Presentaciones quincena 3

8/18/2019 Presentaciones quincena 3

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Ingenieria económica Gr. 08

Semestre 01 2016

Ing. Julio César Cañón Rodríguez [email protected]

Profesor AsociadoFacultad de Ingeniería

Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá

Marzo 2016

Las presentaciones instaladas en la plataforma de apoyo virtual Moodle 2.8 son uno de los recursos quesirven de soporte al Curso y deben complementarse con las lecturas, trabajos y ejercicios dispuestos dentrodel programa de la asignatura

[29]

Presentaciones de apoyo para la Quincena 3

mailto:[email protected]:[email protected]


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TASA EFECTIVA: es la tasa que mide el costo efectivo de un crédito o la rentabilidad efectiva

de una inversión, involucrando el concepto de interés compuesto

TASA PERIÓDICA: es la tasa que se aplica para calcular el interés efectivo que se paga en un

periodo determinado. Así, por ejemplo se habla de tasas de 1% diario, 1.5% mensual, 5% anualLa tasa periódica puede calcularse a partir de la tasa nominal y el número de periodos mediantela expresión:

Tasa nominal = Tasa periódica x n

Donde: n es el número de veces que el periodo de la tasa periódica se repite en un añoEjemplo: una tasa nominal 12%, M corresponde a una tasa periódica mensual de 1%, obtenidaal dividir 12% por el número de meses del año, es decir por 12.

Ingenieriaeconómica Gr. 08Semestre 01 2016

Tasas efectivas y tasas periódicas


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Expresión en la cual:TE_: Es la tasa efectiva para un periodo determinado [mes, trimestre, año]

ip : Es la tasa periódica correspondiente al periodo seleccionadoN : número de veces que se liquida la tasa periódica en el plazo expresado en la tasa

efectiva que se quiere calcular

Ejemplo:

Calcular la Tasa Efectiva Anual (TEA) que corresponde a una tasa periódica de 2% mensual

Como la tasa periódica (en este caso mensual) se liquida doce veces en el periodo para el cual

se desea calcular la Tasa Efectiva (año) , el resultado es:

TEA = (1 + 0.02) 12 – 1 = 26,82%

Ecuación de las tasas efectivas



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Dos tasas de interés son equivalentes cuando ambas, aplicadas en condicionesdiferentes, producen la misma tasa efectiva anual o el mismo valor futuro. Puedentratarse cuatro casos de equivalencia de tasas de interés nominales y efectivas

Caso De una tasa pasar a una tasa

1 efectiva efectiva equivalente

2 efectiva nominal equivalente

3 nominal efectiva equivalente

4 nominal nominal equivalente


Tasas equivalentes


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CASO 1: A partir de una tasa efectiva periódica calcular la tasa efectiva correspondientea otro periodo

Ejemplos:1. ¿Qué tasa efectiva trimestral TET corresponde a una tasa periódica de 2% mensual?

TET = (1 + 0.02) 3 – 1 = 6,12%

2. ¿Qué tasa efectiva mensual (TEM) equivale a una tasa efectiva anual de 40%?

Se ilustra el procedimiento:

Paso 1. TEA = (1 + TEM) 12 – 10.40 = (1 + TEM)12 - 1

Paso 2. 1,40 = (1 + TEM)12

Paso 3. 1 + TEM = (1,40) 1/12 ,

De donde se obtiene finalmente TEM = 2,84%




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CASO 2: A partir de una tasa efectiva calcular una tasa nominal equivalente

Ejemplo:1. A partir de una TEA de 40% calcular la tasa nominal con capitalización trimestral equivalente

Paso 1: Calcular la TETTEA = (1 + TET) 4 – 1

0.40 = (1 + TET)4

- 11,40 = (1 + TET)4

1 + TET = (1,40) ¼ , de donde se obtiene TET = 8,77%

Paso 2: Calcular la tasa nominal [anual]

Si se multiplica una tasa efectiva periódica [en este caso trimestral] por el número de

periodos [en este caso 4, que es el número de trimestres contenido en un año] se obtiene latasa nominal correspondiente.

Tasa nominal = 8.77% x 4 = 35,08%

La tasa nominal 35,08%, TV equivale a una Tasa Efectiva Anual de 40%




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CASO 3: A partir de una tasa nominal calcular una tasa efectiva periódica equivalente

Ejemplo: A partir de una tasa de 22% capitalizable mensualmente calcular la TEA

Paso 1: Determinar la tasa periódica efectiva a partir de la nominal22%/12 = 1,83%

1,83% es la tasa periódica (mensual) [Tasa efectiva]

Paso 2: Calcular la Tasa Efectiva AnualTEA = (1 + 0.0183)12 - 1TEA = 24,36%La tasa nominal 22%, MV equivale a TEA de 24,36%

EjercicioCalcular la TEA a partir de las tasas nominales siguientes:36%, M 36%, T 36%, S 36%, A




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CASO 4: A partir de una tasa nominal calcular otra tasa nominal equivalente

Ejemplo:

A partir de una tasa de 36% con capitalización mensual calcular la tasa nominal concapitalización trimestral equivalente

Paso 1: Calcular la tasa periódica efectiva mensual

36%/12 = 3%Paso 2: Calcular la Tasa Efectiva Trimestral TETTET = (1 + 0,03)3 – 1TET = 9,27%

Paso 3: Calcular la tasa nominal trimestral

Si se multiplica una tasa efectiva periódica por el número de periodos se obtiene la tasa nominal

correspondiente. Tasa Nominal = 9.27% x 4 = 37,08%

La tasa nominal 36%, MV equivale a tasa nominal 37,08% TV




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1 año30

100 100

Reintegro del préstamo

Préstamo

Intereses por anticipado

La liquidación de los intereses se hace al principio del respectivo periodo

Flujo de caja para un crédito de $100 a una tasa de 30% anual ANTICIPADO

Interés nominal 30%, A

Tasa de interés efectivoEl valor de los intereses ($30) relacionado con el valor efectivamente recibido ($70)

Una tasa nominal de 30% anticipado equivale a una tasa real de 42,86%


Tasas de interés anticipadas


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1. De tasa anticipada a tasa vencida

Ejemplo:Un cliente bancario necesita $1 millón para un negocio que le exige exactamente esa cantidad.El banco le cobra una tasa de 2% mensual pero el cliente solicita una tasa vencida equivalentepara que su negocio no se afecte. ¿Cuál será el valor de esa tasa?Mediante la expresión (1)

= .

−. = 2,04%

Las tasas de interés que se emplean en las fórmulas deben ser tasas efectivas [tasasperiódicas]

(1)

IMPORTANTE . Las tasas de interés anticipado también se presentan como nominales y a partirde ellas se calculan las tasas periódicas


Conversiones


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2. De tasa vencida a tasa anticipada

Ejercicio:

Calcular la tasa trimestral anticipada equivalente a una tasa del 12%MAPaso 1: convertir la tasa nominal de 12% MA a tasa periódica anticipada

= .

= 0.01 = 1% mensual anticipado

Paso 2: Convertir la tasa periódica anticipada a tasa periódica vencida, empleando laexpresión (1)

ip

[vencida]

= 1,01% mensual

Paso 3: Calcular la TET . Mediante la expresión para intereses vencidos secalcula la TET como =3,06% trimestral

Paso 4: Calcular la tasa trimestral anticipada. Con la expresión (2) se obtiene 2,97% comovalor de la tasa trimestral anticipada

(2)

[SUGERENCIA: REVISAR LOS CÁLCULOS]


Conversiones


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Ejercicios propuestos:

1. A partir de una tasa nominal de 36% TA calcular la TEA

2. De las siguientes opciones que ofrece un banco ¿cuál es la mejor para el cliente?a. 36% TAb. 36,5% MV

Explique su respuestaSugerencia: Comparar Tasas Efectivas Anuales

3. Calcular las tasas equivalentes solicitadas

Tasa (origen) Tasa equivalente solicitada

4% MV (x)% TA

1,5% MV (x)% SA

18% (x)% MA


Conversiones


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La ecuación básica en términos de tasa efectiva periódica anticipadatoma la forma

VF = VP[1 i

a

]

-n

VF : Valor futuro tras n periodosVP: Valor presente de la operación

ia: Tasa efectiva periódica anticipadan: Número de periodos

Si la tasa anticipada se convierte a tasa vencida puede emplearse laecuación básica empleada para la modalidad de intereses vencidos:

VF = VP[1 + i]

n


Conversiones


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Ingenieria

económica Gr. 08Semestre 01 2016

Conversiones


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Serie de pagos o ingresos iguales, periódicos, no necesariamente anuales (pueden sermensualidades)

EjemploSe compran muebles por valor de $2 millones con un plan de pagos de cuatro cuotasmensuales, iguales, pagadas al final de cada mes con una tasa de interés de 36%, M. ¿Cuál esel valor de la mensualidad?

Tasa periódica efectiva (tasa mensual) =3%Fecha focal = O (En el origen)

Ecuación de valor

Se obtiene como valor de la mensualidad A = $538.054,09

2.000.000

0 1 2 3 4

A [mensualidad]

meses

i = 36%, M


Anualidades – Series uniformes


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CONDICIONES DE UNA SERIE DE ANUALIDADES

1. Pagos iguales2. Pagos periódicos

3. Número de pagos = número de periodos

TIPOS DE ANUALIDADES

1. Vencida2. Anticipada

3. Diferida4. Perpetua


Anualidades – Series uniformes


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Pagos al final del periodo: salarios, arrendamientos, cuotas

En esta expresión N representa el número de periodosde la serie

VES: valor equivalente de la serie, está SIEMPRE al inicio del periodo en el que se hace elprimer pago de la serie (o se recibe el primer ingreso de la serie en el caso de un inversionista)

Para calcular el Valor Presente de la serie VP se traslada el valor equivalente de la mismaVES, hasta la Fecha Focal correspondiente.

IMPORTANTE: En la aplicación de la expresión para trasladar el VES al VP el término N se

refiere al número de periodos que es necesario trasladar el valor

VP = VES(1 + i) - N

VES

A

7 8 9 10 ……


Anualidades vencidas


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Ejercicio

Un vehículo se adquiere con el siguiente plan:• Cuota Inicial de $10 millones y 24 cuotas mensuales de $1 millón cada una• Tasa de interés i = 2,5 % , M

¿Cuál es el valor del vehículo? R: $27.884.985.83

Repetir el ejercicio si la primera cuota mensual se paga seis meses después de la cuota

inicial (Sugerencia: considere esta como una forma de anualidad diferida)

VALOR PRESENTE DE ANUALIDAD VENCIDA CON TASA VARIABLENo aplica la ecuación. Debe emplearse la ecuación básica variando la tasa

Ejemplo:Calcular el VP de una serie de cuatro cuotas vencidas mensuales de $200.000 c/u dadas las

tasas siguientes

VP = $777.017.47

MES 1 2 3 4

Tasa 1% 1,2% 0,8% 1,5%




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EXPRESIÓN PARA EL VALOR DE LA CUOTA

VALOR FUTURO DE ANUALIDAD VENCIDA

El valor futuro F equivalente a una serie de pagos iguales vencidos, está ubicado en la fechadel pago de la última cuota

Ejercicios propuestos1. Un lote de terreno que cuesta $20 millones se compra con una CI del 10% y 12 cuotas

mensuales con i = 2% mensual. Calcular el valor de cada una de las cuotas mensualesA=$1.702.072.74

2. Un crédito de $5 millones se paga en 18 mensualidades de $50.000 más dos cuotasextras iguales en los meses 6 y 12. Si la tasa de interés es 3% mensual, calcular el valorde cada una de las cuotas extras.

R. $2.802.212.20




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Ejercicios:

1. Un ahorrador deposita $1,2 millones cada fin de mes durante un año en un banco que lereconoce 3% mensual. ¿cuánto tendrá acumulado al final del año?

2. Un ahorrador abre una cuenta en la que se compromete a depositar $1 millón al final de cadames durante un año en una entidad que le paga 1,8% mensual. En el momento de hacer suséptimo depósito le informan que la tasa de interés ha subido al 2% mensual por lo que decide

aumentar su ahorro a $1,5 millones mensuales. ¿Cuánto ha acumulado al final del año?

VALOR FUTURO DE ANUALIDAD VENCIDA CON TASA VARIABLENo aplica la ecuación. Debe emplearse la ecuación básica variando la tasa


Ejercicios:¿Cuánto debe depositarse al final de cada mes, durante dos años, en una cuenta de ahorrosque reconoce 2,5% mensual para reunir $8,5 millones?

Repetir el ejercicio si la tasa de interés es de 2% mensual y el plan de ahorro es de 36 meses




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VALOR FUTURO DE ANUALIDAD VENCIDA CON TASA VARIABLENo aplica la ecuación. Debe emplearse la ecuación básica variando la tasa


Ejercicios:¿Cuánto debe depositarse al final de cada mes, durante dos años, en una cuenta de ahorrosque reconoce 2,5% mensual para reunir $8,5 millones?

Repetir el ejercicio si la tasa de interés es de 2% mensual y el plan de ahorro es de 36 meses




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CÁLCULO DEL PLAZO DE PAGOS

EjemploUna deuda de $1 millón debe cancelarse en cuotas mensuales de $100.000 cada una.Si la tasa de interés es de 36%, M. ¿Con cuántos pagos se cancelará la deuda?

Paso 1: se calcula la tasa periódica ip = 0,36 /12 = 0,03 = 3% mensual

paso 2: se aplica la expresión mostrada arriba, reemplazando los valores indicados

Si el resultado del cálculo No es exacto, por ejemplo, si fuera 12,4 meses significa queuna vez se pague la cuota 12 habrá un saldo pendiente para cubrir totalmente la deuda




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Los pagos se realizan al comienzo del periodo respectivo.

ATENCIÓN: puede utilizarse las mismas expresiones empleadas para anualidades vencidas,teniendo en cuenta el momento de aplicación de los valores

VES se localiza al inicio del periodo anterior al del primer pago de la serie.

Para calcular el Valor Presente de la serie se traslada el valor equivalente de la misma, VES,hasta la Fecha Focal correspondiente. En el caso ilustrado en el diagrama el valor VES se llevaa la fecha focal cero, utilizando la expresión conocida VF = P 1 + i) N

A

0 1 2 4 …… 3

I

VES

1

Como el primer pago de la serie serealiza en el momento cero, esnecesario crear un periodo ficticio,anterior al origen del diagrama

para localizar en ese punto el VES


Anualidades anticipadas


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Ejemplo

Una deuda que se había pactado pagar en 18 cuotas mensuales anticipadas iguales de$150.000 se renegocia para cancelarla de contado. Si la tasa de interés usada en el negocio esdel 3% mensual. ¿Cuál es le valor del pago de contado?

Paso 1: para utilizar la expresión de mensualidad vencida se añade un periodo imaginarios a laizquierda del origen del diagrama

Paso 2: se aplica la expresión VES

reemplazando los valores indicados se obtiene VES = $2.063.026, 70

Como este valor VES está en el momento -1 es necesario trasladarlo a la fecha focal cero conla expresión

VF = P(1 + i)N

VF = 2.063.026,70(1,03)1 = $2,124,917,5




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EXPRESIONES DIRECTAS PARA EL CÁLCULO CON ANUALIDADES ANTICIPADAS

Ejemplo

Un ahorrador consigna el primer día de cada mes la suma de $500.000 en una cuenta deahorros que le reconoce una tasa del 3% mensual ¿cuánto será el saldo de su cuenta alfinal del año?

se aplica la expresión

Reemplazando los valores suministrados se obtiene como resultado VF = $7.308.895,20

EXPRESIÓN PARA EL CÁLCULO DE PLAZOS CON ANUALIDADES ANTICIPADAS




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VP = P(1 + i) - N

A

0 4

VES

5 6 7 …………… 22 meses

VP

VP = 2.063.026.96(1 ,03) – 4 = $1.832.972.73

Pagos que comienzan algunos periodos después de realizada la operación financiera. Periodo de gracias: tiempo que transcurre sin amortizar capital. Puede tener tasa de interésdiferente a la del periodo normal de pagos

Ejemplo 1Se adquiere hoy un electrodoméstico financiado con 18 cuotas mensuales iguales de $150.000cada una con pagos que se iniciarán dentro de cinco meses. Si la operación se realiza al 3%,mensual calcular el valor del negocio

Se calcula el valor equivalente de la serie

En este caso VES está al inicio del periodo 4. para calcular el valor presente VP de la serie, setraslada el valor equivalente de la misma hasta la fecha focal [cero en este caso] con laexpresión:


Anualidades diferidas


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A

0 5

VES

6 7 8 ……… 12 18 (meses)

VP Pago final (X)

Ejemplo 2

Una deuda de $50 millones debe cancelarse con pagos de $750.000 desde el mes 6 hasta elmes 12 y un pago final en el mes 18. Si el negocio se hace con una tasa periódica del 3%mensual. ¿Cuál es el valor del pago que hará al final del mes 18?

X es el valor del pago final

Se calcula la ECUACIÓN DE VALOR con la fecha focal en cero

De donde se obtiene X = $78.259.617,64 [Valor del pago final acordado]


Anualidades diferidas


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A

0 1 2 3 4 5

P

Herencias, legados, premios, fondos de retiro, arrendamientos sin opción de compra. Por sunaturaleza de pagos indefinidos NO existe el valor futuro de la serie

CÁLCULO DEL VALOR EQUIVALENTE DE LA SERIE

Considerando que N ∞ la expresión

se convierte en

Ejemplo:Un filántropo dispone en su testamento que de su capital se destinen $250 millones a favor deun hogar geriátrico para que se reciba mensualmente el valor de los intereses sin afectar elsaldo del capital. Si la tasa de interés del mercado es del 0,5% mensual. ¿Cuánto recibirán losbeneficiarios mensualmente? A = P * i

A= 250.000.000 * 0,005 = $1.250.000


Anualidades a perpetuidad

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