Presentacion CFD 2.pdf

UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIADEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICA

Prueba N°3

Estudio del transporte de un escalar pasivoResultados numéricos

Expone: Miguel Martínez D.Profesor: Romain Gers

7 de Enero del 2014

Contenido

● Objetivos● I - Teoría

– Presentación de tarea

– Presentación del dominio

– Estabilidad

– Discretización– Condiciones iniciales y de contorno

● II - Programa– Estructura

– Estabilidad

● III - Resultados– Resultados 1D

– Resultados 2D

● Conclusiones

Objetivos

● Resolver numéricamente la ecuación de transporte de un escalar pasivo utilizando el método de volúmenes finitos.

● Verificar la convergencia de los resultados unidimensionales a la solución analítica correspondiente.

● Extender el estudio a un caso bidimensional de convección-difusion en una interaccion de flujos que generan una capa de mezcla.

● Analizar los resultados y justificarlos con las condiciones de mallado, números adimensionales y condiciones de estabilidad.

I - Teoría

I - TeoríaPresentación de Tarea

● Análisis de la dispersión de un escalar pasivo en un dominio bajo una capa de mezcla.

u=u2+u1

2 [1+u2−u1

u2+u1

erf (13.5 ( y− y0

x ))] v=−u2−u1

27√ πexp [−(13.5 ( y− y0

x ))2

]

● Campo de velocidades de Görtler*:

*Posición modificada para desplazar origen de capa de mezcla

∂C∂ t

+∂ (u⃗iC )∂x i

−D∂2C∂ x i

2 =0

I - TeoríaPresentación de dominio

● Caso unidimensional

- 160 Nodos (0.01 x 0.01 [m])

● Caso bidimensional

– 5000 nodos (0.02 x 0.02 [m])

– 100 horizontales y 50 verticales

I - TeoríaPresentación de estabilidad

Condiciones de estabilidad● 1D

– Convección:

– Difusión:

– Convección – difusión:

● 2D– Convección – difusión:

∆ t ≤Cu∆ x

u

∆ t ≤r ∆ x2

D

∆ t ≤( uCu∆ x

+D

r ∆ x2 )−1

∆ t ≤( ∣u∣Cu∆ x

+∣v∣

Cu∆ y+

Dr∆ x2 +

Dr ∆ y2 )

−1

I - TeoríaDiscretización

● Esquema descentrado (UDS) para término convectivo:

– 1er Orden.

– Asigna valores aguas arriba a nodos de superficies del volumen de control.

● Esquema centrado (CDS) para término difusivo:

– 2do Orden.

– Pondera el valor de la variable en la superficie del nodo entre el valor central de este y el del nodo adyacente.

C e=λeC E+(1−λe)CP ;

C e={C P , si u>0CE , si u≤0

∂C e

∂x≅C E−C P

x E− xP

λe=xe−x P

xE−x P

;


● Esquema de Euler explícito:

– 1er Orden.

– Aproxima el valor de la variable en un instante posterior a partir de los valores cercanos en el instante actual.

– Fácil de implementar.

– Requiere cumplir con criterios de convergencia.

∂C e

∂ t=C e

n+1−C e

n

∆ t


Ecuación de transporte discretizada ( )

Donde:

CPn+1

=CPn+∆ t ∆ xV

(−Fw+Fe−F s+Fn )

∆ x=∆ y=cte

Fw=[ (Cu )w−D (C P−CW

x P− xW)w ]∆ y Fe=[ (C u ) e−D(CE−CP

xE−x P)e ]∆ y

F s=[ (C v )s−D(C P−C S

x P−x S)s]∆ x Fn=[ (C v )n−D (CN−CP

x N−xP)n]∆ x

Fi=[Sconv+Sdif ]∆x j∆ xk=S i A i ;V=∆ x i∆ x j

I - TeoríaCondiciones iniciales y de contorno

● Caso unidimensional– Contorno:

– Adicional al caso de difusión:

– Inicial:

● Caso bidimensional– Contorno:

– Adicional al caso de difusión:

– Simetría:– Inicial:

C (−∆ x /2 , t )=1

C ( x , t )

C (M+1, t)=c (M ,t )

C ( x ,0 )=0

C (−∆ x /2 , y , t )=1 para y> y0

C (−∆ x /2 , y , t )=0 para y ≤ y0

C (M+1, y ,t )=C (M , y , t)

C ( x , y ,t )

Fn(x ,1 ,t )=F s( x , N , t)=0

C ( x , y ,0 )=0

II - PROGRAMA

II - ProgramaEstructura del programa

Código de programación: FORTRAN 90 (GFORTRAN)

1) Declaración de variables

2) Asignación de parámetros a variables

3) Ingreso por pantalla de la velocidad constante tanto en el caso 1D como en el de 2D. (Este paso se omite en el caso de difusión pura).

4) Ingreso por pantalla del tiempo de iteración en milisegundos.

5) Revisión y muestra por pantalla de la estabilidad del método dados los parámetros ingresados.

6) Asignación de condiciones iniciales.

7) Asignación de condiciones de contorno.

8) Puesta en marcha del algoritmo del Método de Volúmenes Finitos.

9) Presentación por pantalla de resultados (Solo en 1D)

10) Almacenamiento de resultados en un archivo de texto con la siguiente nomenclatura:

XYZ.txt

Dónde:

X: Número de la tarea (2 en todos los archivos).Y: Caso dimensional (1: 1D, 2: 2D).Z: Fenómeno a estudiar (1: convección pura; 2: difusión pura; 3: convección y difusión).

II - ProgramaEstabilidad

If (cond<=param) then

write(*,*)'El problema convergera'

…

…

else

write(*,*)'El problema no convergera'

end

III - RESULTADOS

III - ResultadosValidación del código

Comparación con solución analítica● Convección 1D:● Difusión 1D:

Análisis en cuanto a condiciones de estabilidad● Convección – difusión 1D● Convección – difusión 2D

C ( x , t )=−∅( x−vt); ∅ ( x )={0, si x<01, si x ≥0

C ( x , t )=C0

2 (1−Erf ( x√ 4πD ))=C0

2 (Erfc( x√ 4πD ))

III - ResultadosResultados 1D: Convección

dt [s] Cu

0.001 0.1

0.005 0.5

0.01 1

u = 1 [m/s]t = 1 [s]


1 6131 917 13 19 25 37 43 49 55 67 73 79 85 97 103 109 115 121 127 133 139 145 151 157-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

dt = 0.001 sdt = 0.005 sdt = 0.01 s


dx [m] Cu

0.01 0.1

0.005 0.2

u = 1 [m/s]t = 1 [s]

III - ResultadosResultados 1D: Difusión

dt [s] r

0.001 0.01

0.005 0.1

0.01 0.5

D = 10-3 [m2/s]t = 1 [s]

III - ResultadosResultados 1D: Difusión

dx [s] r

0.01 0.01

0.005 0.04

D = 10-3 [m2/s]t = 1 [s]

dt [s] Cu r

0.001 0.1 0.01

0.005 0.5 0.05

0.01 1 0.1

III - ResultadosResultados 1D: Convección - difusion

u = 1 [m/s]D = 10-3 [m2/s]

t = 1 [s]

III - ResultadosResultados 1D: Convección - difusión

dx [m] Cu r

0.01 0.1 0.01

0.005 0.2 0.04

u = 1 [m/s]D = 10-3 [m2/s]

t = 1 [s]

III - ResultadosResultados 2D

U1 = 1 [m/s]; U

2 = 2 [m/s]


Cux,max

=1.02x10-1; Cuy,max

=1.02x10-1; r=2.5x10-3; ∆t = 0.001 [s]; ∆x = 0.02 [m];

t=0.5 [s]


Cux,max

=1.02x10-1; Cuy,max

=1.02x10-1; r=2.5x10-3; ∆t = 0.001 [s]; ∆x = 0.02 [m];

t=1 [s]

Conclusiones

● Método de Volúmenes Finitos.● Orden de los esquemas utilizados.● Incorporación de otros fenómenos presentes

en problemas de mecánica de fluidos.● Mallado óptimo● Extensión a una malla variable● Condiciones de contorno

Referencias

[1] Socolofsky, S, Jirka, G. Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment. Ch 2. 5Th Ed. 2005.

[2] Rosales, C. Algunos fundamentos del método de volúmenes finitos. Vol 1. 2012.

[3] Ferziger, Joel H., and Milovan Perić. Computational methods for fluid dynamics. Vol. 3. Berlin: Springer, 1996.

[4] Apuntes de Clases.

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