.5 para probarla y 2 horas para instalarla.

L

a cicloide, la más sencilla de la línea, necesita 6 horas de armado, 1.5 horas

de prueba u 1.5 horas de instalación. Si la fábrica de esta empresa dispone

de 1560 horas de trabajo por mes para armar, 340 horas para probar y 320

horas para instalar ¿Cuántas PC de cada tipo puede producir en un mes?

S

olución: Sea las cantidades de ciclones,

cíclopes y cicloides producidas cada mes.

Entonces se necesitan horas para armar

las computadoras. Por consiguiente . En

esta misma forma se obtienen

ecuaciones para la prueba y la

instalación. El sistema que resulta es:

.

S

olución: Sea las cantidades de ciclones, cíclopes y

cicloides producidas cada mes. Entonces se necesitan

horas para armar las computadoras. Por

consiguiente En esta misma forma

se obtienen ecuaciones para la prueba y la instalación. El

sistema que resulta es:

Cuya solución es por lo consiguiente cada mes puede fabricar 60 ciclones, 40 ciclopes y 80 cicloides.

TEOREMA 6

L

ey de corriente de Kirchhoff

L

a suma algebraica de todas las corrientes en

cualquier nodo es cero.

TEOREMA 7

L

ey de voltaje de Kirchhoff

L

a suma algebraica de todos los cambios de voltaje en cualquier bucle

(ciclo cerrado) es cero.

U

na aplicación frecuente de esas leyes es cuando es especifica el

voltaje de la fuerza electromotriz (por lo general es una batería o un

generador) y las resistencias de los resistores, y se pide calcular las

corrientes.

E

jemplo (Circuitos eléctricos) Calcule las corrientes

en el circuito eléctrico de la figura 1.6 (a), si el voltaje de la

batería es y las resistencias son .

Circuito Eléctrico Transmisión de calor

S

olución: de acuerdo con la primera ley, para el

nodo A. aplicando la segunda ley al bucle se obtiene

por lo tanto, . Del mismo modo, el

bucle da como resultado = 0, es decir .

Así,

Y mediante la eliminación de Gauss puede obtenerse con facilidad

TEOREMA 8

P

ropiedad promedio para la conducción de calor

L

a temperatura en cualquier punto del interior es el

promedio de las temperaturas de sus puntos

adyacentes.

P

ara simplificar supongamos que solo se tienen cuatro puntos en el

interior, cuyas temperaturas se desconocen y

que en la frontera están 12 puntos (sin designación).

E

jemplo (Conducción de calor) Calcular

S

olución: Según el teorema de la propiedad promedio

ESTÁTICA Y EQUILIBRIO DE PESO

A

hora estudiaremos un problema característico de

palancas en estática. El balanceo de pesos para ello

emplearemos el siguiente teorema.

TEOREMA 9

L

ey de la palanca de Arquímedes.

D

os masas en una palanca se equilibran cuando sus

pesos son inversamente proporcionales a sus

distancias al punto de apoyo.

E

jemplo; calcula los pesos para balancear las placas de la figura

) Equilibrio de pesos b) La ley de los cosenos

S

olución: Para balancear las dos palancas pequeñas, apegándose a la

ley de Arquímedes. Tenemos que para la palanca que

la izquierda. Y para la derecha. Para

___________________________

A

unque esta ley también se encuentra con anterioridad en los trabajos

de Aristóteles parece que Arquímedes fue el primero en basarla en la

estática y no en la cinética. Es un caso especial del axioma de la

simetría en un sistema en equilibrio debido a Arquímedes.

E

quilibrar la placa principal se necesita que .

De este modo llegamos al siguiente sistema homogéneo de tres

ecuaciones con cuatro incógnitas:

E

n el conjunto soluciones es monoparamétrico infinito, descrito por .

Y así hay una cantidad

infinita de pesos que pueden equilibrarse este sistema, cosa que

confirma neutras experiencias, siempre y cuando los pesos, en el

orden acostumbrado sean múltiplos de los números .