OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS Y FUNCIONES

  Republica Bolivariana De Venezuela Instituto Universitario Politécnico

“Santiago Mariño” Extensión Maracay    

   

   

PROFESORA: YSABEL FLORES AUTOR: PABLO ROSALES SECCION:“SL” C.I = 20.245.891

    

  MARACAY, 26 DE NOVIEMBRE DE 2016 

   

CONCEPTOS BASICOS-DEFINICION Empezaremos con Qué es Optimización: Se conoce como Optimización que es la acción y efecto de

optimizar. Este verbo hace referencia a buscar la mejor manera de realizar una actividad. El término se utiliza mucho en el ámbito de la informática. En general, la optimización es empleada para que una tarea se realice más rápidamente. Pero este no siempre es el motivo; por ejemplo, en determinados casos lo más importante es que se consuma menos memoria, por lo tanto, se deben crear programas más lentos, pero que estén optimizados con respecto al consumo de la memoria. La optimización se hace siempre con respecto a uno o más recursos como ser: tiempo de ejecución, uso de memoria, espacio en disco, ancho de banda , consumo de energía, etc. Muchas veces la optimización de un recurso se hace a expensas de otros recursos.

Optimización de Sistemas:La optimización de software o de sistemas lo que busca es

adaptar los programas informáticos para que realicen sus tareas de la forma más eficiente posible. Virtualmente, existen infinitas maneras de desarrollar una misma aplicación, y uno de los factores más influyentes a la hora de crear el diseño es la arquitectura de hardware con la cual se desea trabajar. En pocas palabras, conseguir el mejor rendimiento en una plataforma enfocada en el tipo y la cantidad memoria es muy diferente a hacerlo en una cuyo fuerte es la velocidad de los procesadores. la optimización intenta aportar respuestas a un tipo general de problemas que consiste en seleccionar el mejor entre un conjunto de elementos.

A nivel general, la optimización puede realizarse en diversos ámbitos, pero siempre con el mismo objetivo: mejorar el funcionamiento de algo o el desarrollo de un proyecto a través de una gestión perfeccionada de los recursos. La optimización puede realizarse en distintos niveles, aunque lo recomendable es concretarla hacia el final de un proceso.

FORMAS DE LA FUNCION OBJETIVOSe identifica por la infinidad de soluciones factibles pero con

ningún punto de soluciones posibles, es decir no se soluciona el punto optimo ya que siempre habrá una solución aun mejor de la encontrada que es llamada exactamente una función optima. Este es el campo de la optimización  dedicado a maximizar o minimizar una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema de inecuaciones también lineales. Los métodos más recurridos para resolver problemas de programación lineal son algoritmos de pivote, en particular los algoritmos simplex.

Métodos de Optimización: MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE LAGRANGE:

En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamado así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones. Este método reduce el problema restringido con n variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para cada restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange.  El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores. La demostración usa derivadas parciales y la regla de la cadena para funciones de varias variables. Se trata de extraer una función implícita de las restricciones, y encontrar las condiciones para que las derivadas parciales con respecto a las variables independientes de la función sean iguales a cero.

Métodos de Optimización:CONDICIONES DE KARUSH-KUHN-TUCKER: Albert William Tucker Albert William Tucker (28 de

noviembre de 1905 – 25 de enero de 1995) fue un matemático estadounidense nacido en Canadá que realizó importantes contribuciones a la Topología, Teoría de juegos y a la Programación no lineal. En programación matemática, las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema de programación matemática sea óptima. Es una generalización del método de los Multiplicadores de Lagrange.  La importancia de este teorema radica en que nos muestra que podemos asociar una función de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la puerta de la potente herramienta del análisis matemático para el estudio del comportamiento.

Métodos de Optimización: Métodos iterativos:

usados para resolver problemas de programación no lineal difieren según lo que evalúen: Hessianas, gradientes, o solamente valores de función. Mientras que evaluando Hessianas (H) y gradientes (G) mejora la velocidad de convergencia, tales evaluaciones aumentan la complejidad computacional(o costo computacional) de cada iteración. En algunos casos, la complejidad computacional puede ser excesivamente alta.

Un importante criterio para los optimizadores es justo el número de evaluaciones de funciones requerido, como este con frecuencia es de por sí un gran esfuerzo computacional, usualmente mucho más esfuerzo que el del optimizador en sí, ya que en su mayoría tiene que operar sobre N variables. Las derivadas proveen información detallada para los optimizadores, pero son aún más costosas de calcular, por ejemplo aproximando el gradiente toma al menos N+1 evaluaciones de funciones.

Formulación de un problema:Para formular un problema de Optimización, seguir los siguientes lineamientos generales

después de leer con atención el enunciado del problema varias veces .Todo programa consta de cuatro partes: un conjunto de variables de decisión, los parámetros, la función objetivo y un conjunto de restricciones. Preguntas importantes a la hora de analizar un problema de optimización:¿Cuáles son las variables de decisión? Es decir, ¿cuáles con las entradas controlables? Defina las variables de decisión con precisión utilizando nombres descriptivos. Cuáles son los parámetros? Vale decir ¿cuáles son las entradas no controlables? Por lo general, son los valores numéricos constantes dados. Defina los parámetros con precisión utilizando nombres descriptivos. ¿Cuál es el objetivo? ¿Cuál es la función objetivo? Es decir, ¿qué quiere el dueño del problema? ¿De qué manera se relaciona el objetivo con las variables de decisión del dueño del problema? ¿Es un problema de maximización o minimización? El objetivo debe representar la meta del decisor. ¿Cuáles son las restricciones? Es decir, ¿qué requerimientos se deben cumplir? ¿Debería utilizar un tipo de restricción de desigualdad o igualdad? ¿Cuáles son las conexiones entre las variables? Escríbalas con palabras antes de volcarlas en forma matemática. Recuerde que la región factible tiene poco o nada que ver con la función objetivo (minim. o maxim.). Estas dos partes en cualquier formulación de PL generalmente provienen de dos fuentes distintas. La función objetivo se establece para cumplir con el deseo (objetivo) del decisor mientras que las restricciones que forman la región factible generalmente provienen del entorno del decisor que fija algunas limitaciones / condiciones para lograr su objetivo.

Procedimiento general para resolver un problema de optimización:Los problemas de optimización son aquellos que se ocupan de elegir la decisión óptima de un problema, es decir, encontrar cual es el máximo o mínimo de un determinado criterio (una función) sujeto a unas condiciones que nos da el problema, seguiremos una serie de pasos:

1) En primer lugar, establecemos cuál o cuáles son las incógnitas que nos plantea el problema.

2º. A continuación tenemos que buscar y plantear qué es lo que tenemos que maximizar o minimizar: f(x,y).

3) Después buscamos la condición que se nos plantea. En la mayoría de los problemas que nos encontremos, la función a maximizar o minimizar dependerá de dos variables, por tanto la condición nos permitirá relacionar estas dos variables para poner una en función de la otra.

4) Una vez, que hemos despejado una variable en función de la otra, supongamos y en función de x. Sustituimos en nuestra función a optimizar, quedándose ahora en función de una sola variable: f(x)

Procedimiento general para resolver un problema de optimización:5) Derivamos la función y la igualamos a cero: f´(x)=0.6) Una vez obtenidas las soluciones nos falta el último paso, comprobar

si realmente se trata de un máximo o un mínimo, para ello, realizamos la segunda derivada de tal forma que:– si f´´(x)0, entonces se trata de un mínimo.

7) El último paso, una vez que ya tenemos x, sería irnos al paso 3, donde habíamos despejado y, y hallar el valor de y, y damos la solución.

Problema de Optimización:Un taller tiene tres (3) tipos de máquinas A, B y C; puede

fabricar dos (2) productos 1 y 2, todos los productos tienen que ir a cada máquina y cada uno va en el mismo orden:

Primero a la máquina A, luego a la B y luego a la C. La tabla siguiente muestra:

1. Las horas requeridas en cada máquina, por unidad de producto2. Las horas totales disponibles para cada máquina, por semana 3. La ganancia por unidad vendida de cada productoTipo de Máquina = A, B, C Producto 1 = 2, 1, 4Producto 2 = 2, 2, 2Horas disponibles por semana = 16, 12, 28 Ganancias por Unidades = 1, 1,50.

Problema de Optimización:¿Que cantidad de cada producto (1 y 2) se debe manufacturar cada semana, para obtener la máxima ganancia? ¿Cuantas horas semanales sobran en cada departamento?

Formulación 1) Definición de las variables: Xj = Unidades semanales a producir del articulo j-ésimo ( j=1 y 2) 2) 2) Función objetivo: Maximizar Z = X1 + 1.5 X2 Con las siguientes restricciones (S.A:): 3) Restricciones: 2X1 + 2X2 ≤ 16 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la MQA X1 + 2X2 ≤ 12 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la

MQ B 4X1 + 2X2 ≤ 28 Restricción debida a las horas disponibles por semana de la

MQ C 4) Condición de no negatividad: Xj =0 ; j = 1 y 2

Problema de Optimización:5) Solución óptima x1= 4 x2=4 Z=10 Tiempo sobrante de cada máquina: Máquina A= Se usan todas las horas semanales disponibles Máquina B= Se usan todas las horas semanales disponibles Máquina C= Sobran 4 horas semanales

Agradecido por su máxima atención, Dios bendice.