Presentación Proyecto Métodos Interactivos

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 Presentado por: Ing. Romy Cristina Parrella Caracas, Junio 201 1

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Presentado por:

Ing. Romy Cristina Parrella

Caracas, Junio 2011

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Métodos Interactivos en PMO

CONTENIDO

Introducción

Clasificación de los Métodos Interactivos

Métodos Tradeoff Método GDF

Métodos de Generación de Soluciones

Método Ziontz - Wallenius

Métodos de Soluciones de ReferenciaMétodo VIA

Conclusiones

Bibliografía

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Métodos Interactivos en PMO

INTRODUCCIÓN:

En el enfoqueinteractivo

Decisor 

Preferencias

Proceso deResolución

Alternativa mejor entre todas las

posibles

Incorporación

Conducir a «

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Métodos Interactivos en PMO

INTRODUCCIÓN:

Con vistas a la incorporación de la

información suministrada por el

decisor, al modelo

ProcesoIterativo

Cálculo

Diálogo

Característica de los problemas de programación multiobjetivo: poseer un

número muy grande de soluciones eficientes sobre las cuales es difícil que el

decisor pueda concretar, a priori y con precisión

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Las preferencias locales del decisor son establecidas sobre elementos delconjunto de puntos eficientes

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La clasificación de los métodos interactivos de acuerdo a la información

proporcionada por el decisor:

GDF

SPOT

ISWTZionts-Wallenius

Tchebychev STEM

VIA

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INTEREST

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La clasificación de los métodos interactivos de acuerdo a la información

proporcionada por el decisor:

GDF

SPOT

ISWT

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el decisor en cada iteración deberá proporcionar los tradeoffs ó tasas de

intercambio entre objetivos de forma local

desarrollados para problemas multiobjetivos convexos

 

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GDF: Geoffrion, Dyer y Feinberg

Asumir que las preferencias del decisor son descritas mediante una

función de utilidad cóncava, diferenciable y creciente en los objetivos.

Se asume que dicha función no es conocida explícitamente por el decisor.

El propósito del procedimiento es determinar el máximo de dicha función

Utiliza el algoritmo de frank wolfe para ir buscando una dirección

ascendente en la utilidad del decisor.

 

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Métodos Interactivos en PMO

GDF: Geoffrion, Dyer y Feinberg

Considerar una aproximación lineal local de la función de utilidad del

decisor 

Los valores suministrados por el decisor proporcionan los pesos de cada

uno de los objetivos en la función de utilidad que, vista localmente, adopta

una forma lineal

Estos valores no son más que los coeficientes de dicha función respecto a

los objetivos.

 

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La clasificación de los métodos interactivos de acuerdo a la información

proporcionada por el decisor:

Zionts-Wallenius

Tchebychev

Métodos Interactivos en PMO

En cada iteración, la única interacción con el decisor se lleva

a cabo mediante la presentación de un conjunto de solucionespara que éste elija la más preferida.

Si, dada esta solución elegida, el decisor no está totalmente

satisfecho con la misma como solución final, se llevará a cabootra iteración del método.

 

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ZIONTS ² WALLENIUS: Un método de Programación Interactivo para Resolver 

Problemas Multicriterio

Se parte de las siguientes premisas:

 p objetivos u i 

variables de decisión: x1, x2,«, xn ( x )

La función de utilidad U: una función lineal

de las variables función objetivo ui, i = 1, «, p

los pesos precisos entales funciones no son

explícitamente conocidos

  A: matriz de orden apropiado

B: vector de orden apropiado

x: vector de variables de decisión de

orden apropiado

Conjunto de restricciones (aprox. Linealizados):

 

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ZIONTS ² WALLENIUS: Un método de Programación Interactivo para Resolver 

Problemas Multicriterio

Se parte de las siguientes premisas:

Forma de la función objetivo:

Esta función puede aproximarse tan exacta como sea posible,

por un conjunto de restricciones

f i  j : vector fila de orden apropiado

g i  j : constante

ui : valor de la función objetivo f i (x)Conjunto de restricciones:E = I  una matriz identidad

D matriz de todas las funciones

objetivo

 

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Problemas Multicriterio

Se parte de las siguientes premisas:

Otra restricción tomada en cuenta:

Conjunto de pesos:

Niveles mínimos

absolutos de u

Herramientas adicionales para hacer uso de las respuestas del decisor:

Satisface la siguiente

expresión:

es un número positivo

suficientemente pequeño

La función objetivo:

 

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 x j variable no básica

wij decrecimiento en la función objetivo ui

³Ud. Está decidiendo aceptar una reducción en la función objetivo

u1 de w1j , una reducción del objetivo u2 de w2j , y una reducción

del objetivo upj de wpj ?

Responda sí, no, ó si le es indiferente´

Debido a algún

incremento especificado

en x j

Herramientas adicionales para hacer uso de las respuestas del decisor:

Para cada variable

eficiente, habrá al

menos un w ij positivo y

uno negativo.

 

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Problemas Multicriterio

Para cada respuesta ³sí´ se construye:

Herramientas adicionales para hacer uso de las respuestas del decisor:

Para cada respuesta ³no´ se construye:

Para cada respuesta ³indiferente´ se construye:

Usadas además para eliminar 

las variables

eficientes de las preguntas de

las sesiones subsecuentes

 

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Problemas Multicriterio

Es análogo al método simplex ------- solo se consideran las soluciones en los

puntos extremos del conjunto de restricciones de las ecuaciones:

Procedimiento:

 

Función de utilidad asumida como lineal ------ existe una solución óptima en un

punto extremo

 

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Problemas Multicriterio

Procedimiento:Se genera una solución en un punto

extremo arbitrario

Para cada punto extremo, se le pide al

decisor evaluar una o más variables

no básicas

Esto es, especificar el conjunto de

cambios marginales asociados, si es

atractivo o no que la variable no

básica sea incrementada.

El coeficiente de la variable no básica en la fila del

tablero simplex, da la cantidad por la cual el objetivo ui 

se reduce por cada unidad de variables no básicas

introducida

Cuando se encuentre la variable no

básica atractiva, esta se introduce en

la base

De otra manera, son evaluadasvariables no básicas adicionales

hasta encontrar una aceptable.

Cuando se alcanza una base en la

cual ninguna variale no básica es

atractiva al decisor, la solución es

óptima

 

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Ejemplo que ilustra el método:

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Sean las siguientes funciones objetivo:

Sujetas a las siguientes restricciones:

 

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Ejemplo que ilustra el método:

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puntos extremos factibles y las funciones objetivo

para cada punto extremo:

Las soluciones E, G e I

están dominadas

los 6 puntos

restantes son

eficientes.

 

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Problemas Multicriterio

Se asume la función de utilidad:

selección arbitraria:

se utilizó solo el

conocimiento de esta

función respondiendo

las preguntas sí o no

Inicialización:

maximizar la siguiente expresión :

 1 = 2 = 3 = 0.333

Sujeta a las

restricciones del

problema

 

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La solución óptima corresponde con el punto D

se utilizó solo el

conocimiento de esta

función respondiendo

las preguntas sí o no

Las variables no básicas son:

x1 = x3 = x5 y x6

Los costos reducidos para cada una de las tres funciones objetivo

 

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Resolviendo la siguiente secuencia se obtienen los valores de los multiplicadores :

  minimizar:

sujeto a:

minimizar:

 

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También las variables x3 y x6 ofrecen compensaciones eficientes

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Problemas Multicriterio

Como el mínimo es negativo ( 1 = 0.818, 2 = 0.182, 3 = 0)

las compensaciones ofrecidas por x1 son eficientes

Ya sea que el decisor 

guste o no de cada

conjunto de soluciones

compromiso eficientes

 Así, se tiene que, para x1 el decisor decide aceptar :

u1

2 unidades

u2

0.5 unidades

u3

4.5 unidades

 

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Se computa una evaluación:

Hay un incremento neto en la utilidad del decisor,

él preferirá ese conjunto de soluciones compromiso

El decisor NO elige las compensaciones propuestas por x3 y x6

Se generan las desigualdades * y se consigue una solución eficiente para el conjunto de

restricciones (fijando arbitrariamente = 0.001 )

 

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Se obtiene la solución básica factible: 1 = 0.777, 2 = 0.222, 3 = 0.001

Se usan estos multiplicadores para generar la nueva función de utilidad

Debe maximizarse s.a. las restricciones del problema original

Se encuentra que el óptimo es el punto extremo Acuyas variables básicas son: x2, x4,x5 y x6

Búsqueda de variables eficientes para estas variablesUsando restricciones derivadas a partir de las respuestas

A la compensación temprana

Las únicas

compensaciones

eficientes son lasasociadas a x

4

Evaluación

 

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ZIONTS ² WALLENIUS: Un método de Programación Interactivo para Resolver 

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Como el conjunto es atractivo, las compensaciones son usadas para generar las restricciones:

Una solución factible es:

1.51 ± 2.5 2 -2 3 <= - 0.001 Que se adicionan a las

restricciones *

Se usan estos multiplicadores para generar la función de utilidad

Se encuentra que la solución óptima al problema original es la B y

Ninguna de las variables no básicas en el extremo B son eficientes

Por lo tanto, la solución B es la óptima

 

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ZIONTS ² WALLENIUS: Un método de Programación Interactivo para Resolver 

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CONCLUSIÓN:

Hay un incremento estricto de la utilidad desde la primera solución eficiente encontrada

D a la segunda A, y luego, desde ésta a la óptima, B

 

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La clasificación de los métodos interactivos de acuerdo a la información

proporcionada por el decisor:

STEM

VIA

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En cada iteración el decisor proporciona un valor de

referencia para cada objetivo.

Estos niveles de referencia, o metas, han de estar de

acuerdo con las preferencias del decisor.

Para ir de una iteración a otra, se basan en la minimización

de una distancia, la que existe entre el punto de referencia y el

conjunto de oportunidades.

  

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VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

Características Relevantes:

No depende de ningún supuesto relacionado con una función de

utilidad de la unidad de decisión

Combina los métodos de Geoffrion et al., Wierzbicki y Ziontz- Wallenius,

Incorporando nuevas ideas de los autores Korhonen y Laakso.

Usa un método de proyección d e g rad iente mod i f icad o , pero no hace

esfuerzos en estimar la dirección del gradiente

Las direcciones de búsqueda se determinan usando ´direcciones de referenciaµ.

Se realiza una búsqueda lineal interactiva a lo largo de la curva obtenida.

 

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Métodos Interactivos en PMO

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

Características Relevantes:

Las direcciones de búsqueda se determinan usando ´direcciones de referencia´

De acuerdo a las preferencias del decisor.

Se realiza una búsqueda lineal interactiva a lo largo de la curva obtenida.

Cada direcciónde referencia Frontera 

eficiente Curva que atraviesa

la frontera

proyección

 

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VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

Características Relevantes:

Se muestran al decisor los valores de los objetivos a lo largo de la curva,

para su evaluación.

Si el decisor no puede encontrar un punto factible en el que su utilidad

es más alta que en el punto actual, el método chequea si hay las condiciones

de optimalidad suficientes.

En caso negativo, se encuentra inmediatamente la

solución factible mejorada

 

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Métodos Interactivos en PMO

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

Se parte de las siguientes premisas:

Problemas del tipo:

f (x)=( f1(x), f2 (x),«, f r (x)) r-vector de funciones objetivo

u: la función de utilidad (desconocida) del decisor 

x: es un vector de variables de decisión

X: es el conjunto de decisiones factibles

Se asume que

todas las funcionesobjetivo deben ser 

maximizadas

El conjunto de vectores ef i c i entes, Q*, está definido como:

 

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Algoritmo Método VIA1. Encontrar un puntoarbitrario q 0  en el espacio de

criterios. Haga k=1

2. Especificar un vector gk y

tome el vector dk

= gk

- qk-1

como la nueva dirección dereferencia

3. Encontrar el conjunto Qk de vectores eficientes q queresuelva el problema:

t se incrementadesde cero hasta

infinitos es una función de

escalarizaciónw es un vector deponderación

4. Encontrar la soluciónpreferida qk en Qk

5. qk-1  qk ?hacer k= k+1

6. Chequear las condiciones deoptimalidad

No

SíFIN: qk es unasolución óptima

8. Hacer  k= k+1 y dk = unanueva dirección de búsqueda

identificado por el

procedimiento de chequeo deoptimalidad

No

7. Se satisfacenlas condiciones

?

 

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VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

V ector q 0 no tiene que ser eficiente o incluso factible

se proyecta sobre la frontera eficiente (paso 2) 

ector gk   puede elegirse para ser el vector de ³objetivos de referencia´

En lugar de examinar solo un conjunto discreto de puntos eficientes

que están ³cerca´ de los niveles de aspiración del decisor,

se examina una curva eficiente completa que atraviesa la frontera eficiente

La solución al problema en el paso 2 define una curva eficiente que emana

a partir del punto qk-1 (o su proyección, si k=1) 

atravesando el límite de la f rontera ef iciente

 

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Métodos Interactivos en PMO

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

No se examina solo un

conjunto discreto de

puntos eficientes ubicados

cerca de los niveles de

aspiración del decisor 

Se examina una curva eficiente

completa que atraviesa la curva

eficiente

 

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Métodos Interactivos en PMO

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

La curva mencionada en el punto anterior es presentada al decisor, quien

debe indicar cuál punto sobre la curva es el que más prefiere

Se usa entonces nuevamente la aproximación de Wierzbicki,se especifica primero el logro de la f unción d e escalarización s como sigue:

w = (w1, w2,«,wr ) es un vector deponderaciónz : vector arbitrario en el espacio

de criteriosq = (q1, q2,«,qr ) es un vector factible de valores de funciónobjetivo

 

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Métodos Interactivos en PMO

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

el problema en el paso 2 se convierte en:

El parámetro t seincrementa desde cerohasta infinito.

se obtiene una curva eficiente emanada a

partir de el punto q k-1 que atraviesa el límitede la frontera eficiente.

 

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Métodos Interactivos en PMO

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

Veamos un ejemplo que ilustra el método:

Sea el siguiente problema:

Las funciones objetivo:

Todas a ser 

maximizadas

La función de utilidad planteada:

 

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Métodos Interactivos en PMO

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

f 1= 2.5, f 2 = 1.5, f 3= 2.5 

La solución óptima del problema:No es un punto

extremo, es un

punto interior del

espacio CDEF

La mejor solución

de punto extremopara este

problema donde

f = ( 1, 4, 1 ), está

muy lejos la

solución óptima

 

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Métodos Interactivos en PMO

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

La mejor solución de punto extremo puede en algunas situaciones, como estas,

ser soluciones más bien pobres y se requiere un método de examinación.

SESIÓN INTERACTIVA

Se simula el comportamiento del decisor utilizando la función de

utilidad:

¿Cómo se selecciona la solución preferida sobre la curva eficiente

que se está examinando? (paso3)

Será aquella en la cual la f unc ión d e ut ilidad asume su más alto

valor 

  

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Métodos Interactivos en PMO

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

Se define la solución inicial, q0, un vector eficiente

correspondiente al vector de objetivos de referencia

especificadospor el decisor.Se supone que g0, vector de objetivos de

referencia es g0 = (1, 6, 1) (paso2)

Vector eficiente obtenido, mediante la

función de escalarización:

w = g 0 es q0 = ( 0.706, 4.24, 0.706)Si al decisor no le satisface

la solución, se le pide

especificar un nuevo

objetivo de referencia

  

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Métodos Interactivos en PMO

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

Se asume que el decisor está dispuesto a incrementar los valores

del primer y tercer objetivo:

Se tomará como vector objetivo de referencia del

decisor (paso 1) 

g 1= (2, 3, 2.5)

Para la línea de búsqueda e identificación de la curvaeficiente (paso 2) se usa el problema de programación lineal

paramétrico siguiente:

Toma en cuenta además las

restricciones del problema

original

2. Especificar un vector gk

y tome el vector dk = gk -

qk-1 como la nuevadirección de referencia

  

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Métodos Interactivos en PMO

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

El punto q0 y los puntos en los cuales las nuevas restricciones del problema se hacen

completamente activas, define el tramo de la curva lineal eficiente:

y

Luego, los valores de las funciones objetivo a lo largo de lacurva son graficadas en la pantalla :

  

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Métodos Interactivos en PMO

Con base en la f unc ión d e ut ilidad , el decisor seleccionaría el

siguiente punto, como el mejor sobre la curva

(2.18, 1.30, 2.96) 

Nueva Iteración:

Se asume que el decisor quiere incrementar el primer y segundo

objetivo y que su vector objetivo de referencia en la segunda

iteración es:

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

  

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Métodos Interactivos en PMO

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

La curva eficiente que resuelve el problema de programación lineal paramétrico en el

paso 2 se define por los puntos:

y

El decisor seleccionaría el punto (

2

.48,1

.57,2

.48) como lamejor solución en el paso 3:

 

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Métodos Interactivos en PMO

¿Nueva Iteración?

El decisor puede que quiera incrementar el valor del primer objetivo

ligeramente. Dará el siguiente dato:

g3 = (2.8,1.6, 2.6) su nuevo vector objetivo dereferencia

Se obtendrá una curva eficiente que pase a través de los puntos

(2.48, 1.57, 2.4), (5.44, 0, 0.56) y (6, 0, 0)

El mejor punto sobre la curva resulta ser la misma que en la iteración anterior:

(2.48, 1.57, 2.48)

VIA: Un Método Interactivo Visual para Resolver Problemas Multicriterio

 

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Métodos Interactivos en PMO

La dirección de búsqueda puede ser reversada y obtenerse una nueva

curva eficiente

(2.48, 1.57, 2.48), (0, 2.87, 4.08) y (0, 0, 6).

 Atraviesa estos

puntos

Si, el decisor no puede encontrar un punto sobre la curva que prefiera

más que el punto (2.48, 1.57, 2.48), el algoritmo termina.

FIN

 

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INTEREST

Se basa en la aproximación de la función de alcance-escalarización.

 Adapta la filosofía del punto de referencia a problemas

estocásticos.

Dado que el problema es estocástico, ninguna solución asegura

alcanzar al final algún nivel de referencia.

En cada iteración al decisor se le pide que de para cada objetivo,

no solo un nivel de referencia sino también una probabilidad

deseada de alcanzar ese nivel.

  

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia paraProblemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

La estructura de la información dada por el decisor para cada objetivo,

sería como sigue:

³M e g ustaría alcanzar el valor u , con al menos una probabili d ad ´ 

Se obtiene una solución eficiente usando la función de alcance-

escalarización con ponderaciónes normalizadas.

Se genera para el decisor, compensaciones entre los diferentes

objetivos, así como también la naturaleza estocástica del problema.

En cada iteración indicadores estadísticos como: valores esperados,

desviaciones estándar y cuantiles.

Diseñadas para

problemas

estocásticos

 

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 es un vector aleatorio cuyos componentes son variables contínuas

aleatorias definidas sobre el conjunto .

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia paraProblemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Se parte de las siguientes premisas:

El tipo de problema multiobjetivo estocástico a ser considerado tiene la siguiente

estructura:

Stochastic

Multiobjective

Programming

Problems

x Rn es un vector de variables de decisión del problema

Funciones

objetivo,

definidas enRn x E

 

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Se asume:

Familia de eventosF un subconjunto de E

La distribución de probabilidad P definida sobre F

la probabilidad de A, P (A)

Conocidas para

cualquier  A  F

Independiente de

las variables de

decisión:

x1,«, xnEl conjunto factible del problema es no vacío y

compacto

  

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Concepto de eficiencia ( -ef iciencia) para problemas SMOP:

Dado un vector de probabilidades , = (1 ,  2 ,«, q )

Si existe un u  Rq tal que (x, u) es una solución eficiente para el problema

se dice que x* D es una solución eficiente

con probabilidades  para SMOP

 

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Considerando el siguiente problema general de programación

multiobjetivo:

El vector de niveles de referencia para cada objetivo:

vector de pesos estrictamente positivos

 

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

La función de alcance-escalarización definida por Wierzbicki

Por minimización de esta función sobre el conjunto factible

de forma equivalente, por resolución del siguiente problema

   

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

El procedimiento interactivo basado en el punto de referencia

obtiene una nueva solución eficiente

de acuerdo a la información suministrada por el decisor 

( el punto de referencia , y/o el vector de pesos )

Esta función de alcance extiende la distancia minmax en el sentido siguiente:

si los valores de referencia k, k=1,«,q, no son simultáneamente

alcanzables, entonces la función s es la distancia minmax.

 

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Métodos Interactivos en PMO

INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Si estos valores son alcanzables:

Entonces los valores óptimos alcanzados usando la función s

mejora el nivel de referencia dado ³tanto como sea posible´.

Como resultado, siempre se obtiene una (débil) solución eficiente

   

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

En cada iteración h,

se le pide al decisor dar, para cada objetivo k  (k= 1,2,«,q), lo siguiente:

Un nivel de referencia uk-h el cual el decisor desea

alcanzar comofunción estocástica

La probabilidad mínima,  kh, para alcanzar tal nivel, esto es

  kh

Dados estos dos valores para cada objetivo,

se obtiene una nueva solución xh

usando una aproximación de un punto de referencia

adaptado con la función de alcance-escalarización s

con las

restricciones ya

mencionadas, que

reflejan lasprobabilidades

mínimas

 

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Esto significa que un problema como este se ha resuelto:

la solución óptima del problema es:

 Al menos

débilmente

eficiente

con probabilidades   1h,  2

h,«, qh

Si la solución

es única

también es

eficiente

Dada la definición de

eficiencia con

probabilidades y dadas

las soluciones existentes

para el método de punto

de referencia

  

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es la solución óptima del siguiente problema:

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Los pesos ukh han sido construidos con propósitos de normalización y

se obtienen de la siguiente manera:

Esto es, el valor máximo alcanzable para la k-ésima función objetivo tomando en cuenta

la probabilidad mínima dada por el decisor 

El ´valor ideal delobjetivoµ en

términos estocásticos

  

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

es la solución óptima para el siguiente problema:

esto es, el valor que la función objetivo puede tomar, con una probabilidad de 0.99

otra probabilidad cercana auno puede usarse y la

solución constituye una

aproximación del valor anti-ideal del objetivo, en el

sentido estocástico

En la información mostrada al decisor en cada iteración, es importante ayudarle a

entender que el resultado final real (esto es, los valores de las funciones objetivo

estocásticas) no es determinístico.

Los valores de las funcionesobjetivo estocásticas

 

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Esta es la información que se le provee de forma gráfica al decisor, en cada iteración:

Ninguna solución producida por cualquiera de los criterios existentes elimina laaleatoriedad del problema, y el resultado final dependerá de los resultados finales

alcanzados por los parámetros aleatorios

valor que cada objetivo puede (al menos) alcanzar con las probabilidades actuales,

es decir, el valor de tal que:

La probabilidad de alcanzar un valor mejor o igual al nivel de referencia dado por el decisor, es decir,

un valor tal que

 

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Métodos Interactivos en PMO

INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Los valores alcanzables para cada función objetivo, con probabilidades 0.25, 0.5 y

0.75, es decir, los valores tal que:

El valor esperado:

Y la desviación estándar:

de cada

función objetivoen la solución

actualLa distribución de probabilidad de se

muestra también, si es posible

 

Obtener el vector

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Resolviendo el problema Ec. 19

Para cada k = 1, , q, resolver el sistema Ec. 18 para

las probabilidades iniciales dadask0 =0.5

Hacer que:

Sean los valores óptimos de las funciones objetivo delproblema.

Hacer h = 0. Considerar los valores iniciales

Resolver el sistema Ec. 17, y se denotará la solución

óptima del decisor como:

donde:

uh = (uh1,, uhq) son los valores óptimos de las

funcionesobjetivo.

Paso 0 (ideal y no ideal)

Paso 0 (ideal y no ideal)

Paso 1:

Inicialización

Paso 2:

Solución

Algoritmo Método INTEREST

 

Algoritmo Método INTEREST

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Algoritmo Método INTERESTCalcular y mostrar la información descrita en losapartados a, b, c, d y e al decisor, junto con la

solución actual xh .

 Al decisor lesatisfacen los

valores actuales delos objetivos?

 x h es la solución

final. FIN

Se hace h = h+1 y para cada objetivo

Se le pide al decisor provea la siguiente información:

-el nivel que quiere que el objetivo alcance,

-La probabilidad que está dispuesto a aceptar y que no puede

flexibilizarse.

No

Para cada objetivo, tal que:

Resolver el problema:

Hacer la solución óptima del objetivo k . Ir al paso 2.

Paso 3:

Mostrarinformación aldecisor

Paso 4:

Obtener

mayorinformacióndel decisor

Paso 5:

Actualizar lospesos denormalización

 

Mét d I t ti PMO

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Métodos Interactivos en PMO

INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Ejemplo que ilustra el método

Se considera el siguiente problema estocástico bi-objetivo:

Donde:

 

Mét d I t ti PMO

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Métodos Interactivos en PMO

INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Esto implica que ambos objetivos estocásticos siguen una distribución normal,

con valores esperados:

y varianzas respectivas:

 

Mét d I t ti PMO

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Métodos Interactivos en PMO

INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

El conjunto factible de este problema es la región sombreada :

 

Métodos Interactivos en PMO

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Métodos Interactivos en PMO

INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Proceso Iterativo - Interactivo

Iteración Paso 0

Es llevada a cabo tomando en cuenta los valores esperados de cada función

objetivo (50 y 104, respectivamente, en este caso) como los niveles de referencia

Se consideran ambas probabilidades iguales a 0.5

Con esta data, la primera solución mostrada al decisor es el punto A en la figura 4, con lainformación adicional mostrada :

 

Métodos Interactivos en PMO

 

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Métodos Interactivos en PMO

INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Diferentes niveles de referencia de la variable aleatoria en el eje de las abcisas

La flecha muestra la

probabilidad de la

función objetivo deser mayor o igual

que cada nivel dado

Información dadapor los cuantiles

 

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Métodos Interactivos en PMO

INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Lo mostrado en la figura anterior:

Los niveles que pueden ser (al menos) alcanzados con la probabilidad dadapor el decisor ( 0.5 en este ejemplo)

La probabilidad de alcanzar el valor de referenciadado por el decisor 

Los niveles alcanzables correspondientes a los cuantiles 0.25, 0.5 y 0.75

El valor esperado y la varianza de cada objetivo estocástico

El la información dada directamente por el decisor están represenctadas conuna línea contínua

 

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Métodos Interactivos en PMO

INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

 Asumiendo que el decisor no está satisfecho con estos valores, se procede a la

próxima iteración. Iteración 1

El decisor da los siguientes valores (optimistas):

Objetivo1: Nivel de referencia: 30, con probabilidad: 0.85

Objetivo2: Nivel de referencia: 60, con probabilidad: 0.85

Dados estos valores, la solución óptima es (punto B de la figura)

 

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

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Con la información adicional:

 

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

En esta iteración, el decisor ha incrementado las probabilidades y ha reducido los niveles de

referencia.

Como resultado, los valores promedio y la dispersión de los objetivos también

han sido reducidos.

 Además, los niveles alcanzables de las funciones objetivo se han reducido también.

La solución óptima de esta iteración tiene un nivel de riesgo significativamente menor 

que la anterior (esto significa que el rango de variabilidad de ambos objetivos se ha reducido).

 

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Por otro lado, se observa que los niveles que las funciones objetivo pueden (al menos)

alcanzar con las probabilidades dadas (-1.109 para el primer objetivo, 0.323 para la segunda)

están lejos de los niveles de referencia establecidos por el decisor (30 y 60 respectivamente).

Por lo tanto, esta solución pone de relieve la compensación existente entre las probabilidad es y

los niveles de referencia, y así, el decisor puede leer acerca de la posible influencia de la

probabilidad en la solución final.

Se asume que el decisor se da cuenta de que los niveles dados en la iteración 1 son demasiado

estrictos, y así, decide suavizarlos en la siguiente iteración.

 

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

Iteración - paso 2:

El decisor da los siguientes valores (más pesimistas):

Objetivo1: Nivel de referencia: 30, con probabilidad: 0.7Objetivo2: Nivel de referencia: 50, con probabilidad: 0.6

Dados estos valores, la solución resultante es (punto C de la figura)

 

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

La nueva solución alcanza el nivel de referencia fijado por el decisor. Un análisis de estasolución muestra lo siguiente:

Esta solución es drásticamente diferente a la obtenida en la iteración 1.

Los niveles y dispersiones de ambos objetivos estocásticos han sido incrementados.

Además de esto, la dispersión del objetivo 2 es comparativamente más alto que este del objetivo 1.

Esto es el resultado de haber fijado una probabilidad mínima más pequeña para el objetivo 2 que

para el objetivo 1.

 

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INTEREST : Procedimiento Interactivo basado en un Punto de Referencia para

Problemas de Programación Multiobjetivo Estocásticos

El decisor puede leer acerca de la compensación entre el nivel y la probabilidad en un problema

estocástico, y acerca de la importancia de reducir las probabilidades mínimas del problema.

En esta solución, con las probabilidades mínimas dadas, ambos objetivos alcanzan niveles másaltos que los niveles de referencia dados por el decisor, esto significa que los niveles de referencia

están actualmente mejorados en la solución.

Por lo tanto, se asume que el decisor decide iterar de nuevo, para buscar mejorar la solución.

 

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Iteración - paso 3:

El decisor da los siguientes valores (más pesimistas):

Objetivo1: Nivel de referencia: 35, con probabilidad: 0.75

Objetivo2: Nivel de referencia: 55, con probabilidad: 0.6

Dados estos valores, la solución resultante es (punto D de la figura)

 

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En esta nueva solución, la probabilidad del primer objetivo ha sido mejorado mientras que los

valores de ambas funciones objetivo han sido ligeramente empeorados.

Esta es una consecuencia lógica de los nuevos niveles de referencia y de las probabilidades

mínimas fijadas por el decisor.

Se asumirá que el decisor queda satisfecho con estos valores y así el proceso queda terminado.

FIN

 

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SELECCIÓN SUBJETIVA DE LOS MÉTODOS INTERACTIVOS

Según el tipode algo  empleadoen su resolución

Tipo de información requerida al decisor 

Cantidad de soluciones 

a analizar encada iteración

Dificultad Operativa del Método (bajo, medio, alto)

al incrementar el número de ob jetivos

Requerimientos previode  información al decisor (sí, no)

Grado de intervención del decisor en la generación

de soluciones (alto, medio, bajo)

Dificu

ltad operativadel método alincrementar el númerode restriccioneso variables(bajo, medio, alto)

Dific

u

ltad con qu

e puede encontrarse el decisor frente a 

la informaciónque se le solicita

Posibilidad de qu

e se produzcan Inconsistencias

(sí, no)

Cantidad de soluciones a analizar en

cada iteración

Número de programaciones 

entre iteraciones para generar una o varias 

soluciones

Conocimientos previos del analista para el desarrollo de

cada método

Laboriosidad en la obtención de nuevas

soluciones 

(baja, media,alta)

 

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CONCLUSIONES

1. En el método Ziontz ² Wallenius los pesos de las variables nobásicas en cada iteración son las que determinan los cambios en lafunción de utilidad

2. El uso del método VIA es más sencillo que el del método de Ziontz² Wallenius.

 

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BIBLIOGRAFÍA

MARTÍN, P.(1992): ´Una Evaluación Crítica de los Métodos Interactivos deProgramación Multicriterioµ. Trabajos de Investigación Operativa. Vol. 7. Núm.1,pp.173 a 193.

CABALLERO, R.(S/F): ´Métodos Interactivos en Programación Fraccionalµ.Departamento de Economía Aplicada. Facultad de Ciencias Económicas yEmpresariales. Universidad de Málaga. s/ Vol. s/Núm.1, s/pp.

 

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BIBLIOGRAFÍA

MARTÍN, C.(1987): ´Un Algoritomo Interactivo Basado en la Distancia delMáximo Ponderadoµ. Trabajos de Investigación Operativa. Vol. 2. Núm.1, pp.81 a92.

MAINO, M.(S/F): ´Programación Multicriterio:Un Instrumento para el Diseñode Sistemas de Producciónµ. Red Internacional de Metodología de Investigación deSistemas de Producción. s/ Vol. s/Núm.1, s/pp.

 

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BIBLIOGRAFÍA

ZIONTS, S.(1976): ´An Interactive Programming Method for Solving theMultiple Criteria Problemµ. Management Science. Vol. 22. Núm.6, pp.652

KORHONEN, P.(1986): ´A Visual Interactive Method for Solving the Multiple

Criteria Problemµ. European Journal of Operational Research. Vol. 24. pp.277 ²287.

MUÑOZ, M.(2010): ´INTEREST A Reference-Point-Based InteractiveProcedure for Stochastic Multiob jetive Programming Problemsµ. OR Spectrum.

Vol. 32. pp.195 ² 210.

 

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