““EL SEÑOR ES MI FUERZA Y MI EL SEÑOR ES MI FUERZA Y MI

ESCUDO, ESCUDO,

MI CORAZÓN CONFÍA EN ÉL MI CORAZÓN CONFÍA EN ÉL

Y ME SOCORRE, Y ME SOCORRE,

POR ESO MI CORAZÓN SE POR ESO MI CORAZÓN SE

ALEGRA Y LE CANTO ALEGRA Y LE CANTO

AGRADECIDO.”AGRADECIDO.”

SALMO 28,7SALMO 28,7

ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS PARA

FACILITAR FACILITAR

EL PROCESO DE EL PROCESO DE

ENSEÑANZA - APRENDIZAJE ENSEÑANZA - APRENDIZAJE

DE LOS DE LOS

NÚMEROS ENTEROSNÚMEROS ENTEROS

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN La Matemática es una de las disciplina o La Matemática es una de las disciplina o

ciencias más antiguas que existen. ciencias más antiguas que existen.

Los números negativos antiguamente Los números negativos antiguamente

conocidos como “números deudos” o conocidos como “números deudos” o

“números absurdos”“números absurdos”

Los conjuntos de los números naturales Los conjuntos de los números naturales

y enteros son los más próximos a la y enteros son los más próximos a la

realidad humana inmediatarealidad humana inmediata

La enseñanza – aprendizaje de los La enseñanza – aprendizaje de los Números Enteros debe huir de los Números Enteros debe huir de los conocimientos teóricos y abstractos conocimientos teóricos y abstractos alejados de la realidad en que vive el alejados de la realidad en que vive el alumno. alumno.

Las estrategias de aprendizaje que Las estrategias de aprendizaje que proponemos se caracterizan por ser proponemos se caracterizan por ser activas, es decir, que los propios alumnos activas, es decir, que los propios alumnos construyan los conceptos mediante construyan los conceptos mediante actividades que surgen de su propio actividades que surgen de su propio medio y sean capaces de aplicarlos a medio y sean capaces de aplicarlos a situaciones nuevas.situaciones nuevas.

CONTENIDOCONTENIDO

ObjetivosObjetivos Números EnterosNúmeros Enteros

OrdenOrdenRepresentación GráficaRepresentación GráficaDefiniciónDefiniciónValor AbsolutoValor Absoluto

Operaciones FundamentalesOperaciones FundamentalesAdiciónAdiciónSustracciónSustracciónMultiplicaciónMultiplicaciónDivisiónDivisión

ConclusionesConclusiones RecomendacionesRecomendaciones BibliografíaBibliografía

OBJETIVOSOBJETIVOSObjetivo General.Objetivo General.

Proponer actividades para facilitar el proceso Proponer actividades para facilitar el proceso de enseñanza-aprendizaje de los números de enseñanza-aprendizaje de los números enteros.enteros.

Objetivos Específicos.Objetivos Específicos. Construir el concepto de número entero a partir de Construir el concepto de número entero a partir de

actividades de la vida diaria que requieran la actividades de la vida diaria que requieran la ampliación del conjunto de los números naturales.ampliación del conjunto de los números naturales.

Ordenar el conjunto de los números enteros, Ordenar el conjunto de los números enteros, utilizando actividades de la vida diaria.utilizando actividades de la vida diaria.

Representar gráficamente los números enteros.Representar gráficamente los números enteros.

Deducir las reglas de adición de números Deducir las reglas de adición de números enteros a través de actividades y problemas enteros a través de actividades y problemas reales y significativosreales y significativos

Sumar números enteros.Sumar números enteros. Aplicar la suma de números enteros en la Aplicar la suma de números enteros en la

solución de problemas de la vida diaria.solución de problemas de la vida diaria. Inferir las reglas de sustracción de números Inferir las reglas de sustracción de números

enteros a partir de actividades cotidianas.enteros a partir de actividades cotidianas. Sustraer números enteros.Sustraer números enteros. Emplear la sustracción de números enteros Emplear la sustracción de números enteros

en la resolución de problemas del diario vivir.en la resolución de problemas del diario vivir.

Deducir las reglas de multiplicación de Deducir las reglas de multiplicación de números enteros a través de actividades y números enteros a través de actividades y problemas reales y significativos.problemas reales y significativos.

Multiplicar números enteros.Multiplicar números enteros. Resolver problemas de aplicación, Resolver problemas de aplicación,

utilizando la multiplicación de números utilizando la multiplicación de números enteros.enteros.

Inferir las reglas de división de números Inferir las reglas de división de números enteros en a partir de actividades de la vida enteros en a partir de actividades de la vida diaria.diaria.

Dividir números enteros.Dividir números enteros. Utilizar la división de números enteros en la Utilizar la división de números enteros en la

solución de problemas del diario vivir.solución de problemas del diario vivir.

NÚMEROS ENTEROSNÚMEROS ENTEROS

La construcción del sistema numérico de los enteros La construcción del sistema numérico de los enteros fue un proceso de más de mil años de ensayo y fue un proceso de más de mil años de ensayo y error. error.

En las civilizaciones orientales, como la hindú y la En las civilizaciones orientales, como la hindú y la árabe hacia el siglo VI, los números negativos fueron árabe hacia el siglo VI, los números negativos fueron utilizados para representar ausencia, deudas y utilizados para representar ausencia, deudas y pérdidas. pérdidas.

La dificultad de adquisición del concepto de número La dificultad de adquisición del concepto de número entero y de su utilización está fuertemente entero y de su utilización está fuertemente condicionada por dos aspectos: tcondicionada por dos aspectos: todo concepto odo concepto abstracto debe tener un apoyo intuitivoabstracto debe tener un apoyo intuitivo y y no se no se pueden ignorar las dificultades que se repetirán en pueden ignorar las dificultades que se repetirán en nuestros alumnos.nuestros alumnos.

El aprendizaje de los Números Enteros debe ser El aprendizaje de los Números Enteros debe ser entendido como un proceso hacia la abstracción que entendido como un proceso hacia la abstracción que se inicia ante situaciones concretas y que los alumnos se inicia ante situaciones concretas y que los alumnos deben ir alcanzando de forma progresiva.deben ir alcanzando de forma progresiva.

Las actividades constituyen el eje central a partir del Las actividades constituyen el eje central a partir del cual los niños van construyendo su conocimiento y cual los niños van construyendo su conocimiento y reforzando sus razonamientos.reforzando sus razonamientos.

Se tiene la oportunidad de trabajar con un modelo Se tiene la oportunidad de trabajar con un modelo didáctico conocido como didáctico conocido como AlgeblocksAlgeblocks, el cual ayudará , el cual ayudará a descubrir las reglas para operar con números a descubrir las reglas para operar con números enteros y el porqué de ellas, lo cual permitirá que el enteros y el porqué de ellas, lo cual permitirá que el alumno las recuerde con mayor facilidad.alumno las recuerde con mayor facilidad.

Actividad 1Actividad 1

Para las vacaciones de verano, la escuela de Para las vacaciones de verano, la escuela de deportes del barrio “Don Bosco” abre sus deportes del barrio “Don Bosco” abre sus inscripciones para niños y niñas con el inscripciones para niños y niñas con el propósito de conformar uno de los siguientes propósito de conformar uno de los siguientes equipos:equipos:Deporte Béisbol Baloncesto Fútbol Voleibol Pin pon

N° de jugadores

en el campo

9 5 11 6 1

Se inscribieron 9 participantes entre niños y Se inscribieron 9 participantes entre niños y niñasniñas

¿Es suficiente el número de inscritos para conformar un ¿Es suficiente el número de inscritos para conformar un equipo de fútbol? equipo de fútbol?

No son suficientes, pues se necesitan 11 jugadores y No son suficientes, pues se necesitan 11 jugadores y hay sólo 9 inscritos. Faltan 2 jugadores.hay sólo 9 inscritos. Faltan 2 jugadores.

Si se quisiera conformar el equipo de pin pon, ¿cuántos Si se quisiera conformar el equipo de pin pon, ¿cuántos inscritos sobrarían?inscritos sobrarían?

Sí son suficientes, pues se necesita 1 jugador y hay 9 Sí son suficientes, pues se necesita 1 jugador y hay 9 inscritos. Sobran 8 jugadores.inscritos. Sobran 8 jugadores.

ConvenioConvenioEl número de jugadores que sobren lo El número de jugadores que sobren lo representaremos con el representaremos con el signo +signo +.. Por ejemplo Por ejemplo si sobran 3 jugadores, correspondía a +3.si sobran 3 jugadores, correspondía a +3.

El número de jugadores que falten lo El número de jugadores que falten lo representaremos con el representaremos con el signo signo --.. Por ejemplo Por ejemplo si faltan 4 jugadores, correspondía a -4.si faltan 4 jugadores, correspondía a -4.

Si no faltan o no sobran jugadores, Si no faltan o no sobran jugadores, representaremos esta cantidad por el representaremos esta cantidad por el número número cero (0)cero (0)

Niños y niñas faltan o sobran Niños y niñas faltan o sobran para conformar algunos de los para conformar algunos de los

equiposequipos

Deporte Béisbol Baloncesto Fútbol Voleibol Pin pon

Niños o niñas que

faltan

0 0 -2 0 0

Niños o niñas que

sobran

0 +4 0 +3 +8

Ejemplo de Algunas Situaciones que Ejemplo de Algunas Situaciones que Requieren la Utilización de los Números Requieren la Utilización de los Números

EnterosEnteros La altura del Volcán Barú sobre el nivel del mar es La altura del Volcán Barú sobre el nivel del mar es

3517 m. 3517 m. (+ 3517)(+ 3517) Dos años después del nacimiento de José. Dos años después del nacimiento de José. (+2)(+2) La parte más profunda del Océano Pacífico está a La parte más profunda del Océano Pacífico está a

36 198 pies.36 198 pies.(-36198)(-36198) La temperatura en la madrugada era 3 °C bajo cero.La temperatura en la madrugada era 3 °C bajo cero.

(-3)(-3) Ernesto tiene una deuda de B/ 13 000 en el banco.Ernesto tiene una deuda de B/ 13 000 en el banco.

(-13000)(-13000) Cinco años antes de graduarse Ángela.Cinco años antes de graduarse Ángela.(-5)(-5)

ORDENORDENEs más próspera la economía del que tiene Es más próspera la economía del que tiene B/.15.00 B/.15.00 (+15)(+15) que la del que tiene B/.10.00 que la del que tiene B/.10.00 (+10)(+10)

Los niños nacidos en el año 1980 d.C Los niños nacidos en el año 1980 d.C (+1980)(+1980) nacieron más tarde que los nacidos nacieron más tarde que los nacidos en el año 1900 d.C en el año 1900 d.C (+1900).(+1900).

Se puede llegar a deducir que:Se puede llegar a deducir que:

Dados dos números positivos es mayor el que tiene mayor valor numérico

Tiene más el que tiene B/. 3.00 Tiene más el que tiene B/. 3.00 (+3)(+3) que el que el que no tiene dinero que no tiene dinero (0).(0).

Un cuerpo que está a 5° C Un cuerpo que está a 5° C (+5)(+5) tiene más tiene más temperatura que el que está a 0° C temperatura que el que está a 0° C (0).(0).

Se concluye que:Se concluye que:

Cualquier número positivo es Cualquier número positivo es mayor que ceromayor que cero

Qué prefieres: ¿no tener dinero Qué prefieres: ¿no tener dinero (0)(0) o o deber B/.100.00 deber B/.100.00 (-100)(-100)??

Cuando hace más calor, ¿a 0°C Cuando hace más calor, ¿a 0°C (0)(0) o a o a 15° C bajo cero 15° C bajo cero (-15)(-15)??

Se deduce que:Se deduce que:

El cero es mayor que cualquier El cero es mayor que cualquier número negativonúmero negativo

Ricardo debe B/.10.00 Ricardo debe B/.10.00 (-10)(-10) y Ana B/.8.00 y Ana B/.8.00 (-8).(-8). ¿Cuál de los dos está en mejor situación? ¿Cuál de los dos está en mejor situación?

Si un día determinado la temperatura en el Si un día determinado la temperatura en el Polo Norte es de 15° bajo cero Polo Norte es de 15° bajo cero (-15)(-15) y en y en Alaska de 1°C bajo cero Alaska de 1°C bajo cero (-1)(-1), es más alta la , es más alta la temperatura de Alaska que la de Polo Norte.temperatura de Alaska que la de Polo Norte.

Se deduce que:Se deduce que:

Dados dos números negativos es Dados dos números negativos es mayor el que tiene menor valor mayor el que tiene menor valor

numériconumérico

REPRESENTACIÓN GRÁFICAREPRESENTACIÓN GRÁFICA 7

5

4

3

2

1

6

0

Rocas

Bote

- 1

- 2

- 3

- 4

- 5

- 6

ConvenioConvenio

¿A qué altura aproximada está cada uno de los ¿A qué altura aproximada está cada uno de los elementos que se encuentran situados sobre el elementos que se encuentran situados sobre el nivel del río según la figura?nivel del río según la figura?

El Martín Pescador a + 6 pies El Martín Pescador a + 6 pies

La Rocas a + 3 piesLa Rocas a + 3 pies

¿A cuántos pies está el nivel del río?¿A cuántos pies está el nivel del río?

Está a 0 piesEstá a 0 pies

Según el convenio ¿Cómo marcarías las Según el convenio ¿Cómo marcarías las alturas dentro del agua?alturas dentro del agua?

Las marcaría negativasLas marcaría negativas

Respecto de las alturas. ¿Podrías decir si hay Respecto de las alturas. ¿Podrías decir si hay eje de simetría? eje de simetría? Si hay eje de simetríaSi hay eje de simetría

Si respondiste sí, menciona los elementos que Si respondiste sí, menciona los elementos que se encuentran situados simétricamente.se encuentran situados simétricamente. Las rocas y el pez brema.Las rocas y el pez brema.

¿Qué es lo que hace decir que están situados ¿Qué es lo que hace decir que están situados simétricamente?simétricamente? Porque están a la misma distancia del Porque están a la misma distancia del

nivel del río, con la diferencia que uno nivel del río, con la diferencia que uno esta sobre el nivel del río y el otro esta esta sobre el nivel del río y el otro esta bajo el nivel del río.bajo el nivel del río.

Ordena los elementos según sus alturaOrdena los elementos según sus altura El Martín Pescador a + 6 pies El Martín Pescador a + 6 pies

La Rocas a + 3 piesLa Rocas a + 3 pies

El bote a 0 piesEl bote a 0 pies

El carpa y el Lucio a - 1 piesEl carpa y el Lucio a - 1 pies

La Brema a - 3 piesLa Brema a - 3 pies

El caracol, la almeja y el insecto El caracol, la almeja y el insecto buceador están a - 5 piesbuceador están a - 5 pies

… -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 + 3 + 4 +5 +6 +7 +8 …

Utilizando la recta numérica como se ve a continuación y tomando como punto de referencia en lugar del nivel del río la posición cero, es fácil la representación gráfica aplicando lo aprendido sobre la ubicación de los números según su posición si están sobre el nivel del río (positivos) o bajo el nivel del río (negativos)

DEFINICIÓNDEFINICIÓN

El conjunto de los números positivos unido con El conjunto de los números positivos unido con el conjunto de los números negativos y el cero, el conjunto de los números negativos y el cero, forman el conjunto de los números enteros.forman el conjunto de los números enteros.

……-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4…-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4…

Para representar el conjunto de los Para representar el conjunto de los números enteros utilizamos la letra números enteros utilizamos la letra ZZ..

Z =Z =

El conjunto de los números enteros El conjunto de los números enteros positivos se representa así: positivos se representa así: ZZ++..

El conjunto de los números enteros El conjunto de los números enteros negativos se representa así: negativos se representa así: ZZ--..

…-4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4,…

… -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 …

Enteros Negativos

Cero Enteros Positivos

VALOR ABSOLUTOVALOR ABSOLUTO Sea Sea aa un número entero. Consideremos el un número entero. Consideremos el

punto que representa al número punto que representa al número aa en el eje de en el eje de los números enteros, digamos los números enteros, digamos CC. Medimos la . Medimos la distancia del segmento distancia del segmento 0C0C que tiene extremos que tiene extremos -3-3 y y 00 con el segmento unidad con el segmento unidad OAOA, , considerando el número considerando el número a a con el valor decon el valor de -3 -3 . .

La medida es La medida es 33 veces el segmento veces el segmento OAOA..

… -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 …

C O A

a=

O A O A O A

Repitamos el procedimiento midiendo ahora Repitamos el procedimiento midiendo ahora

el segmento el segmento ODOD siendo siendo a = +3a = +3

La medida del segmento de extremos La medida del segmento de extremos 00 y y +3+3

es también es también +3+3 veces el segmento unidad veces el segmento unidad ODOD

como el caso anterior.como el caso anterior.

… -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 …

O D

a=

O A O A O A

Teniendo presente el ejemplo anterior, llamaremos Valor Absoluto o Valor Numérico de un Entero a la medida del segmento OC con el segmento unidad OA El Valor Absoluto del Número Entero a se simboliza y se lee:

Valor Absoluto de aa

OPERACIONES FUNDAMENTALESOPERACIONES FUNDAMENTALES

Para trabajar con los Algeblocks es Para trabajar con los Algeblocks es necesario aprender como se representan los necesario aprender como se representan los números enteros con dichos bloques. números enteros con dichos bloques. Veamos algunos ejemplos para que Veamos algunos ejemplos para que verifiques lo expuesto anteriormente.verifiques lo expuesto anteriormente.

Representaremos con los bloques el Representaremos con los bloques el númeronúmero +4+4

Representaremos con los bloques el Representaremos con los bloques el número -5número -5

Representaremos con los bloques el número Representaremos con los bloques el número + 5+ 5

¿Cómo comparas el número +5 y el número ¿Cómo comparas el número +5 y el número -5?-5?

Ambos poseen la misma cantidad de Ambos poseen la misma cantidad de bloques pero representados con colores bloques pero representados con colores diferentes porque tienen signos diferentes porque tienen signos contrarios.contrarios.

¿Cómo representaríamos el cero utilizando ¿Cómo representaríamos el cero utilizando los bloques? Compartamos la respuesta con los bloques? Compartamos la respuesta con los compañeros de grupo.los compañeros de grupo.

En todos los casos En todos los casos

la respuesta siempre es cerola respuesta siempre es cero

¿Cuántas representaciones podemos hacer ¿Cuántas representaciones podemos hacer del cero? del cero?

Se pueden hacer infinidades de Se pueden hacer infinidades de representaciones del cero.representaciones del cero.

Observemos el diagrama, construyamos el Observemos el diagrama, construyamos el mismo con los bloques y escribamos el mismo con los bloques y escribamos el número que representa.número que representa.

El número que representa es -1 El número que representa es -1

ADICIÓNADICIÓN

La adición resuelve dos tipos de La adición resuelve dos tipos de

problemas distintos: problemas distintos: el cálculo de el cálculo de

un estado final a partir de un un estado final a partir de un

estado inicialestado inicial y una variacióny una variación; y; y el el

cálculo de la resultante de dos cálculo de la resultante de dos

variaciones.variaciones.

Caso 1:Caso 1: Ambos Signos son Ambos Signos son PositivosPositivos

¿Qué quiere decir la expresión 3 + 4?¿Qué quiere decir la expresión 3 + 4?

La expresión La expresión 3+43+4 ó ( ó (+3)+(+4)+3)+(+4) quiere decir quiere decir que a tres unidades positivas le vamos a que a tres unidades positivas le vamos a añadirañadir cuatro unidades positivas. cuatro unidades positivas.

y al sumarlas resultan siete unidades y al sumarlas resultan siete unidades positivas. positivas.

En símbolos tenemos En símbolos tenemos (+3) + (+4) = +7(+3) + (+4) = +7

¿Obtendremos el mismo resultado si ¿Obtendremos el mismo resultado si sumamos sumamos (+4) + (+3)(+4) + (+3)??

y al sumarlas resultan siete unidades y al sumarlas resultan siete unidades positivas. En símbolos tenemos positivas. En símbolos tenemos (+4) + (+3)(+4) + (+3)

Se obtiene el mismo resultado, por Se obtiene el mismo resultado, por conmutatividad.conmutatividad.

¿Qué podemos suponer de lo que ¿Qué podemos suponer de lo que sucede cuando se suman dos sucede cuando se suman dos números enteros positivos?números enteros positivos?

Si los números son Si los números son

positivos: el resultado será positivos: el resultado será

positivo y se obtendrá positivo y se obtendrá

sumando las partes sumando las partes

numéricas como si fueran numéricas como si fueran

números naturalesnúmeros naturales

Caso 2: Ambos Signos son NegativosCaso 2: Ambos Signos son Negativos

Representemos con los bloques la suma de Representemos con los bloques la suma de (-2) + (-3)(-2) + (-3)

Al sumarlas resultan cinco unidades negativas. Al sumarlas resultan cinco unidades negativas. En símbolos tenemos En símbolos tenemos (-2) + (-3) = -5(-2) + (-3) = -5

¿Qué podemos suponer de lo que ¿Qué podemos suponer de lo que sucede cuando se suman dos números sucede cuando se suman dos números enteros negativos?enteros negativos?

Si los números son negativos: el Si los números son negativos: el

resultado será negativo y se resultado será negativo y se

obtendrá sumando las partes obtendrá sumando las partes

numéricas como si fueran numéricas como si fueran

números naturalesnúmeros naturales

Caso 3:Caso 3: Signos Diferentes Signos Diferentes

¿Cuál será el resultado de (+3) + (-5)?¿Cuál será el resultado de (+3) + (-5)?

Fíjate que si unimos una Fíjate que si unimos una unidad negativa unidad negativa ((--)) con una con una unidad positivaunidad positiva ( (++)) lo que hacemos lo que hacemos es formar es formar ceros (ceros (neutralizarneutralizar)), como lo , como lo aprendido cuando trabajamos la parte de aprendido cuando trabajamos la parte de representar números enteros.representar números enteros.

¿Qué podemos suponer de lo que sucede ¿Qué podemos suponer de lo que sucede

cuando se suman dos números enteros con cuando se suman dos números enteros con

signos diferentes?signos diferentes?

Si uno de los números es positivo y el otro

negativo, restaremos las partes numéricas como

si fueran números naturales y el resultado tendrá

el mismo signo que tenía el número de parte

numérica más grande

Caso 4:Caso 4: Añadiendo CeroAñadiendo CeroRepresentemos de tres formas diferentes la Representemos de tres formas diferentes la siguiente expresión: siguiente expresión: (+3) + 0(+3) + 0

¿Cuál es el resultado de ¿Cuál es el resultado de (+3) + 0(+3) + 0? ?

Si observamos las representaciones Si observamos las representaciones

anteriores podemos decir que anteriores podemos decir que (+3) + 0 = +3(+3) + 0 = +3

Observa las tres representaciones que Observa las tres representaciones que

hicimos ¿son las únicas posibles?hicimos ¿son las únicas posibles?

No son las únicas posibles, podemos No son las únicas posibles, podemos

hacer infinidades de representaciones.hacer infinidades de representaciones.

Después de trabajar las representaciones Después de trabajar las representaciones anteriores y observar el resultado en cada anteriores y observar el resultado en cada uno de ellos ¿qué hipótesis puedes plantear?uno de ellos ¿qué hipótesis puedes plantear?

Si uno de los números es cero, el resultado es el mismo número que sumamos al cero y el signo será el mismo que tenía

SUSTRACCIÓNSUSTRACCIÓN

Tratamos la sustracción como una Tratamos la sustracción como una

operación con identidad propia y no operación con identidad propia y no

simplemente como operación inversa de simplemente como operación inversa de

la adición. la adición.

Hacemos esta operación cuando Hacemos esta operación cuando

queremos queremos calcular una variacióncalcular una variación

conocidos, conocidos, el estado inicial y finalel estado inicial y final

Caso 1:Caso 1: Ambos son IgualesAmbos son Iguales

A positivo A positivo +6+6 le vamos a restar le vamos a restar +3+3

Quedan tres bloques positivos,Quedan tres bloques positivos,

Luego el resultado de Luego el resultado de (+6) – (+3) = +3(+6) – (+3) = +3

Podemos observar que el efecto de quitar unidades positivas a otras positivas fue de sumar unidades negativas

¿Qué significa ¿Qué significa (-6) – (-2)(-6) – (-2)??

Significa que a seis unidades negativas Significa que a seis unidades negativas

le quitamos dos unidades negativasle quitamos dos unidades negativas

(-6) – (-2) = -4(-6) – (-2) = -4 Podemos observar que el efecto de quitar unidades negativas a otras negativas fue de sumar unidades positivas

¿Qué significa ¿Qué significa (+5) – (-3)(+5) – (-3)??

Significa que a cinco unidades positivas le Significa que a cinco unidades positivas le removeremos tres unidades negativas. removeremos tres unidades negativas.

¿Podemos hacerlo?¿Podemos hacerlo?

En este momento necesitamos signos En este momento necesitamos signos diferentes y utilizar el cero para neutralizardiferentes y utilizar el cero para neutralizar

Debemos recordar que si añadimos ceros a un número no se afecta el resultado, como vimos en la lección de suma de números enteros.

¿Cuántos ceros necesitamos añadir a la ¿Cuántos ceros necesitamos añadir a la expresión de manera que podamos obtener las expresión de manera que podamos obtener las tres unidades negativas que hay que remover?tres unidades negativas que hay que remover?

Recordemos que el ejercicio es Recordemos que el ejercicio es (+5) – (-3)(+5) – (-3)

Observemos que hay sólo cinco unidadesObservemos que hay sólo cinco unidades

Necesitamos añadir un cero representado con Necesitamos añadir un cero representado con tres unidades negativas y tres unidades tres unidades negativas y tres unidades

positivaspositivas

Caso 2: Signos DiferentesCaso 2: Signos Diferentes

Al añadir el cero podemos quitarle las tres Al añadir el cero podemos quitarle las tres unidades negativas esto es:unidades negativas esto es:

Comenzamos con la expresión Comenzamos con la expresión (+5) – (-3)(+5) – (-3) y y finalizamos con la expresión finalizamos con la expresión (+5) + (+3), (+5) + (+3), lo que lo que es igual aes igual a +8 +8

Podemos observar que el efecto de quitar unidades negativas a unidades positivas fue de sumar unidades positivas

¿Qué significa ¿Qué significa (-4) - (+2)(-4) - (+2) ??

Significa que a cuatro unidades negativasSignifica que a cuatro unidades negativas

le removeremos tres unidades positivas. le removeremos tres unidades positivas.

¿Podemos hacerlo?¿Podemos hacerlo?

En este momento necesitamos signos En este momento necesitamos signos diferentes y utilizar el cero para neutralizardiferentes y utilizar el cero para neutralizar

¿Cuántos ceros necesitamos añadir a la ¿Cuántos ceros necesitamos añadir a la expresión de manera que podamos obtener las expresión de manera que podamos obtener las dos unidades positivas que hay que remover?dos unidades positivas que hay que remover?

Recordemos que el ejercicio es Recordemos que el ejercicio es (-4) – (+2)(-4) – (+2)

Observemos que hay sólo cuatro unidadesObservemos que hay sólo cuatro unidades

Necesitamos añadir un cero representado con Necesitamos añadir un cero representado con dos unidades negativas y dos unidades dos unidades negativas y dos unidades

positivaspositivas

Al añadir el cero podemos quitarle las dos Al añadir el cero podemos quitarle las dos unidades positivas esto es:unidades positivas esto es:

Comenzamos con la expresión Comenzamos con la expresión (-4) – (+2)(-4) – (+2) y y finalizamos con la expresión finalizamos con la expresión (-4) + (-2), (-4) + (-2), lo que lo que es igual aes igual a -6 -6

Podemos observar que el efecto de quitar unidades positivas a unidades negativas fue de sumar unidades negativas

MULTIPLICACIÓNMULTIPLICACIÓNLas reglas de multiplicación de Números Las reglas de multiplicación de Números

Enteros regularmente se enseñan por Enteros regularmente se enseñan por

memorización. Esto hace que al cabo de memorización. Esto hace que al cabo de

poco tiempo nos olvidemos de las mismas o poco tiempo nos olvidemos de las mismas o

si las recordamos nunca podamos decir el por si las recordamos nunca podamos decir el por

qué de ellas. qué de ellas.

Mediante el uso de los Mediante el uso de los AlgeblocksAlgeblocks

tendremos la oportunidad de tendremos la oportunidad de crear las reglas crear las reglas

y luego utilizarlas con variablesy luego utilizarlas con variables..

¿Qué quiere decir 3 multiplicado por 4?¿Qué quiere decir 3 multiplicado por 4?

Esto quiere decir que tenemos 3 grupos Esto quiere decir que tenemos 3 grupos

de 4 elementos. En otras palabras de 4 elementos. En otras palabras

4 + 4 + 4 que es igual a 12 ya que la 4 + 4 + 4 que es igual a 12 ya que la

multiplicación es una forma corta de multiplicación es una forma corta de

escribir una suma repetida.escribir una suma repetida.

Recordemos que 3 es lo mismo que Recordemos que 3 es lo mismo que

+3. Así que 3(4) se puede escribir como +3. Así que 3(4) se puede escribir como

+3(+4) lo cual quiere decir tres veces +4. +3(+4) lo cual quiere decir tres veces +4.

Con los bloques lo representamos de la Con los bloques lo representamos de la siguiente forma:siguiente forma:

Tres Tres Grupos Grupos de cuatro de cuatro bloques bloques azules azules así:así:

Este es el caso donde se

multiplica un positivo por otro

positivo

Finalmente podemosFinalmente podemos

decir que +3(+4) = +12decir que +3(+4) = +12

Es importante señalar que el signo del primer

factor nos indica si los bloques se voltean o se

quedan tal como están. Si tenemos que el signo

es positivo ( + ) quiere decir que vamos a dejar

igual los bloques y si tenemos que el signo es

negativo ( - ) vamos a voltear los bloques o

buscar el opuesto de lo que tenemos.

Sea el caso donde se desea multiplicar Sea el caso donde se desea multiplicar +2 ( +2 ( -3);-3); esto quiere decir que vamos a esto quiere decir que vamos a formar dos grupos de formar dos grupos de 33 unidades negativas unidades negativas (-(-3) 3) y que las vamos a dejar igualy que las vamos a dejar igual ..

Dos Grupos de Dos Grupos de tres bloques tres bloques rojos así:rojos así:

Este es el caso donde se

multiplica un positivo por uno

negativo

Fíjate que empezamos con Fíjate que empezamos con 22 grupos grupos

de de -3-3 unidades y luego nos fijamos en el unidades y luego nos fijamos en el

signo del primer factor signo del primer factor (en este caso +2)(en este caso +2)

para determinar si los volteamos o los para determinar si los volteamos o los

dejamos igual. dejamos igual.

Como el signo del primer factor es Como el signo del primer factor es

positivo procedemos a dejar los bloques tal positivo procedemos a dejar los bloques tal

y como están. y como están.

Luego la respuesta sería +2 (-3) es -6Luego la respuesta sería +2 (-3) es -6

Sea el caso donde se multiplica (-3)(+2) Sea el caso donde se multiplica (-3)(+2)

Se procedería de la siguiente formarSe procedería de la siguiente formar

Primero recordar que vamos a formar 3 Primero recordar que vamos a formar 3 grupos de 2 bloque azules pero el grupos de 2 bloque azules pero el negativo que se encuentra al frente del 3 negativo que se encuentra al frente del 3 nos indica que debemos voltear los bloques nos indica que debemos voltear los bloques azules; es decir:azules; es decir:

Al voltearlos, tenemos

De esta forma al realizar la operación De esta forma al realizar la operación (-3)(+2) el resultado sería -6.(-3)(+2) el resultado sería -6.

Este es el caso

donde se multiplica

un negativo por

uno positivo

Multipliquemos ahora Multipliquemos ahora ( -2 ) por ( -3 )( -2 ) por ( -3 )

La expresión La expresión -2 ( -3)-2 ( -3) quiere decir que quiere decir que debemos formar dos grupos de 3 unidades debemos formar dos grupos de 3 unidades negativas y luego las volteamos:negativas y luego las volteamos:

Al voltearlos, tenemos

Observemos que el signo del primer factor es negativo y al voltear los bloques tenemos que el producto es +6.

Este es el caso

donde se multiplica

un negativo por otro

negativo.

La multiplicación es una operación binaria. Esto es, sólo se operan con dos números a la vez. Por ejemplos, si multiplicamos +3 por +4 por +5, lo que hacemos es primero multiplicar +3 por +4 y el producto (+12) lo multiplicamos por +5. También pudimos multiplicar los últimos dos números y luego multiplicarlo por el primero, pero siempre multiplicamos solamente dos números a la vez. De cualquier forma el resultado final es +60. De la misma manera ocurre cuando tenemos números con signos.

Para multiplicar dos números enteros, se

multiplican sus valores absolutos. Si los

números tienen igual signo, el resultado es

positivo. Si tienen signos diferentes, el

resultado es negativo. Así:

+ X + = +

- X - = +

+ X - = -

- X + = -

DIVISIÓNDIVISIÓNAnteriormente trabajamos con la Anteriormente trabajamos con la

multiplicación de Números Enteros. A medida multiplicación de Números Enteros. A medida que sigamos trabajando nos daremos cuanta que sigamos trabajando nos daremos cuanta que la operación de división es similar a la de que la operación de división es similar a la de multiplicación. multiplicación.

Es importante que recordemos que la Es importante que recordemos que la división se puede representar de las siguientes división se puede representar de las siguientes formas:formas:

donde b es diferente de 0b

aba y

En la división el numerador indicará En la división el numerador indicará

los bloques que se tienen y el los bloques que se tienen y el

denominador indicará la cantidad de denominador indicará la cantidad de

grupos que se formarán al dividir estos grupos que se formarán al dividir estos

bloques. Hay que estar atento al signo bloques. Hay que estar atento al signo

del denominador, ya que este indicará del denominador, ya que este indicará

si volteamos o no los bloques.si volteamos o no los bloques.

Daremos solución a la expresiónDaremos solución a la expresión

Primero representamos con los bloques la

expresión numérica del numerador; es decir:

Tenemos que 8 unidades positivas las

dividimos en cuatro grupos iguales y la cantidad al

dividirlas en cada grupo es de +2 unidades

positivas ya que el signo del denominador es

positivo, entonces los bloques se quedan tal como

están.

48

La respuesta de la expresión antes

mencionada es +2

Este es el caso donde

ambos signos son

positivos

Trabajaremos ahora con la expresión Trabajaremos ahora con la expresión

¿Qué quiere decir dicha expresión?

Esto indica que debemos dividir 8

bloques negativos (o sea rojos) en cuatro

grupos iguales; pero como el signo del

denominador es negativo, tenemos que

voltear todos los bloques como se puede

observar a continuación

48

Representación gráfica del caso anteriorRepresentación gráfica del caso anterior

Al voltearlos, tenemos

La respuesta de la expresión antes mencionada y como se puede apreciar con los bloques azules es +2

Este es el caso

donde ambos

signos son

negativos

Trabajaremos ahora con la expresión Trabajaremos ahora con la expresión

¿Qué quiere decir dicha expresión?

Esto indica que debemos dividir 8

bloques positivos (o sea azules) en

cuatro grupos iguales; pero como el

signo del denominador es negativo,

tenemos que voltear todos los bloques

como se puede observar a continuación

48

Representación gráfica del caso anteriorRepresentación gráfica del caso anterior

Al voltearlos, tenemos

La respuesta de la expresión antes mencionada y como se puede apreciar con los bloques rojos es - 2

Este es el caso

donde los signos

son contrarios

Cuando dividimos Números Enteros se dividen sus valores absolutos. Si los números tienen igual signo, el resultado es positivo. Si son de signo diferente, el resultado es negativo, así:

+ ÷ ÷ + = +

- ÷÷ - = +

+ ÷÷ - = -

- ÷÷ + = -

También es importante recordar que si tenemos un número entero a, la expresión a÷ 0 no están definidas

CONCLUSIONESCONCLUSIONES

Al tratar el tema de los Números Enteros se Al tratar el tema de los Números Enteros se

debe prestar mucha atención a los diferentes debe prestar mucha atención a los diferentes

significados de los signos, ya sea en significados de los signos, ya sea en

operaciones, estados o variaciones.operaciones, estados o variaciones.

Las actividades que se utilicen en la Las actividades que se utilicen en la

enseñanza de los Números Enteros debe ser enseñanza de los Números Enteros debe ser

basadas en situaciones de la vida diariabasadas en situaciones de la vida diaria

Una estrategia que se debe tomar en cuenta al Una estrategia que se debe tomar en cuenta al momento de dar la clase, es la de presentar muchas momento de dar la clase, es la de presentar muchas actividades relacionadas con el tema, pues permite actividades relacionadas con el tema, pues permite introducir, comprender y reforzar el nuevo introducir, comprender y reforzar el nuevo conocimiento.conocimiento.

Es muy importante tener claro los conocimientos Es muy importante tener claro los conocimientos sobre orden, representación gráfica , valor absoluto y sobre orden, representación gráfica , valor absoluto y la definición de Números Enteros para poderla definición de Números Enteros para poder manejar manejar con facilidad las operaciones fundamentales.con facilidad las operaciones fundamentales.

Es importante resaltar que gracias al modelo Es importante resaltar que gracias al modelo didáctico Algeblocks se puede llegar a deducir reglas didáctico Algeblocks se puede llegar a deducir reglas y propiedades de las operaciones fundamentales.y propiedades de las operaciones fundamentales.

RECOMENDACIONESRECOMENDACIONESUtilizar una metodología activa para el Utilizar una metodología activa para el proceso de enseñanza- aprendizaje de los proceso de enseñanza- aprendizaje de los Números Enteros, con el propósito de que Números Enteros, con el propósito de que se pueda construir cada uno de los se pueda construir cada uno de los conceptos y sobre todo deducir las conceptos y sobre todo deducir las diferentes reglas.diferentes reglas.

Emplear el trabajo en equipo de tal forma Emplear el trabajo en equipo de tal forma que el docente logre en la clase un que el docente logre en la clase un ambiente de intercambio de ideas entre ambiente de intercambio de ideas entre los alumnoslos alumnos

Utilizar materiales didácticos que ayuden a Utilizar materiales didácticos que ayuden a representar de forma concreta las representar de forma concreta las abstracciones que corresponden a cada uno abstracciones que corresponden a cada uno de los aspectos de los Números Enteros.de los aspectos de los Números Enteros.

Proponer diversas actividades que enuncien Proponer diversas actividades que enuncien ejemplos reales y significativos que motiven a ejemplos reales y significativos que motiven a los alumnos a querer conocer sobre el tema los alumnos a querer conocer sobre el tema tratado.tratado.

Capacitar a los docentes de séptimo grado Capacitar a los docentes de séptimo grado para que adquieran estrategias didácticas y para que adquieran estrategias didácticas y faciliten así la transmisión de los temas faciliten así la transmisión de los temas correspondientes.correspondientes.

BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA Camargo, L., García, G., Leguizamón, C., Camargo, L., García, G., Leguizamón, C.,

Samper, C. & Serrano, C. (2003). Samper, C. & Serrano, C. (2003). Nuevo Nuevo Alfa 7Alfa 7.. Colombia: Editorial Norma S.A.. Colombia: Editorial Norma S.A..

Dreyfous, R., Ortiz, Enery. & Villafañe, W. Dreyfous, R., Ortiz, Enery. & Villafañe, W. (1996). (1996). Manual de Lecciones Manual de Lecciones AlgeblocksAlgeblocks ®.®. Puerto Rico: Dreyfous & Assoc. Puerto Rico: Dreyfous & Assoc.

Socas, M. Socas, M. Curso: Curso: “Didáctica de las “Didáctica de las Matemáticas” ,Módulo: “Números Enteros”Matemáticas” ,Módulo: “Números Enteros”

Recursos en InternetRecursos en Internet http://www.hiru.com/es/matematika/http://www.hiru.com/es/matematika/

matematika_00300.htmlmatematika_00300.html http://www.monografias.com/trabajos38/origen-http://www.monografias.com/trabajos38/origen-

numeros/origen numeros2.shtml?monosearchnumeros/origen numeros2.shtml?monosearch http://www.monografias.com/trabajos25/didactica-http://www.monografias.com/trabajos25/didactica-

de-matematica/didactica-de-matematica.shtml?de-matematica/didactica-de-matematica.shtml?monosearchmonosearch

http://www.monografias.com/trabajos46/material-http://www.monografias.com/trabajos46/material-matematica/material-matematica2.shtml?matematica/material-matematica2.shtml?monosearchmonosearch

http://www.monografias.com/trabajos30/http://www.monografias.com/trabajos30/estrategias-matematica/estrategias-estrategias-matematica/estrategias-matematica2.shtmlmatematica2.shtml