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Algebra de BooleAlgebra de Boole

El matemático inglés George Boole nació el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln y falleció el 8 de diciembre de 1864 en Ballintemple, Irlanda.

Boole recluyó la lógica a una álgebra simple. También trabajó en ecuaciones diferenciales, el cálculo de diferencias finitas y métodos generales en probabilidad.

IntroducciónIntroducciónGeorge BooleGeorge Boole

Variable LógicaVariable Lógica

► En general, el termino variable lógica o booleana, hace referencia a cualquier símbolo lineal A,B,....,Z empleado para representar dispositivos o magnitudes físicas que llenan solamente dos valores o estados, verdadero o falso, que son representados simbólicamente por 1 o 0 respectivamente.

DefiniciónDefinición

► Las dos posiciones o estados “abierto” - “cerrado” de un contacto eléctrico se designan mediante los símbolos 0 (no corre electricidad) y 1 (hay electricidad) respectivamente.

Función LógicaFunción Lógica

► Una función lógica o booleana es una variable lógica cuyo valor es equivalente al de una expresión algebraica, constituida por otras variables lógicas relacionadas entre sí por medio de las operaciones suma lógica (+), y/ o producto lógico (·) y/o negador (-).

► Las tres operaciones mencionadas son las operaciones básicas del álgebra de Boole, que darán lugar a las funciones básicas “OR”, “AND” y “NEGACIÓN”.

DefiniciónDefinición

Función LógicaFunción LógicaDefiniciónDefinición

Un producto lógico sería Z = A · B, donde Z tomará el valor uno sólamente cuando tanto A como B tengan el valor uno. Recordemos que:

0 · 0 = 00 · 0 = 01 · 0 = 01 · 0 = 00 · 1 = 00 · 1 = 01 · 1 = 11 · 1 = 1

Una negación invierte el valor de las variables. Se representa con la variable (en este caso “A”) negada.

Así:0 = 10 = 11 = 01 = 0

AZ

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “AND”Compuerta “AND”

Una Compuerta AND de dos entradas es un dispositivo electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z).

Responde a la expresión:

Z = A · B

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “AND”Compuerta “AND”

A · B = Z

0 ·0 = 0

00

0

111111

000011

001100

000000

ZZBBAA

01

0 ·1 = 0

1

1 · 0 = 0

0

1 · 1 = 1

11

Circuito LógicoCircuito LógicoCompuerta “AND”Compuerta “AND”

Z = A · B

También es posible representar la función lógica, su tabla de verdad y su compuerta con los pulsadores NC, formando un “circuito lógico”.

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “OR”Compuerta “OR”

Una Compuerta OR de dos entradas es un dispositivo electrónico que posee dos entradas, a las que llegan los niveles de tensión de dos cables (A y B) y una salida (Z).

Responde a la expresión:

Z = A + B

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “SEGUIDOR”Compuerta “SEGUIDOR”

Una Compuerta SEGUIDOR es un dispositivo electrónico que actúa como buffer: mantiene en la salida, el valor que se encuentra a la entrada.

Responde a la expresión:

Z = A

Compuertas LógicasCompuertas Lógicas

11110000ZZAA

Compuerta “SEGUIDOR”Compuerta “SEGUIDOR”

A = Z

01 0

1 = 10 = 0

1

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “EXOR”Compuerta “EXOR”

Una compuerta EXOR u OR excluyente de dos entradas es un dispositivo electrónico que presenta dos entradas, a las que llegan los estados de las dos variables (A B), y una salida, que genera en el cable (Z).

Responde a la expresión:

ABBAZ

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “EXOR”Compuerta “EXOR”

ABBAZ

001111

110011

111100

000000

ZZBBAA

0

Z0 0

1 · 0 + 1 · 0

00

0 1

1 · 1 + 0 · 0

0

11

1 11 0

01

10 · 0 + 1 · 1 0 · 1 + 0 · 1

1

10

Compuertas DerivadasCompuertas Derivadas

Z

Compuerta “NAND”Compuerta “NAND”

Una compuerta NAND resulta de invertir la salida de una compuerta AND.

Compuerta AND

Invertimos la salida (NAND) Z

Negamos de ambos lados Z

Por ley de doble neg. Z

Por ley de Morgan Z

ExpresiónExpresión BooleanaBooleana

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “NAND”Compuerta “NAND”

0

001111

110011

111100

110000

ZZBBAA

01

1110 1

0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0

0

Compuertas DerivadasCompuertas Derivadas

Z

Compuerta “NOR”Compuerta “NOR”

Una compuerta NOR resulta de invertir la salida de una compuerta OR.

Compuerta OR

Invertimos la salida (NOR) Z

Negamos de ambos lados Z

Por ley de doble neg. Z

Por ley de Morgan Z

ExpresiónExpresión BooleanaBooleana

Compuertas LógicasCompuertas LógicasCompuerta “NOR”Compuerta “NOR”

0

001111

000011

001100

110000

ZZBBAA

01 1110

0

0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0

0