𝟐𝒙𝟐+𝟓 𝒚𝟐+𝟒𝒙𝒚 +𝟐𝒙− 𝒚−𝟏𝟗𝟒

=𝟎

(𝒙 ,𝒚 ) [𝟐 𝟐𝟐 𝟓] [𝒙𝒚 ]+𝐱− 𝐲−𝟏𝟗𝟒 =𝟎

Hallando valores propios

[𝟐−𝝀 𝟐𝟐 𝟓−𝝀 ]

Igualando el determinante a cero

(𝟐−𝝀 ) (𝟓−𝝀)−𝟒=𝟎𝝀𝟐−𝟕𝝀+𝟏𝟎−𝟒=𝟎

𝝀𝟐−𝟕𝝀+𝟔=𝟎(𝝀−𝟔 ) (𝝀−𝟏 )=𝟎𝝀=𝟔 𝒚 𝝀=𝟏Hallando vectores propios

𝝀=𝟔 = −𝟒 𝟐

𝟐 −𝟏|𝟎𝟎Escalonando el sistema−𝟒 𝟐𝟎 𝟎|𝟎𝟎 −𝟒 𝒙+𝟐 𝒚=𝟎

𝒚=𝜶

𝒙=𝟏𝟐𝜶

(𝒙 ,𝒚 )=𝜶 (𝟏𝟐,𝟏)Recuerde trabajar con enteros𝒔𝒊𝜶=𝟐⇒𝒗𝟏=(𝟏 ,𝟐)

Hallando vectores propios

𝝀=𝟏 = 𝟏 𝟐

𝟐 𝟒|𝟎𝟎 Escalonando el sistema𝟏 𝟐𝟎 𝟎|𝟎𝟎 𝒙+𝟐 𝒚=𝟎

𝒗𝟐=𝜶 (−𝟐 ,𝟏)𝒚=𝜶𝒙=−𝟐𝜶

La matriz de transformación:𝑷=[𝟏 −𝟐𝟐 𝟏 ]

Donde cada columna es un vector propio, además se observa que es una matriz ortogonal

La matriz

debe ser ortonor

mal

Volviéndola normal:𝑷 ∗=[ 𝟏√𝟓 −𝟐

√𝟓𝟐√𝟓

𝟏√𝟓 ] Ahora es

ortonormal

La ecuación inicial debe ser modificada por:(𝒙 ,𝒚 )=𝑷 ∗(𝒙∗

𝒚∗)𝒙=

𝟏√𝟓

𝒙∗−𝟐√𝟓

𝒚∗

𝒚= 𝟐√𝟓

𝒙∗+ 𝟏√𝟓

𝒚∗

𝟐𝒙𝟐+𝟓 𝒚𝟐+𝟒𝒙𝒚 +𝟐𝒙− 𝒚−𝟏𝟗𝟒

=𝟎

𝟐( 𝟏√𝟓

𝒙∗−𝟐√𝟓

𝒚 ∗)𝟐

+𝟓( 𝟐√𝟓

𝒙∗+ 𝟏√𝟓

𝒚∗)𝟐

+𝟒 ( 𝟏√𝟓

𝒙∗−𝟐√𝟓

𝒚∗)( 𝟐√𝟓

𝒙∗+ 𝟏√𝟓

𝒚∗)

El centro de coordenadas dela Elipse es el punto de traslación

𝑷 ∗=[ 𝟏√𝟓 −𝟐√𝟓

𝟐√𝟓

𝟏√𝟓 ] En la matriz de transformación el primer

vector muestra el ángulo de rotación de las coordenadas

( 𝟏√𝟓 , 𝟐√𝟓 )=(𝑪𝒐𝒔 𝜶 ,𝑺𝒆𝒏𝜶 ) 𝑻𝒈𝜶=𝟐≅𝟔𝟑 .𝟒𝟒

x

y

𝒙∗

𝒚∗