Presentacion ecci 1

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SEMINARIO DE DESARROLLO ECONOMICO SEMINARIO DE DESARROLLO ECONOMICO I Mtro. Celso Garrido Mtro. Celso Garrido Febrero 2003 Febrero 2003 Introducción Matemáticas Financieras Ana María Hernández Méndez Ana María Hernández Méndez Alejandro Apolinar Rojas Alejandro Apolinar Rojas

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SEMINARIO DE DESARROLLO ECONOMICOSEMINARIO DE DESARROLLO ECONOMICO I

Mtro. Celso GarridoMtro. Celso GarridoFebrero 2003Febrero 2003

Introducción Matemáticas Financieras

Ana María Hernández MéndezAna María Hernández MéndezAlejandro Apolinar RojasAlejandro Apolinar Rojas

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Introducción

FINANZASFINANZAS

Asignación de recursosAsignación de recursos TiempoTiempo

Al poner en práctica sus decisiones financieras, las personas se sirven del Sistema Financiero...

Conjunto de mercados e instituciones mediante las cuales se realizan los contratos financieros y el

intercambio de activos

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Contenido de la sesión

-Equivalencia financiera-Interés simple

Valor presente simpleValor futuro simple

-Base mixta-Cálculo del tiempo-Descuento bancario o comercial-Diagrama de tiempo valor y de flujo de caja-Interés compuesto-Diferencia entre interés simple e-Tasa de interés nominal, real y efectiva-Anualidades -Amortización

1a sesión

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Equivalencia Financiera

El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interésayudan a desarrollar el concepto de Equivalencia Financiera y esto significa que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes de tiempo son

iguales en valor económico.

Por ejemplo, si la tasa de interés es de 7% anual, $100 (tiempo presente)Serían equivalentes a $107 dentro de un año a partir de hoy, entonces para un

individuo es lo mismo tener $100 hoy a $ 107 el día de mañana.Y este incremento se dio debido a la tasa de interés. Por lo tanto es el mismo valor

económico o equivalente.

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Interés Simple

El interés simple se calcula utilizando sólo el principal, ignorando cualquier interés causado en los períodos de interés

anteriores

Interés que se carga al final del período y que no gana interés en el período o períodos subsiguientes

$100 $10 $10$10

Ejemplo: Un capital de 100 pesos al 10% en tres periodos

Tiempo 1 2 30Total

en los 3 periodos$30

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Nomenclatura Inglesa

I = interés generado ($) P = es el capital o principal que se da o se recibe en préstamo i = tasa de interés anual (%) n = número de años o períodos, tiempo F = monto o valor futuro a fin del período

I=interés simpleC=capital o principali=tasa (tipo de interés tanto por ciento)t=tiempoM=monto

Nomenclatura Española

Denominación de Variables

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Los intereses:I=Pin (1)

El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses

F=P+I (2)

Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es:

F=P+(Pin)

F=P+Pin (3) Factorizando la expresión anterior:

F=P(1+in) (4)

En estás fórmulas básicas del interés simple (1) y ( 3) se tienen cinco variables que son F, P, I, i y n de las cuales se puede obtener cualquiera de ellas a partir de las

tres restantes, así de la fórmula de interés simple:I=PinP=I/ini= I/Pnn=I/Pn

De la fórmula de monto simple se obtiene F=p(1+in)

P=F/ (1+in)i=[(F/P)-1]/nn=[(F/P)-1]/i

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El planteamiento de los problemas económicos-financieros se desarrolla en torno a dos conceptos básicos: capitalización y actualización.

El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales en fechas colocados en fechas anteriores. El concepto de actualización se refiere al estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales

Capitalización y Actualización

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El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquel capital que, a una tasa dada y en el período comprendido

hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un monto igual a la suma debida:

Valor Presente Simple

F=P(1+in) P= F/ (1+in)

I=Pin (1)

El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses

F=P+I (2)

Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es: F=P+(Pin)

F=P+Pin (3) Factorizando la expresión anterior:

F=P(1+in) (4)

De la fórmula de monto simple despejamos P para obtener el valor presente simple

Page 10: Presentacion ecci 1

Ejemplo de Valor presente simple

Un miroempresario desea innovar su equipo de trabajo y recurre a una institución crediticia, que le cobra el 16% de interés simple, ¿Qué cantidad le prestaron si tendrá que pagar $52,600 dentro de 5 meses?

$52,600

0 21 3 4 5 MesesTiempo

¿Valor?

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Valor PresenteDATOSTasa de interes 16 %Valor futuro 52600Tiempo 5 meses

P=F/(1+ni)

Sustitución P= 52600/(1+0.16*5/12)

Valor presente 49,312.50$ 49,312.50$

49,312.50$ $52,600

0 21 3 4 5 Meses

Tiempo

¡Esta es la cantidad que le prestaron!

Page 12: Presentacion ecci 1

Valor Futuro SimpleEl concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha

futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales en fechas colocados en fechas anteriores.

F=P+I = P+Pin=P(1+in)

I=Pin (1)

El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses

F=P+I (2)

Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses generados, esto es:

F=P+(Pin)

F=P+Pin (3) Factorizando la expresión anterior:

se obtiene la fórmula de monto simple

Page 13: Presentacion ecci 1

Ejemplo de Valor futuro simple

Una institución crediticia otorga un préstamo de $ 49 312.50 pesos a una tasa de interés simple de 16% ¿Cuál será el monto de ese préstamo, después de 5 meses?

$ 49 312.50

0 21 3 4 5 MesesTiempo

¿Valor?

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Valor FuturoDATOSTasa de interes 16 %Valor presente 49312.5Tiempo 5 meses

F=P(1+ni)

Sustitución F= 49312.50*(1+0.16*5/12)

Valor Futuro 52,600.00$

49,312.50$

021 3 4

5 Meses

Tiempo

$ 52, 600

Monto que pagará dentro de 5 meses

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P=capital o suma prestadat=Tiempo

I= interés o rédito

Se tiene de acuerdo con las leyes de variación proporcional

I=PnK (1)

Donde k es una constante, cuyo valor depende únicamente de las condiciones contractuales de préstamo. Si las condiciones son del i% anual (año comercial de 360 días).

P= 100 unidadesn=360 días ( año comercial )

I=i unidades( i%=i unidades por cada 100 en 360 días)

Mediante la aplicación de la fórmula 1 se tiene:i= 100(360) k

se despeja

k=i/100(360)

Base Mixta

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Al reemplazar en la fórmula 1 se tiene:

I= Pin/100(360)

para el año de 365 días, el año real , el mismo desarrollo conduce a:

I=Pin/ 100(365)

y para años bisiestos, el año real es de 366 días.

El interés simple ordinario o comercial es el que se calcula considerando el año de 360 días. El interés simple real o exacto es el que se calcula con año calendario de 365 días o de 366 , si se trata de año bisiesto.

Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año de 360 días ; pero par la duración de tiempo de préstamos a corto plazo (plazos menores que un año), cuentas los días efectivos calendario.

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Ejemplo Base Mixta

¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de$ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de 30 días?

$ 12,500

0 21 3 4 30 díasTiempo

¿Intereses+ el principal?

Page 18: Presentacion ecci 1

Solución

Datos FórmulaP= 12500i= 19.75 anual I=Pin/360n= 30 díasI= ¿?

Sustitución

I=12500(.1975)(30)/360

I= 205.73

la tasa de interés se toma en decimales

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Ejemplo Base Mixta

¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de$ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de 30 días?

I=$205.73+ P= $12,500

$ 12,500

0 105 15 20 30 díasTiempo

Este es monto total al final del

periodo

$12705.73

InteresesCapital o principal

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Ejemplo de Base Mixta

INF. FINANCIERASALDO PROMEDIO 6036.50DIAS DEL PERIODO 30

TASA BRUTA % 2.00

TASA ISR % 0.40INTERESES A FAVOR (+) 8.05I.S.R. RETENIDO (-) 2.01

COMPORTAMIENTO DE SU CUENTASALDO INICIAL 6030DEPOSITOS ABONOS (+) 16.56RETIROS/CARGOS (-) 2.01SALDO FINAL 6044.55

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Ejemplo de Base Mixta

INF. FINANCIERA Depositos y abonosSALDO PROMEDIO 6036.50 Intereses del mes anterior= 6.50DIAS DEL PERIODO 30 Intereses ganados= 10.06TASA BRUTA % 2.00 Total 16.56TASA ISR % 0.40

INTERESES A FAVOR (+) 8.05 RendimientoI.S.R. RETENIDO (-) 2.01 I= 6036.50*30*0.02/360

I= 10.06

ISRCOMPORTAMIENTO DE SU CUENTA ISR 6036.50*30*0.004/360SALDO INICIAL 6030 ISR= 2.01DEPOSITOS ABONOS (+) 16.56

RETIROS/CARGOS (-) 2.01

SALDO FINAL 6044.55 Intereses a FavorIntereses - ISR

Saldo Promedio I=10.06-2.01

Saldo inicial 6030 I= 8.05Intereses anteriores 6.05

SP= 6036.1

I =Pin/360

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Descuento SimpleDescuento Simple

Descuento bancario o comercialDescuento bancario o comercial

Se define como el interés simple de una deuda, que se paga por adelantado. Para el banquero, “descuento” significa “interés simple”, pagado de antemano. Los bancos emplean esta clase de descuento

porque reporta ventaja.Si F es una deuda contraída es decir valor nominal, n es el intervalo de tiempo fracción de un año para cubrirla y d, la tasa de interés, el

descuento es:

D=FndPor lo tanto el valor presente de una deuda es:

P=F-Fnd= F(1-nd)

se usa el descuento bancario simple para períodos menores a aun año ya que la aplicación de la fórmula p=f(1-nd) puede ser ruinosa para el deudor, cuando n es suficientemente grande

Donde: Dc= descuento bancarioF=valor nominal del descuentod=tasa nominal del descuenton=tiempoP= valor presente

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Si el banco realiza operaciones de descuento de 20% anual y si el señor Julio López desea descontar el documento el 5 de julio, los $11 500 (el valor nominal del pagaré) devengaran los siguientes intereses (descuento) durante los tres meses en que se adelanta el

valor actual del documento.

D=Fnd

Ejemplo de descuento comercial

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Solución

D=Fnddonde d es el descuento

D= 11500(3/12)(0.20)D= 575

$ 575 son el descuento que se aplica

Valor nominal 11500Menos el descuento 575Valor anticipado 10925

Entonces el señor López recibe $10 925 que es el valor comercial del documento hasta la fecha que anticipo el pago; el descuento de calculó en base al valor nominal del pagaré

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En el comercio se acostumbra ofrecer una rebaja sobre el precio de lista por alguna razón, ejemplo promociones especiales de venta, compra al por mayor, pronto pago, etc. El descuento como la comisiones se expresan al tanto por ciento y en su valor no interviene el tiempo. Sea i% el descuento concedido sobre la factura de valor $ S, entonces se tiene:

Descuento => D= Si

Descuento comercialDescuento comercial

Descuento en cadena o en serieDescuento en cadena o en serieCon frecuencia ocurre que dentro de una misma factura se hacen una serie de descuentos sucesivos independientes entre si.

Valor neto de una factura%

Descuento Valor neto de la factura

SVN1

VN2

VN3

. . .VNn

d1

d2

d3

...dn.

VN1=S(1-i1)VN2=S(1-i1)(1-i2)VN3=S(1-i1)(1-i2)(1-i3)...VNn=S(1-i1)(1-i2)...(1-in)

D=P(100-d)/100*(100-d’/100)*(100-dn/100)

Page 26: Presentacion ecci 1

Descuento simple

Si un cliente firma un documento por $ 2500 a cuatro meses. Un banco otorga un descuento de 8% anual ¿qué cantidad le dará el banco?

Descuento en cadena o en serie

Sobre una factura de $50000 se conceden los siguientes descuentos:a) por compra al por mayor 8%b)por promoción especial de ventas 5%c) por despacho sin empaques 6%

Calcular el valor neto a pagar

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Soluciónd 0.08 Sustituciónn 4 meses 0.33333333D ¿? D= 1000(0.08)(4/12)

D= 26.6666667

Ejercicio 2Datos FórmulaP 50000 D=P[(100-d)/100*(100-d''/100)*(100-d́ ´´/100)...]D ¿d´ 8%d´´ 5% Sustituciónd´´´ 6% D=50000[(100-8)/100*(100-5/100)*(100-6/100)]

D= 41078NOTA:Como se puede observar en la sustitución tomamos el

porcentaje tal cual sin convertirlo a decimales, esto se

hace porque la fórmula lo permite y al restar el porcentaje

y luego dividir entre cien automaticamente estamos

convirtiendo ese porcentaje en décimales y podemos realizar la

operación.

el valor neto a pagar es $41078

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Tiempo

Valor presente

21 3 4 5

Valor futuro

P

0

F

Un diagrama, el tiempo puede medirse de dos maneras diferentesen sentido positivo (de izquierda a derecha), si se tiene fecha inicial y se cuenta con

un valor futuro, en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene un fecha de vencimiento o final , y un valor antes del vencimiento

Diagramas de Tiempo Valor

Tiempo

Valor presente

2 1345

Valor futuro

P

0

F

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Diagrama de Flujo de Caja

Tiempo21 3

B

4 5 6

0

F

7

A,B y C ingresos (+)D,E y F egresos (-)

ED

-

+

A

Al colocar en un diagrama de tiempo-valor flechas arriba para

los ingresos y flechas hacia abajo para los egresos

C

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Interés CompuestoInterés CompuestoLos intereses generados en un período devengan un interés generado anteriormente. El interés compuesto es el interés devengado por el principal al final de un período y

que devenga interés en el período o períodos subsiguientes

Año Cantidadacumulada

Interéspagado

Cantidad acumuladaal final del periodo

1 P Pi P+Pi=P(1+i)

2 P(1+i) P(1+i)i P(1+i) +P(1+i)1i= P(1+i)2

3 P(1+i)2 P(1+i)2i P(1+i)2 +P(1+i)2 i=P(1+i)3

. . . .

. . . .

n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1i P(1+i)n-1 +P(1+i)n-1 i=P(1+i)n

Page 31: Presentacion ecci 1

Comparación entre Interés simple e interés compuestoComparación entre Interés simple e interés compuesto

La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuestoes mediante la elaboración de gráficas correspondientes a una misma tasa

Por ejemplo, la tasa del 20% y un capital de $ 1000. Los montos son F= 1000(1+n0.20) para interés simple

y F= 1000(1+0.20)n para el interés compuesto

Función discreta a= valor futuro de $ 1000 al interés del 20% b= Valor futuro de $1000 al interés compuesto del 20%función continua A línea recta F = 100[1+0.20] B función exponencial F= 1000(1.2)n

El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica y su gráfica corresponde a la de una futura función exponencial. Por su parte , el monto

a interés simple crece en progresión aritmética

Page 32: Presentacion ecci 1

Comparación entre Interés simple e Interés compuesto

La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuestoes mediante al fórmula elaboración de gráficas correspondientes una misma tasa

1 52 años30

1000

2000A

B

aa

a

a

a

b

b

b

b

4

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Como se observa la suma acumulada al final del período n es:

F=P(I+i)n

Esta fórmula relaciona una cantidad (presente con una cantidad futuro (f)

De esta fórmula se deduce:

P= F(1/1+n)n = F(1+n)-n ó bien:

P=F/(1+i)n

I= (f/P)1/n-1 ó bien I= n

n= log F - log P / log (1+i)

(f/p) - 1

Page 34: Presentacion ecci 1

Período de Capitalización

El interés puede ser convertido en capital anual, semestral

trimestral, y mensual así como diario,dicho período es denominado período de capitalización. Al número de veces que el interés capitaliza durante un año se le

denomina frecuencia de conversión.Por ejemplo, ¿cuál es el período de capitalización de un depósito bancario que paga el 5% de interés capitalizable trimestralmente?

Un año = 12 meses/3 meses= 4

4 es el período de capitalización trimestral

Page 35: Presentacion ecci 1

Tasa de Interés Nominal, Efectiva (o real) y Equivalente

Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la operación, ésta es denominada tasa de interés nominal.

Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral , trimestral o mensual, la cantidad efectiva pagada o ganada es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto sucede, se puede determinar una tasa efectiva de interés.

Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto, es decir si dos tasas anuales de interés con diferentes períodos de capitalización es se dice que son equivalentes, si el rendimiento obtenido por capitalización es igual al final del año.

Page 36: Presentacion ecci 1

Partiendo de la fórmula F= P(1+in/n)n

la tasa efectiva es el rendimiento anual “ie”, es el rendimiento anual que se obtendría al final del período cuando la tasa nominal “in” se capitaliza “n” veces. Para una inversión unitaria anual se tiene lo siguiente:

1(1+1e)=1(1+in/n)n-1 -->ie=(1+in/n)n-1

despejando in se tiene la tasa nominal por periodo: in=n[(1+ie)1/n-1

Page 37: Presentacion ecci 1

Cuando la tasa nominal se capitaliza por “m” años , se obtienen para un añose despeja: (1+in/n)m=[(1+in/n)n]m=

F=P(+in/n)nm

in=m[(1+ie)n/m-1

Page 38: Presentacion ecci 1

Ejemplo ¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un depósito bancario de $ 1000.00 pactado al 48% de interésanual convertible mensualmente?

F=1000(1+0.04)12

F=1000(1.601032) F=1601.0322

I=F-P I=1601.0322-1000

i=I/P i=601.0322/1000 i=0.6010 la tasa efectiva de interés ganada es de 60.10%

Page 39: Presentacion ecci 1

ie=(1+in/n)n-1

ie=(1+0.48/12)12

-1

ie=(1.601032)-1

ie=.601032

ie=60.10%

el resultado es el mismo que el anterior

Usando la formula directamente se tiene:

Page 40: Presentacion ecci 1

Ejemplo de tasa nominal

Hallar la tasa nominal im capitalizable mensualmente equivalente a la tasa del 8% capitalizable o convertible semestralmente. Sustituyendo en la fórmula:

in=m[(1+ie)1/m-1] in=12[(1+0.08/2)2/12-1] in=12(0.0065)=0.078696

in=7.869%

Page 41: Presentacion ecci 1

AnualidadesAnualidades

Una anualidad es una serie de pagos periódicosa intervalos de tiempo iguales y generalmente del mismo montolos conceptos básicos para las anualidades son: * La renta * La renta anual * La plazo de la anualidad * El intervalo de pago o período * La tasa de una anualidad

Clasificación

Ciertas Contingentes

Anualidades a plazo fijo y rentas perpetuas

Por fecha de pago:anualidades vencidas u ordinariasanualidades anticipadasAnualidades diferidasanualidades perpetuas

Page 42: Presentacion ecci 1

CriterioCriterio Tipos de anualidadTipos de anualidad

a) A) Tiempo

B) Intereses

c) c)Pagos

D) Inicio

Ciertas Contigentes

SimplesGenerales

VencidasAnticipadas

Inmediatas diferidas

Page 43: Presentacion ecci 1

a) Anualidad cierta: sus fechas son fijas y se estipulan de antemano. Por ejemplo:

Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha que se debe de hacer el primer pago así como la fecha en que se realiza el último.

a) Anualidad contigente: tanto la fecha del primer pago como la fecha del último pago no se fijan con antelación sino que esta sucede por un hecho fortuito, por ejemplo las rentas vitalicias que se otorgan cuando fallece el conyuge, por lo que no se sabe cuando morirá.

b) B)

c) Cuando el periodo de pago coincide con el de la capitalización de los intereses, por ejemplo el pago de una renta determinada a una cierta tasa de interés.

A)

Page 44: Presentacion ecci 1

•Anualidades generales. En esta el periodo de pago no coincide con el periodo de capitalizaciónC)de acuerdo con los pagosanualidad vencida: los pagos se realizan al periodo de vencimiento

anualidad anticipada: los pagos se realizan antes de la fecha de vencimiento

0 1 2 3

....

0 1 2 3

....

Page 45: Presentacion ecci 1

D) Anualidad inmediata:

Es el caso más común y la realización de los cobros o pagos tiene lugar en el periodo inmediatamente siguiente ala formación del trato

Anualidad diferida:

Se pospone la realización de los cobros o pagos. Se adquiere hoy un artículo a crédito, para pagar con abonos mensuales , el primer pago habrá de hacerse por ejemplo seis meses después de haber adquirido la mercancía.

Page 46: Presentacion ecci 1

A=P[i/(1+(1+i)-n]

Valor Presente de una anualidad

Despejando

P=A[1-(1+i)-n/i

Page 47: Presentacion ecci 1

AMORTIZACIONES

En las finanzas, la expresión amortizar se utiliza para denominar un proceso financiero mediante el cual se extingue, gradualmente,

una deuda por medio de pagos periódicos, que pueden ser iguales o diferentes.En la

amortización de una deuda, cada pago o cuota que se entrega sirve para pagar los intereses y

reducir el importe de la duda.

Page 48: Presentacion ecci 1

Recomendaciones para elaborar el laboratorio

1. No es lo mismo tasa de interés que interés o intereses, la primera está expresadaen (%) porcentaje y la segunda en el tipo de moneda que se este manejando (pesos, dólares, etc.)

2. La tasa de interés y el tiempo debe de ir expresado en las mismas unidades, por ejemplo si tenemosperiodos semestrales, la tasa de interés debe estar expresada en una tasa de interés semestral.

3. No confundir periodo de capitalización con el término capitalización, porque el primero es sólo la frecuencia de conversión y el segundo esta relacionado con el valor futuro.

4. En esta presentación vienen insertadas hojas de cálculo; para que puedan activar la hojas sólo den doble click, y se activará, pero esto sólo se puede realizar en Windows 95 , 98, y Mileniun; en Windows XP no se pueden activar.

5. Consultar la siguiente bibliografía:

-Portus, Lincoyan. Matemáticas Financieras. Mc Graw Hill, México. 1998

-Díaz Mata, Matemáticas Financieras. Tercera edición. Edit Mc Graw Hill.

6. Si tienen alguna otra duda por favor dirigirse con los Asistentes.